Tuyển tập bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 8,9 có đáp án

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,0 điểm)Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 c)x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 Câu 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức : +x 4x2 −x x −3 x A =( − − ):( ) −x x −4 + x x −x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (2,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) Cho a b c x y z x2 y z + + = + + = Chứng minh : + + = x y z a b c a b c Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 Câu 5.(0,5 điểm) Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 …………….… Hết…………………… -1- HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm Câu a 0,5 0,25 0,25 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = 3x(x -2) – (x - 2)= (x - 2)(3x - 1) b 0,75 3 (x + y + z) – x3 – y3 – z3 = ( x + y + z ) − x  −  y + z      2 2 = ( y + z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x  − ( y + z ) ( y − yz + z )   = ( y + z ) ( 3x + 3xy + 3yz + 3zx ) = ( y + z )  x ( x + y ) + z ( x + y )    = ( x + y) ( y + z) ( z + x ) c x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = ( x − x ) + ( 2010x + 2010x + 2010 ) 2 = x ( x − 1) ( x + x + 1) + 2010 ( x + x + 1) 0,25 0,25 0,25 0,75 0,25 0,25 2 = ( x + x + 1) ( x − x + 2010 ) 0,25 2,5 1,0 Câu a ĐKXĐ : 2 − x ≠  x ≠ x − ≠   ⇔  x ≠ ±2 2 + x ≠  x − 3x ≠ x ≠   2 x − x3 ≠  A=( 0,25 2+x 4x2 2−x x − 3x (2 + x ) + x − (2 − x ) x (2 − x) − − ):( )= = 2− x x −4 2+ x x − x3 (2 − x)(2 + x) x( x − 3) 0,25 x2 + 8x x (2 − x ) = (2 − x )(2 + x) x − = 0,25 x( x + 2) x(2 − x) 4x2 = (2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 0,25 Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ A = 4x x −3 b 0,75 Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > ⇔ ⇔ x −3 > ⇔ x > 3(TMDKXD ) -2- 4x >0 x −3 Vậy với x > A > c 0,75 x − = x−7 = ⇔   x − = −4  x = 11(TMDKXD ) ⇔  x = 3( KTMDKXD ) Với x = 11 A = 121 Câu a 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = ⇔ (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = ⇔ 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x − 1)2 ≥ 0;( y − 3) ≥ 0;( z + 1) ≥ Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b 0,25 0,25 0,25 0,25 Từ : Ta có : a b c ayz+bxz+cxy + + =0 ⇔ =0 x y z xyz ⇔ ayz + bxz + cxy = x y z x y z + + = ⇔ ( + + )2 = a b c a b c 2 x y z xy xz yz ⇔ + + + 2( + + ) = a b c ab ac bc 2 x y z cxy + bxz + ayz ⇔ + + +2 =1 a b c abc x2 y2 z ⇔ + + = 1(dfcm) a b c 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu H C B F O A E D a K -3- Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO( g − c − g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b ˆ ˆ ˆ ˆ Ta có: ABC = ADC ⇒ HBC = KDC Chứng minh : ∆CBH ∆CDK (g-g) ⇒ CH CK = ⇒ CH CD = CK CB CB CD b, 0,25 0, 0,25 0,75 0,25 0,25 0,25 1,25 0,25 Chứng minh : ∆AFD ∆AKC (g-g) AF AK = ⇒ AD AK = AF AC AD AC Chứng minh : ∆CFD ∆AHC (g-g) CF AH ⇒ = CD AC CF AH = ⇒ AB AH = CF AC Mà : CD = AB ⇒ AB AC ⇒ 0,25 0,25 0,25 Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) Câu 0,25 0,5 (a 2001 +b 2001 ).(a+ b) - (a 2000 +b 2000 2002 ).ab = a +b 2002 ⇒ (a+ b) – ab = 0,25 ⇒ (a – 1).(b – 1) = ⇒ a = b = Vì a = => b2000 = b2001 => b = 1; b = (loại) Vì b = => a2000 = a2001 => a = 1; a = (loại) Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN TỐN Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 Bài 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: -4- 0,25 x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 17 19 21 23 Bài 3: (1,5 điểm) Tìm x biết: 2 ( 2009 − x ) + ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) ( 2009 − x ) − ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) Bài 4: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = = 19 49 2010x + 2680 x2 + Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, D điểm di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D lên AB, AC a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ Bài 6: (2 điểm) Trong tam giác ABC, điểm A, E, F tương ứng nằm cạnh BC, CA, AB · · · · · · cho: AFE = BFD, BDF = CDE, CED = AEF · · a) Chứng minh rằng: BDF = BAC b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = Tính độ dài đoạn BD -5- ĐÁP ÁN Câu Than g điểm Nội dung-Hướng dẫn 3 3 a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 = ( x + y + z ) − x  −  y + z      2 2 = ( y + z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x  − ( y + z ) ( y − yz + z )   0,5 = ( y + z ) ( 3x + 3xy + 3yz + 3zx ) = ( y + z )  x ( x + y ) + z ( x + y )    Bài 1: = 3( x + y) ( y + z) ( z + x ) 0,5 b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = ( x − x ) + ( 2010x + 2010x + 2010 ) 0,25 2 = x ( x − 1) ( x + x + 1) + 2010 ( x + x + 1) 2 = ( x + x + 1) ( x − x + 2010 ) 0,5 0,25 x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 17 19 21 23 ⇔ Bài 2: x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 −1+ −2+ −3+ −4=0 17 19 21 23 x − 258 x − 258 x − 258 x − 258 + + + =0 17 19 21 23  1 1 ⇔ ( x − 258 )  + + + ÷ =  17 19 21 23  ⇔ x = 258 ⇔ 0,5 0,25 0,5 0,25 Bài 3: ( 2009 − x ) + ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) = 19 2 ( 2009 − x ) − ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) 49 2 ĐKXĐ: x ≠ 2009; x ≠ 2010 Đặt a = x – 2010 (a ≠ 0), ta có hệ thức: ( a + 1) − ( a + 1) a + a = 19 a + a + 19 ⇔ = ( a + 1) + ( a + 1) a + a 49 3a + 3a + 49 ⇔ 49a + 49a + 49 = 57a + 57a + 19 ⇔ 8a + 8a − 30 = -6- 0,25 0,5 Bài 4:  a=  2 ⇔ ( 2a + 1) − 42 = ⇔ ( 2a − 3) ( 2a + ) = ⇔  (thoả ĐK) a = −   4023 4015 Suy x = x = (thoả ĐK) 2 4023 4015 Vậy x = x = giá trị cần tìm 2 2010x + 2680 A= x2 + −335x − 335 + 335x + 2010x + 3015 x2 + = 335(x + 3) = −335 + x2 + A ≥ −335 Vậy giá trị nhỏ A – 335 x = – 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 C D F Bài 5: 0,25 A E B µ µ $ a) Tứ giác AEDF hình chữ nhật (vì E = A = F = 90o ) Để tứ giác AEDF hình vng AD tia phân · giác BAC b) Do tứ giác AEDF hình chữ nhật nên AD = EF Suy 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ ⇔ AD nhỏ ⇔ D hình chiếu vng góc A lên BC 0,75 A 0,5 ωβ E O ω β 0,5 F Bài 6: B α α -7D C 0,25 s s s · · · · · · a) Đặt AFE = BFD = ω, BDF = CDE = α, CED = AEF = β · Ta có BAC + β + ω = 1800 (*) Qua D, E, F kẻ đường thẳng vng góc với BC, AC, AB cắt O Suy O giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF · · · ⇒ OFD + OED + ODF = 90o (1) · · · Ta có OFD + ω + OED + β + ODF + α = 270o (2) (1) & (2) ⇒ α + β + ω = 180o (**) · · (*) & (**) ⇒ BAC = α = BDF b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: µ µ B = β, C = ω ⇒ ∆AEF ∆DBF ∆DEC ∆ABC ⇒ 5BF 5BF 5BF  BD BA     BF = BC =  BD =  BD =  BD =     7CE 7CE 7CE  CD CA    = = ⇒  CD = ⇒  CD = ⇒  CD =  8  CE CB     AE AB  7AE = 5AF  7(7 − CE) = 5(5 − BF)  7CE − 5BF = 24  AF = AC =        ⇒ CD − BD = (3) Ta lại có CD + BD = (4) (3) & (4) ⇒ BD = 2,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn tốn lớp Năm học: 2013-2014 Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian phát đề) -8- Bài 1: (2 điểm)  − x3  − x2 Cho biểu thức A =   − x − x  : − x − x + x3    a, Rút gọn biểu thức A ( với x ≠ x ≠ −1 ) b, Tính giá trị biểu thức A x = −1 c, Tìm giá trị x để A < Bài 2: (2điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + c) x3 – 5x2 + 8x – Bài 3: (3 điểm) 1/ Giải phương trình: a/ x − 30x + 31x − 30 = b/ x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 17 19 21 23 1 + + = x y z yz xz xy + + Tính giá trị biểu thức: A = x + yz y + xz z + 2xy Bài (3 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng C qua P a/ Tứ giác AMDB hình gì? b/ Gọi E, F hình chiếu điểm M lên AB, AD Chứng minh EF // AC ba điểm E,F,P thẳng hàng c/ Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P 2/ Cho x, y, z đôi khác d/ Giả sử CP ⊥ BD CP=2,4 cm; PD = Tính cạnh hình chữ nhật ABCD PB 16 Đáp án biểu điểm Câu 1(2 điểm): a/ Với x ≠ x ≠ −1 − x3 − x + x2 (1 − x)(1 + x) : A= 1− x (1 + x)(1 − x + x ) − x(1 + x) -9- (1 − x)(1 + x + x − x) (1 − x)(1 + x) : = 1− x (1 + x)(1 − x + x ) = (1 + x ) : (1 − x ) = (1 + x )(1 − x) 2    b/ Tại x = − = − A = 1 + (− ) .1 − (− )  3 3   25    = 1 + .1 +   3  34 272 = = = 10 27 27 c/ / Với x ≠ x ≠ −1 A với x nên (1) xảy − x < ⇔ x > 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu (2 điểm): = x5 + x + = x + x + x − ( x − 1) (0,75điểm) = x ( x + x + 1) − ( x − 1)( x + x + 1) = ( x + x + 1)( x − x + 1) b/ x + = ( x + x + 4) − x = ( x + 2) − (2 x) = ( x − x + 2).( x + x + 2) (0,75 điểm) c/ x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 Câu (3 điểm): a/ x − 30x + 31x − 30 = (*) Vì x2 - x + = (x - )2 + > Suy (*) (x - 5)(x + 6) = x − = x = ⇔  x + = x = − b/ (x − x + ( x − 5) ( x + 6) = x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 17 19 21 23 - 10 - ) (0,5 điểm) (1 điểm) ⇒ BC = 2AE ⇒ E trung điểm AB, F trung điểm AD Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.5 Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: ⇒ AD AM AD CN = ⇒ = CN MN AM MN 0.5 Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: (2.0 điểm) ⇒ MN MC AB MC AD MC = ⇒ = = hay AN AB AN MN AN MN 2 0.5 AD   AD   CN   CM  CN + CM MN ⇒  + = + = = =1  ÷ ÷ ÷ ÷ MN MN  AM   AN   MN   MN  0.5 (Pytago) 2 1 AD   AD  ⇒   ÷ + ÷ = => AM + AN = AD  AM   AN  Câu 2.0 điểm (đpcm) 0.5 Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với ∀ a, b, c ∈ R x, y, z > ta có a b2 c2 ( a + b + c ) + + ≥ x y z x+ y+z a b c Dấu “=” xảy ⇔ = = x y z Thật vậy, với a, b ∈ R x, y > ta có a b2 ( a + b ) + ≥ x y x+ y ⇔ (a 2 điểm (*) (**) y + b x ) ( x + y ) ≥ xy ( a + b ) 0.75 ⇔ ( bx − ay ) ≥ (luôn đúng) Dấu “=” xảy ⇔ a b = x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a b2 c ( a + b ) c2 ( a + b + c ) + + ≥ + ≥ x y z x+ y z x+ y+z a b c Dấu “=” xảy ⇔ = = x y z 1 2 1 Ta có: + + = a + b + c a (b + c) b (c + a ) c (a + b) ab + ac bc + ab ac + bc 2 Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 1 1 1  + + ÷ 2 a b c a b c + + ≥  = ab + ac bc + ab ac + bc 2(ab + bc + ac ) - 32 - 1 1  + + ÷ a b c (Vì abc = ) 1 1 2 + + ÷ a b c 0.5 Hay 1 2 11 1 a + b + c ≥  + + ÷ ab + ac bc + ab ac + bc  a b c  1 Mà + + ≥ nên a b c Vậy 1 2 a + b + c ≥ ab + ac bc + ab ac + bc 1 + + ≥ a (b + c) b (c + a ) c (a + b) (đpcm) Điểm toàn 0.25 0.25 0.25 (20 điểm) Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Với 4, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm Toán ĐỀ THI SỐ Câu 1: (2,0 điểm)Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức : +x x2 −x x −3 x A =( − − ):( ) −x x −4 + x x −x g) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? h) Tìm giá trị x để A > 0? i) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (1,5 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) Cho a b c x y z x2 y z + + = + + = Chứng minh : + + = x y z a b c a b c Câu 4: (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD - 33 - d) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? e) Chứng minh : CH.CD = CB.CK f) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 ĐỀ SỐ Câu1 a Phân tích đa thức sau thừa số: ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) − 24 b Giải phương trình: x − 30x + 31x − 30 = a b c a2 b2 c2 + + = Chứng minh rằng: c Cho + + = Câu2 b+c c+a a+b b+c c+a a+b   10 − x   x A= + + :x − + Cho biểu thức: ÷ ÷ x+2  x −4 2−x x+2  a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết |x| = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị ngun Câu Cho hình vuông ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AD a Chứng minh: DE = CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 1 + + ≥9 a b c b Cho a, b dơng a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ Nội dung đáp án Bài a 2 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = - 34 - Điểm 1,0 0,25 0,25 0,5 1,0 0,25 0,5 = (x - a)(ax - 1) 0,5 3,0 1,0 Bài 2: a ĐKXĐ : 2 − x ≠  x ≠ x − ≠   ⇔  x ≠ ±2 2 + x ≠  x − 3x ≠  x ≠  2 x − x3 ≠  0,25 + x x2 2− x x − 3x (2 + x) + x − (2 − x) x (2 − x) A=( − − ):( )= = − x x − + x x − x3 (2 − x)(2 + x ) x( x − 3) 0,25 4x2 + 8x x(2 − x) = (2 − x)(2 + x ) x − = x ( x + 2) x(2 − x ) 4x2 = (2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 0,25 4x Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ A = 0,25 x −3 b 1,0 Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > ⇔ ⇔ x−3> ⇔ x > 3(TMDKXD ) 4x >0 x−3 Vậy với x > A > c x − = x−7 = ⇔   x − = −4  x = 11(TMDKXD) ⇔  x = 3( KTMDKXD ) Với x = 11 A = 121 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 Bài a 1,5 0,75 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = ⇔ (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = ⇔ 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x − 1)2 ≥ 0;( y − 3)2 ≥ 0;( z + 1) ≥ Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b Từ : a b c ayz+bxz+cxy + + =0 ⇔ =0 x y z xyz - 35 - 0,5 0,25 0,75 0,5 Ta có : ⇔ ayz + bxz + cxy = x y z x y z + + = ⇔ ( + + )2 = a b c a b c 2 x y z xy xz yz ⇔ + + + 2( + + ) = a b c ab ac bc 2 x y z cxy + bxz + ayz ⇔ + + +2 =1 a b c abc x2 y2 z ⇔ + + = 1(dfcm) a b c 0,25 Bài 3,5 H C B 0,5 F O E A D K a Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO( g − c − g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b · · Ta có: · ABC = · ADC ⇒ HBC = KDC Chứng minh : ∆CBH : ∆CDK ( g − g ) ⇒ b, CH CK = ⇒ CH CD = CK CB CB CD Chứng minh : ∆AFD : ∆AKC ( g − g ) AF AK = ⇒ AD AK = AF AC AD AC Chứng minh : ∆CFD : ∆AHC ( g − g ) CF AH ⇒ = CD AC CF AH = ⇒ AB AH = CF AC Mà : CD = AB ⇒ AB AC 1,0 0,5 0,25 0,25 1,0 0,25 0,5 0,25 1,0 0,25 ⇒ Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) - 