BÀI GIẢNG: BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƢƠNG TRÌNH MƠN TỐN LỚP 10 THẦY GIÁO: NGUYỄN CƠNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM A BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Định nghĩa +) Bất phương trình bậc hai ẩn x, y có dạng tổng quát ax by c 0, ax by c 0; ax by c 0, ax by c Trong a, b, c số cho trước cho a b2 , x, y ẩn số +) Mỗi cặp số x0 ; y0 thay vào cho thu mệnh đề gọi nghiệm bất phương trình Ví dụ: x y 0, 0;0 ; 2;1 ; x y 2, 1;1 ; 2;0 ; x 0, 1;0 ; 1;3 ; 2;3 ; 2 y 1, 1; 1 ; Cách biểu diễn tập nghiệm bất phƣơng trình bậc ẩn +) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nghiệm bất phương trình biểu diễn điểm Tương tự bất phương trình bậc ẩn, bất phương trình bậc hai ẩn có vơ số nghiệm Tập hợp nghiệm biểu diễn tập hợp điểm gọi miền nghiệm bất phương trình +) Định lí: Người ta chứng minh mặt phẳng Oxy, đường thẳng d : ax by c chia mặt phẳng thành nửa mặt phẳng, hai nửa mặt phẳng gọi miền nghiệm bất phương trình ax by c , nửa mặt phẳng lại miền nghiệm bất phương trình ax by c (kể bờ đường thẳng d ) Ví dụ: Xét điểm O 0; Thay x 0, y Miền tô sọc miền x y miền không to sọc miền x y +) Ta suy Nếu M x0 ; y0 nghiệm bất phương trình ax by c d nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa M miền nghiệm bất phương trình Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! * Phƣơng pháp biểu diễn hình học tập nghiệm (biểu diễn tập nghiệm) bất phƣơng trình ax by c Bƣớc 1: Trên mặt phẳng Oxy vẽ đường thẳng d : ax by c Bƣớc 2: Lấy điểm M x0 ; y0 d (thường chọn O 0; ) Bƣớc 3: Thay M x0 ; y0 vào bất phương trình so sánh: +) Nếu thấy đúng: ax0 by0 c Miền nghiệm nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm M +) Nếu thấy sai: ax0 by0 c Miền nghiệm nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm M Chú ý: Đối với bất phương trình ax by c miền nghiệm có kể bờ Bài 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình sau: a) x y Bước 1: Vẽ đường thẳng d : x y Cho x y 3 Cho y x Bước 2: Lấy O 0;0 d thay vào BPT: (đúng) Bước 3: Vậy miền nghiệm nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm O (miền khơng gạch sọc, có kể bờ d) b) x y Bước 1: d : x y x y Bước 2: Lấy điểm O 0;0 d thay vào bất phương trình ta có (đúng) Bước 3: Vậy miền nghiệm miền không bị gạch sọc có chứa điểm O có kể bờ d Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! c) y y Bước 1: d : y 3 Bước 2: Lấy O 0;0 d thay vào bất phương trình ta có (đúng) Bước 3: Vậy miền nghiệm miền không bị gạch sọc có chứa điểm O khơng kể bờ d d) x x Bước 1: d : x Bước 2: Lấy O 0;0 d thay vào bất phương trình ta có 1 (đúng) Bước 3: Vậy miền nghiệm miền khơng bị gạch sọc có chứa điểm O khơng kể bờ d e) x y Bước 1: d : x y x y Bước 2: Lấy M 1;0 d thay vào bất phương trình ta có (đúng) Bước 3: Vậy miền nghiệm miền khơng bị gạch sọc có chứa điểm M có kể bờ d Bài 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình sau: a) x y 1 2 x y x y 2 x y x y 1 Bước 1: Vẽ d : x y x 1/2 y Bước 2: Lấy O 0;0 d thay vào bất phương trình (1) ta có (sai) Bước 3: Vậy miền nghiệm miền không bị gạch sọc không chứa điểm O Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! có kể bờ d b) x y 1 x x y 2x x y 2 Bước 1: Vẽ d : x y x -8 y Bước 2: Lấy O 0;0 d thay vào bất phương trình (2) ta có (sai) Bước 3: Vậy miền nghiệm miền không bị gạch sọc không chứa điểm O không kể bờ d c) x y 2x y 1 3x y x y x y x y 2 3 Bước 1: Vẽ x y 2 x -2 y -1/4 Bước 2: Lấy O 0;0 d thay vào bất phương trình (3) ta có 2 (sai) Bước 3: Vậy miền nghiệm miền không bị gạch sọc không chứa điểm O không kể bờ d B – HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Định nghĩa * Hệ bất phương trình bậc ẩn gồm số bất phương trình bậc hai ẩn x, y mà ta phải tìm nghiệm chung chúng Mỗi nghiệm chung nghiệm hệ bất phương trình cho * Tương tự bất phương trình bậc hai ẩn, ta biểu diễn hình học tập nghiệm (miền nghiệm) hệ bất phương trình bậc hai ẩn x y x y x y x y Ví dụ: , , x x y x y y Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! x y 1 Phƣơng pháp tìm miền nghiệm hệ bất phƣơng trình bậc hai ẩn * Bƣớc 1: Với bất phương trình hệ, ta xác định miền nghiệm gạch bỏ miền lại * Bƣớc 2: Sau làm với tất bất phương trình hệ mặt phẳng tọa độ, miền chung lại khơng bị gạch miền nghiệm hệ cho Chú ý: * Miền nghiệm có bờ đường thẳng vẽ lấy bờ bất phương trình hệ có dấu “=” * Miền nghiệm kín đa giác hở Trong trường hợp đa giác kín, đề hỏi tìm cực trị (Max, Min) biểu thức F ax by cực trị xảy đỉnh đa giác kín Bài tập áp dung x y 1 Bài 3: Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình x y Giải Bước 1: Vẽ hai đường thẳng d1 : x y 2, d : x y 3 x -2 y -2 x -3 y 2 sai Bước 2: Thay O 0;0 d1 , d vào (1), (2) ta có 3 sai Bước 3: Vậy O không thuộc miền nghiệm bất phương trình Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! x y Bài 4: Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình H : x y Tìm x; y thỏa mãn 2 x y H cho F x y đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Giải Bước 1: Vẽ d1 : x y 2, d : x y 1, d3 : x y 1 x -2 y -2 x y -1 x -1/2 y -1 Bước 2: Thay O 0;0 d1 , d , d3 vào hệ ta có 2 sai 1 dung 1 dung Bước 3: Vậy O khơng thuộc miền nghiệm bất phương trình (1) thuộc miền nghiệm bất phương trình (2) (3) Miền nghiệm hệ bất phương trình cho tam giác ABC, miền không chứa O có kể bờ đoạn thẳng AB, BC, CA b) Ta có: 3 A d1 d A ; 2 B d d B 2; 3 C d3 d1 1; 1 F A 11 , F B 13, F C 5 Vậy Fmax F 1; 1 5, Fmin F 2; 3 13 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! 3 x y 1 x y 2 Bài 5: Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình H 3 x y 4 + Biết miền nghiệm hệ cho tứ giác kín Tính diện tích tứ giác + Tìm GTLN F x; y x y với x; y thuộc miền nghiệm H Giải Bước 1: Vẽ d1 : 3x y 6, d : x y 4, d3 : x truc Oy , d : y truc Ox x -2 y x y Bước 2: Lấy O 0;0 d1 , d , O d3 , d vào hệ ta có 0 dung 0 dung 0 dung 0 dung Bước 3: Miền nghiệm hệ bất phương trình tứ giác OABC (miền không bị gạch) chứa O, có kể bờ đoạn thẳng OA, AB, BC, CO Kẻ BH Oy H Oy Ta có O 0;0 , A 2;0 , B 1;3 , C 0; +) SOABC Shinh thang OABH SBHC 1 1.1 (đvdt) 2 2 +) F x; y x y x; y H F O 0, F A 4, F B 5, F C Vậy Fmax F B Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! ... – HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Định nghĩa * Hệ bất phương trình bậc ẩn gồm số bất phương trình bậc hai ẩn x, y mà ta phải tìm nghiệm chung chúng Mỗi nghiệm chung nghiệm hệ bất phương trình. .. nhỏ Giải Bước 1: Vẽ d1 : x y 2, d : x y 1, d3 : x y 1 x -2 y -2 x y -1 x -1 /2 y -1 Bước 2: Thay O 0;0 d1 , d , d3 vào hệ ta có 2 sai 1 dung 1 dung ... Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! x y 1 Phƣơng pháp tìm miền nghiệm hệ bất phƣơng trình bậc hai ẩn * Bƣớc 1: Với bất phương trình hệ, ta xác định miền nghiệm gạch