Chuyên đề số phức 12

Nhóm trường: THPT Nguyễn Văn Huyên THPT Tháng 10 THPT Thượng Lâm CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC (12 tiết) Tiết 1, 2, DẠNG ĐẠI SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC A Kiến thức Khái niệm số phức • Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b ∈ R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i2 = –1) • z số thực ⇔ phần ảo z (b = 0) z ảo ⇔ phần thực z (a = 0) Số vừa số thực vừa số ảo • Tập hợp số phức:  £ = z = a + bi, a, b ∈ ¡ , i = −1 { • Hai số phức nhau: } a = a ' a + bi = a’ + b’i ⇔  (a, b, a ', b ' ∈ R) b = b ' Chú ý: i 4k = 1; i 4k +1 = i; i 4k + = -1; i 4k +3 = -i Số phức liên hợp số phức z = a + bi z = a − bi z  z • z = z ; z ± z ' = z ± z ' ; z.z ' = z.z ';  ÷ = ;  z  z2 • z số thực ⇔ z = z ; z số ảo ⇔ z = − z Môđun số phức : z = a + bi uuuu r • z = a + b = zz = OM z.z = a + b • z ≥ 0, ∀z ∈ C , z =0⇔z=0 z z = • z.z ' = z z ' • • z − z' ≤ z ± z' ≤ z + z' z' z' Các phép toán số phức * Phép cộng phép trừ, nhân hai số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: • z + z ' = (a + a ') + (b + b ')i • z − z ' = (a − a ') + (b − b ')i • zz ' = aa '− bb '+ (ab '− a ' b)i * Phép chia số phức khác Cho số phức z = a + bi ≠ (tức a2+b2 > ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 số phức z ≠ số • Chia hai số phức: z-1= 1 z= 2z a +b z a + bi aa' - bb' ab '+ a ' b = + i a'+ b'i a '2 + b '2 a '2 + b '2 B Kĩ Tìm phần thực phần ảo , mô đun, số phức liên hợp số phức Phương pháp giải Biến đổi số phức dạng đại số, áp dụng công thức tính Thực phép toán tập số phức Phương pháp giải Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, ý tính chất giao hoán, kết hợp phép toán cộng nhân C Bài tập luyện tập Bài 1: Tìm phần thực phần ảo , mô đun, số phức liên hợp số phức b) z = ( + 2i ) + i ( − 4i ) a ) z = + 2i c) z = ( + i ) − ( − 2i ) Giải: a) z = + 2i Phần thực: 1, phần ảo 2, số phức liên hợp z = − 2i , mô đun: z = b) z = ( + 2i ) + i ( − 4i ) = + 5i Phần thực: 5, phần ảo : 5, số phức liên hợp z = − 5i , mô đun: z =5 c) z = ( + i ) − ( − 3i ) = −5 + 4i Phần thực: -5, phần ảo : 4, số phức liên hợp z = −5 − 4i , mô đun: Bài 2: Tìm số phức liên hợp của: z = (1 + i )(3 − 2i ) + 3+i Giải: 3−i 3−i = 5+i + Ta có z = + i + (3 + i )(3 − i ) 10 53 Suy số phức liên hợp z là: z = − i 10 10 Bài 3: Tìm phần ảo số phức z biết z = Giải: ( )( ( +i z = 41 ) ( − 2i ) ) z = + 2i − 2i = + 2i Suy ra, z = − 2i Phần ảo số phức z = − Bài 4: Tìm mô đun số phức z = Giải: Ta có: z = (1 + i )(2 − i) + 2i 5+i = 1+ i 5 26 Vậy mô đun z bằng: z = +  ÷ = 5 Bài 5: Cho số phức z = − i Tính số phức sau: z ; z2; ( z )3; + z + z2 2 Giải: 3 − i ⇒z = + i 2 2 *Vì z =   3 − i÷ *Ta có z =  = + i − i= − i ÷ 2  2  4 2   3 ⇒( z ) =   + i÷ ÷ = + 4i + i = + i   1   3 i ÷ + i÷ = + i+ i− =i ( z )3 =( z )2 z =  + ÷ ÷  2  2  4 1 3 + 1+ Ta có: + z + z2 = + − i+ − i= − i 2 2 2 − 3i ) Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z = ( 1− i Giải: Tìm môđun số phức z + iz −8 = −4 − 4i ⇒ z = −4 + 4i 1− i ⇒ z + iz = −4 − 4i + ( −4 + 4i ) i = −8 − 8i Vậy z + iz = ( Ta có: − 3i ) Do z = = −8 * Hai số phức nhau: Bài 7: Tìm số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: a) 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i b) (2x + 3y + 1) + ( –x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y – 3) i c) x ( + 5i ) + y ( − 2i ) = −35 + 23i Giải: a) Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i ⇔ (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i  x=−  x + y = y −   ⇔ ⇔ 5 x = x − y y =  b) Theo giả thiết ta có:  x =  2 x + y + = 3x − y + − x + y = 11 ⇔ ⇔  − x + y = x − y − −5 x + y = −3 y =  11 c) Ta có ( − 2i ) = ( − 2i ) ( − 2i ) = ( −3 − 4i ) ( − 2i ) = 2i − 11 x ( + 5i ) + y ( − 2i ) = −35 + 23i ⇔ x ( + 5i ) + y ( 2i − 11) = −35 + 23i Suy 3 x − 11 y = −35 x = ⇔ ( x − 11 y ) + ( x + y ) i = −35 + 23i ⇔  ⇔ 5 x + y = 23 y = * Tính i n áp dụng: Chú ý: • i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; ∀ n ∈ N*Vậy in ∈ {-1;1;-i;i}, ∀ n ∈ N* • (1 + i ) = 2i ; (1− i) = −2i Bài 8: Tính: i105 + i23 + i20 – i34 Giải: Ta có i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + + = 16 Bài 9: Tính số phức sau: 1+ i  1− i  b) z =  ÷ + ÷ 1− i  1+ i  15 a) z = (1+i) Giải: a) Ta có: (1 + i)2 = + 2i – = 2i ⇒ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i nên z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i + i (1 + i )(1 + i) 2i = = =i 1− i 2 16 1− i 1+ i  − i  16   ⇒ =i +(-i)8 = = −i Vậy  + ÷ ÷ 1+ i 1− i  1+ i  b) Ta có: Bài 10: (Vận dụng)Tìm phần thực, phần ảo số phức sau: + ( + i ) + ( + i ) + ( + i ) + + ( + i ) Giải: P = + ( + i ) + ( + i ) + + ( + i ) (1+ i) 20 20 ( 1+ i) = 21 20 −1 i = ( + i )  ( + i ) = ( 2i ) ( + i ) = −210 ( + i )   10 −2 ( + i ) − ⇒P= = −210 + ( 210 + 1) i i Vậy phần thực −210 phần ảo 210 + 21 10 * Tìm số phức dựa vào dạng đại số số phức Nếu hệ thức tìm số phức z xuất hay nhiều đại lượng sau: z , z , z , ta sẽ sử dụng Dạng đại số z z = x + yi với x, y ∈ R Bài 11: Tìm số phức z biết z − ( + 3i ) z = − 9i Giải: Giả sử z= a+ bi (a,b ∈ R ) ta có: z − ( + 3i ) z = − 9i ⇔ a + bi − ( + 3i ) ( a − bi ) = − 9i −a − 3b = a = ⇔ −a − 3b − ( 3a − 3b ) i = − 9i ⇔  ⇔ 3a − 3b = b = −1 Vậy z = – i Bài 12(TH) Cho số phức z thỏa mãn: (2 + i)z + 2(1 + 2i) = + 8i (1) Tìm môđun số phức 1+ i ω = z +1+ i Giải: 2(1 + 2i) (2 + i)z + = + 8i ⇔ (2 + i)z + + i = + 8i 1+ i + 7i ⇔ (2 + i)z = + 7i ⇔ z = = + 2i 2+i Do ω = + 2i + + i = + 3i ⇒ ω = 16 + = ( ) Bài 13: (TH)Tính mô đun số phức z biết rằng: ( z − 1) ( + i ) + z + ( − i ) = − 2i Giải: Ta có Gọi z= a+ bi (a, b∈ R ) ( z − 1) ( + i ) + ( z + 1) ( − i ) = − 2i ⇔ ( 2a − 1) + 2bi  ( + i ) + ( a + 1) − bi  ( − i ) = − 2i ⇔ ( 2a − 2b − 1) + ( 2a + 2b − 1) i + ( a − b + 1) − ( a + b + 1) i = − 2i  a =  3a − 3b = 1 ⇔ ( 3a − 3b ) + ( a + b − ) i = − 2i ⇔  ⇔ ⇒z= − i 3 a + b − = −2 b = −  Suy mô đun: z = a + b = 2 Bài 14: Tìm số phức z thỏa mãn: z + z.z + z = z + z = Giải Gọi z = x + iy (x, y∈ R), ta có z = x − iy; z = z = z z = x + y 2 2 z + z.z + z = ⇔ 4( x + y ) = ⇔ ( x + y ) = (1) z + z = ⇔ x = ⇔ x = (2) Từ (1) (2) tìm x = ; y = ±1 Vậy số phức cần tìm + i - i Bài 15: Tìm số phức z thỏa mãn z = z2 số ảo Giải: Gọi z= a+ bi (a, b ∈ R ) Ta có z = a + b z = a − b + 2abi 2 a + b = a = a = ±1 ⇔ ⇔ Yêu cầu toán thỏa mãn  2 a − b = b = b = ±1 Vậy số phức cần tìm 1+i; 1-i; -1+i; -1-i Bài 16: (Vận dụng) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − + z + = 10 Hướng dẫn giải Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z = x + yi , x, y ∈ ¡ Gọi A điểm biểu diễn số phức Gọi B điểm biểu diễn số phức −2 Ta có: z + + z − = 10 ⇔ MB + MA = 10 Ta có AB = Suy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z Elip với tiêu điểm A ( 2;0 ) , B ( −2;0 ) , tiêu cự AB = = 2c , độ dài trục lớn 10 = 2a , độ dài trục bé 2b = a − c = 25 − = 21 Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − + z + = 10 Elip có phương trình x2 y + = 25 21 Bài 17: (Vận dụng)Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: z + − 2i = z + + 4i số ảo Giải Đặt z= x+ yi (x,y ∈ R ) z − 2i z +i Theo ta có x + + ( y − 2) i = x + + ( − y ) i ⇔ ( x + 1) + ( y − ) = ( x + 3) + ( y − ) ⇔ y = x + 2 2 z − 2i x + ( y − ) i x − ( y − ) ( y − 1) + x ( y − 3) i = = Số phức w = x + (1− y) i z +i x + ( y − 1)  x − ( y − ) ( y − 1) = 12  x = −   ⇔ w số ảo  x + ( y − 1) > y = x +  y = 23   12 23 i Vậy z = − + 7 5+i Bài 18: (Vận dụng)Tìm số phức z biết z − −1 = z Giải: Gọi z= a+ bi (a, b ∈ R ) a + b ≠ ta có 5+i 5+i − = ⇔ a − bi − − = ⇔ a + b − − i − a − bi = z a + bi a + b − a − = 2 ⇔ ( a + b − a − 5) − b + i = ⇔  b + = z− ( )  a = −1; b = − a − a − = ⇔ ⇔ b = −  = a = 2; b = − Vậy z = −1 − i z = + i D Bài tập TNKQ Câu (Đề thi chính thức THPT QG năm 2017)Cho hai số phức z1 = − 7i z2 = + 3i Tìm số phức z = z1 + z2 A z = − 4i B z = + 5i C z = −2 + 5i D z = − 10i Câu ((Đề thi chính thức THPT QG năm 2017) Cho số phức z = a + bi, ( a, b ∈ R) thỏa mãn z + + 3i − z i = Tính S = a + 3b Giải : Đáp án B A S = B S = −5 C S = D S = −  a = −1 2 Ta có: z + + 3i − z i = ⇔ a + + (b + 3)i = a + b i ⇔  b + = b + 1, (1) −4 2 Với b ≥ −3 (1) tương đương với: (b + 3) = b + ⇔ b = Vậy a + 3b = −5 Câu (Đề thi chính thức THPT QG năm 2017) Có số phức z thỏa mãn z z − 3i = số ảo ? z−4 A B Vô số C D Giải: Đáp án C Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ R) z − 3i = x + ( y − 3) = ⇔ x + y − y = 16 z x + yi ( x + yi )( x − − yi ) x − x + y yi = = = − 2 2 z − x − + yi ( x − 4) + y ( x − 4) + y ( x − 4) + y z x2 − 4x + y2 = ⇔ x2 − x + y = số ảo nên 2 z−4 ( x − 4) + y  x = (loai )  y =  2   x + y − y = 16 ⇔   x = 16 16 24  2 ⇒z= − i  Ta có hệ:  x + y − x = 13  13 13  −24  y = 13  Vậy có số phức z thỏa mãn Câu (Vận dụng)Trong số phức thỏa mãn điều kiện z + 3i = z + − i Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? 2 A z = − 2i B z = − + i C z = − i D z = −1 − i 5 5 Hướng dẫn giải Chọn C Phương pháp tự luận Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) z + 3i = z + − i ⇔ x + ( y + 3) i = ( x + ) + ( y − 1) i ⇔ x + ( y + ) = ( x + ) + ( y − 1) 2 ⇔ y + = 4x + − y +1 ⇔ 4x − y − = ⇔ x − y −1 = ⇔ x = y +1 2  z = x + y = ( y + 1) + y = y + y + =  y + ÷ + ≥ 5 5  Suy z = y = − ⇒ x = 5 Vậy z = − i 5 Phương pháp trắc nghiệm Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) 2 2 z + 3i = z + − i ⇔ x + ( y + 3) i = ( x + ) + ( y − 1) i ⇔ x + ( y + ) = ( x + ) + ( y − 1) 2 ⇔ y + = x + − y + ⇔ x − y − = ⇔ x − y −1 = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z + 3i = z + − i đường thẳng d : x − y −1 = Phương án A: z = − 2i có điểm biểu diễn ( 1; − ) ∉ d nên loại A  2 Phương án B: z = − + i có điểm biểu diễn  − ; ÷∉ d nên loại B 5  5 1 2 Phương án C: z = − i ⇒ z = có điểm biểu diễn  ; − ÷∈ d 5 5 5 Phương án D: z = −1 − i ⇒ z = có điểm biểu diễn ( −1; − 1) ∈ d Do phương án C thỏa mãn Câu (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017)Cho số phức z ∈ £ thỏa mãn z = Biết tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w = ( + 4i ) z + i đường tròn I , bán kính R Khi A I ( 0;1) , R = B I ( 1;0 ) , R = 20 C I ( 0;1) , R = 20 D I ( 1; −2 ) , R = 22 Hướng dẫn giải Đặt w = a + bi với a; b; c ∈ ¡ a + ( b − 1) i  a + ( b − 1) i  ( − 4i ) w = ( + 4i ) z + i ⇔ z = = + 4i 25 2 ( 3a + 4b − ) + ( 3b − 4a − 3) 3a + 4b − ( 3b − 4a − 3) ⇔z= + i⇒ z = 25 25 25 Mà z =4⇒ ( 3a + 4b − ) + ( 3b − 4a − ) 25 =4 ⇔ ( 3a + 4b − ) + ( 3b − 4a − ) = 100 2 ⇔ a + b − 2b = 399 ⇔ a + ( b − 1) = 202 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn I ( 0;1) , R = 20 Câu Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : z − + 2i = w = z + + i có môđun lớn Số phức z có môđun bằng: A B C D Hướng dẫn giải: Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ z − + 2i = ( x − 1) + ( y + ) i ( x − 1) + ( y + ) = ⇔ ( x − 1) + ( y + ) = M ( x; y ) biểu diễn số phức z thuộc đường tròn ( C ) tâm I ( 1; −2 ) Ta có: z − + 2i = ⇔ Suy tập hợp điểm 2 2 R= 5: Dễ thấy O ∈ ( C ) , N ( −1; −1) ∈ ( C ) Theo đề ta có: M ( x; y ) ∈ ( C ) điểm biểu diễn cho sốphức z thỏa mãn: w = z + + i = x + yi + + i = ( x + 1) + ( y + 1) i uuuu r 2 ⇒ z + + i = ( x + 1) + ( y + 1) = MN Suy z + + i đạt giá trị lớn ⇔ MN lớn Mà M , N ∈ ( C ) nên MN lớn MN đường kính đường tròn ( C ) ⇔ I trung điểm MN ⇒ M ( 3; −3) ⇒ z = − 3i ⇒ z = 32 + ( −3) = 2 bán kính Câu Phần thực phần ảo số phức z = + 2i A B C 2i Cho số phức z = + 3i Số phức z có phần thực A −8 B 10 C + 6i − 4i Câu Phần thực số phức z = 4−i 16 13 A B C − 17 17 ( − 2i ) Câu 10 Phần ảo số phức z = ( + i) ( + i) i A − B − C − 10 10 10 Câu 11 Tìm z biết z = ( + 2i ) ( − i ) ? Câu A Câu 12 Cho z = B C D i D −8 + 6i D − D 10 D 20 Số phức liên hợp z 1+ i 3 3 C − i D − + i i 4 4 2 1+ i 1− i + Câu 13 Cho số phức z = Trong kết luận sau kết luận sai? 1− i 1+ i A z ∈ R B z số ảo C Mô đun z D z có phần thực phần ảo Câu 14 Cho số phức z = m + ni ≠ Số phức có phần thực z m n m n A B − C D − m −n m −n m +n m + n2 Câu 15 Cho số phức z , Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai ? A + i 2 B A z = z B z + z số ảo C z.z số thực D mođun số phức z số thực dương Câu 16 Cho số phức z = x + yi Số phức z có phần thực A x + y B x − y C x D xy Câu 17 Cho số phức z thỏa mản ( + i ) số phức z là: A 2;3 B 2; − Câu 18 A Câu 19 Tính z = + i 5 + i 2017 2+i B Trên tập số phức, tính ( − i ) z = + i + ( + 2i ) z Phần thực phần ảo C −2;3 − i 5 C i 2017 A i B −i Câu 20 Tổng i k + i k +1 + i k + + i k + bằng: A i B − i + i 5 D −2; −3 D − i 5 C D −1 C D Câu 21 Phần thực phần ảo số phức z = A 0; −1 Câu 22 B 1;0 ( Số phức z thỏa mãn z + z + z = − 6i có phần thực C −1 D Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + ( − i ) z = − 9i Môđun z bằng: A −6 Câu 23 ) i 2012 + i 2013 + i 2014 + i 2015 + i 2016 là: i 2017 + i 2018 + i 2019 + i 2020 + i 2021 C −1;0 D 0;1 B A 13 B 82 Câu 24 Phần thực số phức ( + i ) A −6 B −3 C D 13 ( − i ) z = + i + ( + 2i ) z C D −1 Câu 25 Cho số phức z = + 7i Số phức liên hợp z có điểm biểu diễn là: A ( 6;7 ) B ( 6; −7 ) C ( −6;7 ) D ( −6; −7 ) Tiết 4, 5, BIỂU DIỄN HÌNH HỌC SỐ PHỨC TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC A Kiến thức Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) biểu diễn điểm M(a; b) mp(Oxy) (mp phức) y b O M(a;b) x a Trong dạng này, ta gặp toán biểu diễn hình học số phức hay gọi tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z số phức z thỏa mãn hệ thức (thường hệ thức