Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
Trường THPT Phùng Khắc Khoan Phần Số Phức - Giải tích 12 MỤC LỤC Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan Phần Số Phức - Giải tích 12 I – LÝ THUYẾT CHUNG Khái niệm số phức • Tập hợp số phức: C • Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b ∈ R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i2 = –1) • z số thực ⇔ phần ảo z (b = 0) z ảo ⇔ phần thực z (a = 0) Số vừa số thực vừa số ảo a = a ' a + bi = a’ + b’i ⇔ (a, b, a ', b ' ∈ R) b = b ' • Hai số phức nhau: 4k 4k +1 = i; i 4k + = -1; i 4k +3 = -i Chú ý: i = 1; i Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) biểu diễn điểm M(a; b) hay r u = (a; b) mp(Oxy) (mp phức) y b O M(a;b) x a Cộng trừ số phức: • ( a + bi ) + ( a’ + b’i ) = ( a + a’) + ( b + b’ ) i • ( a + bi ) − ( a’ + b’i ) = ( a − a’) + ( b − b’ ) i • Số đối z = a + bi –z = –a – bi r r r r r r • u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' u + u ' biểu diễn z + z’ u − u ' biểu diễn z – z’ Nhân hai số phức : • ( a + bi ) ( a '+ b 'i ) = ( aa’ – bb’ ) + ( ab’ + ba’ ) i • k(a + bi) = ka + kbi (k ∈ R) Số phức liên hợp số phức z = a + bi z = a − bi z z z = z ; z ± z ' = z ± z ' ; z.z ' = z.z '; ÷ = z z2 ; • • z số thực ⇔ z = z ; z số ảo ⇔ z = − z z.z = a + b Môđun số phức : z = a + bi uuuu r 2 z = a + b = zz = OM • z =0⇔z=0 • z ≥ 0, ∀z ∈ C , • z.z ' = z z ' Chia hai số phức: z z = • z' z' • z − z' ≤ z ± z' ≤ z + z' a+bi aa'-bb' ab '+ a ' b = + i a ' + b '2 • Chia hai số phức: a'+b'i a ' + b ' Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan z −1 = z z • (z ≠ 0) Căn bậc hai số phức: Phần Số Phức - Giải tích 12 z' z '.z z '.z = z ' z −1 = = z.z z • z z' = w ⇔ z ' = wz • z x − y2 = a • z = x + yi bậc hai số phức w = a + bi ⇔ z = w ⇔ 2xy = b • w = có bậc hai z = • w ≠ có hai bậc hai đối • Hai bậc hai a > ± a • Hai bậc hai a < ± −a.i Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A ≠ ) ∆ = B2 − 4AC −B ± δ z1,2 = 2A , ( δ bậc hai ∆) • ∆ ≠ : (*) có hai nghiệm phân biệt B z1 = z = − 2A • ∆ = : (*) có nghiệm kép: z Chú ý: Nếu z0 ∈ C nghiệm (*) nghiệm (*) 10 Dạng lượng giác số phức (dành cho chương trình nâng cao) a) Acgumen số phức z ≠ 0: Cho số phức z ≠ Gọi M điểm biểu diễn số z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen z Nếu ϕ acgumen z acgumen z có dạng ϕ + k2π (k∈Z) b) Dạng lượng giác số phức : Dạng z = r(cosϕ + isinϕ) (r > 0) dạng lượng giác z = a + bi (a, b∈R) (z ≠ 0) r = a + b2 a cosϕ = r b sin ϕ = r ⇔ (ϕ acgumen z, ϕ = (Ox, OM) c) Nhân, chia số phức dạng lượng giác : Nếu z = r(cosϕ + isinϕ), z’ = r’(cosϕ’ + isinϕ’) thì: z.z’ = rr’[cos(ϕ + ϕ’) + isin(ϕ +ϕ’)] z r = [ cos(ϕ − ϕ ') + i sin(ϕ − ϕ ') ] z' r ' d) Công thức Moa-vrơ : n r(cosϕ + i sin ϕ) ] = r n (cos nϕ + i sin nϕ) [ Với n số nguyên, n ≥ : n Khi r = 1, ta : (cosϕ + i sin ϕ) = (cos nϕ + i sin nϕ) e) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác : Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan Phần Số Phức - Giải tích 12 Các bậc hai số phức z = r(cosϕ + isinϕ) ϕ ϕ ϕ ϕ − r cos + i sin ÷ = r cos + π ÷+ i sin + π ÷ 2 2 2 Trang (r > 0) : ϕ ϕ r cos + i sin ÷ 2 Trường THPT Phùng Khắc Khoan Phần Số Phức - Giải tích 12 II – CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TỐN TRÊN SỐ PHỨC A – CÁC VÍ DỤ − i Ví dụ 1: Cho số phức z = 2 Tính số phức sau: z ; z2; ( z )3; + z + z2 Giải: 3 − i + i a Vì z = 2 ⇒ z = 2 b 3 − i÷ + i − i − i ÷ 2 =4 =2 Ta có z2 = 3 + i÷ = + i + i= + i ÷ 2 4 2 2 z ⇒( ) = 1 3 i ÷ + i÷ = + i+ i− =i + ÷ ÷ 2 2 4 z z z ( ) =( ) = 1 3 + 1+ 1+ − i+ − i= − i 2 2 2 Ta có: + z + z2 = Ví dụ 2: Tìm số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i Giải: Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i ⇔ (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i x = − 3x + y = 2y − y = ⇔ 5x = x − y Giải hệ ta được: Ví dụ 3: Tính: i105 + i23 + i20 – i34 Giải: Để tính tốn này, ta ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ suy luỹ thừa đơn vị ảo sau: Ta có: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i = 1; i5 = i; i6 = -1… Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; ∀ n ∈ N* Vậy in ∈ {-1;1;-i;i}, ∀ n ∈ N −n −n 1 ÷ = ( −i ) Nếu n nguyên âm, in = (i-1)-n = i Như theo kết trên, ta dễ dàng tính được: i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + + = 16 1+ i 1− i ÷ + ÷ 1+ i Ví dụ 4: Tính số phức sau: z = − i + i (1 + i)(1 + i) 2i = = =i 2 Giải: Ta có: − i Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan 16 Phần Số Phức - Giải tích 12 1+ i 1− i 1− i = −i ÷ + ÷ + i =i16 +(-i)8 = ⇒ 1+ i Vậy − i z + 3z = ( + i ) ( − i ) (1) Ví dụ 5: Tìm phần ảo z biết: Giải: Giả sử z=a+bi (1) ⇔ a + bi + 3a − 3bi = ( + 12i + 6i + i ) ( − i ) = ( + 11i ) ( − i ) ⇔a= ⇔ 4a − 2bi = − 2i + 22i − 11i = 20i + 15 Vậy phần ảo z -10 z +z z z = + i, z = − i Ví dụ 6: Cho Tính 1 Giải: 15 ; b = −10 z1 + z1z = + i + ( + i ) ( − i ) = 10 = 10 + 0i ⇒ z1 + z1z = 102 + = 10 Ví dụ 7: Cho Giải: +) z1 = + 3i, z = + i Tính z1 + 3z ; z1 + z z2 ; z13 + 3z z1 + 3z = + 3i + + 3i = + 6i ⇒ z1 + 3z = 52 + 62 = 61 z1 + z 49 z1 + z + 4i ( + 4i ) ( − i ) + i = + = = = = z 4 z + i − i 2 ⇒ +) z + 3z = + 36i + 54i + 27i3 − − 3i = −49 + 6i ⇒ z1 + 3z = 2437 +) Ví dụ 8: Tìm bậc hai số phức z = + 12i Giải: Giả sử m+ni (m; n ∈ R) bậc hai z Ta có: (m + ni) = + 12i ⇔ m + 2mni + n 2i = + 12i ⇔ m + 2mni − n = + 12i m − n = 5(1) m2 − n = ⇔ ⇔ 2mn = 12 m = (2) n 6 ÷ − n = ⇔ 36 − n = 5n Thay (2) vào (1) ta có: n ⇔ n + 5n − 36 = ⇔ n = 4; n = −9(loai) n = ⇒ m = n = −2 ⇒ m = −3 Vậy z có hai bậc hai 3+2i -3-2i Ví dụ 9: Tính số phức sau: z = (1+i)15 Giải: Ta có: (1 + i)2 = + 2i – = 2i ⇒ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Biết số phức z = x + iy thỏa z = −8 + 6i Mệnh đề sau sai? Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan x + 8x − = y = x B x − y = −8 xy = A Phần Số Phức - Giải tích 12 x = x = −1 hay 2 y = −3 C y = D x + y + 2xy = −8 + 6i z = ( m − 1) + ( m − ) i, ( m ∈ R ) z≤ Câu 2: Cho số phức Giá trị m để m ≤ −6 A −2 ≤ m ≤ B −6 ≤ m ≤ C ≤ m ≤ D m ≥ ( − i) + ( − 2i ) 3− i Câu 3: Viết số phức dạng đại số: 11 13 11 − + i − − i − i A 5 B 5 C 5 Câu 4: Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: a = z = a + bi = A Số phức b = D − 11 − i 5 B Số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng phức Oxy 2 C Số phức z = a + bi có mơđun a + b D Số phức z = a + bi có số phức đối z ' = a − bi ( ) z+z Câu 5: Cho số phức z = a + bi, a, b ∈ R mệnh đề Khi số là: M ( a; b ) 1) Điểm biểu diễn số phức z z+z 2) Phần thực số phức a; ( 3) Môdul số phức 2z + z z< z 4) A Số mệnh đề C Số mệnh đề sai Câu 6: Mệnh đề sau sai z = z ⇔ z1 = z A z =0⇔z=0 B ) 9a + b B Số mệnh đề D Cả z = C Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện đường tròn tâm O, bán kính R = D Hai số phức phần thực phần ảo tương ứng z = + 3i, z = − + 3i, z = z1.z Câu 7: Cho hai số phức Lựa chọn phương án đúng: z = 25 z = z1 z = z2 A B C z1 + z = z1 + z D 3−i 3+i z= , z' = + 7i − 7i Trong kết luận sau: Câu 8: Cho số phức (I) z + z ' số thực, (II) z − z ' số ảo, (III) z − z ' số thực, Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan Kết luận đúng? A Cả I, II, III Phần Số Phức - Giải tích 12 B Chỉ II III C Chỉ III, I D Chỉ I, II i −i 2 z −z α= −z +z β= +z+z z −1 z −1 Câu 9: Cho số phức z ≠ Xét số phức Khi α , β ∈ R β , α β ∈ R, α α ∈ R, β số ảo A B số ảo C số ảo D 2009 − + i Câu 10: Cho số phức z = 2 Số phức + z + z2 bằng: − + i A 2 B - 3i C D Câu 11: Giá trị biểu thức + i + i + i + + i là: A − i B −i C i Câu 12: Đẳng thức đẳng thức sau: 2018 2018 1009 2018 = 21009 i = −21009 A (1 + i) B (1 + i) = −2 i C (1 + i) Câu 13: Cho 2017 D + i 2018 = 21009 D (1 + i) z1 , z ∈ £ đẳng thức: z z z1 z = z1.z ; = ; z1 + z = z1 + z ; z1 − z = z1 − z z2 z2 Số đẳng thức đẳng thức là: A B C Câu 14: Đẳng thức sau đẳng thức đúng? 8 A (1 + i) = −16 B (1 + i) = 16 C (1 + i) = 16i D D (1 + i) = −16i Câu 15: Đẳng thức sau đẳng thức đúng? 2006 2345 1997 2005 = −i =1 A i B i = i C i = −1 D i Câu 16: Số số phức sau số ảo ? 2 + 3i + − 3i + 2i ) ( A B + 2i + 3i − 3i C D + 3i 4k * Câu 17: Giá trị + i + i + + i với k ∈ N A 2ki B 2k C D x; y ∈ R (1 − i)(x − yi) + (2y − x)i = − 2i Câu 18: Các số thỏa mãn đẳng thức Khi tổng x + 3y là: A - B - C 13 D - 13 ∈ ¢ Câu 19: Cho số phức z = x + yi ; x, y thỏa mãn z = 18 + 26i Giá trị 2012 2012 T = (z − 2) + (4 − z) là: ( ( 1007 A −2 )( ) ( ) ) 1007 B 1007 C n 1006 D −2 13 + 9i ÷ 12 − i ÷ số thực ? số ảo ? là: Câu 20: Các số nguyên dương n để số phức A n = + 6k, k ∈ ¢ B n = + 4k, k ∈ ¢ C n = 2k, k ∈ ¢ D n = 3k, k ∈ ¢ z Câu 21: Cho số phức z = 2i + z bằng: − 12i + 6i + 12i − 6i A 13 B 11 C 13 D 11 Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan Phần Số Phức - Giải tích 12 1+ i z = ÷ 1+ i ÷ : Câu 22: Tính số phức A + i B + 2i 1+ i z= ÷ − i , tính z + z + z + z8 Câu 23: Cho A B 11 Câu 24: Tính giá trị P = i + i + i + + i A −1 B P = ( + 5i ) − ( + 3i ) Câu 25: Tính kết 2007 A −2 i B 2007i 105 23 20 34 Câu 26: Giá trị biểu thức A = i + i + i – i A 2i B 2 z −1 z =1 Câu 27: Nếu z A Là số ảo B Bằng 16 1+ i 1− i z= ÷ + ÷ − i + i bằng: Câu 28: Số phức A −i B C – 2i D – i C D C + i D – i 2007 C −2 là: C −2i 2007 D i 2007 D −2 C Lấy giá trị phức D Lấy giá trị thực C i D −2 iz − ( + 3i ) z a b =z z=− − i c c ( với a, b, c số tự nhiên) thỏa mãn 1+ i Câu 29: Biết số phức Khi giá trị a là: A - 45 B 45 C - D x +1 y −1 = Câu 30: Cho x, y số thực thỏa điều kiện: x − 1 + i là: x = 1; y = A x = −1; y = B x = −1; y = C x = 1; y = −3 D z + z2 Tính : (z1 + z ) z = + 3i; z = + i Câu 31: Cho 85 61 A 85 B C 85 D 25 z = ax + b, z = cx + d Câu 32: Cho hai số phức mệnh đề sau: z = z1 a + b z + z = z1 + z ; (III) z1 − z = z1 − z (I) ; (II) Mệnh đề là: A Chỉ (I) (III) B Cả (I), (II) (III) C Chỉ (I) (II) D Chỉ (II) (III) Câu 33: Tìm bậc hai số phức z = − 24i A z = −4 − 3i z = + 3i B z = −4 − 3i z = −4 + 3i C z = − 3i z = + 3i D z = − 3i z = −4 + 3i z−z Câu 34: Cho z = − 3i Tính 2i ta kết là: A −3i B C −3 D −6i ( Câu 35: Cho số phức ) z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) Nhận xét sau đúng? Trang Trường THPT Phùng Khắc Khoan A z 2≤ a +b B Phần Số Phức - Giải tích 12 z 2≥ a +b Câu 36: Tìm bậc số phức A ±4i B ±2i ( − i ) ta kết là: Câu 37: Tính A −4 − 4i B + 4i z= C z ≥ 2( a + b ) + 9i − 5i 1− i D z ≤ ( a + b) C ±2 D ±4 C 8i D − 4i 2024 i ÷ Câu 38: Giá trị − i 1 − 2024 1012 A B C 2024 D − 1012 i z = + ÷ 2÷ ta kết viết dạng đại số là: Câu 39: Tính i 3 i + +i − − 2 A 2 B C Câu 40: Tìm bậc hai - A - B C 3i z = − +i 2 Tính + z + z Câu 41: Cho A B - C ω = z1 − 2z , z = + 2i, z1 = − 3i Câu 42: Tìm số phức biết rằng: A ω = −3 − 4i B ω = −3 + 8i C ω = − i z = + 2i z = 3−i Câu 43: Tích số phức i A B - 2i C - 5i + i;5 − 7i Câu 44: Tổng hai số phức − −i D D ±3i D D ω = + 8i D + 5i A + 8i B − 8i C − 6i D − 6i Câu 45: Các số thực x y thỏa (2x + 3y + 1) + ( - x + 2y)i = (3x - 2y + 2) + (4x - y - 3)i 9 x = − 11 x = 11 x = 11 y = y = − y = 11 11 11 A Kết khác B C D 25i Câu 46: Biết số phức z = − 4i Số phức z là: A −4 + 3i B −4 − 3i C − 3i D + 3i Câu 47: Cho biết: ( 1) i3 = i ( 2) i4 = i ( 3) ( i + 1) = −2 + i Trong ba kết trên, kết sai A Chỉ (3) sai B Chỉ (2) sai Câu 48: Tổng số phức + i + i A + Câu 49: Cho số phức A + i B 2i z1 = + i, z = − i B C Chỉ (1) (2) sai Hiệu C + + i z1 − z C 2i Trang 10 D Cả (1), (2), (3) sai D + + 2i D + 2i Trường THPT Phùng Khắc Khoan Phần Số Phức - Giải tích 12 DẠNG 6: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC, TẬP HỢP ĐIỂM A – CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho số phức z = 1+ 3i số phức z’ = + i Hãy: a) Biểu diễn số phức z z’ mp phức b) Biểu diễn số phức z + z’ z’ – z mp phức Giải: uuuu r uuuur a) Vecto OM biểu diễn số phức z = + 3i, vecto OM ' biểu diễn số phức z’ = + i b) uuu rz + z’ = (2 + 1) + (1 + 3)I = + 4i, biểu diễn mp phức vecto OP z’ uuu–r z = (2 – 1) + (1 – 3)i = – 2i, biểu diễn mp phức vecto OQ Ví dụ 2: Xác định số phức biểu diễn đỉnh lục giác có tâm gốc tọa độ O mặt phẳng phức, biết đỉnh biểu diễn số i Giải: Gọi D điểm biểu diễn số i⇒ A biểu diễn số −i π π 1 ; ÷ cos ;sin ÷ = 6 2÷ nên E biểu diễn số Dễ thấy điểm E có tọa độ + i phức 2 ; C đối xứng với E qua Oy nên C biểu diễn số phức 3 − i + i 2 ; F biểu diễn số phức 2 ; B biểu diễn số phức − − i 2 Ví dụ 3: Xác định tập hợp điểm mp phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z−i =1 z = z − + 4i a) z – i = b) z + i c) − Giải: Gọi z = a + bi a) ⇒ z - i = a + bi - i = ⇔ a + (b – 1)i = ⇔ a2 + (b – 1)2 = 1, Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn có tâm I(0 ; 1) bán kính z − i a + (b − 1)i = = ⇔ a + (b − 1)i = a + (b + 1)i ⇔ a + (b − 1) = a + (b + 1) ⇔ b = b) z + i a + (b + 1)i Vậy z số thực z = z − + 4i c) Ta có : ⇔ a + bi = a – bi – + 4i ⇔a + bi = (a – 3) + (4 – b)i 2 ⇔ a + b = (a – 3) + (4 – b)2 ⇔ 6a + 8b – 25 = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng Ví dụ 4: Xác định tập hợp điểm mp phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: a) z2 số thực âm b) z2 số ảo Trang 42 Trường THPT Phùng Khắc Khoan Phần Số Phức - Giải tích 12 d) z − i số ảo c) z2 = ( z )2 Giải: a) z2 số thực âm ⇔ z số ảo Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm trục ảo (Oy), trừ điểm O b) Gọi z = a + bi ⇒ z2 = a2 – b2 + 2abi số ảo ⇔ a2 – b2 = ⇔ b = ±a Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm hai đường phân giác gốc tọa độ c) z2 = ( z )2 ⇔ (z + z )(z − z ) = ⇔ z+z =0 (trục thực) z-z =0 (trục ảo) Vậy tập hợp điểm trục tọa độ d) z − i số ảo ⇔ z – i số ảo ⇔ x + (y – 1)i số ảo ⇔ x = y ≠ Vậy tập hợp điểm biểu diễn nằm trục Oy (trừ điểm có tung độ 1) z + + 3i u= z − i số ảo Ví dụ 5: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho a + + bi + 3i (a + + (b + 3)i)(a − (b − 1)i) u= = z = a + ib ( a, b ∈ R) a + (b − 1)i a + (b − 1) Giải: Giả sử , 2 Tử số a + b + 2a + 2b − + 2(2a − b + 1)i a + b + 2a + 2b − = (a + 1) + (b + 1) = ⇔ (a; b) ≠ (0;1), ( −2; −3) u số ảo khi: 2a − b + ≠ Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I(−1; −1) , bán kính điểm (0;1) (-2;-3) z + − 3i = 1(*) Ví dụ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn: z − + i Giải: Giả sử z = a + bi , khuyết ⇔ (a + 2) + (b − 3) = (a − 4) + (b − 1) ⇔ 3a − b − = Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình 3x-y-1=0 Ví dụ 7: Tìm quĩ tích điểm M biểu diễn số phức ω = (1 + i 3)z + biết số phức z z − ≤ (1) thỏa mãn: ω = a + bi Giải: Giả sử Ta có a + bi = (1 + i 3)z + ⇔ z = a − + bi a − + (b − 3i) ⇔ z −1 = 1+ i 1+ i a − + (b − 3)i (a − 3) + (b − 3) a − + (b − 3)i ≤2⇔ ≤2 (1) ⇔ ≤2⇔ 1+ i 1+ i ⇔ (a − 3)2 + (b − 3) ≤ 16 2 Vậy quĩ tích điểm M biểu diễn số phức hình tròn (x − 3) + (y − 3) ≤ 16 (kể điểm nằm biên) Ví dụ 8: Cho z1 = + i; z2 = -1 - i Tìm z3 ∈ C cho điểm biểu diễn z1, z2, z3 tạo thành tam giác Giải: Giả sử z3 = x+yi Để điểm biểu diễn z1, z2 , z3 tạo thành tam giác Trang 43 Trường THPT Phùng Khắc Khoan Phần Số Phức - Giải tích 12 + = ( x − 1) + ( y − 1) 2 ( x − 1) + ( y − 1) = z1 − z = z1 − z ⇔ 2 x + y = z1 − z = z − z ⇔ + = ( x + 1) + ( y + 1) ⇒ 2y2 = ⇒ y = ± ⇒ x = m Vậy có hai số phức thoả mãn là: z3 = (1+i) z3 = - (1-i) Ví dụ 9: Tìm điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện z+ =2 z sau: Giải: Giả sử z = x + yi ⇒ z+ = ⇔ z2 + = z z x + y2 − = 2y 2 x + y − = −2y ⇔ (x2 – y2 +1)2 +4x2y2 = 4(x2 + y2) ⇔ (x2 + y2 -1)2 = 4y2 ⇔ ⇒ Tập hợp điểm M(x;y) biểu thị số phức z hợp hai đường tròn: x2 + y2-2y – = x2 + y2 +2y – = B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức cho (z − 1)(z − i) số thực 2 A Đường thẳng x − y + = B Đường tròn x + y − x − y = 2 C Đường tròn x + y − x + y = D Đường thẳng − x + y + = Câu 2: Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z1 = (1 − i)(2 + i), z = + 3i, z = −1 − 3i Tam giác ABC là: A Một tam giác B Một tam giác vuông (không cân) C Một tam giác vuông cân D Một tam giác cân (không đều) Câu 3: Gọi M, N, P điểm biểu diễn số phức – i, + 4i , + i Tìm số phức z biểu diễn điểm Q cho MNPQ hình bình hành A 6i – B + 6i C – 7i D + 7i Câu 4: Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức cho z − i số ảo A Trục hoành, bỏ điểm (-1; 0) B Đường thẳng x = -1, bỏ điểm (-1; 0) C Đường thẳng y = 1, bỏ điểm (0; 1) D Trục tung, bỏ điểm (0; 1) Câu 5: Trong mặt phẳng phức Oxy , cho ba điểm A, B, C biểu diễn cho số phức z1 = + i, z = −2 + 3i, z = −1 + 2i Xác định độ lớn số phức biểu diễn trọng tâm G tam giác ABC A B C D Câu 6: Gọi M, N, P uuucác u r điểm uuuu r biểu r diễn số phức + i , + 3i , – 2i Số phức z biểu diễn điểm Q cho MN + 3MQ = là: 2 − + A 3 i B 3 i 2 − + − − C 3 i D 3 i z +1− i ≤ Câu 7: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn I ( −1,1) I ( −1, − 1) A Đường tròn tâm , bán kính R = B Đường tròn tâm , bán kính R = Trang 44 Trường THPT Phùng Khắc Khoan Phần Số Phức - Giải tích 12 I ( −1,1) I ( 1, −1) C Hình tròn tâm , bán kính R = D Hình tròn tâm , bán kính R = Câu 8: Trong mặt phẳng phức cho tam giác ABC vuông C; Biết A, B biểu diễn số z = -2 + 4i, z = -2i Khi đó, C biểu diễn số phức: phức: A z = + 4i B z = − − 7i C z = − + 2i D z = − 4i z = + 3i; z = −2 +2i; z3 = −1 − i biểu diễn điểm A, B, Câu 9: Cho số phức: uuuu r uuur uuur C mặt phẳng Gọi M điểm thỏa mãn: AM = AB − AC Khi điểm M biểu diễn số phức: A z = 6i B z = − 6i C z = D z = u−uur2 uuur uuur Câu 10: Tromg mặt phẳng phức cho hai điểm A(4; 0), B(0; - 3) Điểm C thỏa mãn: OC = OA + OB Khi điểm C biểu diễn số phức: A z = − − 4i B z = − 3i C z = − + 4i D z = + 3i z = + 2i , B điểm thuộc đường thẳng Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A biểu diễn số phức y = cho tam giác OAB cân O B biểu diễn số phức sau đây: A z = − + 2i B z = − 2i C z = − i D z = + 2i Câu 12: Cho số phức i, – 3i, −3 + i có điểm biểu diễn mặt phẳng phức A, B, C; Tìm số phức biểu diễn trọng tâm G tam giác ABC 2 2 + − + − − − A 3 i B 3 i C 3 i D 3 i Câu 13: Cho số phức z = + 7i Số phức liên hợp z có điểm biểu diễn là: A (6; 7) B (6; −7) C ( −6; −7) D (−6;7) Câu 14: Cho A, B, M điểm biểu diễn số phức - 4, 4i, x + 3i Với giá trị thực A, B, M thẳng hàng? A x = - B x = C x = - D x = (1 Câu 15: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng Oxy biết + i)z số thực là: A Trục Ox C Đường thẳng y = x B Trục Oy D Đường thẳng y = −x z