Hiện nay tình trạng dịch bệnh lan tràn việc học trực tuyến càng trở nên cấp thiết hơn . Thực tế việc học trực tuyến đã thể hiện nhiều vai trò trước đây , nhưng qua dịp này mới thấy tầm quan trọng và sự cần thiết của nó hơn bao giờ hết . Trong quá trình học tập càng trở nên cấp thiết với các em đặc biệt là các em học sinh cuối cấp tôi xin cung cấp những tài liệu trực liên quan đến việc ôn tập của các em đối với những môn cơ bản hi vọng góp phần chung tay với tất cả các bạn giáo viên , các bạn học sinh và các độc giả quan tâm xây dựng hệ thống câu hỏi bổ ích và gắn liền quá trình ôn tập kiến thức ,ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia cũng như các hình thức bổ xung kiến thức khác.
HỆ TRỤC TỌA ĐỘ I VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN: Định nghĩa Trong không gian, véc tơ đoạn thẳng có định hướng tức đoạn thẳng có quy định thứ tự hai đầu Chú ý: Các định nghĩa hai véc tơ nhau, đối phép toán véc tơ không gian xác định tương tự mặt phẳng Véc tơ đồng phẳng r r r r a, b, c a Định nghĩa: Ba véc tơ khác gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Chú ý: r n véc tơ khác gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Các giá véc tơ đồng r phẳng đường thẳng chéo b Điều kiện để ba véc tơ khác đồng phẳng: r r r r r r a , b, c ⇔ ∃m, n ∈ R : a = mb + nc Định lý 1: đồng phẳng c Phân tích véc tơ theo baurvéc uu r tơ ur không đồng phẳng: r e1 , e2 , e3 a Định lý 2: Cho ba véc tơ không đồng phẳng Bất kỳ véc tơ không gian ( x1 , x2 , x3 ) phân tích theo ba véc tơ đó, rnghĩaurlà có u cho: u r bộurba số thực a = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 r r r r a , b, c Chú ý:r Cho khác : r r ba véc tơ a , b, c m, n, p đồng phẳng có ba số thực r rkhông r đồng thời cho: ma + nb + pc = r r r r r r r a , b, c ma + nb + pc = ⇒ m = n = p = không đồng phẳng từ II TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ: Trong không gian xét hệ trục Oxyz, có trục Ox vng góc với trục Oy O,r trục Oz vng góc với mặt r i = ( 1;0;0 ) , j = ( 0;0;1) , phẳng (Oxy) O Các vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz r k = ( 0; 0;1) r r r r r a = ( a1 ; a2 ; a3 ) a = a1 i + a2 j + a3 k Nếu uuuu r r r r M ( xM ; yM ; zM ) ⇔ OM = xM i + yM j + zM k uuur A ( xA ; y A ; z A ) B ( xB ; y B ; z B ) AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) Cho ta có: AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A )2 + ( z B − z A ) M trung điểm AB M x A + xB y A + yB z A + z B ; ; ÷ 2 III TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ Trong r không gian vớirhệ tọa r độ Oxyz r r a = ( a1; a2 ; a3 ) a = a1 i + a2 j + a3 k ⇔ r r a = ( a1; a2 ; a3 ) b = (b1 ; b2 ; b3 ) Cho ta có a = b 1 r r a = b ⇔ a2 = b2 a = b 3 r r a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) r k a = (ka1; ka2 ; ka3 ) rr r r r r a.b = a b cos(a; b) = a1b1 + a2b2 + a3b3 r a = a12 + a22 + a32 r r a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 cosϕ = cos(a, b) = r r r r a1 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 a≠0 , b≠0 (với ) rr r r ⇔ a.b = ⇔ a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 = a b vng góc a1 = kb1 r r ⇔ ∃k ∈ R : a = kb ⇔ a2 = kb2 r r a = kb 3 a b cùngphương III TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG: r r a = (a1 ; a2 ; a3 ) b = (b1 ; b2 ; b3 ) Tích có hướng : r r a a aa aa a, b = ; ; ÷= (a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) b b b3 b1 b1b Tính chất : r r r r r r a, b ⊥ a a, b ⊥ b , r r r r r r a, b = a b sin(a, b) r r r r r a, b = a b phương ⇔ r