CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨCI.ĐẠI CƯƠNG VỀ SỐ PHỨCII.BÀI TẬPVẤN ĐỀ 1: TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO CỦA SỐ PHỨCVẤN ĐỀ 2: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨCVẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỐ PHỨCVẤN ĐỀ 4: TẬP HỢP ĐIỂM – MAX, MIN CỦA MÔĐUL SỐ PHỨC VẤN ĐỀ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỐ PHỨCVẤN ĐỀ 6: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH VẤN ĐỀ 7: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC CHỨNG MINH MỘT SỐ ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁCVẤN ĐỀ 8: SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG ( Hẹn năm sau)III. BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ CÁC ĐỀ THI ĐH – CĐ ĐÃ QUA
Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc T VN ấ Sụ phc ong vai tro quan nh la cụng cu c lc nhm giai quyờt hiờu qua nhiờu bai toan sụ, giai tich, hinh hoc, sụ hoc va tụ hp Trong cac ki thi hoc sinh gioi toan phụ, quục gia, Olympic khu vc va quục tờ, nhiờu bai toan liờn quan ờn sụ phc hoc giai quyờt trờn quan iờm ap dung cac tinh chõt cua sụ phc Sụ phc cung la chuyờn quan trong cac ki thi tụt nghiờp THPT va thi H C Nhõn thc c iờu o, tụ toan trng THPT Lờ Quy ụn manh dan a mụt sụ quan iờm vờ chuyờn sụ phc, tiờn hanh hụi thao cung cac ụng nghiờp cum va cac trng ban phụ gop y xõy dng Chung tụi rõt mong c s gop y chõn t cac ban ụng nghiờp ờ chuyờn c hoan thiờn hn, hụi thao cụng tụt ep Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc CHUYấN ấ: Sễ PHC I AI CNG Vấ Sễ PHC II BAI TP VN ấ 1: TIM PHN THC, PHN AO CUA Sễ PHC VN ấ 2: DANG LNG GIAC CUA Sễ PHC VN ấ 3: PHNG TRINH TRONG TP Sễ PHC VN ấ 4: TP HP IấM MAX, MIN CUA MễUL Sễ PHC VN ấ 5: Hấ PHNG TRINH TRONG TP Sễ PHC VN ấ 6: NG DUNG Sễ PHC GIAI MễT Sễ BAI TOAN Hấ PHNG TRINH VN ấ 7: NG DUNG Sễ PHC CHNG MINH MễT Sễ NG THC LNG GIAC VN ấ 8: Sễ PHC TRONG HINH HOC PHNG ( Hen nm sau) III BAI TP TễNG HP VA CAC ấ THI H C A QUA Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc PHN I AI CNG Vấ Sễ PHC Khai niờm sụ phc Sụ Phc (dang sụ) co dang z = a + bi vi a, b ẻ R , a goi la phõn thc, b goi la phõn ao, i la sụ ao, i2 = z la sụ thc phõn ao cua sụ phc z bng (b = 0) z la sụ thuõn ao phõn thc cua sụ phc z bng (a = 0) Sụ va la sụ thuõn thc va la sụ thuõn ao ỡù a = a ' ù a + bi = a ' + b ' i (a,b,a ',b' ẻ R ) Hai sụ phc ùù b = b' ợ Tõp hp cac sụ phc ki hiờu la Ê va Ă è Ê Biờu diờn hinh hoc cua sụ phc Mụi sụ phc z = a + bi (a, b ẻ R ) xac inh mụt iờm M(a; b) hay xac inh r mụt vec t u = (a; b) mt phng (oxy) Ta co quan hờ tng ng 11 gia tõp cac sụ phc vi tõp hp iờm mt phng (oxy) hay tõp cac khụng gian vec t hai chiờu Do võy mt phng (oxy) goi la mt phng phc y b O a Tụng hai sụ phc, hiờu hai sụ phc ( a + bi ) + ( a '+ b'i ) = ( a + a ') + ( b + b') i ( a + bi ) - ( a '+ b'i ) = ( a - a ') + ( b - b') i Sụ ụi cua sụ phc z = a + bi la sụ phc z = a bi va ta ki hiờu sụ ụi cua sụ phc z la z Võy z = -a bi r r r r Vec t u biờu diờn sụ phc z, vec t u ' biờu diờn sụ phc z' thi vec t u + u ' r r biờu diờn sụ phc z + z va vec t u - u ' biờu diờn sụ phc z z Nhõn hai sụ phc ( a + bi ) ( a '+ b'i ) =( aa '- bb') + ( ab' + ba ') i k(a + bi ) = ka + kbi (k ẻ R ) Sụ phc liờn hp Sụ phc liờn hp cua sụ phc z = a + bi la sụ z = a - bi Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc z =z; z z' = z z' ; ổ z1 z1 ữ ữ z.z ' = z.z '; ỗ = ; z.z = a2 + b2 ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốz2 ứ z2 z la sụ thc z = z ; z la sụ ao z = - z Mụdul cua sụ phc Sụ thc z = a2 + b2 ẻ Ă goi la mụdul cua sụ phc z = a + bi uuur 2 z = a + b = zz = OM vi M ( a;b) la iờm biờu diờn sụ phc z z 0, " z ẻ C , z = z = z z = ; z - z' Ê z z' Ê z + z' z' z' Chia hai sụ phc z.z ' = z z ' ; Sụ nghich ao cua sụ phc z la sụ phc z- thoa man z.z- = Ki hiờu z- = ; z z- = z z' z '.z z '.z = z 'z- = = ; z z.z z z (z 0); z' = w z ' = wz z Cn bõc hai cua sụ phc w = x + yi la cn bõc hai cua sụ phc z = a + bi va chi ỡù x2 - y2 = a ù w2 = z ớù 2xy = b ùợ Sụ co mụt cn bõc hai la sụ w = Sụ z co hai cn bõc hai ụi la w va w Hai cn bõc hai cua sụ thc a > la a Hai cn bõc hai cua sụ thc a < la i - a Giai phng trinh bõc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C ẻ Ê , A 0) * Tinh D = B - 4AC = d2 , d la cn bõc hai cua * D 0: pt(*) co hai nghiờm phõn biờt z = - B d 2A B 2A Chu y: Nờu A, B, C la cac hờ sụ thc, z la nghiờm cua pt(*) thỡ z cung la * D = 0: pt(*) co mụt nghiờm (nghiờm kep) z = - Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc nghiờm cua pt(*) Nh võy nờu biờt c mụt nghiờm cua pt bõc hai co hờ sụ thc thỡ ta biờt c nghiờm lai 10 Dang lng giac cua sụ phc Mụi goc lng giac j = (Ox,OM ) goi la mụt Acgumen cua sụ phc z Khi o sụ phc ổ a b ữ ỗ ỗ z = a + bi = a + b ỗ + iữ = r ( cosj + i sin j ữ ữ ỗ ữ ố a2 + b2 a2 + b2 ứ 2 )ạ a b vi r = a2 + b2,cosj = ,sin j = goi la dang lng giac cua sụ phc z r r z = z = cosj + i sin j (j ẻ R ) 11 Nhõn chia sụ phc di dang lng giac Cho z = r (cosj + i sin j ) , z ' = r '(cosj '+ i sin j ') Khi o ự z.z ' = rr ' ộ ởcos(j + j ') + i sin(j + j ')ỷ z r = ộ cos(j - j ') + i sin(j - j ')ự ỷ z' r ' 12 Cụng thc Moavr: ( n ) ộr ( cosj + i sin j ) ự = r n ( cosnj + i sinnj ) , n ẻ N * ỳ ỷ ( cosj + i sin j ) n = cosnj + i sin nj 13 Cn bõc hai cua sụ phc di dang lng giac Sụ phc z = r (cosj + i sin j ) , (r > 0) co hai cn bõc hai la ổ j ổ j + k2p j j + k2p ữ ỗ ữ ữ rỗ = r cos + i sin , k = 0,1 ỗcos + i sin ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ 2ứ 2 ứ ố ố M rụng: Sụ phc z = r (cosj + i sin j ) (r > 0) co n cn bõc n la n ổ j + k2p j + k2p ữ ữ, k = 0,1, , n - rỗ cos + i sin ỗ ỗ ố ứ n n ữ PHN II BAI TP VN ấ TIM PHN THC, PHN AO CUA MễT Sễ PHC tỡm phn thc, phn ao cua mụt sụ phc ta a sụ phc o vờ dang sụ 1.1 MễT Sễ VI DU MINH HOA Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc VI DU Tim phõn thc phõn ao cua mụi sụ phc sau a z = ( + 4i ) ( - 5i ) + 7( - 3i ) b z = ( 1- 2i ) - ( - 3i ) ( + 2i ) c z = 3- i 1+ i +i i Bi giai a z = ( 26 + 2i ) + ( 28 - 21i ) = 54 - 19i Võy phõn thc cua z la 54, phõn ao cua z la -19 b z = ( - 3- 4i ) - ( 12 - 5i ) = - 15 + i Võy phõn thc cua z la -15, phõn ao cua z la c z = ( ) - i ( 1- i ) ( - 1- ) 2i = = 3- +1 i - 12 ( 2i ) 3- 2- 3- + i 2 - , phõn ao cua z la 2 - - 2 VI DU Tim phõn thc, phõn ao cua mụi sụ phc sau Võy phõn thc cua z la a z = ( 1+ i ) 10 b z = 1+ ( 1+ i ) + ( 1+ i ) + + ( 1+ i ) 20 Bi giai a Ta co ( 1+ i ) = 2i suy ( 1+ i ) 10 = ( 2i ) = 32i Võy phõn thc cua z la 0, phõn ao cua z la 32 b Nhõn thõy z la tụng cua 21 sụ hang õu cua mụt cõp sụ nhõn vi sụ hang õu la 1, cụng bụi la ( 1+ i ) Suy ra: 10 z= 1- ( 1+ i ) 21 1- ( 1+ i ) ( 2ự ộ 10 1- ờ( 1+ i ) ỳ ( 1+ i ) i ( ) ( 1+ i ) = 210 + 1+ 210i ỳ ỷ = = -i -i -i ) = - 210 + 210 + i Võy phõn thc cua z la - 210 , phõn ao cua z la 210 + Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc VI DU Tim phõn thc, phõn ao cua sụ phc z = ( +i ) 10 Bi giai 10 ộổ p ửự ổ 5p pữ 5p ữ 10 ỗ ỳ Ta co z = + i = ờ2ỗ ữ ữ cos + i sin = cos + i sin ỗ ữ ờỗ ỳ ỗ ỗ ữ ữ 6 3ữ ố ứ ố ứ ỷ ổ 3ử 5p 5p ữ ỗ ữ = 210 cos + 210 sin i = 210 + 210.ỗ i = 29 - 29 3i ữ ỗ ữ 3 ữ ỗ ố 2ứ ( ) 10 Võy phõn thc cua z la 29 , phõn ao cua z la - 29 VI DU Tim phõn thc, phõn ao cua sụ phc z = ( ( ) +i) +i 10 Bi giai 10 Ta co z = ( ( ) +i) +i 10 = ( ( ) 3- i) +i ộổ p ự pử ữ ờ2ỗ ỳ ữ cos + i sin ữ ờỗ ỗ ữỳ 6 ố ứ ỷ = ộổ - p ự p ữ ờ2ỗ ỳ ữ cos + i sin ữỳ ờỗ ỗ ữ 6 ố ứ ỷ 10 ổ 5p 5p ữ ỗ ữ cos + i sin ỗ ữ ỗ ổ 5p ữ 3 5p ố ứ ữ =2 = 25 ỗ cos + sin i ữ = 25i ỗ ữ ỗ ổ - 5p ữ 2 ứ - 5p ố ữ ỗ ữ + i sin ỗcos ữ ữ ỗ 6 ứ ố Võy phõn thc cua z la 0, phõn ao cua z la 25 VI DU Tim phõn thc va phõn ao cua sụ phc ( ) ( ) ( ) z = 1+ i + 1+ i + + 1+ i 10 Bi giai Tụng trờn la tụng cua 10 sụ hang õu tiờn cua cõp sụ nhõn Ta co ( z = 1+ i ( 3) ) 1+ i 10 i - ( = ) 3- i ổ 10p ổ 10p 10 10 ữ ỗ ữ ỗ cos + sin iỗ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỗ 3 ố ứ ố .