liên quan đến môđun số phức) Khi ta giải toán sau: Giả sử z = x+yi (x, y ∈ R) Khi số phức z biểu diễn mặt phẳng phức điểm M(x;y) Sử dụng kiện đề để tìm mối liên hệ x y từ suy tập hợp điểm M B Kĩ Tìm điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước: + Số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) biểu diễn M(a; b) mặt phẳng toạ độ Oxy hay gọi mặt phẳng phức + Trục Ox biểu diễn số thực gọi trục thực, trục Oy biểu diễn r số ảo gọi trục ảo + Số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) biểu diễn vectơ u = (a; b) , M(a; b) điểm uuuu r biểu diễn số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) có nghĩa OM biểu diễn số phức r r Ta có: Nếu u, v theo thứ tự biểu diễn số phức z, z' r r u + v biểu diễn số phức z + z', 10 Hướng dẫn giải Ta có S = 1009 + i + 2i + 3i + 4i + + 2017i 2017 = 1009 + ( 4i + 8i + + 2016i 2016 ) + ( i + 5i + 9i + + 2017i 2017 ) + + ( 2i + 6i + 10i10 + + 2014i 2014 ) + ( 3i + 7i + 11i11 + + 2015i 2015 ) 504 505 504 504 n =1 n =1 n =1 n =1 = 1009 + ∑ ( 4n ) + i ∑ ( 4n − 3) − ∑ ( 4n − ) − i ∑ ( 4n − 1) = 1009 + 509040 + 509545i − 508032 − 508536i = 2017 + 1009i Cách khác: Đặt f ( x ) = + x + x + x + + x 2017 f ′ ( x ) = + x + 3x + + 2017 x 2016 xf ′ ( x ) = x + x + 3x + + 2017 x 2017 ( 1) Mặt khác: x 2018 − f ( x ) = + x + x + x + + x = x −1 2017 2018 2018 x ( x − 1) − ( x − 1) f ′( x) = ( x − 1) ⇒ xf ′ ( x ) = x 2017 2018 x 2017 ( x − 1) − ( x 2018 − 1) ( x − 1) Thay x = i vào ( 1) ( ) ta được: 2018i 2017 ( i − 1) − ( i 2018 − 1) S = 1009 + i ( i − 1) ( 2) = 1009 + i −2018 − 2018i + = 2017 + 1009i −2i Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − = Tìm giá trị lớn Câu 20 T = z +i + z −2−i B max T = C max T = Hướng dẫn giải T = z + i + z − − i = ( z − 1) + ( + i ) + ( z − 1) − ( + i ) A max T = Đặt w = z −1 Ta có w = T = w + ( + i ) + w − ( + i ) Đặt w = x + y.i Khi w = = x + y T = ( x + 1) + ( y + 1) i + ( x − 1) + ( y − 1) i = ≤ ( x + 1) (1 + 12 ) + ( y + 1) + ( ( x + 1) 2 ( x − 1) + ( y − 1) + ( y + 1) + ( x − 1) + ( y − 1) 2 = ( 2x2 + y2 + 4) = Vậy max T = 18 ) D max T = Tiết 7, 8, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC A Kiến thức Phương trình bậc hai với hệ số thực Az2 + Bz + C = (*) ( A ≠ ) ∆ = B2 − 4AC −B ± ∆ • ∆ > : PT có hai nghiệm phân biệt z1,2 = 2A B • ∆ = : PT có nghiệm kép: z1 = z = − 2A −B ± i ∆ • ∆ < : PT có hai nghiệm phức phân biệt z1,2 = 2A Chú ý: Nếu z0 ∈ C nghiệm (*) z0 nghiệm (*) B Kĩ Biết cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực Biết giải phương trình qui phương trình bậc hai với hệ số thực C Bài tập luyện tập Bài 1: Tìm nghiệm phức phương trình sau : a) iz + – i = b) (2 + 3i)z = z – c) (2 – i) z - = d) (iz – 1)(z + 3i)( z - + 3i) = e) z2 + = Giải: i−2 −1 = + 2i =− + i a) z = b) z = i + 3i 10 10 8 = + i⇒z= − i c) z = d) z = −i, z = −3i, z = + 3i 2−i 5 5 e) z = ± 2i Bài 2: Giải phương trình sau tập số phức a) z − z + = b) x + x + = c) z + z − = Giải: a) z − z + = ∆ = − = −3 = 3i , bậc hai ∆ ±i 1+ i 3 Phương trình có nghiệm: z1 = = + i , z2 = − i 2 2 b) x + x + = ∆ = − 20 = −16 = 16i ; Căn bậc hai ∆ ±4i Phương trình có nghiệm: x1 = −1 − 2i, x2 = −1 + 2i c) z + z − = Đặt t = z2 Phương trình trở thành: z2 =  z = ±1 t = t + 2t − = ⇔  ⇔ ⇔ t = −3  z = ±i  z = −3 Vậy phương trình có nghiệm: -1, 1, −i 3, i 19 Bài 3: Giải phương trình bậc hai sau: a) z2 + 2z + = a) z2 + (1-3i)z – 2(1 + i) = (tham khảo) Giải: a) Xét phương trình: z2 + 2z + = Ta có: ∆ = -4 = 4i2 ⇒ phương trình có hai nghiệm: z1 = -1 +2i z2 = -1 – 2i b) Ta có: ∆ = (1-3i)2 +8(1+i) = 2i = (1+i)2 nên 1+i bậc hai số phức 2i 3i − + + i 3i − − − i = 2i ; z2 = = −1 + i ⇒ Phương trình có hai nghiệm là: z1 = 2 Bài 4: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z + z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = z1 + z2 Giải: Ta có z + z + 10 = ⇔ ( z + 1) = −9 ⇔ ( z + 1) = ( 3i ) 2  z = −1 + 3i ⇔  z = −1 − 3i z1 = −1 + 3i ⇒ z1 = ( −1) + 32 = 10 z2 = −1 − 3i ⇒ z2 = 10 2 Vậy A = z1 + z2 = 20 Bài 5: Cho z1 , z2 nghiệm phức phương trình z − z + 11 = Tính giá trị biểu 2 z + z2 thức A = ( z1 + z2 )2 Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z − z + 13 = Tính z + z+i Giải:  z = + 2i 2 z − z + 13 = ⇔ ( z − 3) = −4 ⇔ ( z − 3) = ( 2i ) ⇔   z = − 2i 6 = + 2i + = + i = 17 Với z = + 2i ta có z + z+i + 3i 6 = − 2i + = 24 − 7i = Với z = − 2i ta có z + z+i 3−i Bài 7: Tìm số thực b, c để phương trình (với ẩn z) : z + bz + c = nhận z = + i làm nghiệm Giải: Theo