bộ đề thi chọn HSG cấp huyện lớp 9 môn toán

UBND HUYỆN LAI VUNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2014 – 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 07/12/2014 (Đề thi gồm 02 trang) Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức A  ( x  4)2  16 x  ( x  5)2  20 x x với < x < a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên Câu (5,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức P  ( x  1)( x  2)  b) Với giá trị x biểu thức T  xy   3y , biết x   y y  3x có nghĩa 2 x c) Cho x  y  3( x  y )  4( x  y )   xy  Tìm giá trị lớn x y biểu thức P   Câu (4 điểm) a) Giải phương trình: x   2 x   x  11  x   b) Giải bất phương trình: x2  x   ( x  1)  x2 Câu (3,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD (AB b) 0,5 Suy ra: a2 – b2 = n + 12 – n + 11 = 23 (a + b) (a - b) = 23.1 a  b  23 a  b  Giải hệ phương trình:  Giải ra: a = 12, b = 11 => n = 132 0,5 0,5 Câu (4,0 điểm) Nội dung Điểm a) 2,0 Giải phương trình x  10  17  x   ( x  10  17  x )3  33 0,5  x  10  17  x  3 ( x  10)(17  x).3  27 0,5  ( x  10)(17  x )  0,5  x  10   x  17 0,5 b) 1,5 Gọi x, y hai cạnh góc vng; x  4, y  0,25 Diện tích tam giác vng  ( x  2)( y  3)   Ta có hệ :   ( x  4)( y  4)   xy 0,25 xy  44 xy  58 0,25 3 x  y  82  x  16    x  y  132  y  17 0,5 Vậy hai cạnh góc vng cần tìm có độ dài 16cm, 17cm 0,25 c) 1,5 Ta có: x y  x  y   x  xy  y  x y  x  xy  x  y  y    x ( y  1)  x( y  1)  y ( y  1)   (*) Nhận xét y  nghiệm (*) Chia vế (*) cho y  ta được:  x  x  y  Với x, y nguyên, suy 0,25 0,25  (**) y 1 y  nguyên nên y   1   y 1 y  0,25 0,25 Thay y  y  vào (**) ta được: 2 x   ; Vì x nguyên nên x  x  x    (2 x  1)( x  1)     x 1  0,25 Vậy phương trình có cặp nghiệm nguyên là: (1;2) (1;0) 0,25 Câu (3,5 điểm) Nội dung Điểm Hình vẽ : A E O D C H B N M a) 1,0 ADH : OD  OA  OH  ADH vuông D 0,25 AEH : OE  OA  OH  AEH vng E 0,25 Tứ giác ADHE có góc vng nên hình chữ nhật 0,25 Vì O trung điểm AH nên O trung điểm DE hay D, O, E thẳng hàng 0,25 b) 1,0 * Ta có MD, MH tiếp tuyến kẻ từ M đến đường tròn (O) nên OM  DH , mà AD  DH  OM//AD Tam giác ABH có O trung điểm AH, OM//AB suy M trung điểm BH 0,5 * Tương tự, NE, NH tiếp tuyến kẻ từ N đến đường tròn (O) nên ON  EH , mà AE  EH  ON//AE Tam giác ACH có O trung điểm AH, ON//AC suy N trung điểm CH c) 0,5 1,5 Do DM, EN vng góc DE (tiếp tuyến) nên DM // EN, suy MDEN hình thang vng 0,25 BC  AB  AC  10; 0,25 AH  AB.AC 24   DE BC M, N tương ứng trung điểm BH, CH nên MN  1 ( DM  EN ).DE  ( HM  HN ).DE 2 1 24  MN DE   12(cm ) 2 0,25 BC 5 0,25 S MDEN  0,5 Câu (4,5 điểm) Nội dung Điểm a) 2,0 Vẽ hình: B A N M O C D Ta có: OM//AB  OM OD (1)  AB DB 0,25 ON//AB  ON OC (2)  AB AC 0,25 AB//DC  OD OC (3)  DB AC 0,25 ON//DC  ON OB (4)  DC DB 0,25 Từ (1), (2) (3):  OM ON   OM  ON hay O trung điểm MN AB AB Cộng (1) với (4) theo vế: 0,5 OM ON OD OB DB     1 AB CD DB DB DB 2OM 2ON MN MN 1   2   2   AB CD AB CD AB CD MN b) 0,5 2,5 Hình vẽ: A x F I M y B H D E Kẻ AH  BC , AH cắt MF I Suy ra: AH  MF C 0,25 Nội dung Điểm S’=IH MF (S’ diện tích hình bình hành BEMF) S= 0,25 BC AH (S diện tích tam giác ABC) Ta