TỔ 17 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG cấp trường lớp 10 THPT Kim Liên năm 2018-2019 ĐỀ THI OLYMPIC CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN THI: TỐN – LỚP 10 ĐỀ BÀI Câu Cho phương trình x x 18 x x m , (1), (với m tham số) a) Giải phương trình (1) m b) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Câu �x x y x y �3 x y xy x 1 a) Giải hệ phương trình � b) Một cầu treo có dây truyền đỡ Parabol ACB hình vẽ Đầu, cuối dây gắn vào ' ' ' ' điểm A, B trục AA BB với độ cao 30 m Chiều dài đoạn A B cầu 200 ' ' ' ' ' ' ' ' m Độ cao ngắn dây truyền cầu CC m Gọi Q , P , H , C , I , J , K ' ' điểm chia đoạn A B thành phần Các thẳng đứng nối cầu với đáy dây ' ' ' ' ' ' ' truyền QQ , PP , HH , CC , II , JJ , KK gọi dây cáp treo Tính tổng độ dài dây cáp treo ? Câu Cho tam giác ABC điểm M BC = a, CA = b, AB=c 2 a) Chứng minh (b c )cosA=a(c.cosC-b.cosB) 2 b) Tìm tập hợp điểm M cho MB MC MA Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho A(3;1) , B(1; 2) a) Tìm tọa độ điểm N trục hoành Ox cho khoảng cách AN nhỏ b) Cho điểm M di động đường thẳng d: y x Đường thẳng MA cắt trục hoành P đường thẳng MB cắt trục tung Q Chứng minh đường thẳng PQ qua điểm cố định Câu x y z xyz Chứng minh Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn: x y z xyz Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 17 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG cấp trường lớp 10 THPT Kim Liên năm 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu x x 18 x x m , (1), (với m tham số) a) Giải phương trình (1) m b) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Cho phương trình Lời giải Tác giả: Hải Thương ; Fb: Hải Thương Đk: 3 �x �6 Đặt t x x , �t �3 Suy 18 3x x t2 Phương trình (1) trở thành t 2t 2m t 1 (l) � t 2t � � t 3 � a) Khi m phương trình trở thành x 3 � t � x x � 18 x x � 18 x x � � x6 � Đối chiếu điều kiện ta nghiệm phương trình x 3, x t �� 3;3 � � � b) Phương trình (1) có nghiệm phương trình t 2t 2m có nghiệm � t �� 3;3 � 3;3 � � � Hàm số f t đồng biến � �nên với t �� 3;3 � �f t �18 � � với Xét hàm số f t t 2t ۣ �3-� ۣ 9- 2m 18 9 2 m Phương trình (1) có nghiệm 2 �x x y x y �3 x y xy x 1 Câu a) Giải hệ phương trình � b) Một cầu treo có dây truyền đỡ Parabol ACB hình vẽ Đầu, cuối dây gắn vào ' ' ' ' điểm A, B trục AA BB với độ cao 30 m Chiều dài đoạn A B cầu 200 ' ' ' ' ' ' ' ' m Độ cao ngắn dây truyền cầu CC m Gọi Q , P , H , C , I , J , K ' ' điểm chia đoạn A B thành phần Các thẳng đứng nối cầu với đáy dây ' ' ' ' ' ' ' truyền QQ , PP , HH , CC , II , JJ , KK gọi dây cáp treo Tính tổng độ dài dây cáp treo ? Lời giải Tác giả: Cao Văn Hồng ; Fb: Bình AN Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 17 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a) Ta có : Đề thi HSG cấp trường lớp 10 THPT Kim Liên năm 2018-2019 x x y x xy x y 2 2 � a x xy � � b x3 y Đặt � , hệ phương trình trở thành : � a2 b � a b 1 � a 1 � �� a 2 � Suy a a Với a ta tính b Với a 2 ta tính b 3 � � �x �x 1 � � � � 1 � �y � � � � � � �x xy �x �1 �x � � �3 � � y0 x y0 � � � � �y TH1: �2 x 2 � �x x � x �� � �x xy 2 � � 3 �y 3 �3 �y x y 3 � x3 � x TH2: � (vô nghiệm ) Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm là: 1;0 1;0 b) Chọn hệ trục Oxy hình vẽ Giả sử Parabol có dạng : y ax bx c, a �0 Vì Parabol qua điểm A 100;30 đỉnh C 0;5 nên ta có hệ phương trình: � a � 10000 a 100 b c 30 � 400 � �b �� b0 � � 0 � c5 �2a � c5 � � � Vậy (P): y x 5 400 ' ' Đoạn A B chia làm phần nhau, phần có độ dài 25 m Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang TỔ 17 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG cấp trường lớp 10 THPT Kim Liên năm 2018-2019 Khi đó, tổng độ dài dây cáp treo là: Câu �1 � �1 � �1 � � 252 � � 50 � � 75 � OC y1 y2 y3 �400 � �400 � �400 �=78,75 m Cho tam giác ABC điểm M BC = a, CA = b, AB=c 2 a) Chứng minh (b c )cosA=a(c.cosC-b.cosB) 2 b) Tìm tập hợp điểm M cho MB MC MA Lời giải a � a b2 c2 a c2 b2 � (b c ) a (b c ) VP a � c b � 2ab 2ac 2bc � � (b c )(b c a ) (b c ).cosA 2bc b uuur uuur uuur r Gọi D điểm xác định hệ thức: DB DC DA Ta có: MB MC MA2 MD DB DC DA2 uuur uuur MD DB DC ( DB DC ) MD AB AC.cosA Nếu A tù, tập hợp điểm M tập � Nếu A vuông, tập hợp điểm M {D} Nếu A nhọn, tập hợp điểm M đường tròn ( D; AB AC.cosA) Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho A(3;1) , B (1; 2) a) Tìm tọa độ điểm N trục hoành Ox cho khoảng cách AN nhỏ b) Cho điểm M di động đường thẳng d: y x Đường thẳng MA cắt trục hoành P đường thẳng MB cắt trục tung Q Chứng minh đường thẳng PQ qua điểm cố định Lời giải a) N �sao cho AN nhỏ N hình chiếu vng góc A lên trục Ox Vậy N (3;0) b) M �d : y x � M (m; m) Đường thẳng AM có phương trình (m 1) x my 2m �2m � P� ;0 � AM cắt trục hoành �m � Đường thẳng MB có phương trình (m 2) x ( m 1) y 3m � 3m � Q� 0; � MB cắt trục tung � m � m 1 m 1 x y 1 3m Phương trình PQ : 2m , ( m ��1, m �0) Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 17 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG cấp trường lớp 10 THPT Kim Liên năm 2018-2019 1;0) PQ qua I ( x0 ; y0 ) cố định (3 x0 y0 6) m x0 y0 0, (m �� �x0 3x0 y0 � � � � �� y0 � 3x0 y0 � Vậy � Câu � 3� I� 1; � � 2� x y z xyz Chứng minh Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn: x y z xyz Lời giải 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương x , y , z , x , y , z ta được: x y z x y z �6 x y z xyz xyz Vì x y z xyz nên suy ra: xyz x y z �6 xyz � x y z �2 xyz 2 Đẳng thức xảy x y z x y z � x y z Nhưng giá trị không thỏa mãn giả thiết Vậy x y z xyz nên đẳng thức xảy x y z xyz Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang