Bộ đề thi HSG lớp 9 môn toán ôn thi 2017

Bộ đề thi HSG lớp 9 môn toán ôn thi 2017 Bộ đề thi HSG lớp 9 môn toán ôn thi 2017 Bộ đề thi HSG lớp 9 môn toán ôn thi 2017 Bộ đề thi HSG lớp 9 môn toán ôn thi 2017Bộ đề thi HSG lớp 9 môn toán ôn thi 2017Bộ đề thi HSG lớp 9 môn toán ôn thi 2017 Bộ đề thi HSG lớp 9 môn toán ôn thi 2017 Bộ đề thi HSG lớp 9 môn toán ôn thi 2017Bộ đề thi HSG lớp 9 môn toán ôn thi 2017

1 Bi 1: (1.5 im) Thc hin tớnh: 2x x x2 x vi x Bi 2: (2.5 im) Gii cỏc phng trỡnh: a x 5x x 5x b x 3x x x x x Bi 3: (2.0 im) a Chng minh phng trỡnh (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = luụn cú nghim hu t vi mi s n nguyờn b Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh x2 + 2009x + = x3, x4 l nghim ca phng trỡnh x2 + 2010x + = Tớnh giỏ tr ca biu thc: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) Bi 4: ( 3.0 im) Cho ng trũn (O) v im A nm ngoi ng trũn V cỏc tip tuyn AB, AC vi ng trũn (B, C l cỏc tip im) on thng AO ct ng trũn (O) ti M Trờn cung nh MC ca (O) ly im D AD ct (O) ti im th hai E I l trung im ca DE ng thng qua D vuụng gúc vi BO ct BC ti H v ct BE ti K a Chng minh bn im B, O, I, C cựng thuc mt ng trũn b Chng minh ICB = IDK c Chng minh H l trung im ca DK Bi 5: ( 1.0 im) Cho A(n) = n2(n4 - 1) Chng minh A(n) chia ht cho 60 vi mi s t nhiờn n Bi 1: (1.5 im) Thc hin tớnh: 2x x x2 x c: vi x x x ( x 2)( x 2) ( x x 2) ( x 2)( x 2) x x 2( x x 2) 1 2 2 23 ( 2) x2 Thay x vo Bi 2: (2.5 im) Gii cỏc phng trỡnh: a x 5x x 5x 2 x 5x x 5x t y x 5x (y 0) c: y - y - = Gii phng trỡnh c: y1 = -1 (loi); y2 = 2.Vi y = gii x 5x c x1 = 0; x2 = -5 Th li (hoc i chiu vi iu kin) kt lun nghimGhi chỳ: Cú th t y = x2 + 5x Lỳc ny cn t iu kin bỡnh phng hai v b x 3x x x x x ( x 1)( x 2) x x ( x 1)( x 3) , x 1( x x 3) x x ( x x )( x 1) x x vụ nghim; x c x = Th li (hoc i chiu vi iu kin) kt lun nghim Bi 3: (2.0 im) a.Chng minh Phng trỡnh (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = luụn cú nghim hu t vi mi s n nguyờn n =-1: Phng trỡnh cú nghim Vi n -1 n+10.= 1+ n(n+2)(n+3)(n+1) = 1+ (n2 + 3n)(n2+3n+2) = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + =(n2 + 3n + 1)2 0,50 nờn phng trỡnh luụn cú nghim 0,25 chớnh phng, cỏc h s l s nguyờn nờn cỏc nghim ca phng trỡnh l s hu t 0,25 b Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh x + 2009x + = x3, x4 l nghim ca phng trỡnh x2 + 2010x + = Tớnh giỏ tr ca biu thc: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) Gii: Chng t hai phng trỡnh cú nghim Cú: x1x2 = x3x4 = x1+x2 = -2009 x3 + x4 = -2010 Bin i kt hp thay: x1x2 = 1; x3x4 = (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) = (x1x2 + x2x3 - x1x4 -x3x4 )(x1x2+x1x3-x2x4-x3x4) = (x2x3 - x1x4 )(x1x3-x2x4 )= x1x2x32 - x3x4x22 - x3x4x12+x1x2x42 = x32 - x22 - x12 + x42= (x3 + x4 )2 - 2x3x4 -( x2+ x1)2 + 2x1x2 = (x3 + x4 )2 -( x2+ x1)2 Thay x1+x2 = -2009; x3 + x4 = -2010 c : 20102 - 20092 =2010+2009 =4019 Ghi chỳ: Cú th nhõn theo nhúm [(x1+x3)(x2 + x3)].[(x1-x4)(x2-x4)] Bi 4: ( 3.0 im) B K A M O H D I C E OB BA; OC CA ( AB, AC l cỏc tip tuyn),OI IA (I l trung im ca dõy DE) B, O, I, C cựng thuc ng trũn ng kớnh AO 0,75 ICB = IAB ( Cựng chn cung IB ng trũn ng kớnh AO) (1) DK // AB (Cựng vuụng gúc vi BO) IDK = IAB T (1) v (2) c: ICB = IDK 1.0 ICB = IDK hay ICH = IDH T giỏc DCIH ni tip. HID = HCD HCD = BED (Cựng chn cung DB ca (O)) HID = BED IH // EB IH l ng trung bỡnh ca DEK H l trung im ca DK (2) Bi 5: ( 1.0 im) Chng minh A(n) = n2(n4 - 1) chia ht cho 60 vi mi s t nhiờn n - A(n) = n.n(n2 - 1)( n2 + 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n2 + 1) Do n(n - 1)(n+1) chia ht cho nờn A(n) chia ht cho vi mi n - A(n) = n2(n4 - 1) = n(n5 - n) Do n5 - n chia ht cho theo phecma nờn A(n) chia ht cho vi mi n - Nu n chn n2 chia ht cho A(n) chia ht cho Nu n l (n-1)(n+1) l tớch hai s chn nờn nú chia ht cho A(n) chia ht cho vi mi n - Ba s 3,4,5 ụi mt nguyờn t cựng nờn A(n) chia ht cho 3.4.5 hay A(n) chia ht cho 60 Bi 1: (2.0 im) a) Chng minh bt ng thc: 1 Vi a; b l cỏc s dng a b ab b) Cho x; y l hai s dng v x y Tỡm giỏ tr nh nht ca P ; xy M xy x y Bi 2: (2.0 im) Gii h phng trỡnh: x y 11 x xy y Bi 3: (2.0 im) Hỡnh ch nht ABCD cú M, N ln lt l trung im cỏc cnh AB, CD Trờn tia i ca tia CB ly im P DB ct PN ti Q v ct MN ti O ng thng qua O song song vi AB ct QM ti H a Chng minh HM = HN b Chng minh MN l phõn giỏc ca gúc QMP Bi 4: (3.0 im) Cho na ng trũn (O, R) ng kớnh AB EF l dõy cung di ng trờn na ng trũn cho E thuc cung AF v EF = R AF ct BE ti H AE ct BF ti C CH ct AB ti I a Tớnh gúc CIF b Chng minh AE.AC + BF BC khụng i EF di ng trờn na ng trũn c Tỡm v trớ ca EF t giỏc ABFE cú din tớch ln nht Tớnh din tớch ú Bi 5: (1.0 im) Tỡm ba s nguyờn t m tớch ca chỳng bng nm ln tng ca chỳng GII Bi 1: (2.0 im) a Chng minh bt ng thc: 1 Vi a; b l cỏc s dng a b ab b Cho x; y l hai s dng v x y Tỡm giỏ tr nh nht ca P ; xy M xy x y 1 ab 2 a b 4ab a b a b ab ab ab x y 4 P 2 xy xy 2( x y) 2.1 P t giỏ tr nh nht ti: x = y = 1 hoc: xy x y xy ( x y) xy xy xy 4.3 4.3 = 12 14 M 2 2 xy x y xy x xy y xy ( x y) xy x y 1 t GTNN ti x = y = 2 xy 1 3 t GTNN ti x = y = Nờn M t GTNN ti x = y = 2 2 xy x y 0,50 0,50 0,25 0,50 0,25 Bi 2: (2.0 im) Gii h phng trỡnh: x y 11 x xy y S P 11 - t S = x + y; P = xy c: S P - S 2S (17 ) - Gii phng trỡnh c S1 ; S - S1 c P1 ; S c P2 - Vi S1 ; P1 cú x, y l hai nghim ca phng trỡnh: X (3 ) X - Gii phng trỡnh c X 3; X - Vi S c P2 cú x, y l hai nghim ca phng trỡnh: X (5 ) X Phng trỡnh ny vụ nghim 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x3 ; y - H cú hai nghim: x y3 0,25 A Bi 3: (2.0 im) -Chng t MBND l hỡnh bỡnh hnh O l trung 0,75 im ca MN - OH // AB OH MN - HMN cõn ti H (Trung tuyn va l ng cao) HM = HN M H B O Q C HQ OQ - ON // BP c: HM OB OQ NQ HQ NQ NH//PM HNM = OB NP HM NP - OH // BM c: D N P NMP HMN = NMP MN l phõn 1,25 giỏc ca gúc QMP Bi 5: (1.0 im) Tỡm ba s nguyờn t m tớch ca chỳng bng nm ln tng ca chỳng Gii: Gi a,b,c l ba s nguyờn t cn tỡm ta cú: abc = 5(a+b+c) Tớch ba s nguyờn t abc chia 0,25 ht cho nờn cú mt s bng Gi s a = c 5bc = 5(5+b+c) bc = 5+b+c 0,50 bc -b - c + = (b-1)(c-1) = b,c l cỏc s nguyờn dng cú vai trũ nh nờn ta cú cỏc h: b b c c b b c c v 0,25 Kt lun: Ba s nguyờn t cn tỡm l 2, 5, C Bi 4: (3.0 im) E F H A O I B - BE, AF l hai ng cao ca ABC CI l ng cao th ba hay CIAB - T giỏc IHFB ni tip HIF = HBF hay CIF = EBF - EOF u nờn EOF = 600 EF = 600 CIF = EBF = 300 1,0 AC AI AC AE AB AI AB AE BC BI - Tng t BCI ng dng vi BAE c: BC BF BA.BI BA BF - Chng minh ACI ng dng vi ABE - c: 1.0 - Cng c: AE.AC + BF BC = AB.AI + AB.BI =AB(AI + IB) = AB2 = const 2 S EF R - Chng minh ABC ng dng vi FEC.- FEC S ABFE S ABC S ABC AB 4 2R - S ABFE ln nht S ABC ln nht CI ln nht C chy trờn cung cha gúc 600 v trờn 1,0 AB nờn CI ln nht I O CAB cõn EF // AB - Lỳc ú S ABC 2.R.R 3R R S ABFE Bài 1.(3,0 điểm) a,Tính: M b, Không sử dụng bảng số máy tính so sánh: A 2007 2009 B 2008 Bài 1.(3,0 điểm) a,Tính: M Ta có: M 5 2 62 62 5 5 5 5 = (vì ) 0,5 0,5 2,0 đ 28 = 95 0,5 M7 0,5 b, Không sử dụng bảng số máy tính so sánh: A 2007 2009 B 2008 Ta có 0,5 1,0 đ A 2007 2009 2008 2008 2008 2008 2.2008 20082 2.2008 20082 2008 Vậy A < B 0,5 Bài 2.(4,0điểm) x2 x x với x > x : x x x x 1 x Cho biểu thức: P a, Rút gọn P b, Tìm x để P c, So sánh P với 2P Bài 2.(4,0điểm) a, Rút gọn P Ta có x2 x x với x > x P : x x x x 1 x x2 x x : x x x x x2 x x : x x x x x x 0,5 x2 x x x : x x x x x x x x x b, Tìm x để P x x x x x x x x x x 2 x x x 1,5đ Vậy P x x 0,5 0,5 ( với x > 0; x 1) x x 2 x x x x Nên P x x Ta có P x x x ( x ( t/m đk) Vậy với x = P x với x > 0) 0,5 1,25đ 0,5 0,25 c, So sánh P với 2P Ta có P ( với x > 0; x 1) x x 0,5 1,25đ Mà x x x với x > 0, với x > x x Ta lại có x x với x > x x P x x x x nên P 0,5 Vì P > P < nên P(P - 2) < P2- 2P < P2 < 2P Vậy P2 < 2P 0,25 Bài 4.(7,5 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) ngoại tiếp đ-ờng tròn (O;R) Đ-ờng tròn (O;R) tiếp xúc với cạnh BC, AB, AC lần l-ợt điểm D, N, M Kẻ đ-ờng kính DI đ-ờng (O;R) Qua I kẻ tiếp tuyến đ-ờng (O;R) cắt AB, AC lần l-ợt E, F a, Biết AB = 8cm, AC = 11cm, BC = 9cm Tính chu vi tam giác AEF b, Chứng minh EI BD = IF.CD = R2 c, Gọi P trung điểm BC, Q giao điểm AI BC, K trung điểm AD Chứng minh ba điểm K, O, P thẳng hàng AQ = 2KP Bài 4.(7,5 điểm) a i e f M k N o b D P Q c a,Biết AB = 8cm, AC = 11cm, BC = 9cm Tính chu vi tam giác AEF + c/m cho chu vi tam giác AEF PAEF = 2AN 0,75 + c/m cho 2AN = AB + AC BC = + 11 = 10 cm 0,75 + suy PAEF = 2AN = 10 cm 0,5 b,Chứng minh EI BD = IF.CD = R 2,0đ + c/m cho tam giác EOB vuông O EN.BN = ON2 = R2 ( theo hệ thức l-ợng tam giác vuông) Mà EI = EN, BD = BN ( t/c tiếp tuyến cắt điểm) EI BD = R2 + T-ơng tự ta có: IF.DC = R2 2,5đ 1,25 0,75 + Suy EI BD = IF.CD = R 0,5 c, Gọi P trung điểm BC, Q giao điểm AI BC, K trung điểm AD Chứng minh ba điểm K, O, P thẳng hàng AQ = 2KP áp dụng hệ qủa định lý Talet tam giác AQC tam giác ABC IF AF AF FE IF FE (1) ; QC AC AC BC QC BC IF IE IE IF EF Theo câu b ta có: EI.BD IF.CD (2) BD CD BD CD BC IF IF Từ (1) (2) suy QC BD QC BD +Vì P trung điểm BC (gt), QC = BD ( cmt) P trung điểm ta có DQ Mà O trung điểm ID suy OP đ-ờng trung bình tam giác DIQ OP // IQ hay OP // AQ (3) + Vì K trung điểm AD, O trung điểm ID suy KO đ-ờng trung bình tam giác ADI KO // AI hay KO // AQ (4) + Từ (3) (4) K, O, P thẳng hàng Do K trung điểm AD, P trung điểm DQ suy KP đ-ờng trung bình tam giác DAQ suy AQ = 2KP 0,75 0,75 0,5 3,0đ 0,75 0,25 3- Bi (1) Rỳt gn A = 2- Bi (2) Cho 3+ + 3+ 2 2+ - 2 x2 x 2x B x x x 10 x a) Rỳt gn A b) Tỡm x nguyờn A nguyờn Bi (4) Tam giỏc ABC cú ba gúc nhn, cỏc ng cao AD, BE, CF gp ti H ng thng vuụng gúc vi AB ti B v ng thng vuụng gúc vi AC ti C ct ti G a) Chng minh rng GH i qua trung im M ca BC b) ABC ~ AEF c) BD F CD E d) H cỏch u cỏc cnh ca tam giỏc DEF 3- Bi A = 2- 3+ 2 + 3+ 2+ - 2 10 = 2( - 3) + 2( + 3) 4- + 4+ - 2( - 3) 2( + 3) = + - 1+ + 1- 2( - 3) + 2( + 3) = 3- 24 = =- - Bi 2a) x2-7x+10=(x-5)(x-2) iu kin A cú ngha l x2 x 2x x2 x 2x A x x x 10 x x ( x 5)( x 2) x x x x (2 x 4)( x 2) x 5v x ( x 5)( x 2) x x 15 ( x 5)( x 3) x ( x 5)( x 2) ( x 5)( x 2) x2 ( x 2) 1 , vi x nguyờn, A nguyờn v ch nguyờn, x2 x2 x2 ú x-2=1 hoc x-2 =-1 ngha l x=3, hoc x=1 2b) A Bi 4a) Ta cú BG AB, CH AB, nờn BG tng t: BH AC, CG AC, nờn BH//CG.t giỏc BGCH cú cỏc cp cnh i nờn nú l hỡnh bỡnh hnh Do ú hai ng v BC ct ti trung im ca mi ng i qua trung im M ca BC //CH, A sụng song chộo GH Vy GH E F B H D M C G 4b) Do BE v CF l cỏc ng cao ca tam giỏc ABC nờn cỏc tam giỏc ABE v ACF vuụng Hai tam giỏc vuụng ABE v ACF cú chung gúc A nờn chỳng ng dng T õy AB AE AB AF (1) suy AC AF AE AC Hai tam giỏc ABC v AEF cú gúc A chung (2) T (1) v (2) ta suy ABC ~ AEF 4c) Chng minh tng t ta c BDF~BAC, EDC~BAC, suy CDE BDF~DEC BDF 900 BDF BDF CDE 900 CDE 4d) Ta cú AHB BDF AHC CDE ADF ADE Suy DH l tia phõn giỏc gúc EDF Chng minh tng t ta cú FH l tia phõn giỏc gúc 21 xy xy x y x y x y x y Xột TH: Xy > => P = Xy < => P = Vy P = Bi 4(8) 1) Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn v ng cao BE v AD Gi H l trc tõm v G l trng tõm tam giỏc ABC AD a) Chng minh rng: tgB.tgC = HD b) Chng t rng HG//BC tgB.tgC = Gii AD AD a) tỡm c tgB= BD ,tgC= CD AD => tgB.tgC= BD.CD BDH ADC BD.CD AD.DH AD =>tgB.tgC= DH AM b) chng minh c : GM ( M l trung im ca BC) ADM cú HG//BC HG // DM AM AH GM HD tgB.tgC (nu hs cm hai chiu thỡ chiu th nht 0.75, chiu ngc li 0.75) Cõu 1(4): Cho biu thc: A = x x 4x a Tỡm iu kin xỏc nh ca biu thc A 22 b Rỳt gn biu thc A Gii a.Bin i biu thc c: x ( x 2)2 x x A= iu kin xỏc nh ca A l: x x2 x0 2 x x 4x x b Nu x thỡ x ( x 2) Nu x x=1 y = thoả mãn ( 2) (1,5đ) (0,5đ) 25 b, x-y = x+ 2y +2 = -7 => x+2y = -9 => y không nguyên (o,5đ) c, x- y= -7 x+ 2y +2 = Giải hệ nàyđ-ợc nghiệm ( x, y) = ( -5,2) không thoả mãn ph-ơng trình (2) (0,5đ) d, x-y = x+2y+2 = -1 => x+2y =-3 => y không nguyên (0,5đ) Tóm lại hệ cho có hất nghiệm nguyên (x, y) =(1, 2) Câu (1điểm): Tìm giá trị m để đ-ờng thẳng y = (m 1)x + (m 1) Và y = (3 m)x + (m 3) song song với (1) Gii (1) Để y = (m-1)x + y = (3 - m)x + Là song song với ta có: m-1 = m 2m = m = Vậy với m = thoả mãn Câu (4đ) Cho đ-ờng thẳng (m+2)x my = -1 (1) (m tham số) a, Tìm điểm cố định mà đ-ờng thẳng (1) qua b, Tìm điểm cố định m để khoảng cách từ O đến đ-ờng thẳng (1) lớn Gii a, (2đ) (m+2)x my = -1 (1) Điều kiện cần đủ để đ-ờng thẳng (1) qua điểm cố định M(x0;y0) m : (m+2)x0 my0 = -1 m Biến đổi đ-ợc: x0 y0 x0 x0 21 y Vậy đ-ờng thẳng (1) qua điểm cố định M(-1/2;-1/2) b, (2đ) Gọi A điểm đ-ờng thẳng (1) với trục tung x=0y= 1 OA = m m B giao điểm đ-ờng thẳng (1) với trục hoành Y=0x= 1 OB = m2 m2 H khoảng cách từ ) đến đ-ờng thẳng (1) 1 = + = m2 + (m + 2)2 2 OA OB h = 2(m + 1)2 + 2; max h = h2 m = -1 26 Câu1: (4 điểm) Cho biểu thức p x x x x x x x x a) Rút gọn P b) Tính giá trị biểu thức P với x = 14 - c) Tìm giá trị nhỏ P ĐKXĐ: x 0; x p a) x x x x x x x x x x x x x x x x x 14 x x x x x x x b) 58 11 x x 9 p x x x x x 2 x c) (áp dụng BĐT côsi) dấu "=" xảy P x x4 x p = x = Câu 4: ( 5điểm) Cho nửa đ-ờng tròn (O) đ-ờng kính BC điểm A nửa đ-ờng tròn(A khác B C) Kẻ AH vuông góc với BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đ-ờng tròn (O1) (O2) đ-ờng kính BH CH chúng lần l-ợt cắt AB, AC E F a) Chứng minh: AE.AB = AF.AC b) Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai đ-ờng tròn (O1) (O2) c) Gọi I K lần l-ợt điểm đối xứng H qua AB AC Chứng minh điểm I, A, K thẳng hàng 27 d) Gọi M giao điểm IK với tiếp tuyến kẻ từ B đ-ờng tròn (O) Chứng minh MC, AH EF đồng qui Gii a)AE.AB=AF.AC=AH b) C/m GEO GHO(c.c.c) suy GEO1 IHO1 900 nên EF l tip Tuyến đ-ờng tròn (O) I T-ơng tự EF tiếp tuyến đ-ờng tròn (O1) c)C/m EF//AK EF//AI suy A,I d) C/m AH cắt EF trung điểm G AH( Vì AEHF hình chũ nhật) MC cắt AH trung điểm G AH ( Vì AH// MB AB//HF nên K A M F G E B C O O O K thẳng hàng GM BH AF nên AM//GF G trung điểm AH) GC CH FC Suy đ-ờng EF, AH MC đồng qui Câu (2đ) Cho số d-ơng x,y có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= 1 + x y Gii A= 1 x y x y xy xy (0,5đ) Để A nhỏ xy lớn với x > 0; y > ; x + y = ta có ( x y ) x + y xy Vây xy lớn x = y =2,5 (1đ) Khi Min A = (0,5đ) Cõu 2: (5.0 im) Trên mặt phẳng tọa độ cho đ-ờng thẳng (d): 3x 2y + = (d') : 3x + 2y = cắt C lần l-ợt cắt trục Ox A, B a) Tìm tọa độ điểm A, B, C b) Tìm diện tích chu vi tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trục cm Gii C giao điểm d d/ nên tọa độ C thỏa mãn hệ : 28 2y 3x 2y - 3x 2y 3x x 4y 12 y Vậy C(1 ; 3) (1.0đ) Ph-ơng trình trục Ox y = nên tọa độ A thỏa mãn hệ : 2y 3x x - y0 y Vậy A(- 1; 0) (0.5đ) Vậy B(3 ; 0) (0.5đ) tọa độ B thỏa mãn hệ : 2y - 3x x y y0 Gọi H hình chiếu C trục Ox CH đ-ờng cao tam giác CAB CH = cm ( tung độ điểm C) ; cạnh đáy AB = AO + OB = + = (cm) dt(ABC) = AB.CH = 4.3 = (cm2) (1.5đ) HA = HO + OA = + = (cm) HB = AB - AH = (cm) HA = HB = 2(cm) tam giác CAB cân C (CH vừa đ-ờng cao vừa trung tuyến) ; tam giác vuông HCA có : CA AH2 HC2 chu vi ABC : AB + BC + CA = 13 (cm) 2 32 13 (cm) (1.5đ) Câu1: (4.0 điểm) Cho biểu thức x x x x : x A = x x x a) Tìm ĐKXĐ A Rút gọn A b) Tìm giá trị x để A = Gii a) ĐKXĐ: x > x Ta có: (0.5đ) x x x A = x : x x x x ( x 1)( x x 1) x x ( x 1) x : = x x x ( x 1)( x 1) = x x x x x x : x x x (0.5đ) (0.5đ) 29 = = = b) A = => x x x x x x : : x x x (0.5đ) x = x x x x (0.75đ) x x x =3 x (0.5đ) => 3x + x - = (0.25) => x = 2/3 (0,5đ) Bài (4 điểm): Cho tam giác MNP cân M Các đ-ờng cao MD NE cắt H Vẽ đ-ờng tròn (O) đ-ờng kính MH Chứng minh rằng: a).E nằm đ-ờng tròn (O) b) Bốn điểm M, N, D, E thuộc đ-ờng tròn c) DE tiếp tuyến đ-ờng tròn (O) Gii M O E H N D P a) Tam giác HME tam giác vuông E nên nội tiếp đ-ờng tròn đ-ờng kính MH Từ E đ-ờng tròn (O) (1 điểm) b) Các tam giác MDN MEN tam giác vuông có chung cạnh huyền MN nên điểm M,N,D,E thuộc đ-ờng tròn đ-ờng kính MN (1 điểm) c) Chứng minh DE tiếp tuyến đ-ờng tròn (O): Ta có : ENP = DMP ( phụ với góc MPN) (1) (0,25 điểm) Vì OM = OE nên tam giác OME cân , suy ra: OME = OEM (2) (0,25 điểm) Tam giác NEP vuông E, có ED đ-ờng trung tuyến ứng với cạnh huyền NP nên: DN = DE Suy tam giác DNE tam giác cân Suy DNE = DEN (3) 30 (0,5 điểm) Từ (1), (2), (3) Suy : OEM = DEN (0,25 điểm) Lại có: OEM + HEO = 90o , Nên OEH + HED = 90o Suy DE OE ( 0,5 điểm) Suy DE tiếp tuyến đ-ờng tròn (O) ( 0,25 điểm) Bài (3,5 điểm): Cho hai số thực a,b thoã mãn a > b ab = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = a2 b2 a b a b a b 2ab a b a b =a-b+ a b Ta có : Q = ( 0,5 điểm) ( 0,5 điểm) Vì a > b nên a - b > áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: Q = (a - b) + 4 a b a b a b a b a b Dấu xảy a.b a b a.b a b a b = ( 0,5 điểm) ( 0,5 điểm) ( 0,5 điểm) Vậy Giá trị nhỏ Q đạt đ-ợc là: Qmin=4 ( 0,5 điểm) ( 0,5 điểm) Cõu 4(6,0 im): Cho hai ng trũn (O) v (O) tip xỳc ngoi ti A Gi AB l ng kớnh ca ng trũn (O), AC l l ng kớnh ca ng trũn (O), DE l tip tuyn chung ca hai ng trũn, D (O), E (O), K l giao im ca BD v CE a) T giỏc ADKE l hỡnh gỡ? Vỡ sao? b) Chng minh AK l tip tuyn chung ca hai ng trũn (O) v (O) c) Gi M l trung im ca BC Chng minh rng MK vuụng gúc vi DE 31 a) Theo tớnh cht gúc ngoi ca tam giỏc : O1 = 2B, O1 = 2C m O1 + O1 = 1800 nờn B+C=900, suy K=900 Ta li cú D = E = 900 nờn t giỏc ADKE l hỡnh ch nht b) A1+A2=D1+D2=900 nờn KA BC Vy AK l tip tuyn ca (O) v (O) c) K1 + E1 = C + EKA = 900 nờn MK DE Câu Cho biểu thức x y x y x y xy : A xy xy xy a, Rút gọn A b, Tính giá trị A x 2 c, Tìm giá trị lớn A Gii Điều kiện để A có nghĩa x 0; y 0; xy x y x y x y xy : xy Ta có : A xy xy (0,5đ) x y xy x y xy x y xy : xy xy (0,25) x x y y y x x x y y y x x y xy : xy xy (0,25) x 2y x xy x y xy (0,25) x y x x y x (0,25) thoả mãn điều kiện x (0,25) b, 1,5 đ Ta có : x x 32 2 42 3 (0,25) Thay x vào A ta có: 2 3 A (0,25) 52 52 (0,25) 652 23 23 25 12 (0,25) 13 c, đ Với x ta có (0,25) x (0,25) x x x x x ( x+1>0) x x A 1 x Vậy giá trị lớn P = x x (0,25) (0,25) (0,25) Câu 3: (2,5 điểm) Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên: x y 3xy x y Gii x y 3xy x y x y x y Vì x, y Z x y Z x y Z x y x y Là -ớc -3 cho tích chúng -3 Ta có tr-ờng hợp: TH1: x y 1; x y x 4; y TH2: x y 1; x y x 6; y TH3: x y 3; x y x 8; y TH4: x y 3; x y x 6; y Kêt luận: Tập nghiệm ph-ơng trình: S 4;3; 6;5; 8;5; 6;3 Câu 4: (2,5 điểm) Cho hình thang vuông ABCD A D 90 , tia phân giác góc C qua trung điểm I AD Chứng minh BC tiếp tuyến đ-ờng tròn (I, IA) Cho AD = 2a Tính tích AB CD theo a 33 Gii a) Kẻ IH vuông góc BC Vì I nằm tia phân giác góc BC D nên IH IB AB H I , IA BC tiếp tuyến (I,IA) b) BA vuông góc IA CD vuông góc với IB suy BA, CD lần l-ợt tiếp tuyến (I) A B - Xét (I, IA), có BA, BH tiếp tuyến cắt B; CD, CH tiếp tuyến cắt C Theo tính chất tiếp tuyến cắt ta có: I1 I2 ; I3 I4 I1 I2 I3 I4 2I2 I3 2I2 I3 (1) BA BH ; CD CH (2) Ta có: AIH HID 180 I1 I2 I3 I4 180 I2 I3 90 BH I 90 BIC vuông C - Xét BIC vuông C, đ-ờng cao IH, ta có: 2 AB 2a IH BH CH AB.CD AB.CD a Câu3: (3đ) Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: y2 = - 2(x6- x3y - 32) Ta cú: : y2 = - 2(x6- x3y - 32) x6+(y-x3)2 = 64 (0,75đ) => x6 64 => -2 x x Z => x {-1; -2; 1; 0; 1; 2} (0,75đ) Xột cỏc trng hp (1,25đ) + x = => (y - x3)2= => y = + x = => (y - x3)2= 63 => y Z => pt ny khụng cú nghim nguyờn + x = => (y - x3)2= => y = v y = - + x = - => (y - x3)2= 63 => y Z => pt ny khụng cú nghim nguyờn + x = -2 => (y - x3)2= =>y = - Vy nghim nguyên ca phng trỡnh l: (0;8); (0;-8); (2;8); (-2;-8) (0,25đ) Bài 1: (3 đ) Tính giá trị biểu thức: B= a2 b2 c2 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 Với a + b + c = Gii b, Vì a + b + c = a = - b - c a2 = b2 + 2bc + c2 a2 - b2 - c2 = 2bc (0,5đ) 34 b2 - c2 - a2 = 2ac T-ơng tự có: B= c2 - a2 - b2 = ab (0,25đ) a2 b2 c2 a b c 3abc 2bc 2ac 2ab 2abc 2abc (0,5đ) Vậy B = Bài 4: (3 đ) Cho số d-ơng x, y thỏa mãn x + y =1 a) Tìm GTNN biểu thức M = ( x2 + y b) Chứng minh rằng: a) Ta có : M = ( x + y )( y + N=(x+ x )= 2 )( y2 + 2 x y 1 15 Mặt khác : xy + = ( xy + )+ xy 16 xy 16 xy x ( xy 1 = 16 16 xy x y 1 xy xy 2 15 17 1 Từ (1), (2) (3) ta có : xy + + = xy 16 17 289 (xy + ) ( ) = 16 xy xy 289 16 xy x = y = Vậy minM = , đạt đ-ợc 16 x y ( A B) b) áp dụng BĐT : A + B , ta có : x y 2 (x y ) (1 ) xy xy N = ( x + )2 + ( y + )2 = 2 x y 2 Mặt khác : (x + y) 4xy ( ( x -y) 0) 4xy xy 2 2 ) ) xy áp dụng BĐT Côsi : xy + 1 25 ) + ( y + )2 x y ( x y 1) 2 (1 ) xy 25 Vậy N 25 N 2 2 x y Dấu "=" xảy x=y= x y ( 1) (2) ( 3) 35 Bài ( điểm ) Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 Vẽ đ-ờng tròn đ-ờng kính AC có tâm O, đ-ờng tròn cắt BA BC D E Chứng minh AE = EB Gọi H giao điểm CD AE, Chứng minh đ-ờng trung trực đoạn HE qua trung điểm I BH Chứng minh OD tiếp tuyến đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE Gii AEC = 900 (Góc tam giác có cạnh đ-ờng kính ) => AEB = 900 ( hai góc kề bù); Theo giả thiết ABE = 450 => AEB tam giác vuông cân E => EA = EB Gọi K trung điểm HE (1) ; I trung điểm HB => IK đ-ờng trung bình tam giác HBE A D F / / I B _H _K E O C => IK // BE mà AEC = 90 nên BE HE E => IK HE K (2) Từ (1) (2) => IK trung trực HE Vậy trung trực đoạn HE qua trung điểm I BH Theo I thuộc trung trực HE => IE = IH mà I trung điểm BH => IE = IB ADC = 900 (Góc tam giác có cạnh đ-ờng kính ) => BDH = 900 (kề bù ADC) => tam giác BDH vuông D có DI trung tuyến (do I trung điểm BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE bán kính ID Ta có ODC cân O (vì OD OC bán kính ) => D1 = C1 (3) IBD cân I (vì ID IB bán kính ) => D2 = B1 (4) Theo ta có CD AE hai đ-ờng cao tam giác ABC => H trực tâm tam giác ABC => BH đ-ờng cao tam giác ABC => BH AC F => AFB có AFB = 900 Theo ADC có ADC = 900 =>B1 = C1 ( phụ BAC) (5) Từ (3), (4), (5) =>D1 = D2 mà D2 +IDH =BDC = 900=> D1 +IDH = 900 = IDO => OD ID D => OD tiếp tuyến đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE ... O1 + O1 = 1800 nờn B+C =90 0, suy K =90 0 Ta li cú D = E = 90 0 nờn t giỏc ADKE l hỡnh ch nht b) A1+A2=D1+D2 =90 0 nờn KA BC Vy AK l tip tuyn ca (O) v (O) c) K1 + E1 = C + EKA = 90 0 nờn MK DE Câu Cho... 15 = b) 5(x2 + xy + y2) = 7(x+2y) (đề thi học sinh giỏi tỉnh 20 09 2010) c) x(x + 1) = y (y + 1) (y2 + 2) VD1 : Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình : 2x2 + 4x = 19 -3y2 Giải : 4x2 + 8x + = 42 - 6y2... 2x3x4 -( x2+ x1)2 + 2x1x2 = (x3 + x4 )2 -( x2+ x1)2 Thay x1+x2 = -20 09; x3 + x4 = -2010 c : 20102 - 20 092 =2010+20 09 =40 19 Ghi chỳ: Cú th nhõn theo nhúm [(x1+x3)(x2 + x3)].[(x1-x4)(x2-x4)] Bi