có: S' IH MF MF IH  2 (1) S BC AH BC AH 0,25 Đặt AM=x MC=y Vì MF // BC nên ta có: Thay vào (1) ta có: MF AM x IH MC y   ;   BC AC x  y AH AC x  y S' x y xy   S x  y x  y ( x  y) 0,25 0,25 Vì x, y số khơng âm nên ta có: x  y  xy  ( x  y )2  xy 0,25  S' xy xy    S ( x  y) xy 0,25  S' 1   S' S S 2 0,25 S' S lớn 0,25 Dấu “ = ” xảy x=y, tức M trung điểm cạnh AC diện tích hình bình hành BEMF đạt giá trị lớn -Hết - S không đổi 0,25 PHÒNG GIÁO DU ̣C VÀ ĐÀ O TẠO HUYỆN LAI VUNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 25/11/2018 Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: NỘI DUNG ĐỀ THI (Đề thi có 02 trang, gồm câu) Câu I (4,0 điểm) Tính A = (   5)(  10 0,2) Tìm số tự nhiên n cho B = n +2n+18 số phương Với a, b số nguyên Chứng minh a chia cho 13 dư b chia cho 13 dư a + b chia hết cho 13 Câu II (4,0 điểm) x x -3 2( x - 3) x +3 Tìm điều kiện xác + x-2 x -3 x +1 3- x định rút gọn biểu thức C Cho biểu thức C = a) Chứng minh x4 +  (x + 4) với số thực x Dấu đẳng 17 thức xảy nào? b) Cho a, b số thực thỏa mãn a + b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức D = a +1+ b +1 Câu III (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a) x + 2x = 4x + 1 + x + = + 2x + x x Giải toán sau cách lập phương trình: b) An dự định từ A đến B xe đạp điện khoảng thời gian định Nếu An với vận tốc 20 km/h đến B sớm 12 phút Nếu An với vận tốc 12 km/h đến B trễ 20 phút Tính qng đường AB thời gian dự định lúc đầu An Câu IV (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C) Một đường thẳng qua A vng góc với AM cắt CD N a) Chứng minh BM = DN b) Tính tỉ số AM MN Cho tam giác ABC, đường cao AH Trên tia đối tia AH lấy điểm D cho AD = BC Tại B kẻ BE  AB cho BE = AB (E C thuộc hai nửa mặt phẳng đối từ bờ AB) Tại C kẻ CF  AC cho CF = AC (F B thuộc hai nửa mặt phẳng đối từ bờ AC) Chứng minh ba đường thẳng DH, BF CE đồng quy Câu V (4,0 điểm) Cho đường tròn (O ; R) điểm A ngồi đường trịn Từ điểm M di động đường thẳng d vng góc với OA A, vẽ tiếp tuyến ME, MF với đường tròn (O) (E, F tiếp điểm) Đường thẳng chứa đường kính đường trịn song song với EF cắt ME, MF C D Dây EF cắt OM H, cắt OA B Chứng minh rằng: OA.OB không đổi Chứng minh EF qua điểm cố định M di chuyển đường thẳng d Tìm vị trí M đường thẳng d để diện tích HBO lớn - HẾT Lưu ý: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm PHÒNG GIÁO DU ̣C VÀ ĐÀ O TẠO HUYỆN LAI VUNG Hướng dẫn chấm gồm 04 trang HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN: TỐN I HƯỚNG DẪN CHUNG: Học sinh làm không theo cách nêu hướng dẫn chấm đúng, xác, chặt chẽ cho đủ số điểm câu Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm phải thống thực tổ chấm thi Điểm tồn tính theo thang điểm 20, làm tròn số đến 0,25 điểm II ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Nội dung Câu I Tính A= (   5)(  10 0,2) Điểm 4,0 1,0 A  (   5)(  10 0,2)  (2   5)(  20) 0,25  (2  2)(2  2) 0,25  (2 5)  ( 2) 0,25 = 20 - = 18 0,25 Tìm số tự nhiên n cho B = n  2n  18 số phương 1,5 Đặt n  2n  18  a ( a   , n   ) 0,25  a  (n  1)2  17 0,25  (a  n  1)( a  n  1)  17 0,25 Vì a   , n  nên (a  n  1)  ( a  n  1) ; 17 số nguyên tố Suy ra: a  n   17 (*) a  n   hay a  n  Thay a  n  vào (*) tính n = 0,25 Với a, b số nguyên Chứng minh a chia cho 13 dư b chia cho 13 dư a +b chia hết cho 13 Do: a chia cho 13 dư nên a=13x+2 ( x   ) 1,5 b chia cho 13 dư nên b=13y+3 ( y   ) Suy ra: a +b = (13x+2)2 +(13y+3)2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 = 169x +52x+4+169y +78y+9 0,25 = 13(13x +4x+13y +6y+1)  13.K  13 0,25 Vậy: a +b chia hết cho 13 (đpcm) 0,25 Nội dung Điểm Câu II 4,0 x x -3 2( x - 3) x +3 Tìm điều kiện + x-2 x -3 x +1 3- x xác định rút gọn biểu thức C 2,0 Cho biểu thức C = C= x x -3 2( x -3) x +3   ( x +1)( x -3) x +1 x 3 Điều kiện xác định: x  x  0,25 0,25 x x -3 - 2( x -3) - ( x +3)( x +1) ( x +1)( x -3) 0,25 = x x -3 - 2x+12 x - 18 - x - x - ( x +1)( x -3) 0,25 = x x - 3x + x - 24 ( x +1)( x -3) 0,25 = x ( x - 3) + ( x - 3) ( x +1)( x -3) 0,25 C= ( x - 3) (x + 8) ( x +1)( x -3) x+8 = x +1) = 2a) Chứng minh 0,25 0,25 x4 +  (x + 4) với số thực x 17 (x +4) >  17(x  1)  (x +4)2 >0 17 Mà 17(x  1)  (x +4)  (4x  1)  với x (x +4) Vậy 17(x  1)  (x +4)2 hay x +1  17 Dấu “=” xảy x = ± 2b) Cho a, b số thực thỏa mãn a + b  Tìm giá trị nhỏ 4 biểu thức D = a +1+ b +1 (a + b +8) Áp dụng kết câu 2a) ta có D  17 1 17 ( + 8) = Mà a + b  Suy D  2 17 Ta có x +1  Vậy GTNN D 17 a = b = 2 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,250,25 Nội dung Điểm Câu III 4,0 1a) Giải phương trình: x + 2x = 4x + (1) 1,0 (1)  x + 2x + x = x + 4x + 0,25  x (x + 1) = (x + 2) 0,25  x2 =  x (x + 1) = x +   (2) x (x + 1) = (x + 2) x + 2x + =   0,25 x   x + 2x + = (x + 1)2   > 0,25 nên từ (2) suy phương trình cho có nghiệm x   1 + x + = + 2x + (3) x x  x0  x0   Điều kiện xác định:  x     2 x    x    1b) Giải phương trình: (3)   x x + = x + x 2x +  (1  x)  x ( x + 2- 2x + 1)   (1 - x) + x  (1 - x) (1+ 1-x 0 x + + 2x + x2 )  (4) x + + 2x + 1,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25  x0 x2  Do  , 1+  nên từ (4) suy phương x   x + + 2x +  trình cho có nghiệm x = (thỏa điều kiện xác định) 0,25 2) Giải toán cách lập phương trình: An dự định từ A đến B xe đạp điện khoảng thời gian định Nếu An với vận tốc 20 km/h đến B sớm 12 phút Nếu An với vận tốc 12 km/h đến B trễ 20 phút Tính quãng đường AB thời gian dự định lúc đầu An 1,5 Gọi x (giờ) thời gian dự định lúc đầu (x>0) 0,25 1 ) = 12(x + )  20x - = 12x +  8x =  x = (nhận) Vậy: Thời gian dự định (giờ) Quãng đường AB dài: 20.(1 - ) = 20.( ) =16 (km) 5 Theo đề có phương trình: 20(x - 0,5 0,25 0,5 Điểm Nội dung Câu IV 4,0 Cho hình vng ABCD điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C) Một đường thẳng qua A vng góc với AM cắt CD N 2,0 A B M N C D 1,0 a) Chứng minh BM = DN ABM ADN có:  =  =  ADN = 900 ; BAM DAN = 900  MAD AB=AD; ABM 0,5 Nên ABM = ADN Suy ra: BM=DN b) Tính tỉ số 0,5 AM MN 1,0 Vì ABM = ADN, suy AM = AN hay AMN vuông cân A 0,5 AM AM AM AM 2   =   MN 2 MN AN +AM 2AM 0,5 Do đó: Cho tam giác ABC, đường cao AH Trên tia đối tia AH lấy điểm D cho AD = BC Tại B kẻ BE  AB cho BE = AB (E C thuộc hai nửa mặt phẳng đối từ bờ AB) Tại C kẻ CF  AC cho CF = AC (F B thuộc hai nửa mặt phẳng đối từ bờ AC) Chứng minh ba đường thẳng DH, BF CE đồng quy D F I A E C B H 2,0 Điểm Nội dung  DAC  BCF có:  =  DA= BC (gt) ; AC = CF (gt) ; DAC BCF = 900  ACH  = F Nên  DAC =  BCF Suy C 0,5 0,5  + Mà C C2 = 900 (gt) Suy F +  C2 = 900 Gọi I giao điểm BF DC Trong  CIF có F +  C2 = 900  = 90 hay DC  BF Suy CIF 0,5 Chứng minh tương tự ta DB  CE 0,25 Trong  DBC có DH, CE, BF đường cao nên chúng đồng quy 0,25 Câu V 4,0 Cho đường tròn (O;R) điểm A ngồi đường trịn Từ điểm M di động đường thẳng d vng góc với OA A, vẽ tiếp tuyến ME, MF với đường tròn (O) (E, F tiếp điểm) Đường thẳng chứa đường kính đường trịn song song với EF cắt ME, MF C D Dây EF cắt OM H, cắt OA B C E M H B A N K O F D Chứng minh OA.OB không đổi OE  OF(  R) Ta có:   OM trung trực EF  OM  EF ME  MF  OB OH  HOB  AOM   OA.OB  OH.OM (1) OM OA 2,0 0,5 0,5 EOM vuông E, đường cao EH nên OE  OH.OM (2) 0,5 Từ (1), (2) suy ra: OA.OB = OE = R (không đổi ) 0,5 Nội dung Điểm Chứng minh EF qua điểm cố định M di chuyển đường thẳng d 1,0 Vì OA.OB = R  OB  R2 mà R khơng đổi, OA khơng đổi OB OA không đổi mà O cố định nên B cố định 0,5 Vậy điểm M di chuyển đường thẳng d EF ln qua điểm cố định B 0,5 Tìm vị trí M đường thẳng d để diện tích HBO lớn 1,0 BO 0,25 Gọi K trung điểm OB, mà BHO vng H nên ta có HK= Do OB không đổi nên HK không đổi HN.BO Kẻ HN  BO , ta có SBHO  Vì BO khơng đổi, nên SHBO lớn  HN lớn 0,25 Mà HN  HK , dấu “=” xảy  N  K 0,25 Vậy SHBO lớn  HBO vuông cân H  MO tạo với OA góc 450 0,25 -Hết - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS Khóa ngày 19 tháng năm 2019 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài (4,0 điểm) Cho a = + 10 + + − 10 + a) Chứng minh a nghiệm phương trình a2 − 2a − = b) Tính giá trị biểu thức T = a − a + a + 6a + a − 2a + 12 Bài (4,0 điểm)  x3 + y = Giải hệ phương trình   x+ y+ xy = 2 Giải phương trình ( x + 1)( x + 2)( x + 3) ( x + 4)( x + 5) = 360 Bài (4,0 điểm) Cho a, b, c số thực Chứng minh a2 + b2 + c2  ab + bc + ca Cho a, b, c số thực thỏa mãn: a  1, b  1, c  ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = a2 + b2 + c2 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AC  AB); gọi H hình chiếu A BC , D điểm nằm đoạn thẳng AH ( D  A, D  H ) Đường thẳng BD cắt đường tròn tâm C bán kính CA E F ( F nằm B D ); M điểm đoạn thẳng AB cho ACF = 2BFM ; MF cắt AH N a) Chứng minh BH BC = BE.BF tứ giác EFHC nội tiếp đường trịn b) Chứng minh HD phân giác góc EHF c) Chứng minh F trung điểm MN Bài (2,0 điểm) Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn a2 c2 2c + = Chứng minh bc 2 2 a +b a +c b+c số phương HẾT ... PHÒNG GIÁO DU ̣C VÀ ĐÀ O TẠO HUYỆN LAI VUNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018 – 20 19 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 25/11/2018 Họ tên thí sinh:... tối đa PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LAI VUNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 17/01/2016 Họ tên thí sinh:... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS Khóa ngày 19 tháng năm 20 19 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Bài (4,0 điểm) Cho a =