(Hs lam tiờp) ữ 1ữ ữ ữ ứ Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc ( ) VI DU Tim phõn thc phõn ao cua sụ phc z biờt z = va z - i ẻ Ă Bi giai Goi phõn thc, phõn ao cua z lõn lt la x, y ( x;y ẻ Ă ) Ta co z = x2 + y2 = 25 (1) ( z - 3) i = ( x - yi - 3) i = y + ( x - 3) i ẻ Ă x=3 (2) T (1) va (2) ta tim c x = 3, y = hoc -4 VI DU 7(KD.2010) Tim sụ phc z thoa man z = va z2 la sụ ao Bi giai Gia s sụ phc z o la z = x+iy, x, y ẻ Ă ị x2 + y2 = ( ) 2 Ta lai co z = x - y + 2xyi la sụ ao x2 - y2 = (1) (2) ộx = y = ờx = y = - ờùỡ x = 2 ùỡù x + y = ờù ờớ T (1) va (2) co hờ phng trinh ùù x - y2 = ờùùợ y = - ùợ ờỡùù x = - ờớ ờùy = ởùợ Võy co sụ phc z thoa man la 1+ i ;- 1- i;1- i;- 1+ i VI DU C 2010 Cho sụ phc z thoa man ( - 3i ) z + ( + i ) z = - ( 1+ 3i ) Tim phõn thc va phõn ao cua sụ phc z Bi giai Gia s sụ phc z o la z = x+iy, x, y ẻ Ă ị z = x - yi Ta co ( - 3i ) z + ( + i ) z = ( 6x + 4y) + ( - 2x - 2y) i , - ( 1+ 3i ) = - 6i Suy ( - 3i ) z + ( + i ) z = - ( 1+ 3i ) ỡù 6x + 4y = ùớ ùù - 2x - 2y = - ợ Võy phõn thc, phõn ao cua sụ phc z lõn lt la -2, VI DU Tim cac cn bõc hai cua sụ phc 16 + 30i Bi giai ỡù x = - ù ùù y = ợ Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc Gia s w = x+iy, x, y ẻ Ă la cn bõc hai cua sụ phc 16 + 30i va chi ỡù x = - ùỡ x2 - y2 = 16 ỡùù x = ù ù ớ hoc ùù 2xy = 30 ùù y = ùù y = - ợ ợ ợ Võy co hai cn bõc hai cua sụ phc 16 + 30i la + 3i;- - 3i 1.2 BAI TP THC HANH Bi Tim phõn thc phõn ao cua mụi sụ phc sau 1ổ 1ử 3 ữ ỗ ữ i a ( + i ) - ( 3- i ) b ỗ 7ữ ỗ ữ 2i ố i ứ 33 ổ 10 1+ i ữ c ỗ ữ + ( 1- i ) + ( + 3i ) ( - 3i ) + ỗ ữ ữ ỗ i ố1- i ứ Bi Tim phõn thc, phõn ao cua mụi sụ phc sau a z = ( 1+ i ) ( c z10 + +i 50 ) ổ p pử ữ i 1+ 3i ỗcos - i sin ữ b ỗ ữ ữ ỗ 3ứ ố ( 49 ) 1 biờt z + = 10 z z Bi Tim phõn thc, phõn ao cua sụ phc z biờt z = va z - 7i z +1 ẻ Ă Bi Cho z1;z2 ẻ Ê thoa man: z1 = 3, z2 = , z1 - z2 = Tim phõn thc phõn ao cua sụ phc z = z1 z2 Bi Cho sụ phc z = x + yi ( x;y ẻ Ă ) Tim iờu kiờn cua x; y sụ phc ( 2- z) ( i + z) la sụ thuõn thc ( ) Bi Biờt sụ ( - z) i + z la mụt sụ thuõn ao, hay tim 2z - ( + i ) Baứi Tim phõn thc va phõn ao cua sụ phc z = (3 + 2i )(2 + 5i ) - (3 + i )3 (4 + 3i ) Baứi 8.Viờt sụ phc sau di dang a+bi a) (1+ i )2 - (1 i )2 b) (2 + i )3 - (3 - i )3 c) (3 + 4i )2 Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc ổ d) ỗ ữ ỗ - 3i ữ ữ ữ ỗ ố2 ứ (1+ 2i )2 - (1- i )2 e) (3 + 2i )2 - (2 + i )2 f) (2 - i )6 Baứi Cho cac sụ phc z1 = 1+ 2i, z2 = - + 3i, z3 = 1- i Tinh a) z1 + z2 + z3 2 b) z1z2 + z2z3 + z3z1 c) z1z2z3 z z z e) + + z2 z3 z1 d) z + z + z f) z12 + z22 z22 + z32 Baứi 10 Tim x, y cho a) (1- 2i )x + (1+ 2y)i = 1+ i b) x- y- + =i 3+ i 3- i Baứi 11 Phõn tich cac biờu thc sau nhõn t, vi a, b, c R: a) a2 + b) 2a2 + e) a4 + 16 c) 4a4 + 9b2 d) 3a2 + 5b2 g) a3 + f) a3 - 27 h) a4 + a2 + Baứi 12 Tim cac cn bõc hai cua cac sụ phc sau a) - 1+ 3i b) + 5i d) - + 12i c) - 1- 6i Baứi 13 Tim cac cn bõc hai cua cac sụ phc sau ổ 1+ i ữ e) ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ i ố ứ ổ 1- i 3ử ữ ữ ỗ f) ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố 3- i ứ g) 2 i h) i, i VN ấ 2: DANG LNG GIAC CUA Sễ PHC PHNG PHAP ổ ữ x y ỗ ỗ + iữ ữ= z ( cosj + i sin j Biờn ụi z = x + yi = x + y ỗ 2 2 ữ ỗ ữ ỗ x +y ứ ố x +y 2 ) Sau o s dung linh hoat cụng thc Moavr Sau õy l mụt sụ vi du c ban 2.1 MễT Sễ VI DU MINH HOA VI DU Viờt sụ phc z = - 1+ 3i di dang lng giac, t o tim mụt acgument cua z Bi giai ổ - 2p 2p ữ ổ ỗ ữ ỗ ỗ ữ iữ = cos + i sin ỗ Biờn ụi z = - 1+ 3i = 2ỗ + Suy ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ 2 3 ữ ố ứ ố ứ 10 Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc 2ử ổ ổ ổ ữ ỗ ổ ỗ ổ1 2 ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ , + , x , y = ỗ ( x,y) = ỗỗỗỗỗỗ + ữ ( ) ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ố ứ ố 21 ố ứứ ỗ ỗỗ ữ ố ố ổ ỗ2 ữ ữ ,ỗ ỗ ữ ữố ỗ 21ứ ử ữ ữ ữ ữ 2ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ứứ ữ ỡù ổ 12 ữ ùù x ỗ ữ 1=2 ỗ ữ ỗ ùù ữ ố 3x + y ứ VI DU Giai hờ phng trinh ổ ùù 12 ữ ữ 1+ =6 ỗ ùù y ỗ ữ ỗ ữ x + y ố ứ ùợ Bi giai Trc hờt, ta nhõn thõy iờu kiờn cho x, y la x 0, y t 3x = u 0, y = v Hờ phng trinh a cho tr ùỡù ổ 12 ữ ữ ùù u.ỗ ỗ1- ữ= ố u + v2 ữ ứ ù ỗ ổ ùù ỗ 12 ữ ữ =6 ùù v.ỗ1+ ữ ữ ố u +v ứ ùợ ỗ Nhõn thõy u2 + v2 la binh phng Mụ un sụ phc u + vi t z = u + iv , nhõn phng trinh th hai vi i va cụng vờ vi vờ vi phng trinh th nhõt ta co u + iv - 12( u - iv) u2 + v2 = Giai phng trinh z - + 6i z - 12 z z 12 = + 6i z2 z = + 6i z - 12 = + 6i z ổ2 ữ ỗ ữ + i z - 12 = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ tng t nh VD4 ta tim c nghiờm cua hờ phng trinh a cho ỡù ùù x + 3x - y = ù x2 + y2 VI DU 5.(Tap chi Kvant) Giai hờ phng trinh ùớ ùù x + 3y =0 ùù y - 2 x + y ùợ Bi giai Nhõn thõy x2 + y2 la binh phng Mụ un sụ phc x + yi t z = x + iy 0, nhõn phng trinh th hai vi i va cụng vờ vi vờ vi phng trinh th nhõt ta co 33 Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc x + iy + 3x - y - ( x + 3y) i Ta co z = x + iy , x2 + y2 3( x - iy) x2 + y2 = = x + iy + 3z z = 3( x - iy) x2 + y2 - ( y + ix) = x2 + y2 ( y + ix) = - iz = - i , nờn phng z z x2 + y2 z trinh trờn c viờt di dang i z + - = z2 - 3z + 3- i = z z ộz = + i ờz = 1- i Võy hờ phng trinh a cho co hai nghiờm la ( x, y) = ( 2,1) ,( x, y) = ( 1, - 1) 6.2 BAI TP THC HANH Bi Giai cac hờ phng trinh sau, n la x, y ẻ Ă ỡù x3 - 3xy2 = - ù a ùù y - 3x2y = - ùợ ỡù x3 - 3xy2 = ù b ùù y - 3x2y = - ùợ ỡù x x2 - 3y2 = - ù Bi Giai hờ phng trinh sau, n la x, y ẻ Ă : ùớ ùù y 3x2 - y2 = ùợ ( ( ) ) Bi Giai cac hờ phng trinh sau, n la x, y ẻ Ă ỡù x x4 - 10x2y2 + 5y4 = ù b ùớ ùù y y4 - 10x2y2 + 5x4 = - ùợ Bi Giai cac hờ phng trinh sau, n la x, y ẻ Ă ( ( ỡù x4 - 6x2y2 + y4 = ù a ùù x y - y3x = - ùợ ) ) ổ ổ ùỡù ùỡù ử ữ ữ ỗ ữ ữ = x + =3 ùù 10x ỗ ỗ1+ ù ỗ ữ ữ ù ữ ữ ỗ ỗ ố 5x + y ứ ố 2x + 5y ứ ù ù a b ổ ổ ùù ùù ữ ữ ỗ ữ ữ = y = ỗ1ỗ ùù y ỗ ù ữ ữ ùù ữ ữ ỗ ỗ x + y ố 5x + y ứ ố ứ ùợ ợ ỡù ổ 15 ữ ùù x ỗ ữ = 2+ ỗ ữ ỗ ùù ữ x + y ố ứ c ổ ùù 15 ữ ỗ ữ y + = 3- ỗ ùù ữ ỗ ữ x + y ố ứ ùợ Bi Giai cac hờ phng trinh sau, n la x, y ẻ Ă ( ) 34 Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc ỡù ùù x + 9x + 10y = ùù x2 + y2 b ùù 10x - 9y ùù y + =0 x + y2 ùùợ ỡù ùù x + 16x - 11y = ùù x2 + y2 a ùù 11x + 16y =- ùù y 2 x + y ùợ ỡù ùù x + 78y = 20 ùù x2 + y2 c ùù 78x = 15 ùù y + 2 x + y ùợ VN ấ MễT Sễ BAI TOAN AP DUNG Sễ PHC CHNG MINH NG THC LNG GIAC Dang lng giac cua sụ phc co thờ biờn ụi bng hai cach: S dung cụng thc Moa Vr cho ta biờu thc goc bụi cua acgumen S dung cac phep toan thụng thng cua sụ phc: cụng, tr, nhõn, chia cho ta mụt biờu thc khac Thc hiờn phep so sanh phõn thc, phõn ao cho nhng ng thc lng giac Chu y rng, cac tinh chõt cua sụ thc c bao toan nguyờn ven cho sụ phc, c biờt cac phep toan khai triờn luy tha, cụng thc Niu - Tn, cõp sụ nhõn Mt khac viờc s dung sụ phc cung mụt phep biờn ụi co thờ chng minh nhiờu ng thc khac Sau õy ta xet mụt sụ vi du ap dung sụ phc chng minh mụt sụ cụng thc lng giac thng gp va khai quat hoa mụt sụ cụng thc lng giac khac, t o thõy ro hn xuõt phat iờm hay gục rờ cua nhiờu bai toan quen thuục trng sụ thc 7.1 MễT Sễ VI DU MINH HOA VI DU Chng minh " x ẻ Ă ,sin3x = 3sin x - 4sin3 x;cos3x = 4cos3 x - 3cosx Bi giai Xet sụ phc di dang lng giac z = cosx + i sin x Theo cụng thc Moavr ta co z3 = ( cosx + i sin x) = cos3x + i sin3x Mt khac khai triờn ( cosx + i sinx) ( ) ( ) = 4cos3 x - 3cosx + 3sin x - 4sin3 x i ( 2) 35 ( 1) Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc T (1) va (2) suy cos3x = 4cos3 x - 3cosx;sin3x = 3sin x - 4sin3 x W Nờu võn dung khai triờn Niu - Tn, ta co thờ khai triờn sinnx, cosnx theo cac goc bụi cua x Sau õy ta xet ờn cụng thc bõc VI DU 2(B.tõp 4.36b SBTNC) Chng minh a " x ẻ Ă ,cos4 x = ( cos4x + 4cos2x + 3) ( sin5x - 5sin3x + 10sin x) 16 Bi giai Xet sụ phc di dang lng giac z = cosx + i sin x Ta co b " x ẻ Ă ,sin5 x = zn + 1 n = 2cos nx ; z = 2i sin nx zn zn ộ1ổ 1ửự ổ4 ổ 1ữ 1ỗ 2ữ ữ ỳ= 1ỗ ữ Do võy cos4 x = ỗ ữ ữ z + z + + C z + + C ỗ ỗ ỗ 4ữ ữ 2ữ ờ2ỗ ữỳ 24 ỗ ữ ữ ỗ ỗ z z z ố ứ ố ứ ố ứ ỷ = ( cos4x + 4cos2x + 3) ộ1 ổ 1ửự ộ ổ5 ự ổ ổ 1ử 1ử 1ỗ 2ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỳ= ỳ ữ ữ ữ ữ sin x = z C z C z + C z ỗ ỗ ỗ ỗ 5ỗ 5ỗ ữ ữ 5ỗ 5ữ 3ữ ờ2i ỗ ỳ ữ ữ ữ ữ z ứ z ứ ố ố z ứỳ ố z ứỷ i ố ỷ ( sin5x - 5sin3x + 10sin x) 16 = C sin5x - C 51 sin3x +C 52 sin x (pcm) 16 Mụt cach tụng quat ta xet vi du sau ( = ) VI DU Chng minh " x ẻ Ă , " m ẻ Ơ ta co ổ0 mử 2m m ữ ỗC 2m cos2mx +C 2m cos( 2m - 2) x + +C 2m cos2x + C 2m ữ a cos x = 2m- ỗ ữ ữ ỗ 2 ố ứ = b sin2m+1 m- ự ộ m k C + C cos2 m k x ( ) ỳỳ 2m 2m 22m- k=0 ỷ ( - 1) x= m 2m m ộ0 ự m ờC 2m+1 sin( 2m + 1) x - C 2m+1 sin( 2m - 1) x + + ( - 1) C 2m+1 sin xỳ ỳ ỷ 36 Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc ( - 1) = m m ồC 2m k=0 k 2m+1 ( - 1) k sin( 2m - 2k + 1)x Bi giai a Xet sụ phc di dang lng giac z = cosx + i sin x Ta co zn + 1 = 2cosnx; zn - n = 2i sin nx n z z 2m 2m- k 2m ộ1ổ 1ửự ổử 1 k k ữ ữ ỳ = Do võy cos x = ỗ z+ ữ C 2mz ỗ ỗ ữ ữ ữ 2m ờ2ỗ ỳ ữ ữ ỗ ỗz ứ z ố ứ ố k = o ỷ 2m Vi C 2km = C 22mm- k nờn thu gon cụng thc trờn c cos2m x = = ự ổ ổ ổ ộ 1ử 1ử ỗ 2m ỗ 2m- m- ỗ m ỳ ữ ữ ữ ữ ữ ữ C z + + C z + + + C z + + C ỗ 2m ỗ 2m ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ 2m ỗ ữ ữ 2m ỳ 22m z2m ứ z2m- ứ z2 ứ ố ố ố ỷ ộ mự m- C cos2 mx + C cos m x + + C cos2 x + C 2m ỳ ( ) 2m 2m 2m- 2m ỳ 2 ỷ m- 1 ộ mự k = 2m- C 2m cos2( m - k)x + C 2m ỳ (pcm) ờk=0 ỳ 2 ỷ = 2i sin nx ta co zn b T cụng thc zn - 2m+1 2m+1 sin ộ1 ổ 1ửự ỗz - ữ ỳ ữ x=ờ ữ ờ2i ỗ ỳ ữ ỗ ố z ứỷ ( - 1) = m 2m+1- k ổ k k ỗ- 1ữ C z ỗ ữ ữ 22m+1.i k=o 2m+1 ỗ ốz ữ ứ 2m+1 Vi C 2km = C 22mm- k nờn thu gon cụng thc trờn c sin2m+1 ( - 1) x= ộ ổ2m+1 ự ổ2m- ổ 1ử m m ữ ữ ỗỗz ỗỗz - ữ ỗ ờC ỳ ữ ữ ữ C + + C z ( ) 2m+1 ỗ 2m+1 ỗ ữ 2m+1 2m+1 ỗ 2m+1 ữ 2m- ữ ỗ ữ ữ ữ i z ứ z ứ ố ố ố z ứỳ ỷ ( - 1) = M ( - 1) m 22m = m 2m m ộ0 ự C 2m+1 sin( 2m + 1) x - C 21m+1 sin( 2m - 1) x + + ( - 1) C 2mm sin xỳ ờ ỳ ỷ m ồC k=0 k 2m+1 cos( 2m - 2k + 1)x (pcm) Thay mụt sụ gia tri c biờt cua m: m = 1, m = cho ta mụt sụ kờt qua quen 37 Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc thuục sau: 1ổ 1ử cos2x + ữ = ỗC cos2x + C ữ Vi m=1 cos x = ỗ ữ ữ 2ỗ ứ ố ( - 1) ộC sin3x - C 31 sin xự = ( 3sin x - sin3x) ỳ ỷ 1ổ0 ữ C cos4x +C 41 cos2x + C 42ữ ỗ Vi m=2 cos x = ỗ ữ ữ ứ ỗ ố sin3 x = = ( cos4x + 4cos2x + 3) 1ộ0 C sin5x - C 51 sin3x +C 52 sin xự ỳ ỷ Sau õy la mụt vi du quen thuục cac ng thc lng giac thng gp sin5 x = p p p + kp,b + kp,c + kp, k ẻ Â Chng minh rng 2 a tana + tanb + tanc = tana.tanb.tanc a + b + c = kp VI DU Cho a b tana.tanb + tanb.tanc + tanc.tana = a + b + c = p + kp Bi gia Xet sụ phc z = ( 1+ i tana) ( 1+ i tanb) ( 1+ i tanc) Khai triờn sụ phc z trờn theo quy tc nhõn hai sụ phc ta c z = ( 1- tana.tanb - tanb.tanc - tanc.tana) + ( tana + tanb + tanc - tana.tanb.tanc) i ( 1) Mt khac, s dung cụng thc Moa Vrụ cho sụ phc z trờn ta co z= ( cosa + i sina) ( cosb + i sinb) ( cosc + i sinc) = cosa.cosb.cosc cos( a + b + c) cosa.cosb.cosc T (1) va (2) suy ra: + sin( a + b + c) cosa.cosb.cosc i ( 2) a tana + tanb + tanc = tana.tanb.tanc sin ( a + b + c) = a + b + c = kp, k ẻ Â (pcm) b tana.tanb + tanb.tanc + tanc.tana = cos( a + b + c) = 38 Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc a +b + c = p + kp (pcm) Tng t nh võy ta co bai toan VI DU Cho a kp,b kp,c kp, k ẻ Â Chng minh rng a cot a.cot b + cot b.cot c + cot c.cot a = a + b + c = kp p + kp Bi giai Do dang lng giac cua sụ phc la cosa + i sin a nờn ta xet sụ phc b cot a.cotb.cot c = cot a + cotb + cot c a + b + c = z = ( cot a + i ) ( cotb + i ) ( cot c + i ) Khai triờn sụ phc z trờn theo quy tc nhõn hai sụ phc ta c z = ( cot a.cotb.cot c - cot a - cot b - cot c) + + ( cot a.cotb + cot b.cot c + cot c.cot a - 1) i ( 1) Mt khac, s dung cụng thc Moa Vr cho sụ phc z trờn ta co z= ( cosa + i sina) ( cosb + i sinb) ( cosc + i sinc) sina.sinb.sinc cos( a + b + c) sin( a + b + c) = + i ( 2) sina.sinb.sinc sina.sinb.sinc T (1) va (2) suy ra: a cot a.cot b + cot b.cot c + cot c.cot a = sin( a + b + c) = a + b + c = kp, k ẻ Â (pcm) b cot a.cot b.cot c = cot a + cotb + cot c cos( a + b + c) = a +b + c = VI DU Chng minh rng p 3p 5p = a cos + cos + cos 7 b sin p 3p 5p p + sin + sin = cot 7 14 Bi giai p p Xet sụ phc z = cos + i sin 7 Ap dung cụng thc Moa - Vr co 39 p + kp, k ẻ Â (pcm) Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc ổ p 3p 5p ổ p 3p 5p ữ ỗ ữ ữ z + z3 + z5 = ỗ + sin + sin + sin i ( 1) ỗcos + cos + cos ữ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ 7ứ ố 7 7ứ ố z7 - z Mt khac z + z + z = Do z7 = cosp + i sin p = - 1, suy z - z + z3 + z5 = 1 p = + cot i ( 2) 1- z 2 14 T (1) va (2) ta co p 3p 5p a cos + cos + cos = 7 p 3p 5p p + sin + sin = cot (pcm) 7 14 Tụng quat ta co bai toan VI DU Vi " a,b ẻ Ă ,b k2p Chng minh rng: b sin ổ n +1 nb ữ ỗ ữ sin a + b sin ỗ ữ n ỗ ữ 2 ứ ố a sin( a + kb) = b k=1 sin ổ n +1 nb ữ ỗ ữ cos a + b sin ỗ ữ n ữ ỗ ứ ố b cos( a + kb) = b k=1 sin Bi giai n Xet sụ phc k=1 ổn ỗ ữ sin a + kb i t zo = cosa + i sina , cos( a + kb) + ỗ ( )ữ ữ ỗ ữ ốk=1 ứ z = cosb + i sinb Theo cụng thc Moa Vr ta co zozk = ( cosa + i sina) ( coskb + i sinkb) = cos( a + kb) + i sin( a + kb) , " k = 1,2, ,n ổn ữ ỗ ữ sin a + kb i c biờn ụi nh sau: cos a + kb + Nh võy, tụng )ữ ( ) ỗỗốồ ( ữ ứ k=1 k=1 n n k=1 n n ổn ữ ỗ ộ ự i = ờcos( a + kb) + i.sin( a + kb) ỳ= zo.zk cos( a + kb) + ỗồ sin( a + kb) ữ ữ ỷ k=1 ữ k=1 ỗ ốk=1 ứ 40 Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc ( = zo z + z2 + z3 + + zn ) ( )( ) ) zn - z - zn - = zoz = zoz ( *) z- ( z - 1) z - ( Mt khac b cosb) = 4sin2 b b bổ p- b p - bử 2b ữ ỗ ữ z = 2sin i 2sin cos = 2sin cos + i sin ỗ ữ ữ ỗ 2 2ố 2 ứ )( ( ) z - z - = z.z - n z - = - 2sin ( z + z + 1) = 2( 1- nb nb nb nb ổ p + nb p + nbữ ữ + i 2sin cos = 2sin ỗỗcos + i sin ữ 2 2 ỗố 2 ữ ứ Ap dung cụng thc Moa Vr thu c nb - sin ổ ổ ử ổ ) n +1 ữ n +1 ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ zz = cos p + a + b + i sin p + a + b ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ b 2 ố ứ ố ứ ố ứ ( z - 1) ( z - 1) 4sin (z n )( - z- o nb nb sin ổ n +1 ổ n +1 ữ cosỗ ỗ ữ ữ = a + b + i sin a+ bữ ( * *) ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ b b 2 ố ứ ố ứ 4sin 4sin 2 T (*) va (**) so sanh phõn thc va phõn ao cua tụng ban õu ta co ổ n +1 nb ữ ỗ ữ sin a + b sin ỗ ữ n ỗ ữ ứ ố a sin( a + kb) = b k=1 sin ổ n +1 nb ỗ ữ cos bữ sin ỗa + ữ n ữ ỗ ứ ố b cos( a + kb) = (pcm) b k=1 sin Nh võy, vi mụi gia tri cua a, b cho ta mụt cụng thc Chng han cho a = - x , vi b = 2x k2p ta co ổ n2x n +1 ữ ỗ ữ cos x + x sin ỗ ữ n ữ ỗ 2 cosnx.sin nx sin2nx ố ứ cos( 2k - 1) x = = = x sin x 2sin x k=1 sin Nhõn xet rng, vi nhng gia tri c biờt cua n, x cho sin2nx = sin x sin 41 Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc n thi ta luụn co p cos( a + kb) = , Vi du ta chon x = 2n + k=1 T o, ta co mụt sụ kờt qua quen thuục sau: Vi n = 2, chon x = p p 3p , ta co cos + cos = 5 Vi n = 3, chon x = p p 3p 5p = , ta co cos + cos + cos 7 7 Vi n = 4, chon x = p p 3p 5p 7p , ta co cos + cos + cos + cos = 9 9 Vi n = 5, chon x = p , ta co 11 p 3p 5p 7p 9p + cos + cos + cos + cos = 11 11 11 11 11 Thụng qua phep lõy ao ham ta co bai toan VI DU Vi x k2p Chng minh rng: cos ' ộ ổ n +1 nx ự ữ ờsinỗ ỳ ữ x sin ữ n ỗ ỗ ữ 2ỳ ố ứ ỳ a k cos( kx) = ờ ỳ x k=1 ỳ sin ỳ ỳ ỷ ' ộ ổ n +1 nx ự ữ ờcosỗ ỳ ữ x sin ữ n ỗ ỗ ữ 2ỳ ố ứ ỳ b k sin( kx) = - ờ ỳ x k=1 ỳ sin ỳ ỳ ỷ Bi giai T vi du ta co ổ n +1 nx ữ ỗ ữ sin x sin ỗ ữ n ỗ ữ ố ứ sin kx = ( ) x k=1 sin 42 Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc ổ n +1 nx ỗ ữ cos xữ sin ỗ ữ n ữ ỗ ố ứ cos kx = ( ) x k=1 sin Lõy ao ham hai vờ ta c iờu phai chng minh 7.2 BAI TP THC HANH Bi Chng minh rng a cos p 3p 5p 7p 9p 11p + cos + cos + cos + cos + cos = 13 13 13 13 13 13 9p 5p p 3p 7p 11p + sin + sin - sin - sin - sin =26 26 26 26 26 26 Bi Chng minh rng b sin 2p 4p 6p 2np - + cos + cos + + cos = 2n + 2n + 2n + 2n + Bi Chng minh rng: ổ n +1 nx ữ sinỗ xữ sin ỗ ữ ữ ỗ ố ứ a sin x + sin2x + + sin nx = , vi x k2p x sin cos b 1+ cos2x + cos4x + + cos2nx = c sin2x + sin4x + + sin2nx = sin( 2n + 1) x 2sin x , vi x kp sin nx.sin( n + 1) x sin x , vi x kp ( m - 1) p = m Bi 4(*) Chng minh rng sin p sin 2p sin 2m 2m 2m 2m- Bi Chng minh rng a 1+ a cosx + a2 cos2x + + an cosnx = an +2 cosnx - an +1 cos( n + 1) x - a cosx + a - 2a cosx + b a sin x + a2 sin2x + + an sin nx = an+2 sin nx - an+1 sin( n + 1) x + a sin x + a - 2a cosx + Bi S dung cụng thc Moa Vr biờn ụi tan5x qua tanx 43 Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc III BAI TP TễNG HP Baứi 1.Tim sụ phc z, biờt z = va phõn ao cua z bng hai lõn phõn thc cua no Baứi 2.Tim hai sụ phc biờt tụng cua chung bng va tich cua chung bng Baứi 3.Tim sụ phc z biờt z = va z la sụ thuõn ao Baứi 4.Giai phng trinh x - ( + 4i ) x + 5i - = trờn tõp sụ phc Baứi 5.Giai phng trinh x + ( 1+ i ) x - - i = trờn tõp sụ phc Baứi 6.Giai phng trinh (1- i )z - 2( 1+ 2i ) z - = trờn tõp sụ phc Baứi 7.Giai phng trinh (2 - 3i )z + ( 4i - 3) z + 1- i = trờn tõp sụ phc Baứi 8.Giai phng trinh z4 - 6z2 + 25 = trờn tõp sụ phc ( ) 2 Baứi 9.Giai phng trinh (z + z) + z + z z - 12 = trờn tõp sụ phc Baứi 10 Giai phng trinh z4 - 4z3 + 7z2 - 16z + 12 = trờn tõp sụ phc Baứi 11 Giai phng trinh 2z4 - 2z3 + z2 + 2z + = trờn tõp sụ phc ỡù z2 + z2 = - 2i ù Baứi 12 Giai hờ phng trinh ớù trờn tõp sụ phc ùợ z1 + z2 = + i ỡù x + y = 3(1+ i ) ù Baứi 13 Giai hờ phng trinh ớù trờn tõp sụ phc ùợ x + y = 9(i - 1) Baứi 14 Tim tham sụ m phng trinh x2 + mx + 3i = co hai nghieọm z1, z2 thoa man iờu kiờn: z12 + z22 = Baứi 15 Trong mt phng toa ụ Oxy, hay tim tõp hp iờm biờu diờn sụ phc z thoa man ng thc + z = i - z Baứi 16 Trong mt phng toa ụ Oxy, hay tim tõp hp iờm biờu diờn sụ phc z thoa man ng thc z - z + 2i = z - i Baứi 17 Trong mt phng toa ụ Oxy, hay tim tõp hp iờm biờu diờn sụ phc z thoa man ng thc < z - i < Baứi 18 Trong mt phng toa ụ Oxy, hay tim tõp hp iờm biờu diờn sụ phc z 44 Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc thoa man ng thc z + + z - = 10 Baứi 19 Trong mt phng toa ụ Oxy, hay tim tõp hp iờm biờu diờn sụ phc z thoa man ng thc z - 4i + z + 4i = 10 Baứi 20 Tim sụ phc z thoa man: z- z - 3i = va = z- i z +i Baứi 21 Tim sụ phc z thoa man: z - 12 z- = va = z - 8i z- ỡù z - 2i = z ù Baứi 22 Tim sụ phc z thoa man: ớù z i = z ùùợ Baứi 23 Xet cac iờm A, B, C mt phng phc theo th t biờu diờn cac sụ phc 4i + 6i ;(1- i )(1 + 2i ); i- 3- i a) Chng minh ABC la tam giac vuụng cõn b) Tim sụ phc biờu diờn bi iờm D cho t giac ABCD la hinh vuụng Baứi 24 Giai phng trinh z2 + z = trờn tõp sụ phc Baứi 25 Tim sụ phc z thoa man ng thc: z2 + z = Baứi 26 Tim sụ phc z thoa man ng thc: z + z = - 3i Baứi 27 Cho sụ phc z = 1+ i Hay viờt dang lng giac cua sụ phc z5 19 Baứi 28 Viờt di dang lng giac cua sụ phc z = (1+ i ) va tinh 2008 2010 C 2011 - C 2011 +C 2011 - C 2011 + +C 2011 - C 2011 Baứi 29 Cho sụ phc z = 1- sin j + i cosj ổ pử ữ ỗ ữ < j < ỗ ữ ỗ ữ 2ứ ố Tim mụt acgumen cua sụ phc z Baứi 30 Tim sụ phc z thoa man: z- i = va z + co acgumen bng - p z + 3i Baứi 31 Trong mt phng toa ụ Oxy, hay tim tõp hp cac iờm trờn mt phng phc biờu diờn sụ phc z cho sụ phc 45 z- p co mụt acgumen bng z +2 Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc m ổ7 + i ữ ữ Tim m nguyờn dng z la sụ thc Baứi 32 Cho sụ phc z = ỗ ỗ ữ ữ ỗ ố4 - 3i ứ 2011 2011 Baứi 33 Tinh tụng S = (1+ i ) + (1- i ) Baứi 34 Cmr cac iờm biờu diờn cn bõc ba cua lõp mụt tam giac ờu Baứi 35 Tim sụ phc z co phõn thc; phõn ao la sụ nguyờn va thoa z phng trinh: z3 = 18 + 26i Baứi 36 Tim a,b ẻ Ă pt: z4 4z2 16z 16 = (z2 2z 4)(z2 + az + b), nghiờm ung vi z C Baứi 37 Cho biờt | z + |= Tim sụ phc z co mụdun ln nhõt, nho nhõt z Baứi 38 Tim gia tri nho nhõt cua | z | nờu | z - + 2i |= ấ THI AI HOC VA CAO NG QUA Baứi (CKA2009) Cho sụ phc z thoa man (1+ i )2(2 - i )z = + i + (1+ 2i )z Tim phõn thc va phõn ao cua z Baứi (CKA2009) Giai phng trinh sau trờn tõp sụ phc 4z - - 7i = z - 2i z- i Baứi (HKD2009) Trong mt phng toa ụ Oxy, tim tõp hp iờm biờu diờn cac sụ phc z thoa man iờu kiờn: z - (3 - 4i ) = Baứi (HKB2009) Tim sụ phc z thoa man: z - (2 + i ) = 10 va z.z = 25 Baứi (HKA2009) Goi z1 va z2 la hai nghiờm phc cua phng trinh 2 z2 + 2z + 10 = Tinh gia tri cua biờu thc A = z1 + z1 Baứi (HKA2010) Tim phõn ao cua sụ phc z, biờt z = ( + i )2(1Baứi (HKA 2010) Cho sụ phc z thoa man z = 2i ) (1- 3i )2 Tim mụun cua 1- i sụ phc z + iz Baứi (HKB2010) Trong mt phng toa ụ Oxy, tim tõp hp iờm biờu diờn 46 Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2012 Chuyờn ờ: Sụ Phc cac sụ phc z thoa man iờu kiờn: z - i = (1+ i )z Baứi (HKD2010) Tim sụ phc z thoa man z = va z2 la sụ thuõn ao Baứi 10 (CKA2010) Giai phng trinh z - (1+ i )z + + 3i = trờn tõp sụ phc 47 [...]... ử 2 ùỡù ổ 12 ữ ữ ùù u.ỗ ỗ1- 2 ữ= ố u + v2 ữ ứ ù ỗ 3 ớ ổ ùù ỗ 12 ử ữ ữ =6 ùù v.ỗ1+ 2 ữ 2 ữ ố u +v ứ ùợ ỗ Nhõn thõy u2 + v2 la binh phng Mụ un sụ phc u + vi t z = u + iv , nhõn phng trinh th hai vi i va cụng vờ vi vờ vi phng trinh th nhõt ta co u + iv - 12( u - iv) u2 + v2 = Giai phng trinh z - 2 3 + 6i z - 12 z z 12 2 = + 6i z2 z 3 2 = 2 3 + 6i z - 12 2 = + 6i z 3 ổ2 ử ữ ỗ ữ + 6 i z - 12 = 0 ỗ ữ... 4.Viờt di dang lng giac cua sụ phc sau: 6 a) (2 + i ) b) ( - 1+ i 3) 60 12 40 ổ 1+ i 3ử ữ c) (2 - 2i )7.ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố 1- i ứ Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2 012 Chuyờn ờ: Sụ Phc 100 ổ ử 1+ i ữ d) ỗ ữ ỗ ỗ ố1- i ữ ứ ổ p pử ữ ỗ ữ cos + i sin ỗ ữ ỗ ố 4 4ứ e) 1 ( 3- i) 17 Baứi 5.Tim phõn thc, phõn ao cua cac sụ phc sau a) ( cos12o + i sin12o ) 7 0 0 ự b) ộ ờ ở 2( cos30 + i sin30 ) ỳ ỷ 5 2010 2010 c) (1+... cua sụ 1+ i = 2ỗ nờn ữ ữ ỗ 4ứ ố 4 30 Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2 012 Chuyờn ờ: Sụ Phc ổ p ử p ỗ ữ + k2p + k2p ữ ỗ ữ 6 ỗ ữ 4 4 ỗ ữ w = 2ỗcos + i sin , k = 0,1,2 ữ ỗ ữ 3 3 ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Võy hờ phng trinh co ba nghiờm la ổ6 ử ổp k2p ử ổp k2p ử ữ 6 ữ ữ ỗ ữ ữ ữ 2cosỗ , 2sin + , k = 0,1,2 ỗ + ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ 12 3 ứ 3 ứ 12 ố ố ứ ( x,y) = ỗỗỗỗ ỡù x4 - 6x2y2 + y4 = 3 ùù VI DU 2 Giai hờ phng trinh... ứ Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2 012 Chuyờn ờ: Sụ Phc 2ử ổ ổ 2 ổ ử ữ ỗ ổ ử ỗ ổ1 1 2 2 2 ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ , + 2 , x , y = ỗ ( x,y) = ỗỗỗỗỗỗ + ữ ( ) ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ố ứ ố 3 21 7 ố ứứ ỗ ỗỗ 3 ữ ố ố ổ 2 ử ỗ2 2 ữ ữ ,ỗ ỗ ữ ữố ỗ 7 21ứ 2 ử ử ữ ữ ữ ữ 2ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ứứ ữ 2 ỡù ổ 12 ử ữ ùù x ỗ ữ 1=2 ỗ ữ ỗ ùù ữ ố 3x + y ứ VI DU 4 Giai hờ phng trinh ớ ổ ùù 12 ử ữ ữ 1+ =6 ỗ ùù y ỗ ữ ỗ ữ 3 x + y ố... THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2 012 Chuyờn ờ: Sụ Phc Võy phng trinh a cho co 2 nghiờm la z = 3 + i , z = 1+ 2i ( ) 2 ( ) VI DU 5 Giai phng trinh vi z la sụ phc: z2 + z + 4 z2 + z - 12 = 0 Phng trinh trờn la phng trinh bõc 4 phai co u 4 nghiờm ( Tinh ca nghiờm bụi ) Trong phng trinh co biờu thc z2 + z chung nờn ta giai nh sau Bi giai ột = - 6 2 2 ờ t = z + z t + 4 t 12 = 0 t , ta co pt: ờt = 2 ờ ở... +i Bi 11 Xac inh tõp hp cac iờm trong mt phng phc biờu diờn cac sụ phc z thoa man tng iờu kiờn sau: e w = 27 Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2 012 Chuyờn ờ: Sụ Phc p a Mụt acgumen cua z - ( 1+ 2i ) bng 6 b Mụt acgumen cua z + i bng mụt acgumen cua z - 1 Bi 12 Xac inh tõp hp cac iờm M trong mt phng biờu diờn cac sụ phc z sao cho z- 2 p co mụt acgumen bng z +2 3 VN ấ 5: GIAI H PHNG TRINH TRONG TP Sễ... mụt nghiờm thc Baứi 12 Tim tõt ca cac sụ phc z sao cho (z - 2)(z + i ) la sụ thc Baứi 13 Giai cac phng trinh trung phng a) z4 - 6z2 + 25 = 0 b) z4 - 24(1- i )z2 + 308 - 144i = 0 c) z4 + 6(1+ i )z2 + 5 + 6i = 0 d) z4 - 8(1- i )z2 + 63 - 16i = 0 Baứi 14 Cho z1, z2 la nghiờm cua phng trinh: z2 - ( 1+ i 2) z + 2 - 3i = 0 Tinh gia tri cua cac biờu thc sau 2 2 a) z1 + z2 3 3 c) z1 + z2 b) z12z2 + z1z22 ổ1 ử... ỗ ữ ữ z + + z + ỗ d) 1 ỗ e) z2 z1 + z1z2 ữ ữ 2ỗ ỗ ỗ ỗz1 z2 ữ ốz2 z1 ữ ứ ố ứ f) z1 z2 + z2 z1 Baứi 15 Cho x1, x2 la hai nghiờm cua phng trinh: x2 - x + 1 = 0 Tinh gia tri cua cac biờu thc: a) x12010 + x22010 b) x12011 + x22011 n n c) x1 + x2 , n ẻ N Baứi 16 Tim hai sụ biờt tụng va tich cua chung la a) 2 + 3i va - 1+ 3i b) 2i va - 4 + 4i Baứi 17 Tim phng trinh bõc hai vi hờ sụ thc nhõn lam nghiờm a)... (2 + i )(3 - i ) h) a = i 51 + 2i 80 + 3i 45 + 4i 38 i) a = 5+ i 2- i Baứi 18 Tim tham sụ m ẻ Ă ờ phng trinh z2 - mz + m + 1 = 0 co hai nghiờm z1, z2 thoa man iờu kiờn: z12 + z22 = z1z2 + 1 21 Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2 012 Chuyờn ờ: Sụ Phc Baứi 19 Tim tham sụ m ẻ Ă ờ phng trinh z2 - 3mz + 5i = 0 co hai nghiờm z1, z2 thoa man iờu kiờn: z13 + z23 = 18 Baứi 20 Cho z1, z2 la nghiờm phng trinh... 2Z 3 + 3Z 2 + 2Z + 2 = Z 2 + 1 Z 2 + aZ + b rụi giai phng trinh Z 4 + 2Z 3 + 3Z 2 + 2Z + 2 = 0 trờn Ê Baứi 3.Giai cac phng trinh sau trờn tõp sụ phc ( x la õn) 19 Trng THPT Lờ Quy ụn, Hai Phong, nm 2 012 Chuyờn ờ: Sụ Phc a) x2 - 3.x + 1 = 0 c) 3x2 - x + 2 = 0 b) 3 2.x2 - 2 3.x + 2 = 0 e) (x + 2)5 + 1 = 0 d) 2x4 + 16 = 0 Baứi 4.Giai cac phng trinh sau trờn tõp sụ phc ( z la õn) a) z2 + 4z + 10 = 0 b)