Tổ 15 đề olympics lớp 11 cụm hà đông hoài đức hà nội năm 2018 2019

ĐỀ OLYMPIC LỚP 11 CỤM TRƯỜNG THPT HÀ ĐÔNG – HOÀI ĐỨC – HÀ NỘI NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Lớp: 11 Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Bài (4,0 điểm) Giải phương trình sau a) Giải phương trình sau sin 3x  cos x  2sin x sin x  sin x  1 sin x b) Giải phương trình Bài (4,0 điểm) 10 �2 2� �  3x �  x �0  � a) Tìm số hạng chứa x khai triển: �x b) Trong hộp kín đựng 100 thẻ đánh số từ đến 100 Lấy ngẫu nhiên ba thẻ hộp Tính xác suất để lấy ba thẻ mà ba số ghi ba thẻ lập thành cấp số cộng Bài (4,0 điểm) 2018 2018 C2018  C2018 x  C2018 x   C2018 x  22017 x 1 a) Tính x �1 u1  1; u2  � � u  5un 1  6un  n �1, n �� u  b) Cho dãy số n xác định công thức: �n  lim Xác định công thức số hạng tổng quát dãy số  un  Bài (6,0 điểm) B C D có tất cạnh Điểm M di động cạnh a) Cho hình hộp ABCDA���� N  AM Gọi (α) mặt phẳng chứa AB , điểm N di động cạnh A� D cho A� MN song song với AC Dựng thiết diện hình hộp (α) chứng minh (α) chứa đường thẳng cố định b) Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng: ( AB  CD)  ( AD  BC )  ( AC  BD) Bài (2,0 điểm) Chứng minh với số thực a, b, c � 1; 2 ta ln có: _Hết _ �a  a  b  c � � 1�  ��10 b c� Lời Giải Chi Tiết Bài (4,0 điểm) Giải phương trình sau a) Giải phương trình sau sin 3x  cos x  2sin x Lời giải Tác giả:phùng minh nam ; Fb:Nam phùng Ta có : sin x  cos x  2sin x � sin x  cos x  sin x 2  �  � 3x   x  k 2 x    k 2 � � � � 3 � sin � x  � sin x � � ��  2 k 2 3� � � � 3x     x  k 2 x  � � � � 15  k �� � 2 k 2 � S �   k 2 ;  k ��� 15 �3 Vậy phương trình cho có tập nghiệm sin x  sin x  1 sin x b) Giải phương trình Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Tú ; Fb: Tu Nguyenvan Điều kiện xác định: sin x �0 � � sin 3x �0 � 3sin x  4sin x �0 � sin x  cos x  1 �0 � � cos x �� � � Khi đó, phương trình cho tương đương với sin x  sin x  sin x  � 2sin x.cos x  sin x  � sin x  cos x  1  � � sin x   l  �  �� cos x   t / m  � x   k � 1 � cos x   l  �  k �� Vậy phương trình cho có nghiệm x   k  k �� Bài (4,0 điểm) 10 �2 2� �  3x �  x �0  � a) Tìm số hạng chứa x khai triển: �x Lời giải Tác giả: Hoàng Thị Mến ; Fb: Hồng Mến Hướng 1: Trình bày theo lớp 12 sau: 10 10  k 10 10 2� k �2 k 2� k � k  C10 210 k  3  x 3k 10  x  C  x   � � 10 � � � � � k 0 �x � k 0 Ta có: �x ( x �0 ) với k  0,1, 2, ,10 Khi 3k  10  � k  số hạng chứa x khai triển là: C105 25  3 x5  1959552.x5 Hướng 2: Trình bày theo lớp 11 sau: 10  k 10 10 10 2� x2k k �2 2� k � k k 10  k  x  C  x  C      � 10 � � � 10 � � x10 k , ( x �0 ) với � k 0 �x � k 0 Ta có �x k  0,1, 2, ,10 x2k  x5 10  k � x k  x15 k � 2k  15  k � k  Số hạng chứa x ứng với số k thỏa mãn x C5 2105  3 x  1959552.x Vậy số hạng chứa x khai triển 10 b) Trong hộp kín đựng 100 thẻ đánh số từ đến 100 Lấy ngẫu nhiên ba thẻ hộp Tính xác suất để lấy ba thẻ mà ba số ghi ba thẻ lập thành cấp số cộng Lời giải Tác giả: Lâm Quốc Toàn; Fb: Lam Quoc Toan Số phần tử không gian mẫu:   C100 u u u Gọi ba số lập thành cấp số cộng là: , , u u Khi , phải hai số chẵn hai số lẻ Từ đến 100 có 50 số chẵn, 50 số lẻ + Trường hợp 1: u1 , u3 hai số chẵn, có C502 cách chọn  u1 ; u3 + Trường hợp 2: u1 , u3 hai số lẻ, có C502 cách chọn  u1 ; u3 Với cách chọn cộng  u1; u3 có cách chọn u2 để u1 , u2 , u3 lập thành cấp số Suy số cách lấy thẻ ghi ba số lập thành cấp số cộng Xác suất lấy thẻ ghi ba số lập thành cấp số cộng  A 2C502 P  A     C100 66  A  2C502 Bài (4,0 điểm) 2018 2018 C2018  C2018 x  C2018 x   C2018 x  22017 x 1 a) Tính x �1 lim Lời giải Tác giả: Huỳnh Phạm Minh Nguyên ; Fb: Nguyen Huynh 2018 2018 S1  C2018  C2018 x  C2018 x  K  C2018 x   1 x 2018 2018 2018 S2  C2018  C2018 x  C2018 x  K  C2018 x   1 x 2018 2018 2018 � S  C2018  C2018  C2018  K C2018 x  1� 2018 2018  1 x   1 x � � � 2 2018 2018 C2018  C2018  C2018  K C2018 x  22017 � lim x �1 x 1  1 x  lim x �1 2018   1 x  x  1 2018  22018 2018 2017 � � 1 x  22018  x  1   lim �  � x �1 x    � � � � 2017 2016 2015 � x  1 � 1 x    x     x  22  K  22017 �  x  1 2017 �   � � �  lim � x �1 � �  x  1 � � 2017 2016 2015 2017 � � 1 x    x     x  22  K  2017  x  1   lim �  � x �1 2 � � � � 2016  2018.2 u1  1; u2  � � u  5un 1  6un  n �1, n �� u  b) Cho dãy số n xác định công thức: �n  u  Xác định công thức số hạng tổng quát dãy số n Lời giải Tác giả: Nguyễn Quang Thái ; Fb: Nguyễn Quang Thái n 1 n 1 u   1 Cách 1: Dự đoán n Thật vậy, ta chứng minh phương pháp quy nạp - Kiểm tra dễ có mệnh đề với n  1; n  Giả sử mệnh đề với n �k , nghĩa ta có uk  3k 1  2k 1  uk 1  3k   2k   (*) Ta chứng minh mệnh đề với n  k  Theo giả thiết ta có: uk 1  5uk  6uk 1    3k 1  2k 1  1   3k   2k   1  5.3k 1  5.2k 1  2.3k 1  3.2k 1   3k  2k  * Vậy mệnh đề với n �� Cách 2: Cho dãy số  un  xác định công thức: u1  1; u2  � � un   5un 1  6un  n �1, n �� � u Xác định công thức số hạng tổng quát dãy số  n  Lời giải Tác giả: Ngô Mạnh Cường ; Fb: Cuong Ngo Manh u  5un 1  6un  n �1, n ��, ta có Theo ra, n  un   2un 1  3(un 1  2un )  n �1, n �� Đặt Đặt  un1  2un  n �1, n �� ta có v1  u2  2u1  � � 1  3vn  � 1   3(vn  1) n �1, n �� � wn    n �1, n �� �w1  � �wn 1  3wn n �1, n �� Nhận thấy (wn ) n 1 w 1 cấp số nhân với công bội q  Do wn  Suy  3n 1  un 1  2un  3n 1   n �1, n �� n 1 n n 1 Từ ta có un 1  2un   � un 1    2(u n   1) � t1  u1  30   � n 1 t  2t n t  u   n n Đặt �n1 Nhận thấy (t n ) cấp số nhân với công bội n 1 t1  nên tn  n 1 n 1 n �1, n �� Vậy un     Cách 3: Cho dãy số u1  1; u2  � � un   5un 1  6un  n �1, n �� �  un  xác định công thức: u  Xác định công thức số hạng tổng quát dãy số n Lời giải Tác giả: Đinh Thị Thu Huế ; Fb: HueDinh un   5un 1  6un  � un  2un1  3(un1  2un )  Đặt  un1  2un v1  u2  2u1  � � 1  3vn  � kwn 1  l  3(kwn  l )  � kwn 1  3kwn  2l  � wn 1  3wn  2l  k  kwn  l , k , l số, k �0 �w1  � w  3wn v  w  (w ) k  1, l  n n Chọn � n 1 Nhận thấy n cấp số nhận công bội Đặt n 1 n 1 n 1 q  w1  Do wn  ,   un 1  2un   n 1 Đặt un  tn  a3  b , a, b số Khi tn 1  a3n  b  2(t n  a3n 1  b)  3n1  � tn 1  2tn  (1  a)3n 1  b  Chọn n 1 a  1, b  1 un  tn   1, t1  u1  tn 1  2t n Nhận thấy (t n ) cấp t  Do tn  2n 1 Suy un  2n 1  3n 