H2 trang 195, với z = + i nghiệm thì: (1 + i)2 + b(1 + i) + c = ⇔ b + c + (2 + b)i = ⇔ b + c = + b = 0, suy : b = −2, c = Bài 8: Giải phương trình tập hợp số phức: Giải Điều kiện: z ≠ i 20 z − + 7i = z − 2i (tham khảo) z −i Phương trình cho tương đương với z − ( + 3i ) z + + 7i = Phương trình có biệt thức ∆ = ( + 3i ) − ( + 7i ) = − 4i = ( − i ) 2 Phương trình có hai nghiệm là: z = + 2i z = + i * Phương trình quy bậc hai Bài 9: Giải phương trình: z3 – 27 = z = z = ⇔ Giải: z – 27 = ⇔ (z – 1) (z + 3z + 9) = ⇔   z = −3 ± 3i  z + 3z + =  2,3 Vậy phương trình cho có nghiệm Bài 10: Giải phương trình tập hợp số phức: z − z + z − z − 16 = Giải: Nhận biết hai nghiệm z=-1 z=2 ( ) Phương trình cho tương đương với ( z − ) ( z + 1) z + = Giải ta bốn nghiệm: z = −1; z = 2; z = ±2 2i Bài 11: (Đặt ẩn phụ) Giải phương trình sau tập số phức (z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = Giải: Đặt t = z2 + z, phương trình cho có dạng:  −1 + 23i z =  z + z − =  t = −6 −1 − 23i ⇔ ⇔ z = t2 + 4t – 12 = ⇔  t = z + z − =  z =  z = −2  Vậy phương trình cho có nghiệm Bài 12: Giải phương trình: ( z − z )( z + 3)( z + 2) = 10 , z ∈ C Giải: PT ⇔ z ( z + 2)( z − 1)( z + 3) = 10 ⇔ ( z + z )( z + z − 3) = Đặt t = z + z Khi phương trình (8) trở thành: Đặt t = z + z Khi phương trình (8) trở thành t − 3t − 10 = t = −2  z = −1 ± i ⇔ ⇒ t =   z = −1 ± Vậy phương trình có nghiệm: z = −1 ± ; z = −1 ± i Bài 13:Gọi z1 , z , z , z bốn nghiệm phương trình z − z3 − 2z + 6z − = tập 1 1 số phức tính tổng: S = + + + z1 z z z Giải: PT: z − z − 2z + 6z − = ⇔ ( z − 1) ( z + ) ( z − 2z + ) = (1) 21  z1 =  z = −2 Không tính tổng quát ta gọi nghiệm của(1)là   z3 = + i  z4 = − i 1 1 1 + = Thay biểu thức ta có: S = z + z + z + z = + + 2 ( 1− i) ( 1+ i) 4 D Bài tập TNKQ Câu Trong £ , phương trình iz + − i = có nghiệm là: A z = − 2i B z = + i C z = + 2i D z = − 3i Câu Trong £ , phương trình (2 + 3i ) z = z − có nghiệm là: 3 A z = + i B z = − + i C z = + i D z = − i 10 10 10 10 5 5 Câu Cho số phức z thỏa mãn: z (1 + 2i ) = + 4i Tìm mô đun số phức ω = z + 2i A B 17 C 24 D Câu Trong £ , phương trình ( − i ) z − = có nghiệm là: 4 A z = − i B z = − i C z = + i 5 5 5 Câu Trong £ , phương trình ( iz ) ( z − + 3i ) = có nghiệm là: D z = − i 5 z = z = z = z = A  B  C  D   z = − 3i  z = + 3i  z = + 3i  z = − 5i Câu Cho số phức thỏa mãn z + ( − 2i ) z = − 4i Tìm môđun w = z − z A 10 B 10 C D Câu Trong £ , phương trình z − z + = có nghiệm   3 i i z = 1+ z = + 2 A  B    3 i i z = 1− z = −   2   5 i i z = 1+ z = + 2   C D   5 i i z = 1− z = −   2 Câu Gọi z1 z2 nghiệmcủa phương trình z − z + = Tính P = z14 + z24 A −14 B 14 C −14i D 14i 2 Câu Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình z + z + = Giá trị A = z1 + z2 A B C 10 D 10 Câu 10 Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z + z + = Tọa độ điểm M biểu diễn số phức z1 là: A M (−1; 2) B M (−1; −2) C M (−1; − 2) D M (−1; − 2i) Câu 11 Gọi z1 z2 nghiệmcủa phươngtrình: z − z + = Tính F = z1 + z2 A B 10 C Câu 12 Nghiệm phương trình z − z − = 22 D A 2; −1 B ± 2; ± i C ±1; ± i D , ±i Câu 13 Cho số phức z = + 4i z số phức liên hợp z Phương trình bậc hai nhận z z làm nghiệm A z − z + 25 = B z + z − 25 = 2 C z − z + i = D z − z + = 2 Câu 14 Trong £ , Phương trình z + = có nghiệm B −1; ± i C −1 ; ± i D −1; ± i 4 Câu 15 Trong £ , phương trình z − = có nghiệm  z = ±2  z = ±3  z = ±1  z = ±1 A  B  C  D   z = ±2i  z = ±4i  z = ±i  z = ±2i Câu 16 Trong £ , biết z1 , z2 nghiệm phương trình z − z + = Khi đó, tổng bình phương hai nghiệm có giá trị bằng: A B C D A −1 Tìm số phức z thỏa mãn: z − ( + i ) = 10 z.z = 25 A z = + 4i z = B z = −3 + 4i z = −5 C z = − 4i z = D z = + 5i z = Câu 18 Phương trình iz + − i = (với ẩn z) có nghiệm là: A 1+ 1i B 1+ 2i C 1− 2i D 1− i Câu 19 Các bậc hai số phức 1+ 3i là: Câu 17 A ± 3( − i ) ( ) ( B ± − i ) C ± + i D ± 3( + i ) = có nghiệm là: z 1 2 A B − C ( 1± i ) D − ( 1± i ) ( 1± i ) ( 1± i ) 2 2 Câu 21 Phương trình z + = có nghiệm là: A ± ( 1+ i ) ± ( 1− i ) B ± ( 1+ i ) ± ( − i ) Câu 20 C Câu A Câu Phương trình z + ± ( + i ) ± ( 1− i ) D ± ( + i ) ± ( − i ) 22 Phương trình iz + − i = (với ẩn z) có nghiệm là: B 1+ 2i C 1− 2i D 1− i 1+ 1i 23 Các bậc hai số phức 1+ 3i là: A ± 3( − i ) ( ) ( B ± − i ) C ± + i D ± 3( + i ) = có nghiệm là: z 1 2 A B − C ( 1± i ) D − ( 1± i ) ( 1± i ) ( 1± i ) 2 2 Câu 25 Phương trình z + = có nghiệm là: A ± ( 1+ i ) ± ( 1− i ) B ± ( 1+ i ) ± ( − i ) Câu 24 Phương trình z + C ± ( + i ) ± ( 1− i ) D ± ( + i ) ± ( − i ) 23 Tiết 10, 11, 12 LUYỆN TẬP – KIỂM TRA CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM- LUYỆN TẬP Câu 1: Tìm số phức z –1 biết z = (2 − i ) (3 − 2i ) 18 i 325 18 −1 − i C z = 325 325 325 − i 325 18 325 −1 i D z = 325 − 18 −1 A z = 325 − −1 B z = Câu : Tìm số phức z + biết z = (1 + i ) 2010 A z + = 21005 i C z + = − 21005 i B z + = −21005 i D z + = −21004 i (1 + i) 2010 Câu 3:Cho số phức z = Tìm số phức z −1 + z + + 2i 21005 A z −1 + z = + 4i B z −1 + z = − 4i C z −1 + z = + 4i D z −1 + z = + i i (1 + i )10 A a = b = 32 B a = 32 b = C a = b = - 32 D a = - 32 b = (3 + 2i)(1 − 3i) + (2 − i ) Câu 5:Tìm phần thực a phần ảo b số phức 1+ i   17 + 17 − a = a =   4 A  B  b = − 11 + b = − 11 −   4   17 − −17 − a = a =   4 C  D  b = − 11 + b = − −11 +   4 Câu 6: Tìm phần ảo a số phức z, biết z = ( + i ) (1 − 2i ) B a = −2 A a = Câu 4:Tìm phần thực a phần ảo b số phức C a = − Câu 7:Cho số phức z thỏa mãn z = A z + iz = C z + iz = 2i D a = −2 (1 − 3i ) Tìm môđun số phức z + iz 1− i B z + iz = D z + iz = Câu 8:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện: z + − 2i = là: A đường tròn tâm I(–1; 2) bán kính R = B đường tròn tâm I(–1; -2) bán kính R = C đường tròn tâm I(1; - 2) bán kính R = D đường tròn tâm I(1; 2) bán kính R = 24 Câu 9:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện: z − z = là: x2 y A ( E ) : + = 36 x2 y C ( E ) : + =1 x2 y B ( E ) : + =1 x2 y D ( E ) : + =1 36 Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z – (3 – 4i)= là: A đường tròn tâm I(- 3; - 4), bán kính R = B đường tròn tâm I(3; - 4), bán kính R = C đường tròn tâm I(3; 4), bán kính R = D.đường tròn tâm I(3; - 4), bán kính R = Câu 11 : Tìm số phức z thỏa mãn phương trình: z − z + | z |2 = + 6i A z = + i B z = C z = - i D z = i | z + z |= (1)  Câu 12:Tìm số phức z thoả mãn hệ phương trình  z + z = (2)  ( ) A z = + i B z = 2i C z = + i z = – i, z = – + i D z = - 3i z = – – i Câu 13:Tìm tất số phức z thỏa mãn hai điều kiện |z + i – | = z.z = A z = - i z = – 2i B z = + i z = – i C z = i z = – – 2i D z = + i z = – – 2i Câu 14:Tìm tất số phức z thoả mãn : z − (2 + i) = 10 z.z = 25 A z = - 4i B z = + 4i z = C z = + 4i z = D z = 4i z = Câu 15: Tìm số phức z = x + yi, biết hai số thực x, y thỏa mãn phương trình phức sau: x(2 – 3i) + y(1 + 2i)3 = (2 – i)2 50 − i 37 37 − i C z = 37 37 A z = 37 − 37i 50 50 + i D z = − 37 37 B z = Câu 16:Trên tập số phức, tìm x biết : – 2ix = (3 + 4i) (1 – 3i) − 5i C x = + 5i A x = i D x = − i B x = + Câu 17:Trên tập số phức, tìm x biết: (3 + 4i) x = (1 + 2i) (4 + i) 19 i 25 25 19 + i C x = 42 25 42 19 + i 25 25 25 25 + i D x = 42 19 A x = 25 + B x = Câu 18:Gọi z1 z2 hai nghiệm phương trình z2 – z + = tập số phức Tính giá trị biểu thức A = |z1|2 + |z2|2 + |z1+ z2|2 A A = 99 B A = 101 25 C A = 102 D A = 100 Câu 19:Gọi z1, z2 hai nghiệm phức (khác số thực) phương trình z3 + = Tính giá trị biểu 2 thức: A = | z1 | + | z | + | z1 z | 33 A A = B A = 4 35 C A = D A = 33 Câu 20: Gọi z1 z2 nghiệm phức phương trình: z + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức M = z12 + z22 A M = 21 C M = 20 B M = 10 D M = LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu số Đáp án C Lời giải Ta có: z = (2 − i ) (3 − 2i) = (4 − 4i + i )(3 − 2i ) = (3 − 4i )(3 − 2i) = − 18i + 8i = − 18i ⇒ z = + 18i 1 − 18i 18 ⇒ z −1 = = = − i + 18i (1 + 18i )(1 − 18i) 325 325 C A B z = (1 + i ) 2010 = ( + i )  = ( + 2i + i ) = (2i)1005 = 21005 i1004 i = 21005 i   ⇒ z = −21005 i ⇒ z + = − 21005 i 1005 (1 + i) 2010  1005  = − 2i + 1005 z= + = − i + + i + 2i + i ) ( ) ( 1005 1005   + 2i 2 1 = − 2i + 1005 (2i)1005 = − 2i + 1005 21005 i1004 i = − 2i + i 4.201.i = − i 2 1+ i ⇒ z = + i z −1 = = 1− i −1 ⇒ z + z = + i + 3(1 + i ) = + 4i 1005 1005 Ta có: (1 + i ) = + 2i + i = 2i Do đó: (1 + i )10 = ( (1 + i) ) = ( 2i ) = 25 i = 32i ⇒ C i i = = (1 + i)10 32i 32 Vậy phần thực số phức 32 phần ảo số phức Ta có: 26 (3 + 2i)(1 − 3i) (9 − 7i )(1 − i 3) + (2 − i ) = + (2 − i) 1+ i (9 − 3) − (7 + 3)i + 4(2 − i) 17 − 11 + = − i 4 17 − 11 + Vậy phần thực số phức phần ảo số phức − 4 = C z = ( + i) (1 − 2i) = (1 + 2i)(1 − 2i) = + 2i Do đó: z = − 2i ⇒ Phần ảo số phức z − D (1 − 3i)3 − 3i + 9i + 3i −8 −8(1 + i) z= = = = = −4 − 4i ⇒ z = −4 + 4i 1− i 1− i 1− i ⇒ z + iz = −4 − 4i + i(−4 + 4i) = −8(1 + i) ⇒ z + iz = 8 A Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , ta có: z + − 2i = ( x + yi ) + − 2i = ( x + 1) + ( y − 2)i Do đó: z + − 2i = ⇔ ( x + 1) + ( y − 2) = ⇔ ( x + 1) + ( y − 2) = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I(–1; 2) bán kính R = A Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , ta có: z − z = ( x − yi ) − 2( x + yi ) = − x − yi Do đó: z − z = ⇔ (− x) + (3 y ) = ⇔ x + y = 36 ⇔ x2 y + =1 36 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z elip có phương trình tắc là: 10 11 D x2 y + =1 36 Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Ta có z – (3 – 4i) = x – + (y + 4)i A Do đó: z – (3 – 4i) = ⇔ (x − 3) + (y + 4) = ⇔ (x – 3)2 + (y + 4)2 = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I(3; −4) , bán kính R=2 Gọi z = a + bi (a, b ∈ R), ta có: z − z + | z |2 = + 6i ⇔ a − b + 2abi − 2(a − bi ) + (a + b ) = + 6i  2a − 2a = ⇔ 2a − 2a + 2b(a + 1)i = + 6i ⇔  2b(a + 1) = a = −1 a = a = ⇔ ∨ ⇔ 2b(a + 1) = 2b( a + 1) = b = 12 C Vậy z = + i Gọi z = a + bi ( x, y ∈ ¡ ) thì: | z + z |= | 2a |= a = ±2  ⇔ ⇔  | 4abi |= b = ±2  z − z = ( ) Do số phức cần tìm là: + i, – i, – + i – – i 27 13 D Gọi z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) Ta có: | z + i − 1|= | (a − 1) + (b + 1)i |= ⇔   z.z = a + b = 2 2 a − b = (a − 1) + (b + 1) = a + b − 2a + 2b = ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 a + b = a + b = a + b = a = b + a = b + a = a = −1 ⇔ ⇔ ⇔ ∨   2 b = b = −2 (b + 1) + b = 2b + 2b − = 14 B Vậy có hai số phức thỏa mãn đề toán z = + i z = – – 2i Đặt z = a + bi với a, b ∈ ¡ z – – i = a – + (b – 1)i Ta có: 2  z − (2 + i) = 10 4a + 2b = 20  ⇔ (a2 − 2)2 + (b − 1) = 10 ⇔  a + b = 25 a + b = 25  z.z = 25 b = 10 − 2a ⇔ ⇔ a =3∨ a =5 b=4 b=0 a − 8a + 15 = Vậy z = + 4i z = (1) ⇔ x(2 – 3i) + y(1 + 6i – 12 – 8i) = – 4i – ⇔ (2x – 11y) + ( – 3x – 2y)i = – 4i 50  x=  2 x − 11 y =  37 ⇔ ⇔  − 3x − y = −4 y = − 37  { { 15 A { { 50 − i 37 37 (1) ⇔ 2ix = − (3 + 4i )(1 − 3i) ⇔ 2ix = − (3 − 9i + 4i + 12) ⇔ 2ix = − (15 − 5i) ⇔ 2ix = −10 + 5i ⇔ x = + 5i Vậy số phức z cần tìm là: z = 16 C 17 D 18 B (2) ⇔ (3 + 4i ) x = (4 + i + 8i − 2) ⇔ (3 + 4i ) x = + 9i ⇔ x = Phương trình cho có hai nghiệm là:  − 19i  − − 19i  = z1 =  ⇒ z1 = 50    2  + 19i  − + 19i  = z =  ⇒ z = 50    z1 + z = ⇒ z1 + z = ⇒ A = |z1|2 + |z2|2 + |z1+ z2|2 = 101 Xét phương trình: z3 + = Ta có: z3 + = ⇔ (z + 2)(z2 – 2z + 4) = 19 A 28 z1 = + 9i 42 19 = + i + 4i 25 25 − 19i + 19i , z2 = 2  z = −2 ⇔ z − 2z + = ⇒ Hai nghiệm phức (khác số thực) (1) nghiệm phương trình: z2 – 2z + = ⇒ z1 = − 3i, z = + 3i ⇒ z1.z = (1 − 3i )(1 + 3i ) = ⇒ = 12 + − | z1 z2 | z1 = −1 − 3i, z2 = −1 + 3i 2 Do đó: | z1 | + | z2 | + 20 C ( 1 = z1 z ) 2 + 12 + + 33 = 4 ⇒ z1 + z2 = (−1) + (−3) + (−1) + (3) = 20 KIỂM TRA TIẾT: Chuyên đề số phức I MỤC TIÊU Kiểm tra mức độ đạt chuẩn KTKN chương trình môn Toán lớp 12 sau học xong chương số phức Kiến thức Củng cố định nghĩa số phức Phần thực, phần ảo, môđun số phức Số phức liên hợp Cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực tập số phức Biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ Kĩ Tìm phần thực, phần ảo, môđun số phức Điểm biểu diện số phức Thực phép cộng, trừ, nhân, chia số phức Giải phương trình bậc hai với hệ số thực tập số phức Thái độ Rèn luyện tính cẩn thận, xác Độc lập làm kiểm tra II HÌNH THỨC ĐỀ KIỂM TRA Hình thức kiểm tra: TNKQ Học sinh làm lớp III MA TRẬN ĐỀ Chủ đề Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Tổng Dạng đại số phép toán Số câu: Số câu: Số câu: Số câu: 10 tập số phức Số điểm:1,6 Số điểm:1,6 Số điểm: 0,8 Số điểm: 4,0 Phương trình bậc hai với Số câu: Số câu: Số câu: Số câu: 10 hệ số thực Số điểm: 1,2 Số điểm: 1,2 Số điểm: 1,2 Số điểm: 4,0 Biểu diễn hình học số Số câu: Số câu: Số câu: Số câu: phức Số điểm:0,4 Số điểm: 0,4 Số điểm: 1,2 Số điểm: 2,0 Số câu: Số câu: Số câu: Số câu: Tổng Số điểm: Số điểm: Số điểm: Số điểm: IV CÁC CHUẨN ĐÁNH GIÁ Chủ đề Dạng đại số phép toán tập số phức Câu 10 11 Chuẩn đánh giá Biết xác định phần thực phần ảo số phức Nhận biết số phức liên hợp Hiểu tính mođun số phức Biết cách tính tổng hai số phức Biết cách nhân hai số phức Hiểu tính tích số phức 29 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Phương trình bậc hai với hệ số thực 22 23 24 25 Biểu diễn hình học số phức Hiểu tính lũy thừa số phức Hiểu thực phép chia số phức Vận dung tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước Vận dung phép toán số phức tìm phần ảo số phức thỏa mãn biểu thức cho trước Biết tính bậc hai môt số âm cho trước Biết công thức tính bậc hai môt số thực âm Nhận biết công thức nghiệm phương trình bậc hai với ∆ < Hiểu giải phương trình bậc hai với hệ số thực Hiểu giải phương trình bậc hai với hệ số thực (dạng đặc biệt) Hiểu giải phương trình chứa ẩn mẫu Vận dụng giải phương trình bậc hai để tính tổng bình phương hai nghiệm Vận dụng giải phương trình bậc hai để tính tổng bình phương môđun hai nghiệm Vận dụng giải phương trình bậc hai để tính mođun số phức thỏa mãn biểu thức cho trước Vận dụng giải phương trình bậc hai ; tính khoảng cách hai điểm biểu diễn nghiệm phương trình Nhận biết điểm biểu diễn số phức Hiểu xác định tâm bán kính đường tròn biểu diễn số phức cho trước Vận dụng xác định phương trình đường thẳng biểu diễn số phức cho trước Vận dụng xác định phương trình đường thẳng biểu diễn số phức thỏa mãn biểu thức cho trước Vận dụng kiến thức tổng hợp số phức xác định điều kiên để điểm biểu diễn số phức nằm đường tròn có tâm bán kính cho trước V ĐỀ KIỂM TRA Câu 1: Số phức z = - 4i có phần thực bằng? A B -3 C -4 D 4i Câu 2: Số phức z = + 3i biểu diễn điểm M có tọa độ là: A (2;-3) B (2;3) C (2 ; 3i) D.(2 ; i) Câu 3: Số phức liên hợp số phức z = a + bi a, b ∈ ¡ số phức: A z = -a + bi B z = b - C z = -a - bi D z = a – bi Câu 4: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ đường tròn tô đậm hình vẽ 30 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z − A đường tròn tâm I(1;2), bán kính R=2 B đường tròn tâm I(2;2), bán kính R=2 C đường tròn tâm I(-3;-2), bán kính R=2 D đường tròn tâm I(2;-2), bán kính R=2 Câu 5: Cho số phức z = + 4i, z bằng? A B -5 C 25 D Câu 6: Điểm biểu diễn số phức z = + bi với b ∈ R, nằm đường thẳng có phương trình là: A x = B y = C y = x D y = x + Câu 7: Điểm biểu diễn số phức z = a + với a ∈ R, nằm đường thẳng có phương trình là: A y = x B y = 2x C y = 3x D y = 4x Câu 8: Cho số phức z = a + bi ; a, b ∈ ¡ Để điểm biểu diễn z nằm hình tròn tâm O bán kính R = 2, điều kiện a b là: A a + b = B a2 + b2 > C a2 + b2 = D a2 + b2 < Câu 9: Cho số phức z = a + bi a, b ∈ ¡ , z + z bằng? A a B -2a C 2b D 2a Câu 10: Cho số phức z = a + bi a, b ∈ ¡ , z z bằng? A a2 B b2 C a2 + b2 D a2 b2 Câu 11: Thu gọn z = i(2 - i)(3 + i) ta được: A z = + 5i B z = + 7i C z = D z = 5i Câu 12: Nếu z = - 3i z bằng: A -46 - 9i B 46 + 9i C 54 - 27i D 27 + 24i − 4i Câu 13: Số phức z = bằng? 4− i 16 13 16 11 9 23 − i − i − i A B C − i D 17 17 15 15 5 25 25 Câu 14: Cho số phức z = − i Số phức - z + z2 bằng: 2 A − + C D i B - 3i 2 z+1 Câu 15: Cho số phức z = x + yi ≠ (x, y ∈ R) Phần ảo số là: z−1 −2x −2y xy x+ y A B C D 2 2 2 ( x − 1) + y ( x − 1) + y ( x − 1) + y ( x − 1) + y2 Câu 16: Căn bậc hai -5 là: A B − C ± −5 D ±i Câu 17: Căn bậc hai số thực a âm là: A a B − a C ± − a D ±i a Câu 18: Cho phương trình bậc hai ax + bx + c = , có ∆ = b − 4ac , ∆ < , phương trình có hai nghiệm phức xác định theo công thức: −b ± ∆ −b ± ∆ −b ± i ∆ −b ± ∆ B x1,2 = C x = D x = 1,2 1,2 2a a 2a a Câu 19: Trong £ phương trình z + 2z + = có nghiệm là: A z1,2 = −1 ± B z1,2 = −1 ± C z1,2 = −1 ± i D z1,2 = ± i A x1,2 = 31 Câu 20: Trong C, phương trình z2 + = có nghiệm là:  z = 2i  z = 1+ 2i  z = 1+ i  z = + 2i A  B  C  D   z = −2i  z = 1− 2i  z = − 2i  z = − 5i = 1− i có nghiệm là: Câu 21: Trong C, phương trình z+ A z = - i B z = + 2i C z = - 3i D z = + 2i Câu 22: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình: z − z + = Khi phần thực z12 + z22 là: A B C.4 D.7 z1 ; z2 Câu 23: Gọi hai nghiệm phương trình z + z + = Khi P = z1 + z2 bằng: A B -7 C D Câu 24: Cho số phức z có phần ảo âm thỏa mãn z − z + = Modun số phức w = z − + 14 D 11 Câu 25: Gọi z1 ; z2 hai nghiệm phương trình − z + z − = A,B điểm biểu A 13 B diễn z1 , z2 Độ dài AB là: A 17 B C C D VI ĐÁP ÁN Mỗi câu 04, điểm Câu 10 11 12 13 Đ.A A B D A A A A D D C B A A Câu 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Đ.A D B D D C C A D A D D B Hết - 32 ... a) Ta cú: (1 + i)2 = + 2i = 2i (1 + i)14 = (2i)7 = 128 .i7 = -128 .i nờn z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128 i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 128 i + i (1 + i )(1 + i) 2i = = =i i 2 16 i 1+ i i ... z)2 + 4(z2 + z) -12 = Gii: t t = z2 + z, ú phng trỡnh ó cho cú dng: + 23i z = z + z = t = 23i z = t2 + 4t 12 = t = z + z = z = z = Vy phng trỡnh ó cho cú nghim Bi 12: Gii phng trỡnh:... i = = S phc w = x + (1 y) i z +i x + ( y 1) x ( y ) ( y 1) = 12 x = w l mt s o v ch x + ( y 1) > y = x + y = 23 12 23 i Vy z = + 7 5+i Bi 18: (Vn dng)Tỡm s phc z bit z = z Gii: