Sảnphẩmcủa Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDCTHI HSG LỚP 10 TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2018 - 2019 ĐỀHSG LỚP 10 TỈNH HẢI DƯƠNG MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT ĐỀ Câu I (2,0 điểm) 1) Cho hàm số y = x − x + có đồ thị ( P ) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng ( dm ) : y = x + m cắt đồ thị ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn 1 + =2 x1 x2 2) Cho hàm số y = (m − 1) x − 2mx + m + ( m tham số) Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng (−∞;2) Câu II (3,0 điểm) ( x − y ) ( x + xy + y + 3) = ( x + y ) + 1) Giải hệ phương trình: 2 x y + x − x − 12 = 2) Giải phương trình ( x − 3) + x − x − x = x − x − ( 1) ( 2) 3) Giải bất phương trình x + (3 x − x − 4) x + ≤ Câu III (3,0 điểm) uuur uuur r 1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G điểm N thỏa mãn NB − NC = Gọi P giao PA điểm AC GN , tính PC 2) Cho tam giác nhọn ABC , gọi H , E , K chân đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C Gọi diện tích tam giác ABC HEK S ∆ABC S ∆HEK Biết S ∆ABC = S ∆HEK , chứng minh sin A + sin B + sin C = Oxy 3) Trong mặt phẳng tọa độ , cho ∆ABC cân A Đường thẳng AB có phương trình x + y − = , đường thẳng AC có phương trình x − y + = Biết điểm M (1;10) thuộc cạnh BC , tìm tọa độ đỉnh A, B, C Câu IV (1,0 điểm) Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I loại II từ 200kg nguyên liệu máy chuyên dụng Để sản xuất kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu máy làm việc Để sản xuất kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu máy làm việc 1,5 Biết kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng máy chuyên dụng làm việc không 120 Hỏi xưởng cần sản xuất kilôgam sản phẩm loại để tiền lãi lớn Câu V (1,0 điểm) Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn xy + yz + xz = x2 y2 z2 + + ≥ Chứng minh bất đẳng thức: x3 + y3 + z3 + HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang1 Sảnphẩmcủa Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDCTHI HSG LỚP 10 TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2018 - 2019 GIẢI CHI TIẾT ĐỀHSG LỚP 10 TỈNH HẢI DƯƠNG MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu I (2,0 điểm) 1) Cho hàm số y = x − x + có đồ thị ( P ) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng ( dm ) : y = x + m cắt đồ thị ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn 1 + =2 x1 x2 2) Cho hàm số y = (m − 1) x − 2mx + m + ( m tham số) Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng (−∞;2) Lời giải 1) Xét phương trình hoành độ giao điểm: x2 − 4x + = x + m ⇔ x2 − 5x + − m = ( *) Xét theo yêu cầu tốn phương trình ( *) có hai nghiệm phân biệt khác 13 ∆ = 4m + 13 > m > − ⇔ ⇔ 3 − m ≠ m ≠ Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình ( *) Ta có: 1 + = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ( **) x1 x2 x1 + x2 = Theo định lý Vi-ét: Thế vào ( **) ta được: 2m − = ⇔ m = (thỏa mãn) x1 x2 = − m Vậy m = thỏa mãn yêu cầu toán 2) Với m = ⇒ y = −2 x + Hàm số nghịch biến ¡ nên hàm số nghịch biến khoảng (−∞;2) Do m = thỏa mãn a > Với m ≠ Hàm số nghịch biến khoảng (−∞;2) b ( −∞;2 ) ⊂ −∞; − 2a ÷ m − > m > ⇔ m ⇔ 2 − m ⇔1< m ≤ m − ≥ m − ≥ Vậy ≤ m ≤ giá trị cần tìm Câu II (3,0 điểm) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang2 Sảnphẩmcủa Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDCTHI HSG LỚP 10 TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2018 - 2019 ( x − y ) ( x + xy + y + 3) = ( x + y ) + 1) Giải hệ phương trình: 2 x y + x − x − 12 = 2) Giải phương trình ( x − 3) + x − x − x = x − x − ( 1) ( 2) 3) Giải bất phương trình x + (3 x − x − 4) x + ≤ Lời giải 1) Ta có: ( x − y ) ( x + xy + y + 3) = ( x + y ) + ⇔ x3 − y + 3x − y = 3x + y + ⇔ x − x + x − = y + y + y + ⇔ ( x − 1) = ( y + 1) ⇔ x − = y + ⇔ y = x − 3 Thế y = x − vào phương trình ( ) ta phương trình: x ( x − ) − x − 12 = ⇔ x − x − x − 12 = ⇔ ( x − 3) ( x + x + ) = x = ⇔ x + x + = VN Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 3;1) 2) Điều kiện −1 ≤ x ≤ Ta có ( x − 3) + x − x − x = 2x2 − 6x − ⇔ ( x − 3) ⇔ ( ) ( 1+ x −1 − x ( x − 3) x 1+ x +1 + x ( x − 3) − x +1 ) − x −1 = 2x2 − 6x = x ( x − 3) x ( x − 3) = 0, ( 1) ⇔ 1 + = , ( 2) + x + − x +1 x = ( tm ) Giải ( 1) : x ( x − 3) = ⇔ x = Giải ( ) ta có 1 1 + < + = = VP Vậy 1+ x +1 − x +1 1 ( 2) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = { 0;3} 3) Điều kiện x ≥ −1 Ta có: x + (3 x − x − 4) x + ≤ ⇔ x + x x + − 4( x + 1) x + ≤ ⇔ x3 + 3x x + − ( ) x + ≤ (1) * Xét x = −1 , thay vào (1) thỏa mãn Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang3 Sảnphẩmcủa Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDCTHI HSG LỚP 10 TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2018 - 2019 * Xét x > −1 ⇒ x + > Chia hai vế (1) cho ( x +1 ) ta bất phương trình x x ÷ + 3 ÷ − ≤ x +1 x +1 Đặt t = x , ta có bất phương trình t + 3t − ≤ ⇔ (t − 1)(t + 2) ≤ ⇔ t ≤ x +1 −1 < x < −1 < x < −1 < x < x t ≤1⇒ ≤ ⇔ x + ≥ x ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ ⇔ 0 ≤ x ≤ + x +1 2 x + ≥ x x − x − ≤ 1+ ⇔ −1 < x ≤ Vậy tập nghiệm bất phương trình (1) là: T = −1; 1+ Câu III (3,0 điểm) uuur uuur r 1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G điểm N thỏa mãn NB − NC = Gọi P giao PA điểm AC GN , tính PC 2) Cho tam giác nhọn ABC , gọi H , E , K chân đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C Gọi diện tích tam giác ABC HEK S ∆ABC S ∆HEK Biết S ∆ABC = S ∆HEK , chứng minh sin A + sin B + sin C = Oxy 3) Trong mặt phẳng tọa độ , cho ∆ABC cân A Đường thẳng AB có phương trình x + y − = , đường thẳng AC có phương trình x − y + = Biết điểm M (1;10) thuộc cạnh BC , tìm tọa độ đỉnh A, B, C Lời giải 1) uuur uuur Gọi I trung điểm BC Gọi AP = k AC uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có: GP = AP − AG = k AC − AB + AC = k − ÷ AC − AB 3 3 ( ) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang4 Sảnphẩmcủa Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDCTHI HSG LỚP 10 TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2018 - 2019 uuur uur uur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Lại có: GN = GI + IN = AI + BC = AB + AC + AC − AB = AC − AB 6 uuur uuur Mặt khác, ba điểm G , P , N thẳng hàng nên hai vector GP ,GN phương Do đó: ( ) 1 − k− 3= ⇔ = ⇔k−1= ⇔k=4 7 15 − 6 uuur uuur PA =4 Suy ra: AP = AC ⇒ AP = AC ⇒ PC = AC ⇒ 5 PC 2) k− Đặt S = S ABC từ giả thiết suy S EAK + S KBH + S HCE = S S S S ⇒ EAK + KBH + HCE = S S S Ta có: S EAK AE AK sin A AE AK = = = cos A.cos A = cos A S AB AC sin A AB AC S KBH BK BH sin B BK BH = = = cos B.cos B = cos B S AB.BC sin B BC AB S HCE CH CE.sin C CH CE = = = cos C.cos C = cos C S AC.BC sin C AC BC S S S 3 2 Do đó: EAK + KBH + HCE = ⇔ cos A + cos B + cos C = S S S 4 ⇔ − sin A + − sin B + − sin C = ⇔ sin A + sin B + sin C = 4 3) Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang5 Sảnphẩmcủa Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDCTHI HSG LỚP 10 TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2018 - 2019 x + y − = x = ⇔ Toạ độ điểm A nghiệm hệ phương trình Suy A(2;1) x − y + = y =1 Phương trình đường phân giác góc A x + y − = (d1 ) x+ y −3 x − 7y + =± ↔ 3 x − y − = ( d ) Do tam giác ABC cân A nên đường phân giác kẻ từ A đường cao Trường hợp 1: Xét d1 đường cao tam giác ABC kẻ từ A + Phương trình đường thẳng BC qua M vng góc với BC x − y + = x + y − = x = −1 ⇔ ⇒ B (−1; 4) + Toạ độ điểm B nghiệm hệ phương trình 3 x − y + = y = 11 x=− x − y + = 11 ⇔ ⇒ C − ; ÷ + Toạ độ điểm C nghiệm hệ phương trình 5 3 x − y + = y = uuur uuuu r 16 48 uuuu r uuur + Tính MB = (−2; −6), MC = − ; − ÷⇒ MC = MB ⇒ M nằm đoạn BC Trường hợp không thỏa mãn Trường hợp 2: Xét d đường cao tam giác ABC kẻ từ A + Phương trình đường thẳng BC x + y − 31 = x + y − = x = −11 ⇔ ⇒ B (−11;14) + Toạ độ điểm B nghiệm hệ phương trình x + y − 31 = y = 14 101 x= x − y + = 101 18 ⇔ ⇒C ; ÷ + Toạ độ điểm C nghiệm hệ phương trình 5 x + y − 31 = y = 18 uuur uuuu r 96 32 uuuu r u u u r + Tính MB = (−12; 4), MC = ; − ÷ ⇒ MC = − MB ⇒ M thuộc đoạn BC 101 18 ; ÷ Vậy A(2;1), B( −11;14), C 5 Câu IV (1,0 điểm) Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I loại II từ 200kg nguyên liệu máy chuyên dụng Để sản xuất kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu máy làm việc Để sản xuất kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu máy làm việc 1,5 Biết kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng máy chuyên dụng làm việc không 120 Hỏi xưởng cần sản xuất kilôgam sản phẩm loại để tiền lãi lớn Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang6 Sảnphẩmcủa Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDCTHI HSG LỚP 10 TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2018 - 2019 Lời giải Giả sử sản xuất x(kg ) sản phẩm loại I y (kg ) sản phẩm loại II Điều kiện x ≥ 0, y ≥ x + y ≤ 200 ⇔ x + y ≤ 100 Tổng số máy làm việc: x + 1,5 y Ta có x + 1,5 y ≤ 120 Số tiền lãi thu T = 300000 x + 400000 y (đồng) x ≥ 0, y ≥ Ta cần tìm x, y thoả mãn: x + y ≤ 100 (I) cho T = 300000 x + 400000 y đạt giá 3 x + 1,5 y ≤ 120 trị lớn Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường thẳng d1 : x + y = 100; d : x + 1,5 y = 120 Đường thẳng d1 cắt trục hoành điểm A(100;0) , cắt trục tung điểm B(0;50) Đường thẳng d cắt trục hoành điểm C (40;0) , cắt trục tung điểm D ( 0;80 ) Đường thẳng d1 d cắt điểm E ( 20;40 ) Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình (I) miền đa giác OBEC x = ⇒ T = 0; y = x = ⇒ T = 20000000 ; y = 50 x = 20 ⇒ T = 22000000 ; y = 40 x = 40 ⇒ T = 12000000 y = Vậy để thu tổng số tiền lãi nhiều xưởng cần sản xuất 20kg sản phẩm loại I 40kg sản phẩm loại II Câu V (1,0 điểm) Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn xy + yz + xz = x2 y2 z2 + + ≥ Chứng minh bất đẳng thức: x3 + y3 + z3 + Lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang7 Sảnphẩmcủa Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDCTHI HSG LỚP 10 TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2018 - 2019 x2 ( x + 2) + ( x − x + 4) x − x + ⇒ x + = ( x + 2)( x − x + 4) ≤ = 2 Tương tự, ta có y2 y3 + y2 ; y2 − y + ≥ z2 z3 + ≥ x3 + ≥ 2x2 x2 − x + 2z2 z2 − z + Từ suy ra: x2 x3 + + y2 y3 + + z2 z3 + ≥ 2x2 y2 2z2 + + (1) x2 − x + y − y + z − z + a b2 ( a + b ) Chứng minh bổ đề: Cho x, y > a, b ∈ ¡ ta có: + ≥ x y x+ y ( *) 2 a2 y + b2 x ( a + b ) ⇔ ( a y + b x ) ( x + y ) ≥ xy ( a + b ) ⇔ ( ay − bx ) ≥ Ta có ( *) ⇔ ≥ xy x+ y Đẳng thức xảy a b = x y Áp dụng bổ đề ta có: x + y) ( x2 y2 z2 z2 2 + + ≥ + 2 x + y − ( x + y ) + 12 z − z + x − x + y − y + z − z + 6 2( x + y + z ) ≥ x + y + z − ( x + y + z ) + 18 Đến đây, ta cần chứng minh: 2( x + y + z ) ≥1 x + y + z − ( x + y + z ) + 18 ( 3) Do x + y + z − ( x + y + z ) + 18 = ( x + y + z ) − ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) + 18 = ( x + y + z ) − ( x + y + z ) + 12 > 2 2 Nên ( 3) ⇔ 2( x + y + z ) ≥ x + y + z − ( x + y + z ) + 18 ⇔ x2 + y + z + x + y + z ≥ (4) Mặt khác, x, y , z số dương nên ta có: x + y + z ≥ xy + yz + zx = x + y + z ≥ 3( xy + yz + zx) = Nên bất đẳng thức (4) Từ (1), (2), (3) (4), ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z = HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang8