Tổ 17 đ 2 olympic toán 10 THPT kim liên 2018 2019

TỔ 17 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG cấp trường lớp 10 THPT Kim Liên năm 2018-2019 ĐỀ THI OLYMPIC CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN THI: TỐN – LỚP 10 ĐỀ BÀI Câu Cho phương trình x    x  18  x  x  m , (1), (với m tham số) a) Giải phương trình (1) m  b) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Câu �x  x y  x y  �3 x y  xy  x  1 a) Giải hệ phương trình � b) Một cầu treo có dây truyền đỡ Parabol ACB hình vẽ Đầu, cuối dây gắn vào ' ' ' ' điểm A, B trục AA BB với độ cao 30 m Chiều dài đoạn A B cầu 200 ' ' ' ' ' ' ' ' m Độ cao ngắn dây truyền cầu CC  m Gọi Q , P , H , C , I , J , K ' ' điểm chia đoạn A B thành phần Các thẳng đứng nối cầu với đáy dây ' ' ' ' ' ' ' truyền QQ , PP , HH , CC , II , JJ , KK gọi dây cáp treo Tính tổng độ dài dây cáp treo ? Câu Cho tam giác ABC điểm M BC = a, CA = b, AB=c 2 a) Chứng minh (b  c )cosA=a(c.cosC-b.cosB) 2 b) Tìm tập hợp điểm M cho MB  MC  MA Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho A(3;1) , B(1; 2) a) Tìm tọa độ điểm N trục hoành Ox cho khoảng cách AN nhỏ b) Cho điểm M di động đường thẳng d: y  x Đường thẳng MA cắt trục hoành P đường thẳng MB cắt trục tung Q Chứng minh đường thẳng PQ qua điểm cố định Câu x  y  z  xyz Chứng minh Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn: x  y  z  xyz Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 17 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG cấp trường lớp 10 THPT Kim Liên năm 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu x    x  18  x  x  m , (1), (với m tham số) a) Giải phương trình (1) m  b) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Cho phương trình Lời giải Tác giả: Hải Thương ; Fb: Hải Thương Đk: 3 �x �6 Đặt t   x   x , �t �3 Suy 18  3x  x  t2  Phương trình (1) trở thành t  2t   2m t  1 (l) � t  2t   � � t 3 � a) Khi m  phương trình trở thành x  3 � t  �  x   x  �  18  x  x  � 18  x  x  � � x6 � Đối chiếu điều kiện ta nghiệm phương trình x  3, x  t �� 3;3 � � � b) Phương trình (1) có nghiệm phương trình t  2t   2m có nghiệm � t �� 3;3 � 3;3 � � � Hàm số f  t  đồng biến � �nên với t �� 3;3 � �f  t  �18  � � với Xét hàm số f  t   t  2t ۣ �3-� ۣ 9- 2m 18 9  2 m Phương trình (1) có nghiệm 2 �x  x y  x y  �3 x y  xy  x  1 Câu a) Giải hệ phương trình � b) Một cầu treo có dây truyền đỡ Parabol ACB hình vẽ Đầu, cuối dây gắn vào ' ' ' ' điểm A, B trục AA BB với độ cao 30 m Chiều dài đoạn A B cầu 200 ' ' ' ' ' ' ' ' m Độ cao ngắn dây truyền cầu CC  m Gọi Q , P , H , C , I , J , K ' ' điểm chia đoạn A B thành phần Các thẳng đứng nối cầu với đáy dây ' ' ' ' ' ' ' truyền QQ , PP , HH , CC , II , JJ , KK gọi dây cáp treo Tính tổng độ dài dây cáp treo ? Lời giải Tác giả: Cao Văn Hồng ; Fb: Bình AN Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 17 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a) Ta có : Đề thi HSG cấp trường lớp 10 THPT Kim Liên năm 2018-2019 x  x y   x  xy   x y 2 2 � a  x  xy � � b  x3 y Đặt � , hệ phương trình trở thành : � a2  b  �  a  b  1 � a 1 � �� a  2 � Suy a  a   Với a  ta tính b  Với a  2 ta tính b  3 � � �x  �x  1 � � � � 1 � �y  � � � � � � �x  xy  �x  �1 �x  � � �3 � � y0 x y0 � � � � �y  TH1: �2 x   2 � �x  x   � x �� � �x  xy  2 � � 3 �y  3 �3 �y  x y  3 � x3 � x TH2: � (vô nghiệm ) Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm là:  1;0   1;0  b) Chọn hệ trục Oxy hình vẽ Giả sử Parabol có dạng : y  ax  bx  c, a �0 Vì Parabol qua điểm A  100;30  đỉnh C  0;5  nên ta có hệ phương trình: � a � 10000 a  100 b  c  30 � 400 � �b �� b0 � � 0 � c5 �2a � c5 � � � Vậy (P): y x 5 400 ' ' Đoạn A B chia làm phần nhau, phần có độ dài 25 m Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang TỔ 17 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG cấp trường lớp 10 THPT Kim Liên năm 2018-2019 Khi đó, tổng độ dài dây cáp treo là: Câu �1 � �1 � �1 �   � 252  � � 50  � � 75  � OC  y1  y2  y3 �400 � �400 � �400 �=78,75 m Cho tam giác ABC điểm M BC = a, CA = b, AB=c 2 a) Chứng minh (b  c )cosA=a(c.cosC-b.cosB) 2 b) Tìm tập hợp điểm M cho MB  MC  MA Lời giải a � a  b2  c2 a  c2  b2 � (b  c )  a (b  c ) VP  a � c  b   � 2ab 2ac 2bc � �  (b  c )(b  c  a )  (b  c ).cosA 2bc b uuur uuur uuur r Gọi D điểm xác định hệ thức: DB  DC  DA  Ta có: MB  MC  MA2  MD  DB  DC  DA2  uuur uuur  MD  DB  DC  ( DB  DC )   MD  AB AC.cosA Nếu A tù, tập hợp điểm M tập � Nếu A vuông, tập hợp điểm M {D} Nếu A nhọn, tập hợp điểm M đường tròn ( D; AB AC.cosA) Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho A(3;1) , B (1; 2) a) Tìm tọa độ điểm N trục hoành Ox cho khoảng cách AN nhỏ b) Cho điểm M di động đường thẳng d: y  x Đường thẳng MA cắt trục hoành P đường thẳng MB cắt trục tung Q Chứng minh đường thẳng PQ qua điểm cố định Lời giải a) N �sao cho AN nhỏ N hình chiếu vng góc A lên trục Ox Vậy N (3;0) b) M �d : y  x � M (m; m) Đường thẳng AM có phương trình (m  1) x  my  2m  �2m � P� ;0 � AM cắt trục hoành �m  � Đường thẳng MB có phương trình (m  2) x  ( m  1) y  3m  � 3m � Q� 0; � MB cắt trục tung � m  � m 1 m 1 x y 1 3m Phương trình PQ : 2m , ( m ��1, m �0) Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 17 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG cấp trường lớp 10 THPT Kim Liên năm 2018-2019 1;0) PQ qua I ( x0 ; y0 ) cố định (3 x0  y0  6) m  x0  y0  0, (m �� �x0  3x0  y0  � � � � �� y0  � 3x0  y0  � Vậy � Câu � 3� I� 1; � � 2� x  y  z  xyz Chứng minh Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn: x  y  z  xyz Lời giải 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương x , y , z , x , y , z ta được: x  y  z  x  y  z �6 x y z xyz  xyz Vì x  y  z  xyz nên suy ra: xyz  x  y  z �6 xyz � x  y  z �2 xyz 2 Đẳng thức xảy x  y  z  x  y  z � x  y  z  Nhưng giá trị không thỏa mãn giả thiết Vậy x  y  z  xyz nên đẳng thức xảy x  y  z  xyz Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang