Đang tải... (xem toàn văn)
Chương I: Công thức lượng giácBài 1: Chứng minh rằng: Bài 2: Rút gọn biểu thức: Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào Bài 4: Chứng minh rằng: Bài 5: Cho tam giác ABC tùy ý với ba góc nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: Bài 7: Cho hàm số Tìm giá trị của để xác định với mọi .Bài 8: Chứng minh rằng: Bài 9: Chứng minh rằng: Bài 10: Cho tam giác ABC chứng minh rằng: Bài 11: Chứng minh rằng: Bài 12: Chứng minh rằng:
H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao Chng I: Cụng thc lng giỏc Bi 1: Chng minh rng: Bi 2: Rỳt gn biu thc: Bi 3: Chng minh cỏc biu thc sau khụng ph thuc vo Bi 4: Chng minh rng: Bi 5: Cho tam giỏc ABC tựy ý vi ba gúc nhn Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: Bi 6: Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc: Bi 7: Cho hm s Tỡm giỏ tr ca xỏc nh vi mi Bi 8: Chng minh rng: Bi 9: Chng minh rng: Bi 10: Cho tam giỏc ABC chng minh rng: Bi 11: Chng minh rng: Bi 12: Chng minh rng: Bi 13: Chng minh rng: Bi 14: Chng minh rng: Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao Bi 15: Chng minh rng: Bi 16: Chng minh rng: Bi 17: Tớnh giỏ tr biu thc Bi 18: Chng minh rng: Bi 19: Cho tam giỏc ABC, chng minh rng: Bi 20: Cho tam giỏc ABC chng minh rng: Bi 21: Cho tam giỏc ABC chng minh rng: Bi 22: Cho tan giỏc ABC chng minh rng: Bi 23: Cho tam giỏc ABC chng minh rng: Bi 24: Chng minh rng: Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao Chng II: Phng trỡnh lng giỏc c bn PP: Dựng cỏc phộp bin i lng giỏc rỳt gn phng trỡnh, a phng trỡnh lng giỏc v phng trỡnh lng giỏc c bn.(Thụng qua phng trỡnh cú dng tớch cỏc biu thc nh thc bc nht) Bi 1: Tỡm nghim nghim ỳng phng trỡnh Bi 2: Gii phng trỡnh: Bi 3: Gii phng trỡnh: Bi 4: Gii phng trỡnh: Bi 5: Tỡm cỏc nghim tha ca phng trỡnh: Bi 6: Gii phng trỡnh: Bi 7: Gii phng trỡnh: Bi 8: Gii phng trỡnh: Bi 9: Gii phng trỡnh: Bi 10: Gii phng trỡnh: Bi 11: Gii phng trỡnh: Bi 12: Gii phng trỡnh: Bi 13: Gii phng trỡnh: Bi 14: Gii phng trỡnh: Bi 15: Gii phng trỡnh: Chỳ ý: Khi gii cỏc phng trỡnh lng giỏc cú cha cú cha n mu hay cha cn bc chn ta phi t iu kin phng trỡnh xỏc nh Ta s dựng mt cỏc cỏch sau kim tra iu kin xem cú nhn nghim hay khụng +) Thay cỏc giỏ tr x tỡm c vo iu kin v th li xem cú tha Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao +) Biu din im ngn ca cung iu kin v im ngn ca cỏc cung tỡm c trờn cựng mt ng trũn lng giỏc Ta s loi b ngn cung ca nghim cú trựng vi ngn ca cung iu kin, +) So sỏnh vi iu kin quỏ trỡnh gii phng trỡnh +) Gii phng trỡnh vụ nh loi nhng cung trựng Bi 16: Gii phng trỡnh: Gii +) Vi iu kin trờn phng trỡnh tng ng vi: +) Kim tra iu kin: Cỏch 1: Thay vo iu kin ban u: Cỏch 2: Biu din im ngn ca cung iu kin v cung nghim tỡm c trờn ng trũn lng giỏc ta thy: im ngn ca cung nghim tỡm c v im ngn ca cung nghim khụng trựng ú giỏ tr x tỡm c l nghim ca phng trỡnh ó cho Cỏch 4: Xột phng trỡnh Bi 17: Gii phng trỡnh: Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao Bi 18: Gii phng trỡnh: Bi 19: Gii phng trỡnh: Gii +) Vi iu kin trờn phng trỡnh ó cho tng ng vi: Bi 20: Gii phng trỡnh: Bi 21: Gii phng trỡnh: Bi 22: Gii phng trỡnh: Bi 23: Gii phng trỡnh: Bi 24: Gii phng trỡnh: Bi 25: Gii phng trỡnh: Bi 26: Gii phng trỡnh: Bi 27: Gii phng trỡnh: Bi 28: Gii phng trỡnh: Bi 29: Gii phng trỡnh: Bi 30: Gii phng trỡnh: Bi 31: Gii phng trỡnh: Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao Bi 32: Gii phng trỡnh: Gii +) Vi iu kin trờn phng trỡnh tng ng vi: +) Kim tra iu kin: Biu din im ngn ca cung nghim v cung iu kin trờn ng trũn lng giỏc ta c: Nhỡn trờn ng trũn lng giỏc ta thy phng trỡnh nhn nghim ng vi im Vy pt nhn nghim: Bi 33: Gii phng trỡnh Gii Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao +) Vi iu kin trờn phng trỡnh tng ng vi: +) Kim tra iu kin Vy phng trỡnh nhn nghim Bi 34: Gii phng trỡnh: Gii +) Vi iu kin trờn phng trỡnh tng ng vi +) So sỏnh vi iu kin a) Xột phng trỡnh: b) Xột phng trỡnh: Vy phng trỡnh cú nghim Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao Chng III: PHNG TRINH BC HAI VA BC CAO ễI VI MễT HAM LNG GIAC Dng t õn ph iu kin asin2 x + bsinx + c = acos2 x + bcosx + c = t = sinx t = cosx - 1Ê t Ê - 1Ê t Ê atan2 x + btanx + c = t = tanx acot2 x + bcot x + c = t = cot x p + kp , (k ẻ Â) x kp , ( k ẻ Â ) xạ Nờu t t = sin2 x hoc t = sinx thỡ iu kin l Ê t Ê (tng t cho cosx ) Mụt sụ hng ng thc lng giỏc va mụi liờn hờ + sin2x = sin2 x + cos2 x + 2sinx cosx = ( sinx + cosx) 1- sin2x = sin2 x + cos2 x - 2sinx cosx = ( sinx - cosx) sinx cosx = 2 sin2x 3 sin x + cos x = ( sinx + cosx) ( 1- sinx cosx) 3 sin x - cos x = ( sinx - cosx) ( + sinx cos x ) tanx + cot x = sinx cosx sin2 x + cos2 x + = = cosx sinx sinx cosx sin2x cosx sinx cos2 x - sin2 x 2cos2x = = = 2cot x sinx cosx sinx cosx sin2x 1 + 1cos4x sin4 x + cos4 x = 1- sin2 2x = + cos2 2x = 2 cot x - tanx = ( )( ) 4 2 2 cos x - sin x = sin x + cos x cos x - sin x = cos2x sin6 x + cos6 x = sin4 x + cos4 x - sin2 x cos2 x = 1- ( + 3cos4x sin 2x = ) 6 4 2 cos x - sin x = cos2x sin x + cos x + sin x cos x x = cosx ổ pử ổ pử ữ ỗ ữ ữ x = 2cos xm ữ ỗ ỗ sinx cosx = 2sinỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ 4ứ 4ứ ố ố 1+ tanx tan cosx cos2 x 1- sin2 x + sinx = = = (mi liờn h gia sinx v cosx) 1- sinx cosx ( 1- sinx) cosx cosx ( 1- sinx) Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao Bai Gii phng trỡnh: cos4x + 12sin x - = ( *) (tuyờn sinh Cao ng khụi A, B, D nm 2011) Trong bi toỏn toỏn cú cha hai cung x v 4x nờn ta a v cựng mt cung l 2x bng cụng thc nhõn ụi ca cos4x = 2cos2 2x - v cụng thc h bc sin2 x = 1- cos2x T ú, a ta v phng trỡnh bc hai theo cos2x Gii ( *) 2cos2 2x - 1+ 6( 1- cos2x) - = cos2 2x - 3cos2x + = ùỡù t2 - 3t + = ùù t = cos2x, t Ê ùợ ột = t = ờt = cos2x, t Ê cos2x = x = kp , ( k ẻ Â ) 4 Bai Gii phng trỡnh: cos x - sin x + cos4x = ( *) (ờ thi tuyờn sinh Cao ng Xõy dng sụ nm 2007 Trong vớ d ny, cung tụn ti hai cung khỏc x v 4x nờn ta a v cựng mt cung l 2x , nhng ln ny cn phi kờt hp gia hng ng thc v cụng thc nhõn ụi: ( cos x) - ( sin x) 2 2 ( )( ) = cos2 x - sin2 x sin2 x + cos2 x = cos2x Cũn cos4x ta se ỏp dng cụng thc nhõn ụi nh trờn c phng trỡnh bc hai theo cos2x Gii ( *) ( cos x )( ) sin2 x cos2 x + sin2 x + 2cos2 2x - = ộcos2x = - 2cos 2x + cos2x - = ờcos2x = ộ ờx = p + kp ( k,l ẻ Â ) ờx = p + lp ổ cos3x + sin3x ữ ữ sinx + = + cos2x ỗ Bai Gii phng trỡnh: 5ỗ ữ ỗ ữ 1+ 2sin2x ứ ố ( *) , " x ẻ ( 0;2p) (Trich thi tuyờn sinh hoc khụi A nm 2002 Trong bi toỏn ny, cú cha ụng thi ba cung x,2x,3x v ta khụng th a cung x ca sinx v cung 2x c (khụng cú cụng thc lng giỏc no), ú chi cũn cỏch nht l a ba cung ny v cựng cung x Nhn thy rng, vờ trỏi phng trỡnh cú cha cos3x + sin3x , ta nờn phõn tớch hai thnh phn ny trc trỏnh lp li v di dũng gii phng trỡnh Cũn cos2x tt nhiờn a v cung x bng cụng thc nhõn ụi: cos2x = cos2 x - sin2 x = 2cos2 x - = 1- 2sin2 x , nhng ba cụng thc ú, ta se ỏp dng cụng thc no ? Cõu tr li l "da vo s biờn ụi ca vờ trỏi chn cụng thc phự hp" Gii iu kin: 1+ 2sin2x sin2x Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao ( ) ( ) = - 3( cosx - sinx) + 4( cos x - sin x) = - 3( cosx - sinx) + 4( cos x - sin x) = ( cosx - sin x) ộ - + 4( cos x + cosx sin x + sin x) ự ỳ ỷ 3 Ta cú: cos3x + sin3x = 4cos x - 3cosx + 3sinx - 4sin x 3 3 2 = ( cosx - sinx) ( 1+ 2sin2x) ổ ( cosx - sinx) ( + 2sin2x) ửữ ỗ ữ ỗ = + cos2x ữ ( *) 5ỗỗsin x + ữ ữ 1+ 2sin2x ữ ỗ ố ứ 5( sinx + cosx - sinx) = 2cos2 x - ộ ờcosx = p 2cos x - 5cosx - = x = + k2p , ( k ẻ Â ) cosx = ( L ) Kờt hp vi iu kin, ta c h nghim l x = sin2x = p + k2p,( k ẻ Â ) 3 - 2 ộ ờx = p Do x ẻ ( 0;2p) nờn ờx = p sin3x sin5x = ( *) ( thi tuyờn sinh hoc Thuy Li nm 2000) : T vic xut hin hai cung 3x, 5x = x + 4x , ta cú th a chỳng v cựng mt cung x theo cụng thc nhõn ba v cng cung xut hin nhõn t chung (cỏch gii 1) Hn na, bi xut hin s v , ta cung cú th tỏch = + v nhúm chỳng mt cỏch khộo lộo li vi nhau, ỏp dng cụng thc tụng thnh tớch (cỏch gii 2) Bai Gii phng trỡnh: Gii ( *) ( ) 5sin3x = 3sin( x + 4x) 3sinx - 4sin3 x = 3( sinx cos4x + cosxsin4x) ( ) 5sinx ( - 4sin x) = 3sinx ( cos4x + 4cos xcos2x) sin x ộ - 4sin x) - 3( cos4x + 4cos x cos2x) ự =0 ỳ ở( ỷ sinx ( - 12cos 2x + 4cos2x + 8) = sinx ( 3cos 2x + cos2x - 2) = 5sinx - 4sin2 x = 3( sinxcos4x + 2cosxsin2x cos2x) 2 Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang 2 Page 10 H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao Bi 5: Gii phng trỡnh: Bi 6: Gii phng trỡnh: Bi 7: Gii phng trỡnh: Bi 8: Gii phng trỡnh: Bi 9: Gii phng trỡnh: sin x + sin x + cos3 x = Gii: hay (2) Vi Vi phng trỡnh : t = Vi iu kin Khi