Thông tin tài liệu
Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG tỉnh Kon Tum năm 2019-Tổ ĐỀ HSG TỈNH KON TUM NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT Câu x − + x + = y − + y + (3 điểm) Giải hệ phương trình x + x + 12 y + = 36 Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A , đặt BC = a , AC = b , AB = c Cho biết a , b ,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tính B, C Câu u1 = 1, u2 = un Cho dãy số ( un ) xác định * Tính lim n →+∞ n2 un + + un = ( un +1 + 1) , n ∈ ¥ Câu [ 3,0 điểm ] Có 20 giống có xồi, mít, ổi, bơ, bưởi 10 loại khác loại đồng thời đơi khác loại Hỏi có cách chọn để trồng khu vườn cho khơng có hai thuộc loại Câu (5,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB > AC ) tam giác nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) , H trực tâm tam giác Gọi J trung điểm BC Gọi D điểm đối xứng với A qua O 1) (3,0 điểm) Gọi M , N , P hình chiếu vng góc D lên BC , CH , BH Chứng minh tứ giác PMJN nội tiếp · 2) (2,0 điểm) Cho biết BAC = 600 , gọi I tâm đường tròn nội tiếp Chứng minh ·AHI = ·ABC Câu Tìm tất số nguyên tố a thỏa mãn 8a + số nguyên tố Câu (2 điểm) Cho a , b , c số thực thỏa mãn điều kiện 3a2 + 2b2 + c2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = 2( a + b + c) − abc HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG tỉnh Kon Tum năm 2019-Tổ GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HSG TỈNH KON TUM NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT Câu x − + x + = y − + y + (3 điểm) Giải hệ phương trình x + x + 12 y + = 36 Lời giải Tác giả: Vũ Việt Tiến; Fb: Vũ Việt Tiến x − + x + = y − + y + + Ta có x + x + 12 y + = 36 ( 1) ( 2) + Điều kiện: x ≥ ; y ≥ + Ta thấy x = y = khơng nghiệm hệ phương trình + Ta có ( 1) ⇔ x − − y − = ⇔ x− y = x −1 + y −1 y +1 − x +1 x = y y−x ⇔ = y +1 + x +1 x − + y − −1 ( *) y +1 + x +1 + Ta thấy ( *) vơ nghiệm vế trái ln dương, vế phải âm với ∀x ≥ 1, ∀y ≥ 1, ( x; y ) ≠ ( 1;1) + Với x = y , vào ( ) ta được: x + x + 12 x + = 36 ⇔ x + x + = x + − 12 x + + 36 ⇔ ( x + 1) = ( x +1 − ) ( x + 1) − x + 1+ = ( v« nghiƯm) x + = x +1 − ⇔ ⇔ ( x + 1) + x + 1− = x + = − x + + x+ = ⇔ ⇔ x = x + = −3( v« nghiƯm) + Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 3; 3) Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A , đặt BC = a , AC = b , AB = c Cho biết a , b ,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tính B, C Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Ngọc Lan ; Fb: Ngoclan nguyen Do tam giác ABC vng A nên ta có b = a sinB , c = a cosB Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a, Đề HSG tỉnh Kon Tum năm 2019-Tổ 2 2 2 b , c lập thành cấp số nhân ⇔ ac = b ⇔ a cos B = a sin B ⇔ 3cos B = 2sin B 3 cos B = −2 ⇔ 3cos B = ( − cos B ) ⇔ cos B + 3cos B − = ⇔ ⇔ cos B = (vì cos B = 2 −1 ≤ cosB ≤ ) ⇔ B = 60° (vì 0° < B < 180° ) 2 Vậy B = 60° , C = 30° Câu u1 = 1, u2 = un Cho dãy số ( un ) xác định * Tính lim n →+∞ u + u = u + , n ∈ ¥ ( n+1 ) n2 n+2 n Lời giải Tác giả: Ngọc Thanh; Fb: Ngọc Thanh u1 = 1, u2 = un + + un = ( un +1 + 1) ( 1) ( n ≥ 1) ( 2) Đặt = un +1 − un Ta có ( ) ⇔ un + − un +1 = un +1 − un + ⇔ +1 = + Suy ( ) lập thành cấp số cộng có số hạng đầu v1 = cơng sai d = Nên = + ( n − 1) = 2n Khi đó: un = ( un − un −1 ) + ( un −1 − un − ) +…+ ( u2 − u1 ) + u1 = −1 + − +… + v1 + u1 = ( ( n − 1) + ( n − ) + …+ 1) + = n ( n − 1) + = n ( n − 1) + u u n(n − 1) + n − n +1 Do đó: lim n2 = lim = lim = Vậy lim n2 = 2 n →+∞ n n →+∞ n n →+∞ n →+∞ n n [ 3,0 điểm ] Có 20 giống có xồi, mít, ổi, bơ, bưởi 10 loại khác loại đồng thời đơi khác loại Hỏi có cách chọn để trồng khu vườn cho khơng có hai thuộc loại Câu Lời giải Tác giả:Nguyễn Huyền ; Fb: Huyen Nguyen Trường hợp : Chọn nhóm II Số cách chọn C10 = 252 (cách chọn) Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG tỉnh Kon Tum năm 2019-Tổ Trường hợp : Chọn nhóm II, chọn nhóm I 1 Số cách chọn C10 C5 C2 = 2100 (cách chọn) Trường hợp : Chọn nhóm II, chọn nhóm I Số cách chọn C103 C52 ( C21 ) = 4800 (cách chọn) Trường hợp : Chọn nhóm II, chọn nhóm I Số cách chọn C102 C53 ( C21 ) = 3600 (cách chọn) Trường hợp : Chọn nhóm II, chọn nhóm I Số cách chọn C101 C54 ( C21 ) = 800 (cách chọn) Trường hợp : Chọn nhóm I Số cách chọn C55 ( C21 ) = 32 (cách chọn) Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là: 252 + 2100 + 4800 + 3600 + 800 + 32 = 11584 (cách chọn) Câu (5,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB > AC ) tam giác nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) , H trực tâm tam giác Gọi J trung điểm BC Gọi D điểm đối xứng với A qua O 1) (3,0 điểm) Gọi M , N , P hình chiếu vng góc D lên BC , CH , BH Chứng minh tứ giác PMJN nội tiếp · 2) (2,0 điểm) Cho biết BAC = 600 , gọi I tâm đường tròn nội tiếp Chứng minh ·AHI = ·ABC Lời giải Tác giả: Minh Tuấn + Thúy Minh ; Fb:Minh Tuấn Hoàng Thị, Thúy Minh 1) Ta có BH //CD (vì vng góc với AC ) CH //BD (vì vng góc với AB ) nên BHCD hình bình hành, J trung điểm HD Từ giả thiết ta tứ giác HPDN nội tiếp đường tròn tâm J suy ra: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ( · · · PJN = PDN = 1800 − BHC ) Đề HSG tỉnh Kon Tum năm 2019-Tổ ( 1) ( ) · · · · · Ta có tứ giác BPMD, CNMD nội tiếp nên: PMN = 3600 − PMD + NMD = HBD + HCD ( ) · · · = 3600 − BHC + BDC = 3600 − BHC ( 2) · · Từ ( 1) ( ) suy PJN nên tứ giác PMJN nội tiếp Điều phải chứng minh = PMN 2) Gọi L giao điểm AH với BC , K giao điểm thứ hai AH với đường tròn ngoại tiếp ( O ) tam giác ABC Kẻ đường thẳng qua I vng góc với BC cắt BC cắt cung nhỏ BC E N Ta có JL / / DK ( vng góc với AK ) mà J trung điểm HD nên JL đường trung bình tam giác HDK , suy L trung điểm HK Do K đối xứng với H qua · · đường thẳng BC suy BHC = BKC = 120° µ +C µ B · Mà BIC = 180° − = 120° nên B, I , H , C đồng viên thuộc đường tròn đối xứng với ( O ) qua BC , suy N điểm đối xứng với I qua BC Suy HINK hình thang cân ·ABC · · Ta có ·ABI = IBC = CBN = 3· · · · · = 180° − ·AKN = ·ABN = ABI + IBC + CBN = ABC Từ ·AHI = 180° − IHK Suy ·AHI = ·ABC Điều phải chứng minh Câu Tìm tất số nguyên tố a thỏa mãn 8a + số nguyên tố Lời giải Tác giả : Ngơ Quốc Tuấn, FB: Quốc Tuấn Vì a số nguyên tố nên a ≥ Ta xét trường hợp Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG tỉnh Kon Tum năm 2019-Tổ + Trường hợp 1: với a = 8a + = 33 chia hết cho 11 , loại trường hợp a = + Trường hợp 2: với a = 8a + = 73 số nguyên tố ( ) ( 2 + Trường hợp 3: với a > ⇒ a = 3k ± 8a + = 9k ± 6k + + = 24k ± 16k + ) chia hết cho , loại trường hợp a = Vậy a = giá trị cần tìm Câu (2 điểm) Cho a , b , c số thực thỏa mãn điều kiện 3a2 + 2b2 + c2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = 2( a + b + c) − abc Lời giải Với bốn số a , b , x , y ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ( ax + by) ≤ ( a 2 )( + b2 x2 + y2 ) ( 1) (Học sinh không cần chứng minh bất đẳng thức ( 1) ) Áp dụng bất đẳng thức ( 1) , ta có ( ( ) )( )( ) 2 2 2 P = a( 2− bc) + 2 ( b + c) ≤ a + ( − bc) + 2( b + c) = a + b + c + Lại áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có ( a + 2) ( b + 2) ( c 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) + = a2 + 2 b2 + c2 + ) ( ) 2 a + + b + + c + ≤ 6 = 36 Từ suy P ≤ 36 Suy −6 ≤ P ≤ Mặt khác với a = , b = −1, c = −2 3a2 + 2b2 + c2 = P = −6 Với a = , b = 1, c = 3a2 + 2b2 + c2 = P = Vậy MinP = −6 a = , b= −1, c = −2 MaxP = a = , b= 1, c = HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang
Ngày đăng: 30/03/2020, 17:55
Xem thêm:
