Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC THI HSG LỚP 12 ĐIÊN BIÊN NĂM 2019 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CHỌN HSG LỚP 12 TỈNH ĐIỆN BIÊN NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN TIME: PHÚT ĐỀ BÀI Câu (6,0 điểm) Cho hàm số đồ thị Tìm y= 2x − x − ( C ) đường thẳng d : x − y − = Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến song song với d 2 m để hàm số y = x − 3mx + ( m − 1) x + m + đồng biến khoảng ( 2;+∞ ) Câu (4,0 điểm) 2sin x f ( x) = x x sin + cos Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 2 x3 − y − ( x − y + y ) + 15 x − 10 = ( x; y ∈ ¡ ) − y + − x = 2x − 2 Giải hệ phương trình Câu (4,0 điểm) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số khác chọn từ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; ; 8; Xác định số phần tử chọn số chẵn Trong mặt phẳng tọa độ Oxy S Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số cho hai điểm A ( 0;9 ) , B ( 3;6 ) Gọi D 2 x − y + a ≤ phương trình 6 x + y + 5a ≥ Tìm tất giá trị miền nghiệm hệ a để AB ⊂ D Câu (4,0 điểm) Cho hình chóp S ABC Trên đoạn thẳng lấy điểm A ', B ', C ' khác với VS ABC SA SB SC = Chứng minh rằng: VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X S Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Cho hình chóp tứ giác BD , gọi G S ABCD , có AB = a, SA = a Gọi O trọng tâm tam giác a) Tính thể tích khối chóp b) Tính khoảng cách từ G THI HSG LỚP 12 ĐIÊN BIÊN NĂM 2019 giao điểm AC m để SCD S OGC đến mặt phẳng c) Tính cosin góc hai đường thẳng (SBC ) SA BG Câu (2,0 điểm) Cho phương trình phương trình ( 1) ( m + 2) x ( x + 1) − x + ( m − ) x − = ( 1) Tìm giá trị có nghiệm thực f ( x ) = x + ax3 + bx + ax + Cho đa thức có nghiệm thực Chứng minh a + b − 4b + > HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (6,0 điểm) y= Cho hàm số đồ thị 2x − x − ( C ) đường thẳng d : x − y − = Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến song song với d Tìm 2 m để hàm số y = x − 3mx + ( m − 1) x + m + đồng biến khoảng ( 2;+∞ ) Lời giải Tác giả: Lê Hoàn; Fb: Lê Hoàn d : x − y − 1= ⇔ d : y = x− ⇒ d Xét hàm số y= + Tập xác định y′ = + ( x − 1) có hệ số góc kd = 2x − x − có: D = ¡ \ { 1} , ∀x ≠ Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Gọi đường thẳng ∆ ∆ có hệ số góc + Giả sử ∆ / /d THI HSG LỚP 12 ĐIÊN BIÊN NĂM 2019 2x − M x0 ; ÷ x0 − (với x0 ≠ ) tiếp tuyến ( C ) điểm k∆ = ( x0 − 1) ta ∆:y= phương trình ⇔ k∆ = k d ( x0 − 1) x − x0 ( x0 − 1) + 2 x0 − x0 − x = =1 ⇔ ( x0 − 1) x0 = + Thử lại: • x0 = ⇒ ∆ : y = x + • x0 = ⇒ ∆ : y = x − ⇒ ∆ ≡ d thỏa mãn Vậy tiếp tuyến cần tìm ∆ / /d không thỏa mãn ∆ : y = x + y′ = 3x − 6mx + ( m − 1) , ∀ x ∈ ¡ x = m−1 y′ = ⇔ x = m + ( Hai nghiệm phân biệt với m) + Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến khoảng Vậy giá trị ( 2; +∞ ) ⇔ ( 2; +∞ ) ⊂ ( m + 1; +∞ ) ⇔ m + ≤ ⇔ m ≤ m cần tìm là: m ≤ Câu (4,0 điểm) 2sin x f ( x) = x x sin + cos Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 2 x3 − y − ( x − y + y ) + 15 x − 10 = ( x; y ∈ ¡ − y + − x = 2x − 2 Giải hệ phương trình ) Tác giả: Phạm Trung Khuê ; Fb: Phạm Trung Khuê Lời giải Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC THI HSG LỚP 12 ĐIÊN BIÊN NĂM 2019 x 2 − sin x x x x sin + cos = − 2sin cos = − sin x = ≠ 0, ∀ x Ta có 2 2 2 4sin x f ( x) = = −4 − sin x − sin x Khi Vì ≤ sin x ≤ ⇒ ≤ − sin x ≤ nên Ta có 4≤ ≤8 − sin x Do ≤ f ( x) ≤ f ( x) = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ ( k ∈ ¢ ) , f ( x) = ⇔ sin x = ⇔ sin x = ± ⇔ x = ± Vậy giá trị nhỏ đạt x=± f ( x) π + kπ ( k ∈ ¢ ) đạt x = kπ ( k ∈ ¢ ) , giá trị lớn f ( x) π + 2k π ( k ∈ ¢ ) x ≤ Điều kiện: y ≤ Phương trình thứ hệ tương đương với: ( x − 2) + ( x − ) = ( y − 1) + ( y − 1) Xét hàm số Khi ta có f (t ) = t + 3t , ( t ∈ ¡ ) f ' ( t ) = 3t + > 0, ∀ t ∈ ¡ Nên phương trình Thay ( 1) ( 1) trở thành Do f (t ) hàm đồng biến ¡ f ( x − ) = f ( y − 1) ⇔ x − = y − ⇔ y = x − y = x − vào phương trình thứ hai ta được: − x = 2x − ⇔ − x = x − x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ x = ⇔ x = 2 − x = x − x + x = −1 Với x = y = (thỏa mãn) Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Vậy hệ phương trình cho có nghiệm THI HSG LỚP 12 ĐIÊN BIÊN NĂM 2019 ( x; y ) = ( 2;1) Câu 3.(4,0 điểm) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số khác chọn từ số ; ; ; ; ; ; ; ; ; Xác định số phần tử để số chọn số chẵn Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm S Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất A ( 0;9 ) , B ( 3;6 ) Gọi D 2 x − y + a ≤ phương trình 6 x + y + 5a ≥ Tìm tất giá trị miền nghiệm hệ a để AB ⊂ D Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Việt ; Fb: Nguyễn Thanh Việt n ( S ) = 9.9.8.7.6 = 27216 Số phần tử tập S Gọi số chẵn thuộc tập S có dạng abcde ( a ≠ ) Nếu e∈{2;4;6;8} , trường hợp ta có: 8.8.7.6.4 = 10752 Nếu e = , trường hợp ta có: 9.8.7.6 = 3024 số Vậy xác suất cần tìm là: 10752 + 3024 13776 41 = = 27216 27216 81 P= Phương trình đường thẳng Trường hợp 1: Nếu AB số AB : x + y − = đường thẳng a ≤ −2 x + y Xét hệ 5a ≥ −6 x − y Dễ thấy điểm C ( 7;2 ) ∈ AB Trường hợp 2: Nếu AB C∉ D a ≤ − 12 ⇔ a ≥ − 48 a ≤ − 12 − 48 ⇔ a ∈ ∅ a ≥ a ≤ −2 x + y đoạn thẳng Ta thay y = − x ( x ∈ [ 0;3] ) vào hệ 5a ≥ −6 x − y a ≤ − 3x − x − 27 ≤ a ≤ − 3x − 3x − 27 ⇒ a ≥ Ta được: (*) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC (*) ∀ x ∈ [ 0;3] ⇔ − THI HSG LỚP 12 ĐIÊN BIÊN NĂM 2019 27 ≤ a≤0 27 ≤a≤0 Vậy thỏa mãn yêu cầu toán − Câu (4,0 điểm) Cho hình chóp S ABC Trên đoạn thẳng lấy điểm A ', B ', C ' khác với S AC VS ABC SA SB SC = Chứng minh rằng: VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' Cho hình chóp tứ giác BD , gọi G S ABCD , có AB = a, SA = a Gọi O trọng tâm tam giác a) Tính thể tích khối chóp b) Tính khoảng cách từ G giao điểm SCD S OGC đến mặt phẳng c) Tính cosin góc hai đường thẳng (SBC ) SA BG Lời giải Gọi H, H ' hình chiếu vng góc A, A ' (SBC ) AH SA = Ta có AH ' SA ' · ; S = SB '.SC '.sin BSC · S SBC = SB.SC.sin BSC SB 'C ' 2 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC THI HSG LỚP 12 ĐIÊN BIÊN NĂM 2019 1 · VS ABC = VA.SBC = AH SSBC = AH SB.SC sin BSC Khi 1 · VS A ' B 'C ' = VA '.SB 'C ' = A ' H '.SSB 'C ' = A ' H '.SB '.SC'.sin BSC VS ABC AH SB SC SA SB SC = = Vậy VS A ' B 'C ' A ' H ' SB ' SC ' SA ' SB ' SC ' a) Ta có Gọi M Khi AC = a 2; SO = SA2 - OA2 = trung điểm VS OCM a 10 CD a3 10 = SO.OM MC = 48 VS OCG SG = = VS OCM SM a 10 V = V = Suy S OGC S OMC 72 2 d (G ,(SBC )) = d (M ,(SBC )) = d (O,(SBC )) b) Ta có 3 Gọi H trung điểm BC , K hình chiếu vng góc O SH 1 4 22 = + 2= 2+ 2= 2 Ta có OK OH SO a 10a 5a Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC d (O;(SBC)) = OK = THI HSG LỚP 12 ĐIÊN BIÊN NĂM 2019 a 10 22 a 110 d (G ,(SBC )) = d (O,( SBC )) = 33 c) Gọi I Suy IG / / SA nên góc hai đường thẳng SA, BG giao BD AM , I trọng tâm tam giác ADC góc hai đường thẳng IG, BG a 2a a 11 IG = SA = ; BI = ; BG = Ta có 3 3 BG + IG - BI 33 · cos IGB = = 2.BG.IG 11 Câu (2,0 điểm) Cho phương trình phương trình ( 1) ( m + 2) x ( x + 1) − x + ( m − ) x − = ( 1) Tìm giá trị f ( x ) = x + ax3 + bx + ax + có nghiệm thực Chứng minh a + b − 4b + > Lời giải Tác giả: Minh Hạnh; Fb: fb.com/meocon2809 Câu 5.1 - Với - Với x= để có nghiệm thực Cho đa thức Điều kiện: m x≥ phương trình vơ nghiệm x > , Phương trình ( 1) ⇔ ( m + ) x2 +1 x2 +1 − +m−6 = x x t ≥ x2 + t= ⇒ x2 + x t = Đặt x ; t − 2t + = m ( 2) ( m + 2) t − t + m − = ⇔ Ta phương trình theo ẩn phụ: t +1 t = −4 ( l ) t − 2t + t + 2t − ′ f ( t) = ⇒ f ( t) = = ⇔ t +1 ( t + 1) Xét hàm số t = Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC THI HSG LỚP 12 ĐIÊN BIÊN NĂM 2019 Bảng biến thiên x −∞ + y′ y −4 - - 2−2 Nhìn bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm + +∞ +∞ ⇔ m≥ Câu 5.2 Giả sử đa thức cho có nghiệm trường hợp Ta có: Vì a + b − 4b + ≤ a + b − 4b + ≤ ⇔ a + ( b − ) ≤ ( 1) x= không nghiệm phương trình f ( x) = nên: 1 1 1 x + ax + bx + ax + = ⇔ x + ÷+ a x + ÷+ b = ⇔ x + ÷ + a x + ÷+ b − = x x x x Đặt mãn 2 x phương trình có nghiệm t + at + b − = có nghiệm thỏa t = x+ t ≥ Xét hàm số Ta có: g ( t ) = t + at + b − g ′ ( t ) = 2t + a, g ′ ( t ) = ⇔ t = Do ta có bảng biến thiên t f ′( t) g ( t) −∞ - −a −a ∉ ( −2;2 ) Như (1) −2 + +∞ +∞ +∞ − 2a + b + 2a + b + − 2a + b + ≤ ( ) Phương trình có nghiệm 2a + b + ≤ ( 3) Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Những điểm THI HSG LỚP 12 ĐIÊN BIÊN NĂM 2019 M ( a; b ) thoả (1) nằm bên biên đường tròn tâm I ( 0;2 ) bán kính Những điểm N ( a; b ) thoả mãn (2) (3) điểm thuộc phần không chứa gốc tạo độ −2x + y + = đường thẳng x + y + = Những phần theo hình vẽ khơng có điểm chung, ta có mâu thuẫn Ta có điều phải chứng minh: Nếu đa thức cho có nghiệm a + b − 4b + > Chú ý: Bài giải nhanh sau: t + at + b − = ⇔ t = − at + − b ⇒ t = (− at + − b)2 ≤ a + (b − 2) ( + t ) ⇒ a + (b − 2) > t4 −1 = t − ≥ ⇒ a + b − 4b + > t +1 -HẾT - Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 10 Mã đề X ... 2t + a, g ′ ( t ) = ⇔ t = Do ta có bảng biến thiên t f ′( t) g ( t) −∞ - −a −a ∉ ( −2;2 ) Như (1) −2 + +∞ +∞ +∞ − 2a + b + 2a + b + − 2a + b + ≤ ( ) Phương trình có nghiệm 2a + b + ≤... Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Những điểm THI HSG LỚP 12 ĐIÊN BIÊN NĂM 2019 M ( a; b ) thoả (1) nằm bên biên đường tròn tâm I ( 0;2 ) bán kính Những điểm N ( a; b ) thoả mãn (2) (3) điểm thuộc