Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI HSG LỚP 10 THPT YÊN PHONG 2- BẮC NINH NĂM 2018-2019 MƠN TỐN Câu (4 điểm) Cho hàm số y = x − ( 2m − 3) x − 2m + ( 1) 1) Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2) Xác định cho Câu ∆ OAB để đồ thị hàm số vuông m= ( 1) cắt đường thẳng y = 3x − hai điểm A, B phân biệt O (với O gốc tọa độ ) (2 điểm) Tìm tất giá trị tham số khoảng Câu m ( 1) m để hàm số y = x− m+1+ 2x − x + 2m xác định ( − 1;3) (5 điểm) Giải phương trình: 1) x − 3x − + = x 2) 3x + + x − = 5x + 3) 3x + − − x − x3 + 3x + 10 x − 26 = Câu 4: ìï x + x y - xy + xy - y = ïí (2 điểm) Giải hệ phương trình: ïïỵ x + y - xy ( x - 1) = Câu (3 điểm) Cho tam giác Câu · = 60° Các điểm M , N xác AB = , AC = x BAC uuuur uuur uuur uuur định MC = − 2MB NB = − NA Tìm x để AM CN vng góc với (2 điểm) Cho tam giác ABC Chứng minh với G trọng tâm tam giác ABC , ta có Câu uuur uuur uuur uuur uuur uuur GAGB + GB.GC + GC.GA = − ( AB + BC + CA2 ) (2 điểm) Cho x, y, z ∈ [ 2018;2019] Tìm giá trị lớn biểu thức: f( x, y, z) = ABC 2018.2019 − xy (x+ y)z + có 2018.2019 − yz (y+ z)x + 2018.2019 − zx (z+ x)y Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019 LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu Cho hàm số y = x − ( 2m − 3) x − 2m + ( 1) 1) Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2) Xác định cho ( 1) m= m để đồ thị hàm số ( 1) cắt đường thẳng y = 3x − hai điểm A, B phân biệt ∆ OAB vuông O (với O gốc tọa độ ) Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hiền ; Fb: Nguyễn Hiền m = ta hàm số y = x + 3x + *) Tập xác định: D = ¡ 1) Khi −3 −1 I ; ÷ *) Tọa độ đỉnh: *) Sự biến thiên: Vì a = 1> −3 ;+ ∞ ÷ nên hàm số đồng biến khoảng , nghịch biến −3 −∞ ; ÷ khoảng 2 *) Bảng biến thiên *) Điểm đặc biệt −3 −1 I ; ÷ *) Đồ thị : Đồ thị đường parabol có đỉnh , hướng bề lõm lên nhận đường thẳng x= −3 làm trục đối xứng Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019 2) Phương trình hồnh độ giao điểm ĐTHS ( 1) đường thẳng y = 3x − là: x − ( m − ) x − 2m + = x − ⇔ x − 2mx − 2m + = ( *) Để ĐTHS ( 1) cắt đường thẳng nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > y = 3x − điểm phân biệt A, B ⇔ phương trình ( *) có m < −3 ⇔ m >1 x1 + x2 = 2m Gọi x1, x2 nghiệm phương trình ( *) ,ta có x1.x2 = − 2m + ( ) , B ( x2 ;3x2 − 1) Đặt A x1 ;3 x1 − ∆ OAB vuông uuur uuur O ⇔ OAOB = ⇔ 10 x1x2 − 3( x1 + x2 ) + = ⇔ − 26m + 31 = ⇔ m= Vậy Câu m= 31 26 Tìm tất giá trị tham số khoảng 31 26 ( thỏa mãn) m để hàm số y = x− m+1+ 2x − x + 2m xác định ( − 1;3) Lời giải Tác giả:Trần Thị Kim Xuyến ; Fb: Xuyen Tran x − m +1≥ ⇔ Hàm số xác định − x + 2m > x ≥ m−1 x < 2m Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019 Với điều kiện Vậy hàm số m − < 2m ⇔ m > − hàm số có tập xác định D = [ m − 1;2m ) ( −1;3) ⊂ [ m − 1; 2m ) 2x y = x− m+1+ − x + 2m m ≤ ⇔ m ≥ m − ≤ − < ≤ 2m ⇔ m > − m > −1 Vậy khơng có giá trị Câu xác định khoảng ( − 1;3) ⇔ m > −1 Hệ vơ nghiệm m thỏa mãn tốn cho Giải phương trình 1) x − 3x − + = x Lời giải Tác giả:Anh Tuấn ; Fb: Anh Tuan Ta có x − 3x − + = x 2x − ≥ ⇔ 2 x − 3x − = (2 x − 7) 2x − ≥ ⇔ 3x − 25 x + 50 = x ≥ ⇔ x = 10 x = ⇔ x= Kết luận:Tập nghiệm phương trình 2) S = { 5} 3x + + x − = 5x + Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019 Lời giải Tác giả:Anh Tuấn ; Fb: Anh Tuan Ta có 3x + + x − = x + 3x + ≥ ⇔ 4x − ≥ 3x + + x − + (3x + 1)(4 x − 3) = x + x ≥ ⇔ (3 x + 1)(4 x − 3) = − x 3 ≤ x≤3 ⇔ 4 11x + x − 12 = x ≥ ⇔ x = 12 x = − 11 ⇔ x=1 Kết luận:Tập nghiệm phương trình 3) Giải phương trình: S = { 1} 3x + − − x − x3 + 3x + 10 x − 26 = Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hằng; Fb: Hang Nguyen 3x + ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ ĐKXĐ: 5 − x ≥ Với ĐKXĐ ta có: 3x + − − x − x3 + 3x2 + 10 x − 26 = Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019 ⇔ ⇔ ( ) ( 3x + − − 3( x − 2) 3x + + + ) − x − − ( x − ) ( x − x − 12 ) = ( x − 2) − 2x + − ( x − ) ( x − x − 12 ) = ⇔ ( x − 2) + + ( − x + x + 12 ) ÷ = − 2x +1 3x + + x = ⇔ + + ( − x + x + 12 ) = ( *) x + + − 2x +1 5 − x + x + 12 > 0, ∀x ∈ −1; ⇔ x = , nên phương trình ( *) vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình cho Câu 4: S = { 2} ìï x + x y - xy + xy - y = ïí Giải hệ phương trình: ïïỵ x + y - xy ( x - 1) = Lời giải ìï ( x - y) + xy ( x - y) + xy = ïï ìï x + x y - xy + xy - y = (1) Û ïí * ( ) íï 2 ï ïï ( x - y) + xy = x + y xy x = (2) ( ) + Ta có: ïỵ î ìï a = x - y ìïï a + ab + b = ïí ( **) í + Đặt ïïỵ b = xy Hệ trở thành ïïỵ a + b = ìï a + a - 2a = (**) Û ïí Û ï b = a ï + Hệ ïỵ Từ ta tìm ìï a ( a + a - 2) = ï í ïï b = 1- a ợ ( a; b) ẻ {( 0; 1) ;( 1; 0) ;( - 2; - 3)} ìï x - y = ïí Û x = y =1 Với ( a; b) = ( 0; 1) ta có hệ ïïỵ xy = ìï x - y =1 ïí Û ( x; y ) = ( 0; - 1) ; ( 1; 0) ; ( - 1; 0) Với ( a; b) = ( 1; 0) ta có hệ ïïỵ xy = Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019 Với ( a; b) = ( - 2;- 3) ta có hệ ìï ïìï ïï ï y =x y =2 ïí ï Û í Û x ïï xy =- ïï ïï ïïỵ x + x + = ỵ Vậy hệ có nghiệm Câu ïìï ïï y =- x Û x =- 1; y = í ïï ïïỵ ( x +1) ( x - x + 3) = ( x; y) Ỵ {( 1; 1) ;( 0; - 1) ;( 1; 0) : ( - 1; 0) ; ( - 1; 3)} · = 60° Các điểm M , N AB = , AC = x BAC uuuur uuur uuur uuur định MC = − 2MB NB = − NA Tìm x để AM CN vng góc với (3 điểm) Cho tam giác ABC có xác Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Huỳnh ; Fb: Nguyễn Văn Huỳnh Điều kiện: x> Ta có: uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur ⇔ uMA + AC = − MA + AB ⇔ − 3MA = AC + AB ⇔ AM = AC + AB +) MC = − 2MB uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ⇔ uNC + CB = − NC + CA ⇔ NC + CA + AB = − CA +) NB = − NA ( uuur uuur uuur ⇔ 3NC = AC − AB ) ( ) ( ) uur uuur uuur uuur uuuur uuur ⇔ uAC + AB AC − AB = Vậy: AM ⊥ CN ⇔ AM ×NC = uuur uuur uuur uuur uu u r uuu r 2 ⇔ AC − AB + AB × AC = ⇔ AC − AB + AB × AC ×cos AB , AC = ( )( ) ( ) x = (Tháam·n) ⇔ x + 5x − = ⇔ x = − (Lo¹i ) ⇔ 3x − + x = Vậy Câu x= thỏa mãn yêu cầu toán Cho tam giác ABC Chứng minh với G trọng tâm tam giác ABC , ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur GAGB + GB.GC + GC.GA = − ( AB + BC + CA2 ) Lời giải Tác giả: Bối Bối ; Fb: Bối Bối Do G trọng tâm tam giác ABC nên ta có: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019 uuur uuur uuur uuur GAGB = GAGB cos(GA, GB) = GAGB cos ¼ AGB GA2 + GB − AB = GA.GB 2GA.GB GA2 + GB2 − AB = 4ma2 4mb2 + − AB = AC + AB BC BC + BA2 AC − − ÷+ ÷− AB 9 = AC BC + + AB ÷− AB 4 = (1) Tương tự ta có: BA2 CA2 + + BC ÷− BC uuur uuur 4 GB.GC = CB AB + + AC ÷− AC uuur uuur 4 GC.GA = (2) (3) Từ (1), (2) (3), ta có: AC BC BA2 CA2 2 + + AB ÷ − AB + + BC ÷− BC uuur uuur uuur uuur uuur uuur 4 4 GA.GB + GB.GC + GC.GA = + 2 2 CB AB + + AC ÷ − AC 4 + AB 3BC AC 2 + + ÷− ( AB + BC + CA ) 2 = 2 (3 AB + BA2 + CA2 ) − ( AB + BA2 + CA2 ) = Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019 (3 AB2 + BC + CA2 ) = − −1 AB + BC + CA2 ) ( Câu (2 điểm) Cho x, y, z ∈ [ 2018;2019] Tìm giá trị lớn biểu thức: = f( x, y, z) = 2018.2019 − xy (x+ y)z + 2018.2019 − yz (y+ z)x + 2018.2019 − zx (z+ x)y Lời giải Tác giả: Trần Quang Tiềm ; Fb:Tiem Tran Cách 1: [ ] Ta chứng minh với: ∀ x, y, z ∈ a;b ,(a > 0) ta ln có ab − xy b − a ≤ x+ y ⇔ 4(ab− xy)2 ≤ (x+ y)2(b− a)2 ⇔ [ 2ab − 2xy − (x+ y)(b− a)] [ 2ab − 2xy + (x+ y)(b− a)] ≤ ⇔ [ b(2a− x− y) + x(a− y) + y(a− x)] [ a(2b − x− y) + x(b− y) + y(b− x)] ≤ (đúng) ab − xy b − a b − a ≤ ≤ 2z 2a Vậy ta có ( x + y)z Dấu xảy Áp dụng ta có: f( x, y, z) ≤ Dấu xảy Thay x = y = a, z = a hay x = y = z = a b − a b − a b − a 3(b − a) + + = 2a 2a 2a 2a x = y = z = a a = 2018,b = 2019 , ta max f (x,y,z) = x = y = z = 2018 4036 Cách 2: 2018.2019 − xy Ta có (x+ y) ≤ 2018.2019 − xy xy (Theo BDT AM-GM) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019 [ ] Đặt t = xy,(2018 ≤ t ≤ 2019), gt x, y ∈ 2018;2019 2018.2019 − t2 2018.2019 g(t) = = −t Xét hàm , liên tục [ 2018;2019] nghịch biến t t ( 2018;2019) Maxg(t) = g(2018) = [ 2018;2019] ⇒ Max g(t) = g(2019) = g(2018) = Ming(t) = g(2019) = − [ 2018;2019] [ 2018;2019] 2018.2019 − xy nên (x+ y)z ≤ 2018.2019 − xy xy.z ≤ 1 ≤ 2z 4036 , dấu xảy x = y = z = 2018 Đánh giá tương tư cho biểu thức cịn lại Tóm lại max f (x,y,z) = x = y = z = 2018 4036 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 10