ú t2 = hay Vy (2) tr thnh Ta a v phng trỡnh lng giỏc c bn Bi 10: Gii phng trỡnh: + sin x + cos3 = sin x * Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page 23 H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao Gii: (*) t = Vi iu kin Khi ú t2 = hay Vy phng trỡnh thnh ( Gii phng trinh ta c t = , (loi) Bi 11: Gii phng trỡnh: ( s inx + cos x ) = tan x + cot x Gii: iu kin ca phng trỡnh: Khi ú phng trỡnh sinx+cosx) t = Vi iu kin Khi ú t2 = hay Khi ú phng trỡnh thnh : Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page 24 H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao Vy Bi 12: Gii phng trỡnh: 3(cot x cos x) ( tan x s inx ) = Bi 13: Gii phng trỡnh: ( + tan x ) x tan x tan x + = 8cos ữ cos x Bi 14: Gii phng trỡnh: 2sin x s inx = cos x cos x + cos x Gii; Phng trỡnh Vi phng trỡnh (2) t = Vi iu kin Khi ú t2 = hay Bi 15: Gii phng trỡnh: 1 1 + ( s inx + cos x ) + + tan x + cot x + ữ= 2 sin x cos x Bi 16: Gii phng trỡnh: cos3 x + sin x = sin x.cosx Bi 17: Gii phng trỡnh: tan x ( sin x ) + cos x = Bi 18: Gii phng trỡnh: sin x + sin x + sin x + sin x = cos x + cos x + cos x + cos x Bi 19: Gii phng trỡnh: 2sin x + cot x = 2sin x + Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page 25 H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao Bi 20: Gii phng trỡnh: sin x + sin x ữ = Bi 21: Gii phng trỡnh: + tan x = sin x + cos x Bi 22: Gii phng trỡnh: sin x cos x = sin x cos x Bi 23: Gii phng trỡnh: cot x tan x = sin x + cos x Bi 24: Gii phng trỡnh: cos3 x + sin x = cos x Bi 25: Gii phng trỡnh: cos x + sin x.cos x + sin x.cos x = ( sin x + cos x ) Bi 26: Gii phng trỡnh: + cos x sin x = sin x Bi 27: Gii phng trỡnh: cos3 x + cos x + 2sin x = Bi 28: Gii phng trỡnh: cos x + = ( cos x ) ( sin x cos x ) Bi 29: Gii phng trỡnh: Li gii Bi 30: Gii phng trỡnh: Tỡm nghim thuc ca phng trỡnh sau Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page 26 H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao (11) Li gii T ú ta cú cỏc nghim thuc ca phng trỡnh trờn l: Bi 31: Gii phng trỡnh: : (12) (A, 2003) Li gii iu kin Ta cú TH1: TH2: Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang (Vụ nghim) Page 27 H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao Chng VI: Phng trỡnh ng cp PP: Bin i phng trỡnh v phng trỡnh i s vi mt hm s lng giỏc l hm chia hai v ca phng trỡnh cho bng cỏch v s dng cụng thc Bi 1: Gii phng trỡnh: Gii +) Vi +) Vi ta chia hai vờ phng trỡnh cho ta c: Bi 2: Gii phng trỡnh: +) Xột vi +) Xột chia hai vờ cho Bi 3: Gii phng trỡnh: +) Xột vi +) Xột chia hai vờ cho Bi 4: Gii phng trỡnh: Gii +) iu kin +) Vi iu kin trờn ta cú: Chia hai vờ phng trỡnh cho ta c: Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page 28 H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao Bi 5: Gii phng trỡnh: Bi 6: Gii phng trỡnh: Bi 7: Gii phng trỡnh: Bi 8: Gii phng trỡnh: Bi 9: Gii phng trỡnh: Bi 10: Gii phng trỡnh: Bi 11: Cho phng trỡnh: a) Gii phng trỡnh b) Tỡm phng trỡnh cú nht mt nghim trờn Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page 29 H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao Chng VII: Phng trỡnh lng giỏc khụng mu mc A.PHNG PHAP GII Mt s bi toỏn v phng trỡnh lng giỏc m cỏch gii tu theo c thự ca phng trỡnh, ch khụng nm phng phỏp ó nờu hu hờt cỏc sỏch giỏo khoa Mt s phng trỡnh lng giỏc th hin tớnh khụng mõu mc dng ca chỳng, nhng cung cú nhng phng trỡnh ta thy dng rt bỡnh thng nhng cỏch gii li khụng mõu mc Sau õy l nhng phng trỡnh lng giỏc cú cỏch gii khụng mõu mc thng gp I.TNG HAI Sễ KHễNG M Phng phỏp ny nhm biờn ụi phng trỡnh lng giỏc v dng mt vờ l tụng bỡnh phng cỏc s hng (hay tụng cỏc s hng khụng õm) v vờ cũn li bng khụng v ỏp dng tớnh cht: A = A2 + B = B = A 0, B Nờu A + B = thỡ A= B =0 Bi Gii phng trỡnh: tan x + sin x tan x sin x + = GII tan x + sin x tan x sin x + = tan x tan x + + sin x sin x + = ( tan x 1) + (2 sin x 1) = tan x = sin x = tan x = sin x = x = + m ( m, n Z ) x = + n x = + 2k (k Z ) S Bi 2: Gii phng trỡnh: sin x + sin x cos x.sin x + sin x.cos x ) = sin x.sin x ( 3sin x Gii: Ta cú ) Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page 30 H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao Khi ú phng trỡnh vi Bi 3: Gii phng trỡnh: 8cos x.cos 2 x + cos x = Bi 4: Gii phng trỡnh: cos x + tan x cos x + tan x + = II.PHNG PHAP ễI LP Phng phỏp ny c xõy dng trờn tớnh cht: gii phng trỡnh f ( x) = g ( x) , ta cú th ngh ờn vic chng minh tụn ti A R: f ( x) A, x (a, b) v g ( x) A, x ( a, b) thỡ ú: f ( x) = A f ( x) = g ( x) g ( x) = A Nờu ta chi cú f ( x) > A v g ( x ) < A , x (a, b) thỡ kờt lun phng trỡnh vụ ngim A M B Nờu: A = B thỡ A = B = C Bi 5: Gii phng trỡnh: cos x + x = GII cos x + x = x = cos x Vỡ cos x nờn x x m 2 [ 1,1] , cos x > 0, x [ 1,1] cos x < 0, x [ 1,1] 2 Do x > v cos x < nờn phng trỡnh vụ nghim Vy phng trỡnh ó cho vụ nghim Bi Gii phng trỡnh: sin1996 x + cos1996 x = (1) GII Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page 31 H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao sin 1996 x + cos1996 x = sin x + cos x (1) sin x(sin 1994 x 1) = cos x(1 cos1994 x ) (2) sin x sin x (sin 1994 x 1) 0, x 1994 sin x Ta thy cos x cos x(1 cos1994 x) 0, x 1994 cos x M x = m sin x = x = + m 1994 sin x(sin x 1) = sin x = (m, n Z ) 1994 cos x(1 cos x ) = cos x = x = + n cos x = x = n Do ú (2) Vy nghim ca phng trỡnh l: x = k (k Z ) S x=k (k Z ) p dng phng phỏp i lp, ta cú th suy cỏch gii nhanh chúng nhng phng trỡnh lng giỏc cỏc dng c bit di õy: sin ax = sin bx = sin ax sin bx = sin ax = sin bx = sin ax = sin bx = sin ax sin bx = sin ax = sin bx = Cỏch gii tng t cho cỏc phng trỡnh thuc dng: cos ax cos bx = cos ax cos bx = sin ax cos bx = sin ax cos bx = Bi 7: Gii phng trỡnh: sin x cos x = s inx + cos x Bi 8: Gii phng trỡnh: ( cos x cos x ) = + 2sin x Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page 32 H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao Bi 9: Gii phng trỡnh cos3 x sin x = cos x sin x cos x Bi 10: Gii phng trỡnh: cos x cos x + = Bi 11: Gii phng trỡnh: cos 3x + cos x = ( + sin 2 x ) Bi 12: Gii phng trỡnh: tan x + cot x = 2sin x + ữ Bi 13: Gii phng trỡnh: 3x 2=0 cos x + cos x + cos x = cos x.cos x.cos x + Bi 14: Gii phng trỡnh: cos x + cos cos x sin x sin x cos x + = Bi 15: Gii phng trỡnh: cos x cos x cos x x = Bi 16: Gii phng trỡnh: =0 sin x.cos x.cos x Bi 17: Gii phng trỡnh: tan x + tan x + cos 3x.cos x cos x = III PHNG PHAP OAN NHN NGHIM VA CHNG MINH TNH DUY NHT CA NGHIM Tu theo dng v iu kin ca phng trỡnh, ta tớnh nhõm mt nghim ca phng trỡnh, sau ú chng t nghim ny l nht bng mt nhng cỏch thụng sng sau: Dựng tớnh cht i s p dng tớnh n iu ca hm s Phng trỡnh f ( x) = cú nghim x = (a, b) v hm f n iu (a, b) thỡ f ( x) = cú nghim nht l x = Phng trỡnh f ( x) = g ( x) cú nghim x = (a, b) , f (x) tng (gim) (a, b) , g (x) gim (tng) (a, b) thỡ phng trỡnh f ( x) = g ( x) cú nghim x = l nht Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page 33 H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao Bi 18: Gii phng trỡnh: cos x = x2 vi x > GII Ta thy phng trỡnh cú nghim x = x2 f ( x) = cos x + t l biu thc ca hm s cú o hm f ' ( x) = sin x + x > 0, x > (vỡ x > sin x , x ) Hm f luụn n iu tng ( 0,+ ) f ( x) = cú nghim nht ( 0,+ ) Vy phng trỡnh ó cho cú nghim nht x = Bi 19: Gii phng trỡnh: x x cos x sin x + = (1) Ta cú (1) GII x x cos x + cos x + sin x sin x + = 2 ( x cos x ) + (sin x 1) = x cos x = sin x = cos x = x sin x = Phng trỡnh vụ nghim Bi 20: Gii phng trỡnh: sin x + cos15 x = GII 15 Ta cú: sin x + cos x = sin x + cos15 x = sin x + cos x sin x (sin x 1) = cos x (1 cos13 x ) (1) 2 Vỡ sin x (sin x 1) 0, x 13 V cos x(1 cos x) 0, x Do ú (1) sin x (sin x 1) = cos x(1 cos13 x) = sin x = sin x = cos x = cos x = Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page 34 H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao x = m x = + m (m, n Z ) x = + n x = n S x= + k hay x = 2k , ( k Z ) C.CAC BAI TOAN NNG CAO VA THI Bi 21: Gii cỏc phng trỡnh: sin x + cos ( x + ) = 4 (1) GII Ta cú: (1) + cos( x + ) (1 cos x ) + = 4 (1 cos x) + (1 sin x) = cos x + sin x = cos(2 x )= x = k (k Z ) x = + k Bi 21: Gii phng trỡnh (tan x + cot x) n = cos n x + sin n x(n = 2,3,4, ) : 2.Vi iu kin xk ta cú tan x v cot x luụn cựng du nờn: n 1 1 tan x + cot x = tan x + cot x tan x cot x = tan x + cot x 4 4 Du "=" xy tan x = 1 cot x tan x = tan x = 4 2 tan x + cot x = Vi n = : phng trỡnh cú nghim cho bi: 1 tan x = x = arctan + k (k Z ) 2 Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page 35 H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao Vi n Z , n > thỡ: cos n x + sin n x cos x + sin x = x = k n = 2m (k , m Z ) x = 2k hay x = + 2k n = 2m + Du bng xy xk ca phng trỡnh) (u khụng tho iu kin Vy vi n > 2, n Z thỡ phng trỡnh vụ nghim x = arctan + k (k Z ) S Bi 23: Gii phng trỡnh: cos x 1 + cos x = cos x cos x (1) GII cos x > iu kin: cos x > 2 Khi ú (1) cos x cos x + cos x cos 3x = 1 1 a a + = (a ) a a 4 Vỡ 1 1 cos x cos 3x cos x cos x v cos x cos 3x v 2 Do ú 1 cos x cos x = cos x = x 1 cos x cos x = cos x = Du bng xy Vy phng trỡnh (1) vụ nghim cos x cos x Bi 24: Gii phng trỡnh: sin x + cos x = sin x HNG DN sin x sin x , x cos x cos x , x sin x + cos x , x sin x , x sin x + cos x = sin x = Vy phng trỡnh tng ng: Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page 36 H thng bi Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao S x= + 2k (k Z ) Bi 25: Gii phng trỡnh: sin x + tan x x = vi HD 0x D thy phng trỡnh cú nghim x = 0; f ( x ) = sin x + tan x x t liờn tc trờn (cos x 1)(cos x cos x 1) f ' ( x) = , x 0; cos x Cú o hm: 1+ < cos x < cos x cos x < 2 0; f n iu tng trờn Bi 26: Gii phng trỡnh: ( cos x cos x ) = + sin 3x S x= + 2k (k Z ) Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page 37 [...]... khụng mõu mc kp , ( k ẻ Â) 2 ổ pử ổ pử 3 4 4 ữ ỗ ữ ữ x- ữ sin 3x - = 0 ( *) ỗ ỗ Bai 7 Gii phng trỡnh: cos x + sin x + cosỗ ữ ữ ỗ ữ ố ữ 2 ỗ 4ứ 4ứ ố ( 2) cos8x + cos4x - 2 = 0 cos8x = cos4x = 1 x = (ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2005) Gii Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang Page 11 H thng bi tp Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao ( *) 1- ự 3 1 2 1ộ ổ pử ữ ỗ ỳ- = 0 ữ sin 2x + ờ sin 4x + sin2x... m= 0ị x = ớ 6 12 ùù m ẻ Â 6 ợùù 2 Bai 59 Gii phng trỡnh: 5sinx - 2 = 3( 1- sinx) tan x Biờn son: Lờ Anh Bỡnh - o Duy Quang ( *) Page 12 H thng bi tp Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao (Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi B nm 2004 Gii iu kin: cosx ạ 0 sinx ạ 1 ( *) 5sinx - 2 = 3( 1- sinx) sin2 x sin2 x 5sinx 2 = 3 1 sinx ( ) 1- sin2 x cos2 x sin2 x 5sinx - 2 = 3 2sin2 x + 3sinx - 2 = 0 1+... ờcosỗ ờ ỗ ỗ2x ờ ở ố pử ữ ữ =- 1 ữ ữ 6ứ p 7p 2x = p + k2p x = + kp ,( k ẻ Â ) pử 5 6 12 ữ ữ = > 1 ( L) ữ ữ 4 6ứ Bai 11 Gii phng trỡnh: iu kin: ( ) 2 cos6 x + sin6 x - sinx cosx = 0 ( *) 2 - 2sinx (ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi A nm 2006) Gii 2 - 2sinx ạ 0 sinx ạ ( *) 2( cos x + sin x) 6 6 2 2 ổ 1 2 ữ ử 1 sinxcosx = 0 2ỗ - sin2x = 0 ỗ1- sin 2xữ ữ ữ ỗ ố 2 ứ 2 ộsin2x = 1 p - 2sin2 2x - 2sin2x + 4... Bỡnh - o Duy Quang Page 34 H thng bi tp Phng trỡnh lng giỏc lp 11 c bn v nõng cao x = m x = + m 2 (m, n Z ) x = + n 2 x = 2 n S x= + k 2 hay x = 2k , ( k Z ) C.CAC BAI TOAN NNG CAO VA THI Bi 21: Gii cỏc phng trỡnh: 1 sin 4 x + cos 4 ( x + ) = 4 4 (1) GII 1 Ta cú: 2 (1) 1 + cos( 2 x + ) 2 (1 cos 2 x ) 1 2 + = 4 4 4 (1 cos 2 x) 2 + (1 sin 2 x) 2 = 1 cos 2 x + sin 2 x = 1