1  số nhận với công bội q  Bài (6,0 điểm) B C D có tất cạnh Điểm M di động a) Cho hình hộp ABCDA���� N  AM Gọi (α) mặt phẳng D cho A� cạnh AB , điểm N di động cạnh A� chứa MN song song với AC Dựng thiết diện hình hộp (α) chứng minh (α) chứa đường thẳng cố định * Dựng thiết diện hình hộp  Lời giải Tác giả: thuy hoang ; Fb: thuy hoang :  �M �( ) �(ABCD) � �AC / /( ) �AC �(ABCD) �    � ABCD   d có: Xét Nên d đường thẳng qua M song song với AC , d cắt AD X , cắt CD Y cắt BC R  Tương tự xét B C D   d �d �    � A���� , qua N song song với AC cắt C �� D P XN cắt AA�tại T , YP cắt CC � Q Vậy thiết diện cần tìm lục giác MRQPNT * Chứng minh (α) chứa đường thẳng cố định: �AC // ( ) � A� ) � TQ // AC (1) �AC �( ACC � � ( ) �( ACC � A� )  TQ - Ta có: � AT AX AX // A'N �  � � ADD A   có TA� A� N - Trong mặt phẳng Mà tứ giác AXRC hình bình hành suy AX  CR (*) AM CR MR // BC � = AB CB - Xét tam giác ABC cân có Mà AB  BC nên AM  RC Suy AX  AM (kết hợp (*)) AT AX AM AT     N A� N , hay TA� Suy điểm T cố định Suy TA� A�    chứa đường TQ cố định (đpcm) Kết hợp (1) suy TQ cố định Vậy b) Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng: ( AB  CD)  ( AD  BC )  ( AC  BD) Lời giải Tác giả: Nguyễn Mạnh Quyền; Fb: Nguyễn Mạnh Quyền Gọi M , N , P, Q, O trung điểm AB, BC , CD, AD, AC Ta có tứ giác MNPQ hình bình hành điểm O khơng nằm  MNPQ  Từ đó, ta có: ( AB  CD)  ( AD  BC )  (2ON  2OQ)  (2OP  2OM )  NQ  4MP (1) Ta lại có: uuuur uuuu r uuuu r uuur NQ  4MP  NM  MQ  MN  NP uuuur uuuu r uuuu r uuur  NM  NM MQ  MQ  MN  2MN NP  NP uuuur uuuu r uuur  NM  MQ  NP  NM MQ  NP            4(2 MN  MQ )  2( AC  BD ) �( AC  BD) (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Bài (2,0 điểm) Chứng minh với số thực a, b, c � 1; 2 �a  a  b  c � � 1�  ��10 b c� ta ln có: Lời giải Tác giả: Vũ Quốc Triệu ; Fb: Vũ Quốc Triệu 1 1� a b c b c a  a  b  c � �   ��10 �      �7 b c a a b c �a b c � +/ Bất đẳng thức +/ Khơng tính tổng quát, giả sử: a �b �c Khi đó:  a  b   b  c  �0 � ab  bc �b  ac � a b a 1 �  c c b (vì bc  ) Dấu “=” xảy � a  b b  c Cũng có:  a  b   b  c  �0 � ab  bc �b   ac �  c b c �  a a b (vì ab  ) Dấu “=” xảy � a  b b  c a b b c a c a b b c a c �a c �    �   �      �2 �  �  1 b c a b c a �c a � Do đó: b c a b c a +/ Ta có: x a  �x �2  c nên:  x  1  x   �0 � x  3x  �0 � x  1 �3 � x  �3  � x x x � a  2c x � � 2�� � c  2a � x2 Dấu “=” xảy � a c  �  2 Suy ra: c a a b b c a c      �7 Từ (1) (2) suy ra: b c a b c a (đpcm) a  b  2, c  � � a  c  2, b  � � b  c  2, a  Dấu xảy khi: � ... 2018 2018 2018 S2  C2018  C2018 x  C2018 x  K  C2018 x   1 x 2018 2018 2018 � S  C2018  C2018  C2018  K C2018 x  1� 2018 2018  1 x   1 x � � � 2 2018 2018 C2018  C2018  C2018...  C2018 x  C2018 x   C2018 x  22017 x 1 a) Tính x �1 lim Lời giải Tác giả: Huỳnh Phạm Minh Nguyên ; Fb: Nguyen Huynh 2018 2018 S1  C2018  C2018 x  C2018 x  K  C2018 x   1 x 2018. .. lập thành cấp số Suy số cách lấy thẻ ghi ba số lập thành cấp số cộng Xác suất lấy thẻ ghi ba số lập thành cấp số cộng  A 2C502 P  A     C100 66  A  2C502 Bài (4,0 điểm) 2018 2018 C2018