Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Đề HSG lớp 10 THPT Nam Tiền Hải Thái Bình ĐỀ HSG 10 THPT NAM TIỀN HẢI THÁI BÌNH NĂM 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT Câu (4 điểm)Cho hàm số y = x − 2mx + 2m − 4m có đồ thị ( Pm ) Tìm m để ( Pm ) cắt Ox hai điểm phân biệt có hồnh độ trái dấu 2 Tìm giá trị k để phương trình x − x = k có nghiệm phân biệt Câu (4 điểm) Tính tổng nghiệm phương trình: x + 15 x + x + x + = Giải phương trình Câu ( ) )( x + − x + x2 + x2 + x + = 2x (2 điểm)Chứng minh rằng: a Sin A + b Sin B + c Sin C = ( ma2 + mb2 + mc2 ) 3R với tam giác ABC ( a = BC , b = AC , c = AB ; ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến hạ từ A, B, C ; R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Viết phương trình đường cao AD , phân giác CE ∆ABC biết A ( 4; − 1) , B ( 1;5 ) , C ( −4; − ) 7 · Cho B ( 0;1) , C ( 3; ) Đường phân giác góc BAC BC cắt Oy M 0; − ÷ 3 chia ∆ABC thành hai phần có tỉ số diện tích 10 (phần chứa điểm B có diện tích nhỏ 11 diện tích phần chứa điểm C ) Gọi A ( a ; b ) a < Tính T = a + b2 Bài 32 a + b + c = 1 1 + + ≥ ( 1) 3 32 − 3a 32 − 3b 32 − 3c (2 điểm) Cho < a, b, c < Chứng minh rằng: HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Đề HSG lớp 10 THPT Nam Tiền Hải Thái Bình GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HSG 10 THPT NAM TIỀN HẢI THÁI BÌNH NĂM 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT Câu (4 điểm)Cho hàm số y = x − 2mx + 2m − 4m có đồ thị ( Pm ) Tìm m để ( Pm ) cắt Ox hai điểm phân biệt có hồnh độ trái dấu 2 Tìm giá trị k để phương trình x − x = k có nghiệm phân biệt Lời giải Lập phương trình hồnh độ giao điểm ( Pm ) Ox : x − 2mx + 2m − 4m = ( 1) ( Pm ) cắt Ox hai điểm phân biệt có hồnh độ trái dấu phương trình ( 1) có nghiệm trái dấu ⇔ a.c < ⇔ ( 2m − 4m ) < ⇔ 2m ( m − ) ⇔ < m < Vậy < m < thỏa yêu cầu toán 2 Xét ( P0 ) : y = x − x có TXĐ D = ¡ , đỉnh I ( 2; −4 ) x = Phương trình hồnh độ giao điểm ( P0 ) Ox x − x = ⇔ x = Khi ta có bảng biến thiên hàm số y = x − x Từ bảng biến thiên phương trình x − x = k có nghiệm phân biệt < k < Vậy < k < thỏa yêu cầu toán Câu (4 điểm) Tính tổng nghiệm phương trình: x + 15 x + x + x + = Giải phương trình ( ) )( x + − x + x2 + x2 + x + = 2x Lời giải Ta có: Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Đề HSG lớp 10 THPT Nam Tiền Hải Thái Bình x + 15 x + x + x + = ⇔ x + 15 x + + x + x + − = ⇔ ( x + x + 1) + x + x + − = x + x + = t ( t ≥ ) , ta phương trình ẩn t : Đặt t = ( TM ) 3t + 2t − = ⇒ t = − ( koTM ) ⇒ x2 + 5x + = ⇒ x2 + 5x = x = ⇒ x = −5 Vậy tổng nghiệm phương trình −5 Điều kiện xác định x ≥ −1 Ta có vế trái phương trình nhận giá trị dương nên x > Ta giải phương trình với x > Khi )( ( ) x + − x + x + x + 4x + = 2x ⇔ 2 ( x2 + x2 + 4x + x + − x +1 ) = 2x ⇔ x2 + x2 + x + = x x + − x x + ( ) ⇔ x x − x + − x +1 ( )( ( ) x+3 − x = ) ⇔ x − x + x − x +1 = ⇔ 1+ x= x − x − = x+3 = x ⇔ ⇔ x +1 = x 1+ x − x −1 = x = 2 1 + + ; Tập nghiệm phương trình T = Câu (2 điểm)Chứng minh rằng: a Sin A + b Sin B + c Sin C = ( ma2 + mb2 + mc2 ) 3R với tam giác ABC ( a = BC , b = AC , c = AB ; ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến hạ từ A, B, C ; R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ) Lời giải Tác giả: ; Fb: Ta có: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Đề HSG lớp 10 THPT Nam Tiền Hải Thái Bình b + c a a + c b a + b2 c ( ma2 + mb2 + mc2 ) = − + − + − ÷ 4 4 a2 b2 c2 + a2 + c2 − + a + b2 − 2 ( a + b2 + c ) = b2 + c2 − = Do đó: VP = ( a + b2 + c2 ) 2.3R = a + b2 + c a b c = a + b + c 2R 2R 2R 2R = a.Sin A + b.Sin B + c.Sin C = VT Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Viết phương trình đường cao AD , phân giác CE ∆ABC biết A ( 4; − 1) , B ( 1;5 ) , C ( −4; − ) 7 · Cho B ( 0;1) , C ( 3; ) Đường phân giác góc BAC BC cắt Oy M 0; − ÷ 3 chia ∆ABC thành hai phần có tỉ số diện tích 10 (phần chứa điểm B có diện tích nhỏ 11 diện tích phần chứa điểm C ) Gọi A ( a ; b ) a < Tính T = a + b2 Lời giải Tác giả: ; Fb: Ta có: uuur uuur uuur AB = ( −3;6 ) , BC = ( −5; − 10 ) , AC = ( −8; − ) ⇒ AB = , BC = 5 , AC = uuur r r • Ta có: BC = ( −5; − 10 ) = −5v với v = ( 1; ) r Đường cao AD qua A ( 4; − 1) nhận v = ( 1; ) làm vectơ pháp tuyến ⇒ Phương trình AD :1( x − ) + ( y + 1) = ⇔ x + y − = • Gọi E ( x ; y ) chân đường phân giác góc ·ACB , ta có: Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! EA CA = = EB CB Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Đề HSG lớp 10 THPT Nam Tiền Hải Thái Bình uuu r r uuu r uuu r uuu ⇒ EA = − EB , với EA = ( − x ; − − y ) , EB = ( − x ;5 − y ) 4 − x = − ( − x ) x = 8 5 ⇔ ⇔ ⇒ E ; ÷ 3 3 −1 − y = − ( − y ) y = 5 8 5 Đường thẳng CE qua C ( −4; − ) E ; ÷ có phương trình x + y + = 3 Ta có: · Gọi D ( x ; y ) chân đường phân giác góc BAC d A, BC ) DB S∆ABD ( 10 = = Ta có: S ∆ADC d A, BC DC 11 ( ) uuur uuur DB 10 uuur 10 uuur ⇒ = ⇒ DB = − DC với DB = ( − x ;1 − y ) , DC = ( − x ; − y ) DC 11 11 10 10 x = − x = − − x ( ) 10 11 11 ⇔ ⇔ ⇒ D ; ÷ 21 1 − y = − 10 ( − y ) y = 11 11 21 7 10 11 Đường thẳng AD qua D ; ÷ M 0; − ÷ có phương trình x − y − = 3 21 r r uuu uuu 7 Có A ∈ AD ⇒ A a ; 2a − ÷⇒ BA = a ; 2a − − 1÷, CA = − a ; 2a − ÷ 3 3 a + 2a − − 1÷ 2 DB AB AB 10 100 = ⇒ = ⇔ = Mà 2 DC AC AC 11 121 ( − a ) + 2a − ÷ 3 10 a= ( l) 11 ⇔ 105a − 80a − 100 = ⇔ ⇒b=− a = − 125 2 Vậy T = a + b = Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Bài Đề HSG lớp 10 THPT Nam Tiền Hải Thái Bình 32 a + b + c = 1 1 + + ≥ ( 1) 3 32 − 3a 32 − 3b 32 − 3c (2 điểm) Cho < a, b, c < Chứng minh rằng: Lời giải Cách 1: + Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng phân thức: an ( a1 + a2 + + an ) a12 a2 (với bi > ) + + + ≥ b1 b2 bn b1 + b2 + + bn Dấu xảy ⇔ Do đó: a a1 a2 = = = n b1 b2 bn 1 + + ≥ ( 2) 3 3 32 − 3a 32 − 3b 32 − 3c 96 − 3( a + b3 + c ) 8 + Áp dụng BĐT Cauchy cho số không âm a , , ÷ ta được: 3 8 8 12 a3 + + ≥ 3 a3 = a 3 3 Tương tự ta có: (3) 8 8 12 b + + ≥ 3 b3 = b 3 3 (4) 8 8 12 c3 + + ≥ 3 c3 = c (5) 3 3 + Cộng vế theo vế (3), (4), (5) ta được: 12 12 a + b3 + c ≥ ( a + b + c ) − 16 = 3 − 16 = 9 ⇒ 96 − ( a + b + c ) ≤ 72 = ( dpcm ) 72 1 32 − 3a = 32 − 3b3 = 32 − 3c3 23 8 ⇔a=b=c= + Dấu xảy ⇔ a = ; b = ; c = 3 3 a + b + c = ⇒ VP ( ) ≥ Cách 2: 32 − 3a , + Áp dụng BĐT Cauchy cho số không âm ÷ ta được: 242 32 − 3a 32 − 3a 32 − 3a + ≥ = 32 − 3a 24 32 − 3a 242 12 + Tương tự ta có: 32 − 3b3 32 − 3b3 + ≥ = 3 32 − 3b 24 32 − 3b 24 12 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Đề HSG lớp 10 THPT Nam Tiền Hải Thái Bình 32 − 3c 32 − 3c3 + ≥ = 3 32 − 3c 24 32 − 3c 24 12 Cộng vế theo vế ta được: 1 32 − 3a 32 − 3b3 32 − 3c3 1 + + + + + ≥ = 3 2 32 − 3a 32 − 3b 32 − 3c 24 24 24 12 3 3 1 1 a +b +c a + b + c3 ⇔ + + ≥ − + = + ( *) 32 − 3a 32 − 3b3 32 − 3c3 192 12 192 + Ta chứng minh: a + b + c ≥ Thật ta có: a + b3 + c3 = ( a + b + c ) − ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ( **) Áp dụng BĐT Cauchy ta có: ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) ( a + b + c ) = ( a + b) ( b + c) ( c + a) ≤ 27 27 Thay vào (**) ta được: 3 ( a + b + c ) a + b + c = ( a + b + c ) − ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ ( a + b + c ) − 27 3 = 23 ) ( 3 ( 2.2 ) − 3 3 =8 27 1 1 + + ≥ − = ( dpcm ) Do đó: ( *) ⇔ 3 32 − 3a 32 − 3b 32 − 3c 12 192 32 − 3a = 32 − 3a 242 32 − 3b3 32 − 3b3 = 242 32 − 3c3 23 ⇔ = ⇔ a = b = c = Dấu xảy 242 32 − 3c ( a + b ) = ( b + c ) = ( c + a ) a + b + c = Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang