Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 THI HSG LỚP 12 TỈNH THƯA THIÊN HUÊ NĂM ĐỀ HSG LỚP 12 TỈNH THỪA THIÊN H MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT ĐỀ y= Câu (4,0 điểm) Cho hàm số thị ( C ) Tiếp tuyến M điểm A 2x − x − có đồ thị ( C ) Gọi đồ thị (C ) I giao điểm hai đường tiệm cận đồ cắt hai đường tiệm cận đồ thị (C ) hai B AB b) Xác định tọa độ điểm M để chu vi tam giác IAB nhỏ a) Chứng minh M trung điểm đoạn thẳng Câu (4,0 điểm) 3π 2 cos x − sin x cos x + a) Giải phương trình b) Giải phương trình π ÷ − 4sin x + ÷ = ( x∈ ¡ ) 4 x + + ( x + 1) x + + ( x + ) x + x + = ( x∈ ¡ ) Câu (4,0 điểm) x3 − y − x + x − y − = ( x, y ∈ ¡ a) Giải hệ phương trình x + y + − − x − y = x − x − 10 y − 10 b) Cho tập A = { 0;1;2;3;4;5;6} Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số khác A Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để số chọn từ phần tử tập chọn chia hết cho 15 Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( C ) : x2 + y − x − y = Từ điểm M đến đường tròn AMB biết ( C) với AB = 10 A, B ( OAB ) ∆ :5 x − y − 19 = nằm đường thẳng ∆ đường tròn kẻ tiếp tuyến MA , MB tiếp điểm Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác Câu (3,0 điểm) Cho tam giác mặt phẳng ) OAB có AB = a Trên đường thẳng (d ) lấy điểm M cho qua O vng góc với OM = x Gọi E, F hình chiếu vng góc A lên MB OB Đường thẳng EF cắt đường thẳng (d ) N Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 a) Chứng minh THI HSG LỚP 12 TỈNH THƯA THIÊN HUÊ NĂM AN ⊥ BN b) Xác định x theo a để thể tích khối tứ diện ABMN nhỏ tính giá trị nhỏ Câu (2,0 điểm) Cho thức P= x, y,z 1 + + = 2018 số dương thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ biểu 1 3029 + + + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z HÊT GIẢI CHI TIÊT ĐỀ HSG LỚP 12 TỈNH THỪA THIÊN H MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT LỜI GIẢI CHI TIÊT Câu (4,0 điểm) Cho hàm số thị y= ( C ) Tiếp tuyến M điểm A 2x − x − có đồ thị ( C ) Gọi đồ thị (C ) I giao điểm hai đường tiệm cận đồ cắt hai đường tiệm cận đồ thị (C ) hai B AB b) Xác định tọa độ điểm M để chu vi tam giác IAB nhỏ a) Chứng minh M trung điểm đoạn thẳng Lời giải Tác giả:Huỳnh Trọng Nghĩa; Fb: Huỳnh Trọng Nghĩa y '= − a) Ta có: ( x − 1) Phương trình tiếp tuyến Giả sử A,B 2a − M a; ÷( a ≠ 1) tiếp điểm Gọi a −1 d đồ thị (C ) giao điểm d điểm M y=− là: ( a − 1) x − a) + ( 2a − a −1 với đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang 2a A 1; ÷, B ( 2a − 1;2 ) Suy ra: a − Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 THI HSG LỚP 12 TỈNH THƯA THIÊN HUÊ NĂM x A + x B = + ( 2a − 1) = 2a = 2x M 2a 4a − yA + yB = +2= = 2y M Khi đó: a −1 a −1 b) Ta có Tam giác IA = ⇒M trung điểm đoạn thẳng AB ; IB = a − ⇒ IA IB = a −1 IAB vuông I nên: IA + IB + AB = IA + IB + IA + IB ≥ IA IB + 2IA IB = + 2 Vậy chu vi tam giác IA = IB ⇔ IAB nhỏ + 2 khi: a = ⇒ M ( 0;1) = a −1 ⇔ a −1 a = ⇒ M ( 2;3) Câu (4,0 điểm) 3π 2 cos x − sin x cos x + a) Giải phương trình b) Giải phương trình π ÷ − 4sin x + ÷ = ( x∈ ¡ ) 4 x + + ( x + 