Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tô l ân 19 Năm 2019 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2018-2019 SỞ BÌNH THUẬN Bài (6,0 điểm) a) Cho x y số thực thỏa mãn x ≥ y > Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x − xy + y P= x + xy + y biểu thức b) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía trục hồnh y = x3 − 3x − 3mx + m Bài (5,0 điểm) a) Tìm số hạng tổng quát dãy số b) Cho dãy số ( ) thỏa mãn v1 = ( un ) biết u1 = un+1 = 2un + 5, ∀ n ∈ ¥ * v = 2vn , , n+1 + 2018v2 * n ∀ n∈ ¥ 2018 Chứng minh vn+1 ≥ , ∀n ∈¥ Bài (4,0 điểm) Giải hệ phương trình * xy ( x + y − 1) = x + y x y y + − x + = x y − x Bài (5,0 điểm).Cho tam giác ABC nhọn có AB < H Các đường tròn B, C Gọi D ( O1 ) , ( O2 ) AC hai đường cao BE, CF cắt qua A theo thứ tự tiếp xúc với BC giao điểm thứ hai ( O1 ) ( O2 ) AD qua trung điểm cạnh BC; b) Chứng minh ba đường thẳng EF , BC , HD đồng quy a) Chứng minh đường thẳng HẾT Học sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 19 Năm 2019 ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1a Cho x y biểu thức P= x ≥ y > Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ số thực thỏa mãn x − xy + y x + xy + y Lời giải Tác giả: Bùi Văn Lượng; Fb: luonghaihaubui x t2 − t + t= ≥ P= , Ta có y t + t + với t2 − t +1 t≥ f ( t) = Xét hàm số t + t + với f ′( t) = ⇔ t = f ′( t) = , 2 t ≥ t + t +1 Tính 2t − ( ) Bảng biến thiên Suy giá trị nhỏ P , khơng có giá trị lớn Câu 1b Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số cực trị nằm khác phía trục hồnh y = x − 3x − 3mx + m có hai điểm Lời giải Tác giả: Phùng Đức Cường; Fb: Phùng Đức Cường Tập xác định D= ¡ Đạo hàm hàm số Yêu cầu toán y ( x1 ) y ( x2 ) < Phương trình y′ = ⇔ y ' = 3x − x − 3m Phương trình y' = có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt ⇔ + m > ⇔ m > − (*) Khi đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) x1 , x2 thỏa mãn Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 19 Năm 2019 x 1 y = − ÷ y′ − ( m + 1) x Ta có 3 Do y1 = y ( x1 ) = − ( m + 1) x1 , y2 = y ( x2 ) = − ( m + 1) x2 y ( x1 ) y ( x2 ) < ⇔ ( m + 1) x1.x2 < ⇔ x1.x2 < ⇔ −m < ⇔ m > Kết hợp với điều kiện (*) ta có m > thỏa mãn tốn Câu 2a Tìm số hạng tổng quát dãy số ( un ) biết u1 = un+ = 2un + 5, ∀ n ∈ ¥ * Lời giải Tác giả: Phạm Thị Thanh Thủy ; Fb: Phạm Thủy ∀ n ∈ ¥ *, Đặt ta có un+ = 2un + ⇔ un+ + = ( un + ) wn = un + 5, ∀ n ∈ ¥ * Khi wn+ = 2wn , ∀ n ∈ ¥ * Do ( wn ) Suy wn = w1.q n− = 7.2n− , ∀ n ∈ ¥ * Vậy cấp số nhân có w1 = u1 + = 7, công bội q = un = 7.2n − − 5, ∀ n ∈ ¥ * Câu 2b Cho dãy số ( ) thỏa mãn v = 2vn , v1 = , n+1 + 2018v * n ∀ n∈ ¥ 2018 vn+1 ≥ , ∀n ∈¥ * Chứng minh Lời giải Tác giả: Vũ Thị Hồng Lê; Fb: Lê Hồng Chứng minh Khi +1 = Mặt khác, > 0, ∀ n ∈ ¥ * 2vn 2vn ≤ = , ∀ n ∈ ¥ * + 2108vn 2018.vn 2018 ∀ n ∈ ¥ *, ta có 2vn − 2018vn3 ( − 2018vn ) +1 − = − = = ≥0 + 2018vn2 + 2018vn2 + 2018vn2 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 19 Năm 2019 Câu Vậy vn+1 ≥ , ∀n ∈¥ Giải hệ phương trình * xy ( x + y − 1) = x + y 2 2 x y y + − x + = x y − x ( 1) ( 2) Lời giải Điều kiện xy ≥ x2 + − x > , ∀ x ∈ ¡ Ta có khơng thõa mãn Nếu x, y ( 1) âm ( 2) ⇔ Khi Xét hàm số x2 ( f ( t ) = t 1+ t2 − t ( 3) ⇔ y = không thõa mãn ( ) Do y ≠ Suy x = vơ lí Do ) ( f '( t ) = t +1 + Khi Thay ( 1) x2 + − x = y Ta có nên t2 t +1 x, y dương ) y2 + − ⇔ khoảng 1 1 + − = y y + − y ( 3) x x x ( 0;+∞ ) − > 0, ∀ t > Suy hàm số f ( t ) đồng biến ( 0;+∞ ) 1 f ÷ = f ( y ) ⇔ = y ⇔ xy = x x xy = vào ( 1) ta được: ( x + y − 1) = x + y ⇔ ( x − 1) + ( y − 1) = ⇔ x = y = 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm Câu Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC ( x; y ) = ( 1;1) hai đường cao BE, CF cắt H Các ( O1 ) , ( O2 ) qua A theo thứ tự tiếp xúc với BC B, C Gọi D giao điểm thứ hai ( O1 ) ( O2 ) đường tròn AD qua trung điểm cạnh BC; b) Chứng minh ba đường thẳng BC , EF , HD đồng quy a) Chứng minh đường thẳng Lời giải Tác giả: Trần Công Dũng ; Fb: Dung Tran Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tô l ân 19 Năm 2019 a Gọi I Ta có IB = IA.ID = IC giao điểm Suy IB = IC Do I trung điểm AD BC BC Hay đường thẳng AD b) Chứng minh ba đường thẳng qua trung điểm · = BDC · Suy tứ giác BCDH nội tiếp đường tròn ( O3 ) BHC Ta có ·AFH = ·ADH = ·AEH = 900 Suy tứ giác AFHD Ta có · = BEC · = 900 Suy tứ giác BFEC BFC Ta có HD dây cung chung hai đường tròn ( O3 ) & ( O4 ) trục đẳng phương hai đường tròn ( O3 ) & ( O4 ) EF trục đẳng phương hai đường tròn ( O3 ) & ( O5 ) BC trục đẳng phương hai đường tròn ( O5 ) & ( O4 ) BC , EF , HD đồng quy nội tiếp đường tròn nội tiếp đường tròn Tương tự ta được: Suy ba đường thẳng BC EF , BC , HD đồng quy Ta có HD I ( O4 ) ( O5 ) đường kính BC