De thi HSG lop 9 so 2

Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp được trong một đường tròn.. Chứng minh ba điểm N,H,E thẳng hàng.[r]

Đề tham khảo tuyển sinh 10 số (sưu tầm)

Bài ( 2điểm)

Rút gọn biểu thức sau: a)

3 15

5

 



 

 

  b) 11 1    3

Bài ( 1,5điểm)

Giải phương trình sau:

a) x3 – 5x = b) x1 3

Bài (2điểm)

Cho hệ phương trình :

2

3

x my x y

 

 

 

 ( I )

a) Giải hệ phương trình m =

b) Tìm giá trị m để hệ (I) có nghiệm ( x; y) thoả mãn hệ thức:

m+1 x - y +

m-2  Bài ( 4,5điểm)

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn tâm O đường kính AM=2R Gọi H trực tâm tam giác

a) Chứng minh tứ giác BHCM hình bình hành

b) Gọi N điểm đối xứng M qua AB Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp đường tròn

c) Gọi E điểm đối xứng M qua AC Chứng minh ba điểm N,H,E thẳng hàng d) Giả sử AB = R Tính diện tích phần chung đưòng tròn (O) đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN

Hướng dẫn:

Bài 1: Rút gọn a)

3 15

5

 



 

 

  =

3

15 15

5 3 b) 11 1    3 =  

2

11 1 

=

3

15 15

5  3 = 11  2 = 9 25 =

= + = = Bài Giải phương trình sau:

a) x3 – 5x = b) x1 3 (1)

 x(x2 – 5) = ĐK : x –1   x1

 x (x  5)(x  5) = (1)  x – = 9

n m /

/ = =

M K O

H E

N

C B

A

n m /

/ = =

M K O

H E

N

C B

A

Vậy: S = 0; 5; 5 Vậy: S =  10 Bài 3.

a) Khi m = ta có hệ phương trình:

2 2,5 2,5

3 3.2,5 7,5

x x x

x y y y

     



 

  

     

 



b)

   

2

3

x my x y

 

  

 



 Từ (2) suy ra: y = 3x thay vào (1) ta được: 2x + 3mx = 5

3m2x5 ĐK: m

2

3 x 3m

  

 Do đó: y =

15 3m2

m+1 x - y +

m-2 

5 15

4

3 2

m m m m



   

   (*)

Với

2

m

m 2, (*)  10m 2  m1 3  m2 4m 3  m2 Khai triển, thu gọn phương trình ta phương trình: 5m2 – 7m + = 0

Do a + b + c = + (– 7) + =0 nên m1 = (TMĐK), m2 = 0,4 (TMĐK)

Bài 4:

a) Chứng minh tứ giác BHCM hình bình hành

 900

ABM  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))  BM AB

H trực tâm tam giác ABC  CH AB

Do đó: BM // CH Chứng minh tương tự ta được: BH // CM

Vậy tứ giác BHCM hình bình hành

b) Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp đường tròn ANBAMB (do M N đối xứng qua AB)

AMBACB (hai góc nội tiếp chắn cung AB đường tròn (O))

H trực tâm tâm giác ABC nên AH  BC, BK  AC nên ACBAHK (K = BH 

AC)

Do đó: ANBAHK.

Vậy tứ giác AHBN nội tiếp đường tròn c) Chứng minh ba điểm N,H,E thẳng hàng

Tứ giác AHBN nội tiếp (câu b)  ABN AHN

Mà ABN 900 (do kề bù với ABM 900, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

Suy ra: AHN 900.

Chúng minh tương tự tứ giác AHCE nội tiếp  AHEACE900 Từ đó: AHN AHE 1800  N, H, E thẳng hàng.

d) Giả sử AB = R Tính diện tích phần chung đưịng trịn (O) đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN

n m /

/ = =

M K O

H E

N

C B

A

AM = AN (tính chất đối xứng) nên đường tròn (O) đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN

 Sviên phân AmB = Sviên phân AnB

AB = R  AmB1200 Squạt AOB =

2

0

.120

360

R R

 



 AmB 1200  BM 600  BM R

O trung điểm AM nên SAOB =

2

1 1

2 ABM 2 4

R S  AB BM  R R

 Sviên phân AmB = Squạt AOB – SAOB =

2

3

R



–

2 3

4

R

=  

2

4 3 12

R

 

 Diện tích phần chung cần tìm : Sviên phân AmB =  

2

4 3 12

R

 

=  

2

4 3

R

 