1) x + + ( x + ) x + x + = ( x∈ ¡ ) Lời giải a) Phương trình tương đương với: 1 2 ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) − sin x − cos x − sin x ÷ − sin x + cos x ÷ = 2 ⇔ ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) + sin x ( cos x + sin x ) − ( sin x + cos x ) = cos x + sin x = ( 1) ⇔ ( cos x − sin x ) + sin x − = ( ) ( 1) ⇔ tan x = − ⇔ Ta có π x = − + kπ ( k ∈ ¢ ) π t = cos x − sin x = cos x + ÷∈ − 2; ⇒ sin x = − t Giải ( ) : Đặt 4 t = 4t + 1− t2 − = ⇔ t2 − 4t + = ⇔ t = ( loại ) Phương trình trở thành: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 THI HSG LỚP 12 TỈNH THƯA THIÊN HUÊ NĂM x = k 2π π cos x + ÷ = ⇔ ( k ∈ ¢) x = − π + k 2π 4 Với t = ta có π π x = − + kπ x = − + k 2π Vậy phương trình ban đầu có ba họ nghiệm ; x = k 2π ; ( k ∈ ¢) u = x + x + > b) Đặt v = x + > u2 − v2 − ⇒ u − v = 2x + ⇔ x = 2 u − v2 − u − v2 + u − v + v ÷ + u ÷= 2 Phương trình đã cho trở thành: 2 ⇔ ( u − v2 ) + ( u + v ) ( u − v2 ) + ( u − v ) = u − v = u = v ⇔ ⇔ ( u + v ) + ( u + v ) + = u + v = −1 ( ) Với u = v ta có x2 + = x2 + 2x + ⇔ x = − Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=− 3 Câu (4,0 điểm) x − y − x + x − y − = ( x, y ∈ ¡ 2 x + y + − − x − y = x − x − 10 y − 10 a) Giải hệ phương trình b) Cho tập A = { 0;1;2;3;4;5;6} Gọi S chọn từ phần tử tập chọn chia hết cho 15 ) tập hợp số tự nhiên gồm chữ số khác A Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để số Lời giải 2x + y + ≥ a) Điều kiện − x − y ≥ Phương trình thứ hệ tương đương: ( x − 1) + ( x − 1) = y3 + y Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 THI HSG LỚP 12 TỈNH THƯA THIÊN HUÊ NĂM ⇔ ( x − y − 1) ( x − 1) + y ( x − 1) + y + 1 = ⇔ y = x−1 y = x − vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình: Thay 3x + − − x = x3 − x − 10 x ⇔ 5x = x ( x − 5) ( x + ) 3x + + − x x = ⇔ ( x − ) ( x + ) Với ( ) x + + − x = ( *) x = ⇒ y = −1 − ≤ x≤ Do nên VT ( *) < nên phương trình ( *) vơ nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm b) Gọi n = a1a2a3a4a5 Số phần tử tập Ta có Do S ( x; y ) ( 0; − 1) số tự nhiên cần tìm, chữ số lấy từ tập số số tự nhiên có chữ số với chữ số khác lấy từ tập n ( S ) = A64 = 2160 n chia hết cho 15 nên n chia hết cho Suy a5 = TH1: A a5 = ⇒ n = a1a2a3a4 Khi để Do số số a1 , a2 , a3 , a4 lấy từ tập a5 = { 1;2;3;4;5;6} n chia hết cho ( a1 + a2 + a3 + a4 ) chia hết cho a1 , a2 , a3 , a4 lấy từ tập { 1;2;3;4;5;6} nên xảy TH sau: i) Trong số gồm hai số chia hết cho 3, số chia dư 1, số chia dư Có tất A42 2.2.2 = 96 số ii) Trong số gồm hai số chia dư 1, hai số chia dư Có tất 4! = 24 số Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang A Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 TH2: a5 = ⇒ n = a1a2a3a4 Khi để Do số số THI HSG LỚP 12 TỈNH THƯA THIÊN HUÊ NĂM a1 , a2 , a3 , a4 lấy từ tập { 0;1;2;3;4;6} n chia hết cho ( a1 + a2 + a3 + a4 ) chia dư a1 , a2 , a3 , a4 lấy từ tập { 0;1;2;3;4;6} nên xảy TH sau: iii) Trong số gồm ba số chia hết cho 3, số chia dư * Nếu a1 = a2 , a3 , a4 số ba số { 0;6;1} , { 0;6;4} nên có 3!+ 3! = 12 số * Nếu a1 = a2 , a3 , a4 số ba số { 0;3;1} , { 0;3;4} nên có 3!+ 3! = 12 số * Nếu a1 = a1 = Có tất a2 , a3 , a4 số ba số { 0;3;6} nên có 3!+ 3! = 12 số 36 số iv) Trong số gồm số chia hết cho 3, hai số chia dư 1, số chia dư * Nếu * Nếu số * Nếu a1 = a1 = a2 , a3 , a4 số ba số số ba số a1 = tương tự có 18 số thỏa mãn a1 = Có tất 12 + 18.3 = nên có { 2;4;6} , { 2;4;3} , { 2;4;0} a1 = a2 , a3 , a4 { 1;2;4} 3!+ 3! = 12 nên có số 3.3! = 18 66 số 96 + 24 + 36 + 66 37 = Vậy xác suất cần tính 2160 360 Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( C ) : x2 + y − x − y = Từ điểm M đến đường tròn AMB biết ( C) với AB = 10 A, B ∆ :5 x − y − 19 = nằm đường thẳng ∆ đường tròn kẻ tiếp tuyến MA , MB tiếp điểm Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Huỳnh Như ; Fb: Nhu Nguyen Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 *Các tam giác điểm ( C) có tâm IH = IA2 − AH = IM qua AMB đường tròn đường kính IM tam giác vng nên đường tròn đường kính A , B nên đường tròn ngoại tiếp tam giác * Đường tròn Ta có IAM , IBM THI HSG LỚP 12 TỈNH THƯA THIÊN HUÊ NĂM I ( 2;1) bán kính R= 10 10 IA2 − = ⇒ IM = = 10 ÷÷ 2 IH ( ) 2 5a − 19 5a − 19 IM = 10 ⇔ ( a − ) + − 1÷ = 10 M a; ∈∆ ÷ Gọi Ta có a = 139 ⇒ a = 29 Giải phương trình ta *Với M ( 3; − ) trung điểm IM M ( 3; − ) M 139 ; 72 29 29 ÷ 5 1 ;− ÷ 2 , phương trình đường tròn đường kính IM 1 5 x− ÷ + y+ ÷ = 2 2 139 72 M ; ÷ * Với 29 29 trung điểm IM IM 197 37 ; ÷ 58 26 , phương trình đường tròn đường kính 37 197 x − + y − ÷ ÷ = 58 26 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác mặt phẳng ( OAB ) OAB THI HSG LỚP 12 TỈNH THƯA THIÊN HUÊ NĂM AB = a Trên đường thẳng (d ) có lấy điểm M cho OM = x Gọi E, F hình chiếu vng góc A lên MB OB Đường thẳng EF cắt đường thẳng a) Chứng minh qua O vng góc với (d ) N AN ⊥ BN b) Xác định x theo a để thể tích khối tứ diện ABMN nhỏ tính giá trị nhỏ Lời giải Tác giả: Phan Trung Hiếu; Fb: Hieu Pt AF ⊥ OB ⇒ AF ⊥ ( OMB ) ⇒ AF ⊥ MB, a) Ta có AF ⊥ OM mà AE ⊥ MB Do AN ⊂ ( AEF ) nên BM ⊥ ( AEF ) nên AN ⊥ BM b) Theo câu a) ta có uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur AN BM = ⇔ ON − OA OM − OB = ( )( ) ⇔ − OM ON + OAOB cos 600 = ⇔ ON = Do OA.OB.cos 600 a = OM 2x MN ⊥ ( OAB ) VABMN nên 1 a a2 a2 a2 = VMOAB + VNOAB = MN SOAB = x + ÷= x + ÷ 3 x 12 x a2 a2 a3 x + ≥ x = 2a ⇒ VABMN ≥ Theo bất đẳng thức Cauchy 2x 2x 12 a3 a2 a x= ⇔x= Vậy thể tích lớn khối tứ diện ABMN 12 2x Câu (2,0 điểm) ) Cho biểu thức P= x, y,z 1 + + = 2018 số dương thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ 1 3029 + + + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 THI HSG LỚP 12 TỈNH THƯA THIÊN HUÊ NĂM Lời giải 11 1 ≤ + ÷ * Xét bất đẳng thức phụ: a + b a b với a, b > * Dùng bất đẳng thức ta có: 1 1 1 1 = ≤ + ÷≤ + + ÷ x + y + z ( x + y ) + ( x + z ) x + y x + z 16 x y z 1 1 ≤ + + ÷; Tương tự ta có: x + y + z 16 x y z 1 1 2 ≤ + + ÷ x + y + z 16 x y z 1 3029 2018 3029 P ≤ + + ÷+ = + = 2019 4 x y z Suy ra: Vậy giá trị nhỏ P 2019 đạt x= y= z= 2018 HÊT Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang