Tổ-2_ĐỢT-2-ĐỀ-3-ĐỀ-THI-HSG-LỚP-11-SỞ-HÀ-NAM-2019

Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ ĐỀ THI CHỌN HSG KHỐI 11 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT Câu (4,0 điểm) [1D1-3.5-4] Tính tổng nghiệm phương trình sau [ 0;1000π ] π  π  3π   2sin  x + ÷ − cos  x + ÷sin  x − ÷ − 4   4   =0 2cos x − 2 [1D1-1.1-3] Tìm m để hàm số y= m − sin x − cos x − 2sin x cos x xác định với sin 2017 x − cos 2019 x +  π π x ∈ − ;   2 Câu (4,0 điểm) [1D2-5.4-2] Một người A đứng gốc O trục số x ' Ox Do say rượu nên người A bước ngẫu nhiên sang trái sang phải trục tọa độ với độ dài bước đơn vị Tính xác suất để sau n bước ( n ≥ 2) [1D2-5.2-3] Cho hình vng cỡ người 9.9 tâm O A quay trở lại gốc tọa độ O tạo từ 9.9 hình vng đơn vị Hai hình vng đơn vị gọi kề bên chúng có cạnh chung Một bọ ban đầu O Mỗi lần di chuyển bọ nhảy ngẫu nhiên từ tâm hình vng đơn vị đứng sang tâm hình vng đơn vị kề bên Tính xác suất để bọ sau bước nhảy quay lại điểm O [1D2-5.2-3] Cho hình lập phương tâm O ghép từ 9.9.9 hình lập phương đơn vị Hai hình lập phương đơn vị gọi kề bên chúng có chung mặt Con bọ ban đầu tâm O Mỗi bước nhảy bọ nhảy từ tâm khối lập phương đơn vị đứng sang tâm khối lập phương đơn vị kề bên Tính xác suất để bọ sau bước nhảy quay lại điểm O Câu (2,0 điểm)  u1 = 2019  * Cho dãy số ( un ) xác định sau  un +1 = 2un − n + ∀ n ∈ ¥ Tìm số hạng tổng qt u lim n dãy số ( un ) Tính n →+∞ 3n Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ Câu (2,0 điểm) x + − 3x + L = lim [1D4-2.3-3] Tính giới hạn x→ x2 Câu (8,0 điểm) [1H3-5.6-4] Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' uuuur uuuur uuur uuuur AM = k AC ', CN = tCD ' với t.k ≠ Tính độ dài MN [1H3-5.7-4] Cho hình chóp động cạnh thẳng BC ( M khác B S ABCD cạnh theo a Lấy hai điểm M , N a MN có đáy hình bình hành tâm C ) Mặt phẳng ( α ) qua M song song với O Gọi M cho B'D điểm di song song với hai đường SB , AC Xác định thiết diện hình chóp cắt mp tích lớn [1H2-4.6-4] Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' uuuur uuur uuur M , P hai điểm cho AM = AA ', CP = thời cắt hai cạnh BB ', DD ' vi tứ giác MNPQ ( α ) Xác định vị trí M tâm để thiết diện có diện O cạnh có độ dài Gọi uuuur CC ' Mặt phẳng ( α ) thay đổi qua M , P đồng N Q Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ chu Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI CHỌN HSG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM KHỐI 11 Câu (4,0 điểm) [1D1-3.5-4] Tính tổng nghiệm phương trình sau [ 0;1000π ] π  π  3π   2sin  x + ÷ − cos  x + ÷sin  x − ÷ − 4   4   =0 2cos x − 2 [1D1-1.1-3] Tìm m để hàm số y= m − sin x − cos x − 2sin x cos x xác định với sin 2017 x − cos 2019 x +  π π x ∈ − ;   2 Lời giải [1D1-3.5-4] Tính tổng nghiệm phương trình sau [ 0;1000π ] π  π  3π   2sin  x + ÷ − cos  x + ÷sin  3x − ÷ − 4   4   =0 2cos x − Lời giải Tác giả: Hoàng Vũ ; Fb: Hoàng Vũ Giáo viên phản biện: Lê Đức Lộc ; Fb: Lê Đức Lộc ĐK: cos x ≠ π ⇔ x ≠ ± + k 2π π  π  3π   2sin  x + ÷ − cos  x + ÷sin  3x − ÷ − 4   4   =0 2cos x −  π  3π ⇔ 2sin  x + ÷ − cos  x + 4   π   ÷sin  3x − ÷ − = 4   Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ 2  π    − cos  x + ÷      − sin x + π  + sin x − π  − = ⇔ 2 ( ) ÷   2   2     ⇔ ( + sin x ) − [ cos x − sin x ] − = ⇔ + 2sin x + sin 2 x − cos x + sin x − = ⇔ 3sin 2 x + 3sin x − = ⇔ sin x = (nhận) hay sin x = − (loại) sin x = π + kπ , k ∈ ¢ ⇔ x= x= Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm Tổng số nghiệm công sai S= 5π + k 2π , k ∈ ¢ [ 0;1000π ] tổng 500 số hạng cấp số cộng với u1 = 5π , d = 2π 500  5π   + 499.2π ÷ = 250125π   Câu 1.2 [1D1-1.1-3] Tìm m để hàm số y= m − sin x − cos x − 2sin x cos x sin 2017 x − cos 2019 x + xác định với  π π x∈ − ;   2 Lời giải Tác giả: Lê Đức Lộc; Fb: Lê Đức Lộc Phản biện: Tăng Duy Hùng Với Khi đó:  π π x ∈ − ;   2 ≤ cos x ≤ ⇒ cos 2019 x ≤ cos x sin 2017 x − cos 2019 x + ≥ sin 2017 x − cos x + = sin 2017 x − ( − sin x ) +  π π = sin x ( + sin 2015 x ) + − ≥ − > với x ∈  − ;  Hàm số ⇔ y= m − sin x − cos x − 2sin x cos x sin 2017 x − cos 2019 x + m − sin x − cos x − 2sin x cos x ≥0 sin 2017 x − cos 2019 x + xác định với với  π π x∈ − ;   2  π π x ∈ − ;   2 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ  π π x ∈ − ;  ⇔ m ≥ sin x + cos x + 2sin x cos x với  2  π  π 3π  π  π π t = sin x + cos x = sin  x + ÷ x ∈  − ;  ⇔ x + ∈  − ; Đặt 4;  4   2 Suy Vậy     ⇒ t ∈  − 1;  m ≥ f ( t ) = t + t − với t ∈  − 1;  m ≥ + [1D1-1.1-3] Tìm m để hàm số y= m − sin x − cos x − 2sin x cos x xác định với sin 2017 x − cos 2019 x +  π π x ∈ − ;   2 Lời giải Tác giả: Lê Đức Lộc; Fb: Lê Đức Lộc Phản biện: Tăng Duy Hùng  π π x ∈ − ;  2019 Với  2  ≤ cos x ≤ ⇒ cos x ≤ cos x Khi đó: sin 2017 x − cos2019 x + ≥ sin 2017 x − cos x + = sin 2017 x − ( − sin x ) + = sin x ( + sin Hàm số ⇔ ⇔ y= 2015  π π x ∈ x + − ≥ − > với  − ;  ) m − sin x − cos x − 2sin x cos x  π π x ∈  − ;  xác định với sin 2017 x − cos 2019 x + m − sin x − cos x − 2sin x cos x  π π ≥ x ∈  − ;  với sin 2017 x − cos 2019 x +  π π x ∈ − ;  m ≥ sin x + cos x + 2sin x cos x với  2  π  π 3π  π  π π t = sin x + cos x = sin  x + ÷ x ∈  − ;  ⇔ x + ∈  − ; Đặt  4  4;  2     ⇒ t ∈  − 1;  Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Suy Vậy Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ m ≥ f ( t ) = t + t − với t ∈ −1;  m ≥ + Câu (4,0 điểm) [1D2-5.4-2] Một người A đứng gốc O trục số x ' Ox Do say rượu nên người A bước ngẫu nhiên sang trái sang phải trục tọa độ với độ dài bước đơn vị Tính xác suất để sau n bước ( n ≥ 2) [1D2-5.2-3] Cho hình vng cỡ A quay trở lại gốc tọa độ O người 9.9 tâm O tạo từ 9.9 hình vng đơn vị Hai hình vng đơn vị gọi kề bên chúng có cạnh chung Một bọ ban đầu O Mỗi lần di chuyển bọ nhảy ngẫu nhiên từ tâm hình vng đơn vị đứng sang tâm hình vng đơn vị kề bên Tính xác suất để bọ sau bước nhảy quay lại điểm O [1D2-5.2-3] Cho hình lập phương tâm O ghép từ 9.9.9 hình lập phương đơn vị Hai hình lập phương đơn vị gọi kề bên chúng có chung mặt Con bọ ban đầu tâm O Mỗi bước nhảy bọ nhảy từ tâm khối lập phương đơn vị đứng sang tâm khối lập phương đơn vị kề bên Tính xác suất để bọ sau bước nhảy quay lại điểm O Lời giải Một người A đứng gốc O trục số x ' Ox Do say rượu nên người A bước ngẫu nhiên sang trái sang phải trục tọa độ với độ dài bước đơn vị Tính xác suất để sau n bước ( n ≥ 2) người A quay trở lại gốc tọa độ O Lời giải Tác giả: Tăng Duy Hùng; Fb: Tăng Duy Hùng Phản biện: Bùi Dũng; Fb: Bùi Dũng Trường hợp 1: Trường hợp 2: sang trái n = 2k + ( k ∈ N ) xác suất người quay trở lại O : P = * n = 2k ( k ∈ N * ) Xác suất bước sang phải là: Xác suất bước sang trái là: Người quay trở 0,5 0,5 O có k bước sang phải k bước Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Do xác suất để quay Cho hình vng cỡ 9.9 O là: tâm Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ P = Cnk ( 0,5 ) O n tạo từ 9.9 hình vng đơn vị Hai hình vng đơn vị gọi kề bên chúng có cạnh chung Một bọ ban đầu O Mỗi lần di chuyển bọ nhảy ngẫu nhiên từ tâm hình vng đơn vị đứng sang tâm hình vng đơn vị kề bên Tính xác suất để bọ sau bước nhảy quay lại điểm O Lời giải Tác giả: Bùi Dũng; Fb: Bùi Dũng Phản biện: Lê Mai Hương; Fb: Lê Mai Hương Khi bọ nhảy bước khơng gian mẫu là: 4.4.4.4 = 256 Ở bước nhảy thứ ta chia trường hợp sau: TH1: Bước Bước bọ nhảy qua B1 − B có cách nhảy có hai cách nhảy A1 − A2 ( từ B1 ) nhảy A1 − A4 ( từ B ) Bước 4: bọ có cách nhảy Có: 4.2.2.1 = 16 cách TH2: Bước Bước bọ nhảy qua B3 có cách nhảy có cách nhảy A1 Bước 4: bọ có cách nhảy Có: 4.1.1.1 = TH2: Bước Bước O cách bọ nhảy O có cách nhảy có cách nhảy Bước 4: bọ có cách nhảy Có: O A1 − A2 − A3 − A4 O 4.1.4.1 = 16 cách Vậy xác suất để bọ nhảy Cho hình lập phương tâm 16 + + 16 = bước quay trở O là: 256 64 O ghép từ 9.9.9 hình lập phương đơn vị Hai hình lập phương đơn vị gọi kề bên chúng có chung mặt Con bọ ban đầu tâm O Mỗi bước nhảy bọ nhảy từ tâm khối lập phương đơn vị đứng sang tâm khối lập phương đơn vị kề bên Tính xác suất để bọ sau bước nhảy quay lại điểm O Lời giải Tác giả: Lê Mai Hương; Fb:Le Mai Huong Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ Mỗi bước bọ nhảy ngẫu nhiên qua tâm Do khơng gian mẫu Gọi hình lập phương đơn vị khác n ( W) = 6.6.6 = 64 A biến cố “con bọ sau bước nhảy quay lại điểm O ” Xét hệ trục tọa độ không gian gốc O với trục song song cạnh hình lập phương Khi có hai trường hợp sau: TH1: Con bọ nhảy đường thẳng (có đường tương ứng trục tọa độ) có 3.C24 =18 TH2: Con bọ nhảy không nhảy đường thẳng (trong trường hợp nhảy trục tọa độ) có 3.4! = 72 Vậy xác suất biến cố Câu (2,0 điểm) A là: P ( A) = n ( A) 18 + 72 = = n ( W) 64 72  u1 = 2019  * Cho dãy số ( un ) xác định sau  un +1 = 2un − n + ∀ n ∈ ¥ Tìm số hạng tổng qt un dãy số ( un ) Tính n →+∞ 3n lim Lời giải Tác giả: Nguyễn xuân Giao; FB: giaonguyen Phản biện: Vũ Ngọc Tân; FB: Vũ Ngọc Tân Ta có Đặt un+ = 2un − n + ⇔ un+ − ( n + 1) = ( un − n ) ∀ n ∈ ¥ * = un − n với n∈ ¥ * Khi ta có dãy ( ) cấp số nhân có cơng bội Vậy  v1 = 2018  * thỏa mãn  +1 = 2vn ∀ n ∈ ¥ q = ⇒ = v1.q n− = 2018.2n− ⇒ un = 2018.2n−1 + n un = 2018.2n− + n n  un 2018.2n −1 + n  2 n  lim n = lim = lim  1009  ÷ + n ÷ = n → +∞ n → +∞  3n   ÷ Ta có n→ +∞  n  2 n lim  ÷ = lim n = (Vì n→ +∞   ; n → +∞ ) Câu (2,0 điểm) [1D4-2.3-3] Tính giới hạn L = lim x→ x + − 3x + x2 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ Lời giải Tác giả:Vũ Ngọc Tân ; Fb: Vũ Ngọc Tân Phản biện: Đỗ Hải Thu; Fb: Đỗ Hải Thu   x + − 3x + = lim  x + − ( x + 1) − 3x + − ( x + 1) ÷ L = lim ÷ x →0  x2 x2 x→ Ta có :   x2   x + − ( x + 1) = lim  − x →0 x x + + x + ( )  x2  (   = lim  x →0 x  ( ( ) −x 2 x + + ( x + 1)   −1 = lim  − x →0 x + + x +   ( ) − 3x + − ( x + 1) ( 3x + 1) + 3x + ( x + 1) + ( x + 1) − x − 3x x2 ( ( 3x + 1) + 3 x + ( x + 1) + ( x + 1) −x − 3 ( 3x + 1) 2 + 3x + ( x + 1) + ( x + 1) ) ) )  ÷ ÷ ÷   ÷ ÷ ÷   ÷ ÷ ÷  1 = − +1= 2 Vậy L= Câu (8,0 điểm) [1H3-5.6-4] Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' uuuur uuuur uuur uuuur AM = k AC ', CN = tCD ' với t.k ≠ Tính độ dài MN [1H3-5.7-4] Cho hình chóp động cạnh thẳng BC ( M khác B S ABCD cạnh theo a Lấy hai điểm M , N a MN có đáy hình bình hành tâm C ) Mặt phẳng ( α ) qua M song song với O Gọi M cho B'D điểm di song song với hai đường SB , AC Xác định thiết diện hình chóp cắt mp tích lớn [1H2-4.6-4] Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' uuuur uuur uuur M , P hai điểm cho AM = AA ', CP = thời cắt hai cạnh BB ', DD ' vi tứ giác ( α ) Xác định vị trí M tâm để thiết diện có diện O cạnh có độ dài Gọi uuuur CC ' Mặt phẳng ( α ) thay đổi qua M , P đồng N Q Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ chu MNPQ Lời giải Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ABCD A ' B ' C ' D ' Cho hình lập phương uuur uuuur CN = tCD ' với t.k ≠ Tính độ dài MN Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ a Lấy hai điểm cạnh theo a MN M,N song song với cho uuuur uuuur AM = k AC ', B'D Lời giải Tác giả: Đỗ Hải Thu; Fb: Đỗ Hải Thu Phản biện: Tran Quoc An A' D' B' C' M N z A x D B Đặt Vì C y uuur r uuur ur uuur r BA = x, BC = y, BB ' = z ABCD A ' B ' C ' D ' hình lập phương cạnh a nên r ur ur r rr x y = 0, y z = 0, z x = uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur BM = BA + AM = BA + k AC ' = BA + k BC ' − BA = BA + k BC + BB ' − BA r ur r = ( 1− k ) x + k y + k z uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur r ur r BN = BC + CN = BC + tCD ' = BC + t CD + CC ' = t x + y + t z uuuur uuur uuuur r ur r r ur r r ur r   ⇒ MN = BN − BM = tx + y + t z − ( − k ) x + k y + k z  = ( t + k − 1) x + ( − k ) y + ( t − k ) z ( ( ) ( ) uuuur uuur uuur uuur uuur uuur r ur r B ' D = BD − BB ' = BA + BC − BB ' = x + y − z Vì MN / / B ' D  t = t + k − = m  uuuu r uuuur   MN = mB ' D ⇔ 1 − k = m ⇔  k = t − k = − m    m =  nên  uuuur r ur r r ur r ⇒ MN = x + y − z = x + y − z 4 4 uuuur2 r ur r ⇒ MN = MN = x+ y− z 16 r ur2 r r ur ur r r r 2 3a = x + y + z + x y − y z − z x = ( a + a + a ) = 16 16 16 ( ( ( ) ) ) ) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Vậy a MN = S ABCD Cho hình chóp BC ( M Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ khác B có đáy hình bình hành tâm C ) Mặt phẳng ( α ) qua Xác định thiết diện hình chóp cắt mp tích lớn M O Gọi M điểm di động cạnh song song với hai đường thẳng ( α ) Xác định vị trí M SB , AC để thiết diện có diện Lời giải Tác giả:Trần Quốc An; Fb:Tran Quoc An Kẻ Gọi MN // AC , N ∈ AB , NP // SB , P ∈ SA , PK // MN // AC , K ∈ SC I = MN ∩ BD Kẻ IQ // SB , Q ∈ SD Suy thiết diện hình chóp cắt mp (α ) ngũ giác MNPQK  NP // SB ⇒ MK // NP  Ta có:  ( SBC ) ∩ ( α ) = MK Ta có tứ giác Gọi α MNPK góc hình bình hành SB AC Đặt x=  MK = ( − x ) SB BM ( < x < 1) ⇒ BM = xBC ⇒  BC  MN = x AC S MNPK = BM MK sin α = x ( − x ) SB AC.sin α Suy : Gọi H = IQ ∩ PK QH SH BI BM = = = = x ⇒ QH = xOR = x.SB trung điểm SD , ta có : OR SO BO BC R PK = MN Gọi Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Vì Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ · , PK ( SB· , AC ) = ( QH ) , ta có : 1 S∆ PQK = S∆ PQH + S∆ QHK = PH QH sin α + QH HK sin α = QH PK sin α 2 1 = x.SB.x AC.sin α = x SB AC.sin α 2  3x2    S MNPQK = S MNPK + S ∆ PQK =  x ( − x ) + x  SB AC.sin α =  x − ÷.SB AC.sin α 4   Do :   Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' uuuur uuur uuur AM = AA ', CP = điểm cho cạnh BB ', DD ' tâm O cạnh có độ dài Gọi M , P hai uuuur CC ' Mặt phẳng ( α ) thay đổi qua M , P đồng thời cắt hai N Q Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ chu vi tứ giác MNPQ Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Đắc; Fb: Đắc Nguyễn Gọi I = MP ∩ OO ' ⇒ I trung điểm MP Do hình thang Đặt BN = x, DQ = y AMPC ta có x, y ∈ [ 0;1] AM + CP = , tương tự DQ + BN = 2.OI = x + y = ( MNPQ) ∩ ( ABB ' A ') = MN   ( MNPQ) ∩ (CDD ' C ') = QP  ⇒ MN / / QP  Ta có ( ABB ' A ') / /(CDD ' C ')  Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Chứng minh tương tự Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ MQ / / NP , suy tứ giác MNPQ Suy chu vi tứ giác hình bình hành MNPQ = 2MN + 2MQ 3  3 MN = +  − x ÷ ; MQ = +  − Ta tính 4  4   2       MNPQ =  +  − x ÷ + +  − y ÷  ( *)  4     chu vi tứ giác  *) Áp dụng BĐT ( a + c) + ( b + d ) a + b2 + c + d ≥ 2 2 17 3  3  3  ⇒ 1+  − x ÷ + 1+  − y ÷ ≥ +  − x − y ÷ = 4  4  2  Dấu " = " xảy x= y= Suy giá trị nhỏ chu vi tứ giác *) Thế y = 1− x MNPQ = 17 vào (*) ta có 2       MNPQ =  +  − x ÷ + +  − x ÷  = f ( x )  4     chu vi tứ giác  2 3  1  f ( x) = 1+  − x ÷ + 1+  − x ÷ Với 4  4  2 5 17  17    −5 + 17    −5 − 17 = +  − x ÷ −  x + ÷÷+ +  − x ÷ −  x+ ÷+ + 4 4 ÷ 4 4   4   − 13 + 17 ( x − x) − 13 + 17 ( x − x) 17 = + + + 2   5(1 − x) + 17 x   x + 17 ( − x ) 1+  − x ÷ + 1+  − x ÷ + 4 4  4  17 x − x ≤ 0, ∀ x ∈ [ 0;1] ⇒ f ( x) ≤ + Do 4 Suy maxf ( x) = + 17 x= Suy giá trị lớn chu vi tứ giác x=1 MNPQ = + 17 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ 2 3x 1  3x + − 3x  x− = x ( − x ) = 3x ( − 3x ) ≤  ÷ = Ta có : 4 12 12   1 S MNPQK ≤ SB AC.sin α ⇒ S MNPQK SB AC.sin α Do : lớn 3 BM ⇔ 3x = − 3x ⇔ x = ⇔ = BC