r r r r r a, b c = a b c , , đồng phẳng ⇔ Các ứng dụng tích có hướng : S ABC = Diện tích tam giác : r uuur uuu [ AB, AC ] r uuur uuur uuu [ AB, AC ] AD Thểtích tứ diệnVABCD= uuu r uuur uuur [ AB, AD] AA ' Thể tích khối hộp: VABCDA’B’C’D’ = IV MỘT SỐ KIẾN THỨC KHÁC: uuur uuur MA = k MB Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k ( ) ta có : x A − kxB y A − kyB z − kz B xM = ; yM = ; zM = A 1− k 1− k 1− k Với k ≠ x A + xB + xC y + yB + yC z +z +z xG = ; yG = A ; zG = A B C 3 G trọng tâm tam giác ABC ⇔ uuu r uuu r uuur uuur r GA + GB + GC + GD = G trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ DẠNG 1: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VEC TƠ THỎA ĐK CHO TRƯỚC Câu 1: Câu 2: Oxyz r r r a = ( 3; − 2;1) b = ( −1;1; − ) c = ( 2;1; − ) , cho vectơ , , , Trong không gian với hệ tọa độ r u = ( 11; − 6;5 ) đề sau đúng? r r r Mệnh r u = 2a + 3b + c A r r r r u = 3a − 2b − 2c C Trong không gian với hệ tọa độ uuu r Oxyz r r r r u = 2a − 3b + c B r r r r u = 3a − 2b + c D , cho hai điểm A ( 1; −2;0 ) B ( −3;0;4 ) Tọa độ véctơ AB A Câu 3: Câu 4: ( 4; −2; −4 ) B ( −4; 2;4 ) C ( −1; −1; ) ( −2; −2;4 ) uuuu r D.r r OM = j + k Oxyz M Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm thỏa mãn hệ thức Tọa độ M điểm là: M ( 0; 2;1) M ( 1; 2;0 ) M ( 2;1; ) M ( 2;0;1) A B uuuu D r C uuur OM = ( 1;5; ) ON = ( 3;7; −4 ) Oxyz P Trong không gian với hệ tọa độ , cho , Gọi điểm đối N M P xứng với qua Tìm tọa độ điểm A Câu 5: Câu 6: Câu 7: Câu 8: Câu 9: Câu 10: Câu 11: Câu 12: P ( 5;9; −3) B P ( 2;6; −1) Oxyz , C P ( 5;9; −10 ) P ( 7;9; −10 ) D A ( 1;3;5) , B ( 2;0;1) , C ( 0;9;0 ) Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm Tìm trọng G ABC tâm tam giác G ( 1;5; ) G ( 1;0;5 ) G ( 1; 4; ) G ( 3;12;6 ) A B C D Oxyz ABC Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác biết A(1; −2; 4), B (2;3; −5), C (3; −4;1) G ABC Tìm toạ độ trọng tâm tam giác ? G (2; −1;0) G ( 2; −1;0 ) G (−2;1;0) G (18; −9; 0) G (6; −3;0) A .r B.r Ta có C D r r r r r a = ( 1;2;3) b = ( −2;4;1) c = ( −1;3;4 ) v = 2a − 3b + 5c Cho vectơ ; ; Vectơ có tọa độ r r r r v = ( 23;7;3) v = ( 7; 23;3 ) v = ( 3; 7; 23 ) v = ( 7;3; 23 ) A B C D A ( 1; 2; − 1) B ( 2; − 1; 3) C ( −3; 5;1) Oxyz Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm , , ABCD D Tìm tọa độ điểm cho tứ giác hình bình hành D ( −2; 8; − 3) D ( −2; 2; ) D ( −4; 8; − ) D ( −4; 8; − 3) A B C D A 3; − 2;5 ( ) Oxyz A Trong không gian tọa độ , cho điểm Hình chiếu vng góc điểm ( Oxz ) mặt phẳng tọa độ M ( 3;0;5 ) M ( 3; −2;0 ) M ( 0; −2;5) M ( 0; 2;5 ) A B C D A ( 2; 2; − ) B ( −3;5;1) C ( 1; − 1; − ) Oxyz Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm , , G ABC Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ? G ( 2;5; − ) G ( 0; 2; − 1) G ( 0; 2;3) G ( 0; − 2; − 1) A B C D A ( 5; − 2; ) , B ( −2; 3; ) C ( 0; 2; ) G Trong không gian cho ba điểm Trọng tâm tam ABC giác có tọa độ ( 2;0; −1) ( 1;1; −2 ) ( 1; 2;1) ( 1;1;1) A B C D A ( −1; 2;3) , B ( 2; 4; ) Oxyz ABC Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác có tọa độ G ( 0; 2;1) C trọng tâm Khi đó, tọa độ điểm là: C ( −1;0; −2 ) C ( 1;0;2 ) C ( −1; −4; ) C ( 1; 4; ) A B C D I ( −5;0;5 ) Oxyz Câu 13: Câu 14: ( A Câu 15: Câu 16: Câu 17: Câu 18: Câu 19: Câu 20: Câu 21: MN Trong không gian với hệ trục tọa độ cho điểm trung điểm đoạn , biết M ( 1; −4; ) N Tìm tọa độ điểm N ( −11; 4;3) N ( −11; −4;3) N ( −2; −2; ) N ( −10; 4;3 ) A B C D r r r u u u r r r O; i ; j ; k Oxyz OA = −2i + 5k A Trong không gian với hệ tọa độ cho Tìm tọa độ điểm ( 5; −2;0 ) B ( −2;0;5 ) Oxyz , ) ( −2;5;0 ) C M ( 3;1;0 ) D u uuu r MN = ( −1; −1;0 ) ( −2;5) Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm Tìm tọa độ N điểm N ( −2; 0; ) N ( 2; 0;0 ) N ( 4; 2; ) N ( −4; −2;0 ) A B C D A ( 1; 2;3 ) A1 Oxyz Trong khơng gian , cho điểm Tìm tọa độ điểm hình chiếu vng góc ( Oyz ) A lên mặt phẳng A1 ( 1;0;0 ) A1 ( 0; 2;3 ) A1 ( 1;0;3) A1 ( 1; 2;0 ) A B r C D r r r r a = ( 1; 2; −3 ) b = ( −2; 2; ) Oxyz c = 2a − 3b Trong không gian , cho ; Tọa độ vectơ r r r r là: c = ( 4; −1; −3) c = ( 8; −2; −6 ) c = ( 2;1;3) c = ( 4; −2; −6 ) A B C D A( 3; 2;1) , B ( 1; - 1; 2) , C ( 1; 2; - 1) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm Tìm uuur uuu r uuu r tọa độ điểm M thỏa mãn OM = AB - AC M ( 5;5;0) M ( 2; - 6; 4) M ( - 2; 6; - 4) M ( - 2; - 6; 4) A B C D A ( 3; 4;5 ) B ( −1; 0;1) Oxyz M Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , Tìm tọa độ điểm uuur uuur r MA + MB = thõa mãn M ( 2; 4; ) M ( 4; 4; ) M ( 1; 2;3) M ( −4; −4; −4 ) A C D B A ( 1;1;1) B ( 5; − 1; ) C ( 3; 2; − ) Oxyz M Trong khơng gian cho ba điểm , , Tìm tọa độ điểm thỏa uuur uuur uuuu r r MA + 2MB − MC = mãn 9 9 9 9 M −4; − ; ÷ M 4; − ; − ÷ M 4; ; ÷ M 4; − ; ÷ 2 2 2 2 A B r C D A ( 4; 6; −3 ) a = ( −3; 2;1) Oxyz B Trong không gian , cho điểm Tìm tọa độ điểm thỏa mãn uuu r r AB = a A ( −1; −8; ) B ( 7; 4; −4 ) Oxyz C ( 1;8; −2 ) ( −7; −4; ) D Ox Oy Oz , véctơ đơn vị trục , , Trong không gian với hệ trục tọa độ r r r M ( 2; −1; 1) i j k u,uuur, ,rcho r điểm r uuuu r rKhẳng r định r sauuđây uuu r làrđúng? r r OM = 2i − j + k OM = i + j + 2k OM = k + j + 2i B C D uuuu r r A.r r OM = 2k − j + i A ( 4;1; − ) Oxyz A Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm Tọa độ điểm đối xứng với ( Oxz ) qua mặt phẳng A′ ( 4; − 1; ) A′ ( −4; − 1; ) A′ ( 4; − 1; − ) A′ ( 4;1; ) A B C D Oxyz ABC Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ cho tam giác có đỉnh A ( 1; −2;3) , B ( 2;3;5 ) , C ( 4;1; −2 ) G ABC Tính tọa độ trọng tâm tam giác 7 G ; ;2÷ G ( 8; 6; −30 ) G ( 7; 2;6 ) G ( 6; 4;3) 3 A B C.r r D r a = ( 2; −1;0 ) b = ( −1; −3; ) c = ( −2; −4; −3) Oxyz Câu 25: Trong không gian , cho vec tơ , , Tọa độ r r r r u = 2a − 3b + c ( 3; 7; ) ( −5; − 3; ) ( −3; − 7; − ) ( 5; 3; − ) A B C D M ( 3; −2;3) , I ( 1; 0; ) Oxyz , N Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm Tìm tọa độ điểm MN I cho trung điểm đoạn 7 N 2; −1; ÷ N ( 0;1; ) N ( −1; 2;5 ) N ( 5; −4; ) 2 A B C D Câu 27: Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 3; −4;0 ) ; B ( 0;2;4 ) ; C ( 4; 2;1) Ox AD = BC D Tọa độ diểm trục cho là: D ( 0; 0;0 ) ∧ D ( 0; 0; −6 ) D ( 0;0; −3) ∧ D ( 0;0;3) A B D ( 0;0;0 ) ∧ D ( 6; 0;0 ) D ( 0;0; ) ∧ D ( 0;0;8 ) C D A ( 1; 2; −4 ) B ( −3; 2; ) Oxyz Câu 28: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm Toạ độ uuu r Câu 22: AB A ( −2; 4; −2 ) B ( −4;0;6 ) C ( 4;0; −6 ) D ( −1; 2; −1) Câu 29: Câu 30: Oxyz Câu 32: Câu 33: Câu 34: Câu 35: r u Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho Tìm tọa độ r r r r u = ( 2;3; −2 ) u = ( 3; 2; −2 ) u = ( 3; −2; ) u = ( −2;3; ) A B C D r r r Oxyz a = (2;- 5;3) b = ( 0;2;- 1) c = ( 1;7;2) Trong không gian , cho ba vectơ: , , Tọa độ vectơ r r 1r r x = 4a - b + 3c r æ 121 17ư r ỉ 55ư ÷ ÷ ÷ x =ỗ ; ; x =ỗ ỗ ỗ11; ; ữ ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ 3ứ ố ố 3ø A Câu 31: r r r r u = 3i − j + 2k B r ỉ 53ư r ỉ 1 ÷ ữ ỗ ữ ữ x =ỗ 11 ; ; x = ; ;18 ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố 3÷ ø è3 ÷ ø C D A ( 1; − 4; ) B ( 4; 2; − 3) C ( −3;1;5 ) Oxyz D Trong không gian , cho ba điểm , , Tìm tọa độ đỉnh ABCD hình bình hành D ( −6; − − 10 ) D ( 0;7;0 ) D ( −6; − 5;10 ) G ( −2; − 1;3) A r r B C D r r r r a = ( −1; 2; 3) b = ( 2; 1; ) c = 2a − b c Cho , , với tọa độ ( −4; 3; 3) ( −1; 3; ) ( −4; 1; 3) ( −4; 3; ) A B C D M ( 1; 2; 3) Oxyz Oy M Trong không gian , cho điểm Hình chiếu lên trục điểm R ( 1;0;0 ) S ( 0;0;3) P ( 1; 0;3) Q ( 0; 2;0 ) A B C r D r a = ( 2; − 5; 3) b = ( 0;2; −1) Oxyz Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai vectơ , Tọa độ vectơ r r r r x 2a + x = b thỏa mãn ( −4; 12; − ) ( −4; 12; − 3) ( −4; 2; − ) ( −4; 2; 3) A B .r D r C a = ( −5; 2; 3) b = ( 1; − 3; ) Oxyz Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho Tìm tọa độ r 1r 3r u = a− b vectơ r 11 35 r 11 19 u = − ; ; ÷ u = − ; − ; ÷ 12 12 12 12 A B r 29 35 r 29 19 u = − ; ; − ÷ u = − ; − ; − ÷ 12 12 12 12 C D Câu 36: Trong không gian r a vectơ ( 2; − 3;1) A Câu 37: Câu 38: Câu 39: Câu 40: Oxyz , cho vectơ B Câu 43: Câu 44: biểu diễn vectơ đơn vị ( 2;1; − 3) Oxyz C ( 1; − 3; ) r r r r a = 2i + k - j Tọa độ ( 1; 2; − 3) D r r a = ( 2; −1;3) b = ( 1;3; −2 ) Oxyz Trong không gian với hệ tọa độ , cho vectơ , Tìm tọa độ r r r c = a − 2b vectơ r r r r c = ( 0;− 7;− ) c = ( 4;− 7;7 ) c = ( 0;− 7;7 ) c = ( 0;7;7 ) A B C D A 2; 3; B 6; 2; ( ) ( ) Oxyz , Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm , Tìm tọa độ véctơ uuur AB uuur uuu r uuur uuur AB = ( 4;3; ) AB = ( 4; −1; −2 ) AB = ( −2;3; ) AB = ( 4; −1; ) A B C D A ( 3; 2;1) B ( −1; 0; ) Oxyz Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , Tìm tọa độ trung AB điểm đoạn I (2; 2; 6) I (−1; − 1;1) I (2;1; 3) I (1;1; 3) A B C D A ( 2;4; − 3) G ( 2;1;0 ) ABC G Cho tam giác biết trọng tâm tam giác có toạ độ Khi uuur uuur AB + AC có tọa độ ( 0;4; − ) ( 0; − 4;4 ) ( 0; − 9;9 ) ( 0;9; − ) A B C D Câu 41: Câu 42: r a A ( 1;3; −1) B ( 3; −1;5 ) M Trong hệ trục tọa uđộ , cho hai điểm , Tìm tọa độ điểm uur uuur MA = 3MB thỏa mãn hệ thức 7 13 7 M ; ;3 ÷ M ; ;1÷ M ; ;3 ÷ M ( 4; −3;8 ) 3 3 3 A B C D A ( 2; −1;3 ) G ( 2;1;0 ) ABC G Cho tam giác biết trọng tâm tam giác có toạ độ Khi uuu r uuur AB + AC có tọa độ ( 0;6;9 ) ( 0;9; − ) ( 0; − 9;9 ) ( 0;6; − ) A B C D A ( 2; 4; ) B ( 4;0;0 ) Oxyz ABCD A′B′C ′D′ Trong khơng gian với hệ tọa độ cho hình hộp Biết , , C ( −1; 4; − ) D′ ( 6;8;10 ) B′ Tọa độ điểm B′ ( 8; 4;10 ) B′ ( 6;12;0 ) B′ ( 10;8; ) B′ ( 13; 0;17 ) A B C D ABCD A′B′C ′D′ Oxyz A ( 1; 0;1) B ( 2;1; ) D ( 1; − 1;1) Trong không gian , cho hình hộp có , , , C ′ ( 4;5; − ) A′ Tính tọa độ đỉnh hình hộp A′ ( 3; 4; − ) A′ ( 4;6; − ) A′ ( 2;0; ) A′ ( 3;5; − ) A B C D A ( 0; 0; ) B ( 3; 0; ) Oxyz ABCD A′B ′C ′D′ Câu 46: Trong không gian với hệ toạ độ , cho hình hộp có , , ′ D ( 0; 3; ) D ( 0; 3; − 3) A′B′C , Toạ độ trọng tâm tam giác ( 2; 1; − ) ( 1; 2; − 1) ( 2; 1; − 1) ( 1; 1; − ) A B C D A ( −3; 2;1) Oxyz ABCD A′B′C ′D′ Câu 47: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hình hộp Biết , ′ ′ C ( 4; 2; ) B ( −2;1;1) D ( 3;5; ) ABCD A′B′C ′D′ A′ , , Tìm tọa độ hình hộp A′ ( −3; −3;3) A′ ( −3; −3; −3) A′ ( −3;3;1) A′ ( −3;3;3) A B C D Oxyz A ( −3;0; ) Câu 48: Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ , biết , ′ B ( 0; 2; ) D ( 0;0;1) A ( 1; 2;3 ) , , Tìm tọa độ điểm C ′ C ′ ( 7; 4; ) C ′ ( 10; 4; ) C ′ ( −13; 4; ) C ′ ( 13; 4; ) A B C D A ( 1; 0;1) Oxyz ABCD A′B′C ′D′ Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình hộp Biết , B′ ( 2;1; ) D′ ( 1; −1;1) C ( 4;5; −5 ) A′ ( a; b; c ) 2a + b + c , , Gọi tọa độ đỉnh Khi bằng? A B C D A ( −2;3;1) B ( 2;1;3) Oxyz Câu 50: Trong không gian cho biết ; Điểm trung điểm AB đoạn ? M ( 0; 2; ) N ( 2; 2; ) P ( 0; 2;0 ) Q ( 2; 2;0 ) A B C D M ( 1; − 2;3) N ( 3; 0; − 1) Oxyz I Câu 51: Trong không gian với hệ toạ độ , cho điểm , điểm MN trung uurđiểmr r r Mệnh đềuurnào sau r r đúng? r uur r r r OI = 2i − j + 2k OI = 4i − j + k OI = 2i − j + k B C D uur r A r r OI = 4i − j + 2k r r r r r r r a = ( 1; 2;3) ; b = ( −2; 4;1) ; c = ( −1;3;4 ) v = 2a − 3b + 5c Câu 52: Cho vectơ Vectơ có tọa độ Câu 45: A ( 3; 7; 23) B ( 7; 3; 23) C ( 23; 7; 3) D ( 7; 23; 3) Câu 53: Câu 54: Oxyz Trong không gian với hệ trục tọa độ G OAB tâm tam giác G ( 1; 2;1) G ( 2;1;1) A B Câu 56: Câu 58: Câu 59: ( 1; 2; −1) ( 2;1; −2 ) B G ( 6;3;3) D A ( 0;0;0 ) , B ( 3; 0;0 ) , ( 2;1; −1) C ( 1;1; −2 ) D A ( 3;- 2;3) , B ( 4;3;5) ,C ( 1;1;- 2) I ( 2; −2; −1) B I ( −2; 2;1) I ( 1; 0; ) C K ( 2; 4;6 ) D I ( 2;0;8 ) Oxyz K′ Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm , gọi hình chiếu vng góc Oz OK ′ K lên , trung điểm có tọa độ là: ( 0; 2; ) ( 0;0;3) ( 1;0;0 ) ( 1; 2;3) A B C D uuur r r r r AO = i + j − 2k + j Oxyz A Trong không gian với hệ tọa độ , cho vectơ Tọa độ điểm A ( 3; 5; −2 ) A ( 3; − 2; ) A ( −3; −17; ) A ( 3;17; ) A B C D uuuu r uuur ( Trong không gian với hệ tọa độ uuuu r MQ = ( 1; −3;2 ) A Câu 60: Tìm tọa độ trọng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm Tính tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành D ( 0; 4; −4 ) D ( −4; 0; ) D ( 4;0; ) D ( 0; −4; −4 ) A B C D A ( 3; −2;3) B ( −1; 2;5 ) Oxyz Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm Tìm tọa độ trung I AB điểm đoạn thẳng A Câu 57: C G ( 2;1;1) , B ( 2; 4; −1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có D ( 0;3;0 ) D′ ( 0;3; −3) Tọa độ trọng tâm tam giác A′B′C A Câu 55: cho điểm A ( 1; 2; ) Oxyz Tọa độ trọng tâm −5 − G ; ; ÷ 4 4 B G cho M ( 2;4; −3) MN = ( −1; −3;4 ) MP = ( −3; −3;3) tứ diện −3 G ; ; ÷ 4 4 ) , MNPQ , , là: −1 −1 G ; ; ÷ 4 4 −1 G ; ; ÷ 3 4 C D A ( −1; 2; 3) B ( 1; 0; ) Oxyz M Trong không gian với hệ tọa độ cho , Tìm tọa độ điểm thỏa mãn uuur uuur AB = 2.MA ? 7 7 M −2; −3; ÷ M −2;3; ÷ M ( −2;3; ) M ( −4;6; ) 2 2 A B C D Câu 61: Câu 62: Câu 63: Câu 64: Câu 65: Oxyz Trong không gian với hệ toạ độ ABCD D độ điểm cho tứ giác hình bình hành D ( 0;0;8 ) D ( 2;6; − ) D ( 4; − 2; ) D ( 2;6;8 ) A B C D A ( 1; −2; ) B ( 0; 2;5 ) C ( 5;6;3) ABC G Cho tam giác , biết , , Tọa độ trọng tâm tam giác ABC G ( 6;3;3) G ( 2; 2; ) G ( 4; 2; ) G ( 3;3; ) A B C D A ( −1;5;3) M ( 2;1; − ) Oxyz Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm Tìm tọa độ điểm B M AB biết trung điểm đoạn 1 1 B ;3; ÷ B ( 5; − 3; − ) B ( −4;9;8 ) B ( 5;3; − ) 2 2 A B C D r r r r u = −6i + j + 4k Oxyz Trong không gian , tìm tọa độ véc tơ r r r r u = ( −6;8; ) u = ( −3; 4; ) u = ( 6;8; ) u = ( 3; 4; ) A B C D Oxyz , Trong không gian cho hai điểm ABC C giác Tọa độ điểm A Câu 66: Câu 67: Câu 68: Câu 69: A ( 1;3; ) B ( 2; − 1;5 ) C ( 3; 2; − 1) , cho ba điểm , , Tìm toạ C ( 0;1; ) B C ( 0; 0; ) A ( 3; 4; ) , B ( −1; −2;2 ) Oxyz C G ( 1;1;3 ) C ( 1;1;5 ) M ( 1; 2;3) Trong không gian với hệ trục tọa độ cho điểm uuuu r MN tơ ( 2;3;5) ( 2; 2; ) ( −2; −2; −4 ) A r B C r r r a = ( −2;1;3) b = ( 1;2; m ) a b Cho , Vectơ vng góc với m=2 m=0 m =1 A B C trọng tâm tam C ( 1;3; ) D N ( 3; 4;7 ) ; Tọa độ véc- D ( 4; 6;10 ) m = −1 D r r a = 2;3;1 b = ( 5;7;0 ) ( ) Oxyz Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho bốn véc tơ , , r ur c = ( 3; −2; ) d = ( 4;12; −3) Mệnh đề sau sai r ?r r ur r r r a, b, c d = a +b−c A B ba véc tơ không đồng phẳng r r ur r r r ur r a+b = d +c 2a + 3b = d − 2c C D r r r r r u = 2i − j + 5k Oxyz u Trong không gian với hệ tọa độ , tìm tọa độ biết A Câu 70: Câu 71: r u = ( 5; −3; 2) B Câu 73: Câu 74: Câu 75: Câu 76: Câu 77: C r u = ( 2;5; −3) A ( −1; 2;0 ) Oxyz ABC Trong không gian với hệ toạ độ , cho tam giác với G ABC Tọa độ trọng tâm tam giác là: G ( 0; −1;1) G ( 1;0; −1) G ( 0;1; −1) A B C ( rr r O, i, j , k Trong không gian với hệ tọa độ đúng? uuur r r r M ( −2;3;1) OM = 2i + j + k A B Câu 72: r u = ( 2; −3;5) Oxyz ) , cho uuu r r r r OA = 3i + j − 5k uuur OM = ( 2; − 3; − 1) C M ( −1; − 3;2 ) r u = ( −3;5; 2) D B ( 3;1; ) C ( −2; 0;1) , , D G ( 0;1;1) Khẳng định sau D uuur r r r OM = 2i − j − k A Tọa độ điểm A ( 3; 4; −5 ) A ( −3; 4;5 ) A ( 3; 4;5 ) B C D uuu.u r MN = ( −1; −1;0 ) M ( 3;1;0 ) Oxyz , Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm Tìm tọa độ N điểm N ( −2; 0; ) N ( 2; 0;0 ) N ( 4; 2; ) N ( −4; −2;0 ) A B C D A ( 1; −2;3) Oxyz , A Trong khơng gian cho điểm Hình chiếu vng góc điểm mặt ( Oyz ) M M phẳng điểm Tọa độ điểm M ( 1; −2;0 ) M ( 0; −2;3) M ( 1;0;0 ) M ( 1;0;3) A B C D A ( −2; 4;1) B ( 1;1; −6 ) Oxyz ABC Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác với , , C ( 0; −2;3) G ABC Tìm tọa độ trọng tâm tam giác 5 2 1 G− ; ;− ÷ G − ;1; − ÷ G ; −1; ÷ G ( −1;3; −2 ) 3 3 2 2 3 A B C D A ( 1; 2;3) B ( −2;1; ) Oxyz M Trong không gian , cho hai điểm Tìm tọa độ điểm thỏa uuur uuur MB = MA 5 M − ; ; ÷ M ( 4;3; ) M ( −1;3;5 ) M ( 4;3;1) 2 2 A B C D A ( 2;5; ) B ( 2;7;7 ) Oxyz Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , Tìm tọa độ vectơ uur Trong không gian A ( −3; −4;5 ) A AB , cho uur 7 2 uur AB = 0;1; ÷ A B uur AB = ( 0; 2;7 ) Câu 79: uur r r a ( 1; 2; −1) , b ( 3; 4;3 ) Oxyz Câu 78: C AB = ( 4;12;7 ) D AB = ( 0; −2; −7 ) r x Trong không gian với hệ tọa độ , cho Tìm tọa độ biết r r r x =b−a r r r r x ( 2; 2; ) x ( 1;1; ) x ( −2; −2; ) x ( −2; −2; −4 ) A B C D M ( −1; 2;3) , N ( 0; 2; −1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm Tọa độ trọng tâm tam giác OMN 2 − ; ; ÷ − ; 2;1÷ C 3r 3 r D a = ( 2;1; −3) b = ( −1;3; −4 ) Oxyz Trong gian với hệ tọa độ , cho hai vectơ Vectơ r r không r u = 2a − b có tọa độ ( 5; −1; −2 ) ( 5;1; −2 ) ( 5; −1; ) ( −5; −1; ) A B C D A ( −2; 3; 1) B ( 3; 0; −1) C ( 6; 5; ) ABCD D Cho hình bình hành với , , Tọa độ đỉnh D ( 1; 8; ) D ( 11; 2; −2 ) D ( 1; 8; −2 ) D ( 11; 2; ) A B C D Oxyz ABC Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác với A ( 1; 0; ) B ( 1;1; ) C ( 1; −4; ) G ABC , , Trọng tâm tam giác có tọa độ ( 1;1; ) ( 1; −1; −2 ) ( 1; −1; ) ( −1; −1;2 ) A B C r D r a = (3; 0; 2) c = (1; −1;0) Oxyz Trong không gian với hệ tọa độ , Tìm tọa độ r r r ,r cho r hai véc tơ b 2b − a + 4c = véc tơ thỏa mãn biểu thức −1 −1 −1 ( ; −2;1) ( ; 2;1) ( ; 2; −1) ( ; −2; −1) 2 2 A B C D A ( 1; 3; 1) , B ( 4; 3; − 1) C ( 1; 7; 3) D Trong không gian cho ba điểm Nếu đỉnh thứ ABCD D hình bình hành có tọa độ là: ( −2; 7; 5) ( 2; 9; ) ( 2; 5; ) ( 0; 9; ) A B C D r r r r r r r rr O; i ; j ; k a = ( 2; −1; ) b = i − 3k a.b Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai vectơ Tính rr rr rr rr a.b = −13 a.b = a.b = −10 a.b = −11 A B C D ( 1; 0; −4 ) A Câu 80: Câu 81: Câu 82: Câu 83: Câu 84: Câu 85: ( −1; 4; ) B ( ) Câu 86: Trong không gian với hệ tọa độ G ABC Oxyz , cho tam giác Ox ABC ( y; z ) có A(1; 2;3), B( −3; 0;1), C ( −1; y; z ) Trọng tâm tam giác thuộc trục cặp (−2; −4) (2; 4) (1; 2) (−1; −2) A B C D r a = ( −1; − 2;3) Oxyz Câu 87: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vectơ Tìm tọa độ véctơ r r r b = ( 2; y; z ) a b , biết vectơ phương với vectơ r r r r b = ( 2; 4;6 ) b = ( 2; − 3;3) b = ( 2; 4; − ) b = ( 2; − 4;6 ) A B C D A ( 1; 2; −3) B ( 3; −2; −1) Oxyz Câu 88: Trong không gian , cho hai điểm Tọa độ trung điểm đoạn AB thẳng điểm I ( 2;0; −2 ) I ( 1; 0; −2 ) I ( 4; 0; −4 ) I ( 1; −2;1) A B C D r r r r r a = 2i + k - j Oxyz a Câu 89: Trong không gian , cho vectơ biểu diễn vectơ đơn vị Tọa độ r a vectơ ( 2;1; − 3) ( 1; − 3; ) ( 1; 2; − 3) ( 2; − 3;1) A B C D A ( 1; 2;1) B ( 2;1;3) C ( 0;3; ) Oxyz G Câu 90: Trong không gian , cho ba điểm , , Tìm tọa độ trọng tâm ABC tam giác 1 2 G ; ; ÷ G ( 1; 2; ) G ( 0;6;6 ) G ( 3;6; ) 3 3 A B C r r D r a = ( 2;0;3) , b = ( −3; −18;0 ) , c = ( 2;0; −2 ) Oxyz Câu 91: Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn véc tơ r r r b r r x = 2a − + 3c x Trong số sau, số tọa độ ? ( 3; −2;1) ( 0; −2;3) ( −3; 2;0 ) ( 3; −2;0 ) A B C D A ( 2;1; − ) B ( 5; − 3;3 ) C ( −1; − 1;10 ) Oxyz ABC Câu 92: gian , cho tam giác biết , , Tìm Trong khơng G ABC tọa độ trọng tâm tam giác G ( −2; − 1;3) G ( 2;1 − 3) G ( 2; −1;3) G ( 2; − − 3) B C D A M ( 0;1; ) , N ( 7;3; ) , P ( −5; − 3; ) Oxyz Câu 93: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm Tìm tọa uuuu r uuur MN = QP Q độ điểm thỏa mãn A Q ( −12; − 5; ) B Q ( −12;5; ) Oxyz C Q ( 12;5; ) Q ( −2; − 1; ) D A ( 1;3; ) B ( −2;3;0 ) ABC Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác có , , C ( −1; − 3; ) G ABC Tìm tọa độ trọng tâm tam giác G − ; 2; ÷ G − ;1; ÷ G − ;1;1 ÷ G ( −2;1; ) A B C D A 1;0; − , B 2;1; − , C 1; − 2; ( ) ( ) ( ) Oxyz Câu 95: Trong khơng gian vói hệ tọa độ , cho ba điểm Tìm tọa G ABC độ trọng tâm tam giác 1 1 1 1 G ;− ;− ÷ G ;− ;− ÷ G− ; ; ÷ G ( 4; −1; −1) 3 3 3 3 3 3 A B C D uuuu r r r Oxyz OM = −2k + j M M Câu 96: Trong không gian với hệ toạ độ , cho điểm thoả mãn Tìm toạ độ điểm M ( −2;1;0 ) M ( 1;0; −2 ) M ( 1; −2;0 ) M ( 0;1; −2 ) A B C uuurD A ( 1; 2;3 ) B ( x; y; z ) AB = ( 6;3; ) Oxyz Câu 97: Trong không gian cho điểm , Biết , ( x; y; z ) ( 11; 4;1) ( −7; −5; −5) ( 7;5;5 ) ( 5;1; −1) A B C D ( Oxy ) Oxyz Câu 98: Trong không gian với hệ tọa độ , điểm sau thuộc mặt phẳng ? N ( 1; 0; ) P ( 0;1; ) Q ( 0; 0; ) M ( 1; 2; ) A B C D A 1;1; − B 2;1; ( ) ( −3) Oxyz ABCD Câu 99: Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho hình bình hành với , , C ( 0; −2;5 ) D Đỉnh có tọa độ ( −1; −2;3) ( 1; 2; −3) ( −1; 2;3) ( 1; −2;3) A B C D r r a = ( 2; − 3; − 1) a = ( −1; 0; ) Oxyz Câu 100: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai véctơ Tìm tọa độ r r r u = 4a − 5b véctơ r r u = ( 3; − 12;16 ) u = ( 13; − 12; − 24 ) A B r r u = ( 13;12; − 24 ) u = ( 13; − 12; − 24 ) C D A ( 2;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0; ) Oxyz Câu 101: Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm D ( 2; 2; ) M,N CD MN AB I Gọi trung điểm Tọa độ trung điểm là: Câu 94: A I ( 1;1;1) B I ( 1;1;0 ) Câu 102: Trong không gian với hệ trục tọa độ độ điểm M thuộc đoạn C Oxyz , cho điểm MA = MB cho 2 M ;− ; 3 1÷ A ( 0; − 2; − 1) I ( 1; −1; ) D A ( 1; − 1; ) Tọa 1 1 M ;− ; ÷ 2 2 M ( 2; 0; ) C D M ( 3; −2;3) , I ( 1; 0; ) Oxyz , N Câu 103: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm Tìm tọa độ điểm MN I cho trung điểm đoạn 7 N 2; −1; ÷ N ( 0;1; ) N ( 5; −4; ) N ( −1; 2;5 ) 2 A B C D A 1; 2; B − 3; − 4; − ( ) ( ) Oxyz Câu 104: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm Tọa độ trung I AB điểm đoạn thẳng là: ( - 1; - 1; - 1) ( - 2; - 2; - 2) ( 4; 6; 8) ( 1;1;1) A B C D Oxyz Oy Câu 105: Trong không gian , điểm sau thuộc trục ? A A Câu 106: Câu 107: Câu 108: Câu 109: Câu 110: M ( −1; −3; −4 ) AB 1 I ; ;1÷ 2 M ( 0; 0; ) B B M ( 0; −2; ) M ( −1; 0; ) M ( 1; 0; ) C D A ( −2; 3; 1) , B ( 3; 0; −1) C ( 6; 5; ) ABCD D Cho hình bình hành với , Tọa độ đỉnh D ( 1; 8; −2 ) D ( 11; 2; ) D ( 1; 8; ) D ( 11; 2; −2 ) A B C D A ( 1; −4; −5 ) Oxyz A′ Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm Tọa độ điểm đối xứng với điểm Oxz A qua mặt phẳng ( 1; −4;5) ( −1; 4;5) ( 1; 4;5) ( 1; 4; −5 ) A B C.r r r D a ( 5; 7; ) b ( 3;0; ) c ( − 6;1; − 1) Oxyz Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba vectơ , , Tìm tọa ur r r r m = 3a − 2b + c độ vectơ ur ur ur ur m ( 3; − 22;3) m ( 3; 22; − 3) m ( 3; 22;3) m ( − 3; 22; − 3) A B C D Oxyz Oy Trong không gian , điểm sau thuộc trục tung ? M ( −10;0;10 ) P ( 10;0;0 ) N ( 0;0; − 10 ) Q ( 0; − 10;0 ) A B C D M ( 3; − 1; ) Oxyz Oy N Trong không gian , điểm đối xứng với qua trục N ( 3;1; ) N ( −3; − 1; − ) N ( 3; − 1; − ) N ( −3;1; − ) A B C D Câu 111: Trong không gian với hệ tọa độ Trọng tâm (1; 2) A G tam giác ABC Oxyz , cho tam giác Ox ABC ( y; z ) có A(1; 2;3), B (−3; 0;1), C (−1; y; z ) thuộc trục cặp là: (−1; −2) (−2; −4) (2; 4) B C r D r r b = ( 0; 2; −1) c = ( 1; 7; ) Câu 112: Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ: a = (2; −5;3) , , Tọa độ vectơ r r 1r r x = 4a − b + 3c là: r 55 r 1 x = 11; ; ÷ x = ; ;18 ÷ 3 3 A B r 53 r 121 17 x = 11; ; ÷ x = 5; − ; ÷ 3 3 C D r r r a = ( 1; − 1; ) b = ( 3;0; − 1) c = ( −2;5;1) Oxyz Câu 113: Trong không gian , cho vectơ , Toạ độ r r r r u = a + b − c là: vectơ r r r r u = ( 6; − 6;0 ) u = ( 6;0; − ) u = ( 0;6; − ) u = ( −6;6;0 ) A B C D A ( 1; 2; − 1) B ( −3; 4;3) C ( 3;1; − 3) Câu 114: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm , , , số điểm D cho điểm A, B, C , D đỉnh hình bình hành A B C D r r r r r b ( 2; 3; − ) Câu 115: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho a = 2i + j − k , Tìm tọa độ r r r x = 2a − 3b r x = ( −2; 3; 19 ) r x = ( −2; − 3; 19 ) r x = ( −2; − 1; 19 ) r x = ( 2; − 1; 19 ) A B C D uuu r A ( 2; −2;1) B ( 1; −1;3) Câu 116: Trong không gian Oxyz , cho điểm , Tọa độ vectơ AB ( −3;3; −4 ) ( 3; −3; ) ( −1;1; ) ( 1; −1; −2 ) A B C D A ( 1; −1;3 ) B ( 2; −3;5 ) C ( −1; −2; ) Câu 117: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm , , Biết uuur uuur uuuur r M ( a; b; c ) điểm thỏa mãn MA + MB − MC = , tính T = a − b + c A T = 11 B T = 10 C T = D T = A ( 0; − 1;1) B ( −2;1; − 1) C ( −1;3; ) Câu 118: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho , , Biết ABCD hình bình hành, tọa độ điểm D là: 2 D −1;1; ÷ D ( 1;3; ) D ( 1;1; ) D ( −1; − 3; − ) 3 A B C D A ( 3;1;0 ) , B ( 0; −1;0 ) , C ( 0;0; −6 ) Câu 119: Cho ba điểm Nếu tam giác A′B′C ′ thỏa mãn hệ thức uuur uuur uuuu r r A′A + B ′B + C ′C = có tọa độ trọng tâm là: ( 2; −3;0 ) ( 3; −2;1) ( 1; 0; −2 ) ( 3; −2; ) A B C D ... 11 19 u = − ; ; ÷ u = − ; − ; ÷ 12 12 12 12 A B r 29 35 r 29 19 u = − ; ; − ÷ u = − ; − ; − ÷ 12 12 12 12 C D Câu 36: Trong không gian r a vectơ ( 2; − 3 ;1) ... tọa độ ( 2;0; 1) ( 1; 1; −2 ) ( 1; 2 ;1) ( 1; 1 ;1) A B C D A ( 1; 2;3) , B ( 2; 4; ) Oxyz ABC Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác có tọa độ G ( 0; 2 ;1) C trọng tâm Khi đó, tọa độ. .. ( 1; 0; ) B ( 1; 1; ) C ( 1; −4; ) G ABC , , Trọng tâm tam giác có tọa độ ( 1; 1; ) ( 1; 1; −2 ) ( 1; 1; ) ( 1; 1; 2 ) A B C r D r a = (3; 0; 2) c = (1; 1; 0) Oxyz Trong không gian với hệ