Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCM ngày thi thứ hai Năm 2019-Tổ ĐỀ HSG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN TỐN(NGÀY THI THỨ HAI) TIME: 180 PHÚT Bài 1.(5 điểm) Cho hàm số f : ¡ → ¡ thỏa mãn ( f(x + x) ) ≤ f ( x ) + ( f ( −2 x ) ) ≥ f ( − x − x ) + với x ∈ ¡ a) Chứng minh f ( x ) đơn ánh ¡ b) Chứng minh f ( x) ≥ −1 với x ∈ ¡ Bài 2.(5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp ( O ) Một đường tròn ( J ) thay đổi qua B, C cắt đoạn thẳng AB , AC D E Trên đường thẳng BC lấy hai điểm phân biệt R, S cho ( DER ) ( DES ) tiếp xúc với đường thẳng BC Giả sử ( ADE ) cắt ( O ) M khác A Gọi ( O′ ) đường tròn ngoại tiếp tam giác RSM a) Chứng minh đường tròn ( O′ ) qua trực tâm tam giác ARS b) Chứng minh điểm O′ di động đường thẳng cố định ( J ) thay đổi Bài 3.(5 điểm) Cho S tập hợp ( a1 , a2 , , a164 ) hoán vị 164 số nguyên dương a) Có hốn vị ( a1 , a2 , , a164 ) thuộc S cho với i ∈ { 1, 2, ,164} ta ln có ≠ i ≡ i ( mod 41) ? b) Tồn hay khơng hốn vị (a1 , a2 ,K , a164 ) thuộc S cho với i ∈ {1, 2,K ,164} tồn số nguyên bi ∈ {0,1,K , 40} thỏa mãn a1 + a2 + L + ≡ bi (mod 41) ? Bài (5 điểm) Tại hội nghị khoa học có 100 đại biểu tham dự Người ta nhận thấy khơng có đại biểu đơi quen Biết tồn số nguyên dương n cho khơng có đại biểu quen q n đại biểu khác với k , ≤ k ≤ n có ít đại biểu quen k đại biểu khác Hãy tìm giá trị lớn n HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCM ngày thi thứ hai Năm 2019-Tổ GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HSG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN TỐN(NGÀY THI THỨ HAI) TIME: 180 PHÚT Bài 1.(5 điểm) Cho hàm số f : ¡ → ¡ thỏa mãn ( f(x + x) ) ≤ f ( x ) + ( f ( −2 x ) ) ≥ f ( − x − x ) + với x ∈ ¡ a) Chứng minh f ( x ) đơn ánh ¡ b) Chứng minh f ( x) ≥ −1 với x ∈ ¡ Lời giải a) Chứng minh f ( x ) đơn ánh ¡ Xét phương trình x + x = x ⇔ x = 0, x = ±1 Thay x = vào điều kiện đề bài, ta có ( f ( 0) ) ≤ f ( ) + ⇔ −1 ≤ f ( ) ≤ ( f ( ) ) ≥ f ( ) + ⇔ f ( ) = −1 ∨ f ( ) ≥ Suy f ( ) = −1 f ( ) = ; tức f ( ) ∈ { −1; 2} Một cách tương tự, thay x = 1, x = −1 điều kiện thứ thay x = −1, x = điều kiện thứ hai, ta có f ( ) ∈ { −1; 2} f ( −2 ) ∈ { −1; 2} Do đó, ba số f ( ) , f ( ) , f ( −2 ) phải có hai số nhau; điều chứng tỏ f ( x ) đơn ánh ¡ b) Chứng minh f ( x) ≥ −1 với x ∈ ¡ Theo giả thiết suy f (2 x) ≥ ( f ( x + x)) − ≥ −2 với x ∈ ¡ nên f ( x) ≥ −2, ∀x ∈ ¡ Từ f (−2 x) ≥ 3 f (− x − x ) + ≥ −4, ∀x ∈ ¡ Suy f ( x) ≥ − 4, ∀x ∈ ¡ Ta xây dựng dãy số u1 = −2, un +1 = 3un + 2, ∀n ≥ Rõ ràng theo biến đổi thì với x ∈ ¡ , ta có f ( x) ≥ un , ∀n ≥ Ta thấy u2 = − ≥ u1 nên u3 = 3u2 + ≥ 3u1 + = u2 , ta thấy dãy cho dãy số tăng ngặt Ngoài , phương pháp quy nạp