Tổ 8 đ2 HSG sở GD đt lâm ĐỒNG sao

STRONG TEAM TỐN VD-VDC SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG ĐỀ CHÍNH THỨC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ THI MƠN: TỐN HỌC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Đề thi gồm 02 trang Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số có hai điểm cực trị x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  Câu (4,0 điểm) y   x3  x   m2  1 x  3m  a) Cho a  log b  log 12 Tính log 60 theo a b x2 1 x  1 x   b) Giải phương trình Câu (2,0 điểm) Một biển quảng cáo có dạng hình chữ nhật ABCD sơn trang trí hình bên Chi phí để 2 sơn phần tơ đậm 250.000 đồng/ m phần lại 160.000 đồng/ m Hỏi số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách bao nhiêu? Biết AD  m , CD  3m AE  EF  FB Câu (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;0;3) , B(3;1;3) , C(1;5;1) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) cho biểu thức trị nhỏ có giá k 2019 S  22 C2019  32 C2019    1 k 2C2019   2019 C2019 k Câu (2,0 điểm) Tính tổng Câu (2,0 điểm) a) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh AB, AD H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với 2a mặt phẳng ( ABCD) khoảng cách hai đường thẳng DM SC Tính theo a thể tích khối tứ diện SHMC Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 b) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB  3, AA '  , Gọi M , N , P  AB ' C ' trung điểm cạnh A ' B ', A ' C ' , BC Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng  MNP  Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình �x + y + = xy � � � x+ y � = m x + y + x2 + x + y + y +5 � � ( có nghiệm Câu ) ( x; y ) thỏa mãn x �1, y �1 (2,0 điểm) 2 Cho x, y, z số thực thỏa mãn x �y �z x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu P   x  y   y  z   z  x   xy  yz  zx  thức Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 Lời giải Câu Tìm tất giá trị tham số m để hàm số điểm cực trị x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  y   x3  3x   m  1 x  3m  có hai Lời giải Ta có y '  3 x  x   m  1 Để hàm số có hai điểm cực trị y '  có hai nghiệm phân biệt �  '  � 32  3.3  m2  1  � 9m  ۹ m (*) �x1  x2  � Áp dụng định lý Vi-et ta có: �x1 x2   m kết hợp điều kiện đề ta hệ phương trình � � �x1  �x1  �x1  x2  � � 2 � � � � �x2   � m  � �x1 x2   m � �x2   3 �x  x  � � � 16 � � 25 1 m   m  � � 9 � � thỏa mãn (*) m� Vậy Câu (4.0 điểm) 2.1 Cho a  log b  log 12 Tính log 60 theo a b 2.2 Giải phương trình 1 x  1 x   x2 Lời giải Tác giả:Phạm Hải Dương; Fb: DuongPham 2.1 Ta có log  a � � log  b  � �� log 12  a.b log  a � � � � log  a  b  1 log 12  b � � log 60   ab  ab log 60  log 12    a  a  b  1 a   b log log5  log Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 2.2 Điều kiện 1 �x �1 Đặt t   x   x � t2    x2 , với �t � Phương trình theo t có dạng �t  � 7� � �2 � t � t     t  4t  8  � t  (nhận) Với t  ta  x   x  �  x  � x  Vậy phương trình có nghiệm x  Câu (2,0 điểm) Một biển quảng cáo có dạng hình chữ nhật ABCD sơn trang trí hình bên Chi phí để 2 sơn phần tô đậm 250.000 đồng/ m phần lại 160.000 đồng/ m Hỏi số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách bao nhiêu? Biết AD  m , CD  3m AE  EF  FB Lời giải Gọi G , I trung điểm AB , CD Gọi H giao điểm EC , DF K điểm thỏa FK  DC Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 Xét tam giác vng DFK DHI có tan HDI  Ta có HI FK � HI   1,5 � HI  � GH  DI DK S ABCD  AD AB  4.3  12  m  S ADE  S BCF  S DHC  1 DA AE  4.1   m  2 1 HI DC  3.3  4,5  m  2 1 S EHF  GH EF  1.1  0,5  m  2 � 2S EHD  S ABCD   2SADE  S DHC  S EHF    m  Vậy số tiền để sơn biển quảng cáo T  3.250000  9.160000  2190000 (đồng) Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;0;3) , B(3;1;3) , C(1;5;1) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) cho biểu thức có giá trị nhỏ Lời giải Tác giả: Nhóm - Tổ nhóm tốn team tốn vd - vdc Gọi K trung điểm BC , ta có : K (1;3;2) Suy ra: Nhận xét: A, K nằm phía so với mặt phẳng (Oxy) Gọi A' điểm đối xứng điểm A qua mặt phẳng (Oxy) Khi Suy T đạt GTNN  đạt GTNN  A', M, K thẳng hàng hay M giao điểm A' K với mặt phẳng (Oxy) Ta có H(1;0;0) Do phương trình tham số A' K Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019  x 1 2t   M( ; ;0)  y 3t 5  z  3 5t  k 2019 S  22 C2019  32 C2019    1 k 2C2019   20192 C2019 k Câu (2 điểm) Tính tổng Lời giải Tác giả: Nhóm - Tổ nhóm tốn team toán vd - vdc Trước hết ta chứng minh đẳng thức: Thật vậy: k Cnk  n  n  1 Cnk22  nCnk11  1 k Cnk  k  k  1 Cnk  kCnk  �k �n, k , n ��  *  2 Mà: kCnk  k Áp dụng Từ  n  1 !  n  1 ! n!  n  n  nCnk11  3 k !  n  k  !  k  1 !  n  k  !  k  1 !   n  1   k  1  !  3 hai lần ta được:   ,  3 ,   Áp dụng S 2019  1  1 ta được: � 1 k 2 ta  k  1 k Cnk   k  1 n.Cnk11  n  k  1 Cnk11  n  n  1 Cnk22   k k k C2019  2017  2018.2019.�C k 0 k 2017  2018.2019   1 2019 � 1  2019.2018.C k k 2 2018 k 2 2017 k  1  2019.�C2018  1 2017 k  k 1 2018  2019   1 k 1  2019.C2018  k    2019 Vậy S  2019 Câu (4 điểm) a) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh AB, AD H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với 2a mặt phẳng ( ABCD) khoảng cách hai đường thẳng DM SC Tính theo a thể tích khối tứ diện SHMC b) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB  3, AA '  , Gọi M , N , P  AB ' C ' trung điểm cạnh A ' B ', A ' C ' , BC Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng  MNP  Lời giải a) Tác giả: Nhóm - Tổ nhóm tốn team tốn vd - vdc Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TỐN VD-VDC Theo giả thiết Từ suy Vậy có: HSG TỐN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 ABCD hình vng, suy ADM  DNC (c.g c ) � � � DM  CN ADH  DCN �a � a NC  DC  DN  a  � � ; HC  CD  2a ; HD  DC.DN  a ; �2 � CN NC 5 HM  MD  HD  Mặt khác, ta có a a 3a 1 2a 3a 3a   S HMC  HC.HM   10 2 10 10 SH  ( ABCD) � SH  DM Theo chứng minh DM  CN � DM  ( SCN ) Kẻ HK  SC HK khoảng cách hai đường thẳng DM SC Suy HK  2a Tam giác SHC vuông H , đường cao HK suy 1 1 1   �    � SH  a 2 2 2 HK SH HC SH HK HC a 1 3a a3 VSHMC  SHMC SH  a  3 10 10 Vậy b) Cách 1: Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 Gọi I , Q trung điểm cạnh MN B ' C ' , PI �AQ   G � G � AB ' C ' � MNP  sử AQ  2, PI  � MN � MNP  , B ' C ' � AB ' C ' � MN PB ' C ' � Hơn nên giao tuyến hai mặt đường thẳng  qua G song song với MN B ' C '  AB ' C ' Giả  MNP  B ' C '   AA ' QP  � AG   Ta có , chứng minh tương tự PG   , AG , PG   AB ' C ' ,  MNP    � � Mặt khác IQ PAP , theo định lý Ta-lét ta có: GQ GI IQ 2    � GA  2GQ  AQ  2; GP  2GI  PI  GA GP AP 3  2   5  GA  GP  AP cos � AGP  2GA.GP Xét tam giác AGP có Vậy cos�  AB ' C ' ,  MNP    2 2  32  10 10 Cách Gọi I , Q, X trung điểm MN , B ' C ' AA ' Ta có AP  PQ  QA '  A ' A  � A ' AP  90o nên tứ giác APQA ' hình vng Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 � � IPQ  XQA '  c  g  c  � IPQ XQA ' � PI  QX  1 B ' C '   APQA ' � B ' C '  QX Từ (1) (2) suy Do mà QX   MNP  Ta có MN PB ' C ' � MN  QX   A ' P   AB ' C '  , chứng minh tương tự ta có A 'P , QX   AB ' C ' ,  MNP    � � TP TQ PQ   2 XA P PQ Ta có , theo định lý Ta-lét có TA TX XA , từ ta TP  2, QX  Áp dụng định lý cosin cho tam giác PTQ ta có  2   5  �  TP  TQ  PQ cosPTQ 2TP.TQ Vậy 2 cos�  AB ' C ' ,  MNP    2  32  10 10 Cách Gọi I , O, J trung điểm cạnh B ' C ', MN , AP Ta có MN P B ' C ' A ' I  B ' C ' � MN  A ' I Đặt hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O  0; 0;0  , chiều dương Ox trùng với tia ON , chiều dương Oy trùng với tia OI , chiều dương Oz trùng với tia OJ Khi ta có: � �3 � � � � � � � � � � A� 0;  ;3 � , B '�  3; ;0 � , C ' � 3; ;0 � ,M �  ;0;0 , N ;0;0 , P� 0; ;3 � � � � � �2 � � � � � � � � � � � � � � r r  AB ' C '  MNP  Ta có n n Gọi véc tơ pháp tuyến mặt phẳng uuuu r uuuu r uuuu r uuur r �  0;1;1 , nr2  � � n1  � AB ', AC ' MN � � � , MP �  0;  2;1 r r cos�  AB ' C ' ,  MNP    cos  n1; n2    1 02  12  12 02   2   12 Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  10  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Vậy Câu HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 10 cos�  AB ' C ' ,  MNP    Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình x + y + = xy � � � � x+ y � = m x + y + x2 + x + y + y +5 � � ( có nghiệm ) ( x; y ) thỏa mãn x �1, y �1 Lời giải �x + y + = xy � � � x+ y � = m x + y + x2 + x + y + y +5 � Xét hệ phương trình � ( Từ ( 1) ) ( 2) (với x, y �1 ) ( 1) ta có x + y = xy - Thế vào ( 2) ta được: ( ( ) 2 x+y = m x + y + x + xy + y +1 � x+y = m x + y + ( x + y ) +1 ( x + y) x �+��=++ y xy Đặt t = x + y �2 t +4 -� t Suy Do t x x y y t xy x y ( *) � 2t = m ( t + t +1) � m = 2t ( t +1 - t ) m = 2t x � 1, y � Hệ cho có nghiệm phương trình t �[ 4;6] Xét hàm số f ( t) = t ( t +1 - t ) , t �[ 4;6] , ta có f� ( t ) = 2t ( t +1 � 17, " t �[ 4;6] � ln - t +1 � t �t Do f� ( t) > t �[ 4;6] với Suy f ( t) hàm đồng biến ( ( *) 2 1) ( y 1) xy ( x -+�+ ��-Do x �1, y �1 nên ) ) ( t +1 - t � t +1 - t � ln � � � � t +1 ) có nghiệm ) � � � � � t +1 � �ln - >0 17 nên [ 4;6] Do để phương trình ( *) có nghiệm f ( 4) �m � f ( 6) � 16 17 - �m �64 ( 37 - ) Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang 10  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Vậy Câu 16 ( HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 ) 17 - �m �64 ( ) 37 - thỏa mãn yêu cầu toán (2,0 điểm) 2 Cho x, y, z số thực thỏa mãn x �y �z x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu P   x  y   y  z   z  x   xy  yz  zx  thức Lời giải Cách 1: Đặt Q   x  y   y  z   x  z   xy  yz  zx  ta có Q   P +) xy  yz  zx  ta có Q  +) xy  yz  zx �0 đặt t  xy  yz  zx �0 Áp dụng BĐT Côsi ta có  x  y   x  z �x  y  y  z � y  z   x  z  �� � x  z   � �  x  y  z  xy  yz  zx    x  z    x  y    y  z  Mà 2  1 2 �2  x  z   �  x  y   y  z � t �3 x z  � �  x  z  hay  �  2 t �4 � Q � t �   t  � t  5t     suy �5 � Từ Xét hàm số f  t  t2  5t với t � 0;5 t2 � � f�  t   t   t   10  5t  , f �  t   � �t  � t � Ta có f    0, f    0, f    108 Do Q �4 nên GTLN Q x  2, y  1, z  Suy P �4 nên GTNN P 4 x  2, y  1, z  Cách 2: xy� yz zx Đặt t  x2 y2 z2 t Ta có: 10  x  y  z   x  y    y  z    z  x   2t �  x  y    y  z    z  x   10  2t y  y � z  x   z Mà x 2 x y y z 2 z x 2  z x 2  z  x 5t  x  z  ��5  t � x  y  y  z �  x  z 2 �  x  y  y  z �  x  y   y  z  �� � � � � 16 � � �3 � 2 Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang 11  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC P   x  y Ta có: HSG TỐN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019  y  z   z  x   xy  yz  zx  2 2 �5  t �20  4t �� � t    t  t2 27 �3 � Xét hàm số suy P �16 � P  4 t  x  2, y  1, z  Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang 12 