36 - 0,25 0,25 0,25 ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ Câu Đáp án 4 a x + = x + 4x + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) Câu (2 điểm) Câu (6 điểm) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) b x − 30x + 31x − 30 = ( x2 − x + 1) ( x − ) ( x + ) = (*) Vì x2 - x + = (x - )2 + > ∀x  (*) (x - 5)(x + 6) = x − = x = ⇔   x + = x = − a b c + + =1 c Nhân vế của: b+c c+a a+b với a + b + c; rút gọn ⇒ đpcm   10 − x   x + + Biểu thức: A =  ÷:  x − + x + ÷ x −4 2−x x+2   −1 a Rút gọn kq: A = x−2 1 −1 b x = ⇒ x = x = 2 4 A = c A < ⇔ x > −1 ∈ Z ⇒ x ∈ { 1;3} d A ∈ Z ⇔ x−2 ⇒A= - 37 - Điểm (2 điểm) (2 điểm) (2 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) Câu Đáp án Điểm HV + GT + KL (1 điểm) Câu (6 điểm) Câu 4: (2 điểm) a Chứng minh: AE = FM = DF ⇒ ∆AED = ∆DFC ⇒ đpcm b DE, BF, CM ba đường cao ∆EFC ⇒ đpcm c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a khơng đổi ⇒ ME + MF = a không đổi ⇒ S AEMF = ME.MF lớn ⇔ ME = MF (AEMF hình vng) ⇒ M trung điểm BD b c 1 = 1+ + a a a  a c 1 a Từ: a + b + c = ⇒  = + + b b b a b 1  c = 1+ c + c  (2 điểm) (2 điểm) (1 điểm) (1 điểm) 1 a b a c b c + + = + + ÷+  + ÷+  + ÷ a b c b a  c a c b ≥3+2+2+2=9 Dấu xảy ⇔ a = b = c = ⇒ PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN LƯƠNG TÀI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 - 38 - Bài 2: (2 điểm)  4x 8x2   x −1 2 + : − ÷ Cho biểu thức A =  ÷   + x − x   x − 2x x  a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A = -1 c) Tìm giá trị x để A < Bài 3: (1,5 điểm)Giải phương trình: a) x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 17 19 21 23 ( 2009 − x ) + ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) = 19 2 ( 2009 − x ) − ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) 49 b) Bài 4: (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác Tính giá trị biểu thức: A = 1 + + = x y z yz xz xy + + x + yz y + xz z + xy Câu 5: (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a)Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b)Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN THI HỌC SINH GIỎI LỚP HUYỆN LƯƠNG TÀI NĂM HỌC 2013-2014 MƠN : TỐN Bài 1: 3 3 a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 = ( x + y + z ) − x  −  y + z      2 = ( y + z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x  − ( y + z ) ( y − yz + z ) (0,25điểm)   2 = ( y + z ) ( 3x + 3xy + 3yz + 3zx ) = ( y + z )  x ( x + y ) + z ( x + y )  (0,25điểm)   - 39 - = ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) (0,25điểm) b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = ( x − x ) + ( 2010x + 2010x + 2010 ) (0,25điểm) 2 = x ( x − 1) ( x + x + 1) + 2010 ( x + x + 1) (0,25điểm) 2 = ( x + x + 1) ( x − x + 2010 ) Bài 2: a)Điều kiện xác định x ≠ ; x ≠ ±  4x  x −1 x ( − x ) + 8x   + : − ÷= : A=  ÷   + x − x   x − 2x x  ( + x ) ( − x ) 8x x −1− ( x − 2) x ( x − 2) 8x − x2 + 8x2 x − − x + 8x + 4x2 3− x : = 2+ x 2− x = 2+ x 2− x : x x−2 ( )( ) x ( x − 2) ( )( ) ( ) 4x ( + x ) x ( x − 2) = 2+ x 2− x 3− x ( )( ) = (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) 4x2 (0,25điểm) x−3 4x2 b)Ta có: A = -1 ⇔ = -1 ⇔ 4x2 = -x+3 x−3 ⇔ 4x2 + x – = (0,25điểm) ⇔ x2 + x + 3x2 -3 = ⇔ (x+1)(4x-3) = ⇔ x = -1 ; x = ( thỏa mãn ĐKXĐ) (0,25điểm) 4x2 c)Ta có: A < ⇔ < ⇔ x - < (do x ≠ nên 4x2 > ) (0,25điểm) Kết luận: Vậy x < ; x ≠ ; x ≠ ± A < (0,25điểm) x−3 Bài 3: a) x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 17 19 21 23 ⇔( x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 − 1) + ( − 2) + ( − 3) + ( − 4) = 17 19 21 23 x − 258 x − 258 x − 258 x − 258 + + + =0 17 19 21 23  1 1 ⇔ ( x − 258 )  + + + ÷ =  17 19 21 23  ⇔ x = 258 2 ( 2009 − x ) + ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) (0,25điểm) ⇔ b) ( 2009 − x ) − ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) - 40 - (0,25điểm) (0,25điểm) = 19 49 ĐKXĐ: x ≠ 2009; x ≠ 2010 (0,25điểm) Đặt a = x – 2010 (a ≠ 0), ta có hệ thức: ( a + 1) − ( a + 1) a + a = 19 a + a + 19 ⇔ = ( a + 1) + ( a + 1) a + a 49 3a + 3a + 49 ⇔ 49a + 49a + 49 = 57a + 57a + 19 ⇔ 8a + 8a − 30 =  a = 2 ⇔ ( 2a + 1) − 42 = ⇔ ( 2a − 3) ( 2a + ) = ⇔  (thoả ĐK) (0,25điểm) a = −   4023 4015 Suy x = x = (thoả ĐKXĐ) (0,25điểm) 2 4023 4015 Vậy x = x = giá trị cần tìm 2 Bài 4: xy + yz + xz 1 + + =0⇒ = ⇒ xy + yz + xz = ⇒ yz = –xy–xz x y z xyz ( 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) yz xz xy + + Do đó: A = ( x − y)( x − z) ( y − x )( y − z) (z − x )(z − y) ( 0,25điểm ) Tính A = ( 0,5 điểm ) (0,25điểm ) Bài Vẽ hình xác ghi GT_ KL (0,25điểm) H C B F O A E D a) Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO( g − c − g ) => BE = DF - 41 - K (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành (0,25điểm) · · b) Ta có: · ABC = · ADC ⇒ HBC = KDC Chứng minh : ∆CBH : ∆CDK ( g − g ) (0,25điểm) (0,25điểm) CH CK = ⇒ CH CD = CK CB CB CD c) Chứng minh : ∆AFD : ∆AKC ( g − g ) AF AK ⇒ = ⇒ AD AK = AF AC AD AC Chứng minh : ∆CFD : ∆AHC ( g − g ) CF AH ⇒ = CD AC CF AH = ⇒ AB AH = CF AC Mà : CD = AB ⇒ AB AC ⇒ (0,25điểm) (0,5điểm) (0,5điểm) Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (0,5điểm) Bài 1: ( điểm ) a Phân tích đa thức sau thừa số: x4 + ( x + ) ( x + 3) ( x + ) ( x + ) − 24 b Giải phương trình: x − 30x + 31x − 30 = Bài (2 điểm )  − x3  − x2 Cho biểu thức A =   − x − x  : − x − x + x với x khác -1    a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị biểu thức A x = −1 c, Tìm giá trị x để A < Bài 3:( điểm) a) Cho a số tự nhiên a > Chứng minh rằng: A = (a2 + a + 1)(a2 + a + 2) – 12 hợp số 1006 b) Tính B = ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) K ( + 1) + Bài 4: (1 điểm) Cho a +b +c ≠ a + b + c = 3abc Tính N = 3 a 2013 + b 2013 + c 2013 ( a + b + c) 2013 Bài 5: (3 điểm) Cho hình thang ABCD có µ = D = 900, CD = 2AD = 2AB Gọi H hình chiếu D lên A µ AC; M, N, P trung điểm CD, HC HD - 42 - a) b) c) d) Chứng minh tứ giác ABMD hình vng tam giác BCD tam giác vuông cân Chứng minh tứ giác DMPQ hình bình hành Chứng minh AQ vng góc với DP Chứng minh S ABCD = 6S ABC PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN THI HỌC SINH GIỎI LỚP HUYỆN LƯƠNG TÀI NĂM HỌC 2013-2014 MƠN : TỐN Bài 1: (2 điểm ) a) x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) b) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) – 24 = (x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) – 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) – 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) b) x − 30x + 31x − 30 = ⇔ (x4 + x) – (30x2 - 30x + 30) = ⇔ x(x3 + 1) – 30(x2 - x + 1) = ⇔ x(x + 1)(x2 - x + 1) – 30(x2 - x + 1) = ⇔ x − x + ( x − ) ( x + ) = (*) Vì x2 - x + = (x - )2 + > ∀x Ta có: (*) (x - 5)(x + 6) = x − = x = x + = ⇔ x = −   ( ) Bài ( 2điểm) a)ĐKXĐ: x≠ -1; x≠ (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) − x3 − x + x2 (1 − x)(1 + x) : A= 1− x (1 + x)(1 − x + x ) − x(1 + x) (0,25điểm) (1 − x)(1 + x + x − x) (1 − x )(1 + x) : = 1− x (1 + x)(1 − x + x ) (0,25điểm) = (1 + x ) : (1 − x) - 43 - = (1 + x )(1 − x) b) Tại x = − = (1 + (0,25điểm) = − Acó giá trị 3 2    1 + (− )  − 1 − (− )      25 34 272 )(1 + ) = = = 10 9 27 27 (0,25điểm) (0,25điểm) c)Ta có: A< ⇔ (1 + x )(1 − x) < (1) Vì + x > với x nên (1) xảy − x < ⇔ x > (0,25điểm) Kết hợp với ĐKXĐ ta được: x > (0,25điểm) Bài 3:( 2điểm) a) Đặt x = a2 +a +1 ⇒ a2 +a +2 = x +1 A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12 = (x +4)(x – 3) (0,25điểm) Thay x = a2 +a +1 vào A ta có: A = (a2 +a +5) (a2 +a – 2) (0,25điểm) Vì a ∈ N a > nên a số tự nhiên Ngoài ước ± A, cịn có thêm ước (a2 +a +5) (a2 +a – 2) (0,25điểm) Do A hợp số (0,25điểm) b) B = (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) (21006 + 1) + = ( − 1) ( + 1) ( 22 + 1) ( 24 + 1) ( 28 + 1) K ( 21006 + 1) + = ( 22 − 1) ( 22 + 1) ( 24 + 1) ( 28 + 1) K ( 21006 + 1) + = ( 24 − 1) ( 24 + 1) ( 28 + 1) K ( 21006 + 1) + ( ) = K = ( 21006 ) − + = 22012 (0,25điểm) (0,25điểm) (0,5điểm) Bài 4: (1điểm) Ta có: a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔ a + b3 + c3 − 3abc = ⇔ a + b3 + 3ab(a + b) + c − 3ab(a + b) − 3abc = ⇔ ( a + b ) + c − 3ab(a + b + c) = ⇔ (a + b + c)(a + 2ab + b − ac − bc + c ) − 3ab(a + b + c) = ⇔ (a + b + c)(a + b + c − ab − ac − bc) = ⇔ a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc = ( a +b +c ≠ 0) ⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac –2bc = ⇔ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = - 44 - (0,25điểm) Vì (a – b)2 ≥ ∀ a, b; (b – c)2 ≥ ∀ b,c; (c – a)2 ≥ ∀ a, c Nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ ∀ a, b,c ; Do (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = ∀ a, b,c Khi a – b = b – c = c – a =0 ⇒a = b = c Mà a +b +c ≠ ⇒ a = b = c ≠ (*) Thay (*) vào N ta có: N = a 2013 + a 2013 + a 2013 ( a + a + a) 2013 = 3a 2013 ( 3a ) 2013 = 3a 2013 = 2013 27a (0,25điểm) (0,5điểm) Bài 5: (3 điểm) Vẽ hình ghi đầy đủ GT-KL (0,25 điểm) a) +/ Chứng minh cho tứ giác ABMD có cạnh lại có µ =900 nên ABMD hình vng A (0,25 điểm) +/ ∆ BMD có BM đường trung tuyến ứng với cạnh DC DC ⇒ ∆ BMD vng B · lại có BDM = 450 ⇒ ∆ BMD vuông cân B (0,25 điểm) b) Tứ giác DMPQ có PQ // DM PQ = DM (0,25 điểm) ⇒ tứ giác DMPQ hình bình hành (0,25 điểm) c) Chứng minh Q trực tâm tam giác ADP ⇒ AQ ⊥ DP (0,25 điểm) (0,25 điểm) BM = - 45 - (0,25 điểm) d) Chứng minh ABC = AMC (c.c.c) ⇒ S ABC = S AMC mà SAMC = AD.MC = AD (0,25 điểm) (0,25 điểm) Lại có S ABCD = S ABMD + S BCM = AD + AD = AD (0,25 điểm) S ABCD S ABC AD = = ⇒ S ABCD = S ABC AD (0,25 điểm) Chú ý:Học sinh có cách giải khác cho đủ điểm - 46 - ... lại có CD + BD = (4) (3) & (4) ⇒ BD = 2,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn tốn lớp Năm học: 2013-2014 Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian phát đề) ... (0,25điểm) *Chú ý :Học sinh giải cách khác, xác hưởng trọn số điểm câu ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 - 2014 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài :... điểm tương ứngvới phần) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MƠN THI: TỐN LỚP Ngày thi: …./4/2014 Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu (4,0 điểm) Phân tích