toán học , ta thấy un ≤ −1 với n ≥ Thật vậy: Với n = có u1 = −2 < −1 (mệnh đề với n = ) Giả sử mệnh đề với n = k (k ∈ ¥ ∗ ) tức uk £ - Ta chứng minh mệnh đề với n = k + Ta có: Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCM ngày thi thứ hai Năm 2019-Tổ uk £ - Û 3uk £ - Û 3uk + £ - + Û 3uk + £ - Û uk+1 £ - Từ dãy (un ) tăng bị chặn nên có giới hạn hữu hạn , đặt L , L ≤ −1 Ta có L = 3L + , giải có L = −1 Vì lim un = −1 nên phải có f ( x) ≥ −1, ∀ ∈ ¡ , đpcm Bài 2.(5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp ( O ) Một đường tròn ( J ) thay đổi qua B, C cắt đoạn thẳng AB , AC D E Trên đường thẳng BC lấy hai điểm phân biệt R, S cho ( DER ) ( DES ) tiếp xúc với đường thẳng BC Giả sử ( ADE ) cắt ( O ) M khác A Gọi ( O′ ) đường tròn ngoại tiếp tam giác RSM a) Chứng minh đường tròn ( O′ ) qua trực tâm tam giác ARS b) Chứng minh điểm O′ di động đường thẳng cố định ( J ) thay đổi Lời giải a) Giả sử DE ∩ BC = T thì M điểm Miquel tứ giác toàn phần BCEDAT nên điểm M ∈ AT Ta có: TM TA = TD.TE = TS = TR nên T trung điểm RS · · · · Từ ta có ∆TMS : ∆TSA ⇒ TSM Tương tự thì TRM = TAS = TAR · · · · · · · Do đó: TSM hay RSM + TRM = TAS + TRA = RAS + RAS = 180° · · · · Mặt khác, gọi H trực tâm ∆ARS thì RHS + RAS = 180° nên RHS = RMS Từ suy đường tròn ( O′ ) qua trực tâm tam giác ARS Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCM ngày thi thứ hai Năm 2019-Tổ b) Vì đường tròn ( O′ ) qua trực tâm tam giác ARS nên đối xứng với đường tròn ( ARS ) qua BC , mà ( ARS ) qua điểm A cố định nên đường tròn ( O′ ) qua điểm K đối xứng với A qua BC , cố định Gọi F = BE ∩ CD, L = AF ∩ BC thì ( TL , BC ) = −1 Ta có TS = TR = TM TA = TB.TC nên ( RS , BC ) = −1 Gọi N trung điểm BC , NS NR = NB = BC = const Gọi G giao điểm đường thẳng NK với ( O′ ) , G ≠ K BC Suy NG.NK = NS NR = = const Do đó, suy NG = const ⇒ G cố định Vậy O′ di động đường trung trực KG cố định Bài 3.(5 điểm) Cho S tập hợp ( a1 , a2 , , a164 ) hoán vị 164 số nguyên dương a) Có hốn vị ( a1 , a2 , , a164 ) thuộc S cho với i ∈ { 1, 2, ,164} ta ln có ≠ i ≡ i ( mod 41) ? b) Tồn hay khơng hốn vị (a1 , a2 ,K , a164 ) thuộc S cho với i ∈ {1, 2,K ,164} tồn số nguyên bi ∈ {0,1,K , 40} thỏa mãn a1 + a2 + L + ≡ bi (mod 41) ? Lời giải +) Chia số từ 1, 2, ,164 thành 41 nhóm theo số dư, chia cho 41 thì rõ ràng nhóm có số ( số vị trí , +41 , +82 , +123 với i = 1, 41 hoán vị) Các số hoán vị đổi vị trí cho +) Ta thấy với ( x1 , x2 , x3 , x4 ) , ta có cách hoán vị là: ( x2 , x1 , x4 , x3 ),( x2 , x3 , x4 , x1 ),( x2 , x4 , x1 , x3 ), ( x3 , x1 , x4 , x2 ),( x3 , x4 , x1 , x2 ),( x3 , x4 , x2 , x1 ), ( x4 , x1 , x2 , x3 ),( x4 , x3 , x2 , x1 ),( x4 , x3 , x1 , x2 ) khơng có phần tử nằm vị trí ban đầu +) Vì có tất 941 hốn vị thỏa mãn đề 1 1 Lưu ý: Nếu thí sinh dùng công thức D4 = 4! − + ÷ = cho điểm tối đa 2! 3! 4! b) Tồn hay khơng hốn vị (a1 , a2 ,K , a164 ) thuộc S cho với i ∈ {1, 2,K ,164} tồn số nguyên bi ∈ {0,1,K , 40} thỏa mãn a1 + a2 + L + ≡ bi (mod 41) ? *Bổ đề: Với p số nguyên tố có dạng 3k + thì {13 , 23 ,K , p 3} lập thành hệ thặng dư đầy đủ theo mod p Chứng minh bổ đề: Giả sử có hai số i ≠ j cho i ≡ j (mod p) thì i 3k ≡ j 3k (mod p ) Theo định lý Fermat nhỏ thì i 3k +1 ≡ j 3k +1 (mod p ) nên Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC i k +1 ≡ j k +1 Đề HSG HCM ngày thi thứ hai Năm 2019-Tổ = j ×j 3k ≡ j ×i 3k (mod p) kéo theo i k (i − j )Mp hay i ≡ j (mod p ) , vô lý vì i, j ∈{1, 2,K , p} i ≠ j (Bổ đề chứng minh) * Ta xây dựng hoán vị thỏa mãn đề cho ≡ i (mod 41) với ≤ i ≤ 164 Với 41 số đầu tiên, theo nhận xét thì số {13 , 23 ,K , 413} có số dư đơi khác chia cho 41 nên ta xếp chúng để số dư thay đổi từ → 41 Các số 42 → 82; 83 → 123; 124 → 164 thực hoán vị tương tự Hoán vị thỏa mãn vì i (i + 1) a1 + a2 + L + ≡ + + L + i = (mod 41) 3 Lưu ý: Ta dễ dàng chứng minh phương pháp qui nạp kết sau: Với số tự nhiên n n ( n + 1) thì + + + + n = 3 3 Bài (5 điểm) Tại hội nghị khoa học có 100 đại biểu tham dự Người ta nhận thấy khơng có đại biểu đôi quen Biết tồn số ngun dương n cho khơng có đại biểu quen n đại biểu khác với k , ≤ k ≤ n có ít đại biểu quen k đại biểu khác Hãy tìm giá trị lớn n Lời giải Ta chứng minh nmax = 66 Giả sử nmax > 66 Cách 1: Khi tồn đại biểu A100 quen 67 đại biểu A1 , A2 ,…, A67 Gọi X tập hợp đại biểu A68 , A69 ,…, A99 thì X = 32 Khi đại biểu A1 , A2 ,…, A67 chỉ quen A100 đại biểu thuộc X ( vì đại biểu Ai , A j với ≤ i < j ≤ 67 quen nhau) Suy họ quen không 33 đại biểu Vì đại biểu quen 34, 35, …, 65, 66 đại biểu khác phải thuộc X Điều vô lý X = 32 < 66 − 34 + =33 Cách 2: Xét người A có 67 người quen Xét người B có lớn 34 người quen Nếu A quen B , 98 người lại có 66 người quen A lớn 33 người quen B Do 66 + 33 = 99 > 98 nên A , B phải có người quen chung (mâu thuẫn giả thiết ) Vậy A không quen B Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCM ngày thi thứ hai Năm 2019-Tổ Vì có ít 33 người có số người quen tương ứng 34 , 35 ,…, 66 nên có ít 33 người khơng quen A Điều mâu thuẫn vì A quen với 67 người Vậy nmax ≤ 66 Ta xây dựng ví dụ thỏa mãn n = 66 sau: A1 quen với B1 , B2 ,…, B66 , A2 quen với B2 , B3 ,…, B66 ,…, A34 quen với B34 ,…, B66 Khi khơng có người đôi quen Ak quen với 67 − k người ( ∀k = 1, , 34 ) Bk quen với k người ( ∀k = 1, ,34 ) , Bk quen với 34 người ( ∀k = 35, , 66 ) Rõ ràng trường hợp thỏa mãn yêu cầu đề HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang