Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCMngày thi thứ năm 2019-Tổ ĐỀ HSG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN TỐN(NGÀY THI THỨ NHẤT) TIME: 180 PHÚT Câu (5 điểm) Xét dãy số an xác định a1 , a2 an 3an1 an với n 1, 2,3, a 142 a12 a22 , n 1, 2,3, nn 7 1 b) Với n �1 , đặt bn Chứng minh dãy số bn có giới hạn a1a2 a2 a3 an an 1 hữu hạn n � � tìm giới hạn a) Chứng minh Bài Cho đa thức bậc ba P x x 3x a) Chứng minh tồn số thực a, b, c đôi phân biệt cho P a b, P b c , P c a b) Giả sử tồn số thực , bi , ci với i 1,3 gồm số đôi phân biệt cho P bi , P bi ci , P ci với i 1,3 Đặt Si bi ci với i 1,3 Bài 2 Chứng minh S1 S S3 �S1.S2 S S3 S3 S1 ( điểm) Cho AB dây cố định khác đường kính đường tròn O cố định Gọi M trung thay đổi tiếp xúc với đoạn thẳng AB tiếp xúc điểm cung nhỏ AB Xét đường tròn O� với O ( cho O�khác phía với M so với đường thẳng AB ) Các đường thẳng qua A , O� B cắt đường thẳng AB điểm C , D M vng góc với O� a) Chứng minh AB 2CD cho � T cắt đoạn AB b) Gọi T điểm thuộc O� ATB 90� Tiếp tuyến O� N đường thẳng MN cắt O K khác M Vẽ đường tròn qua M , K tiếp xúc S Chứng minh điểm S ln di động đường tròn cố định với O� O� thay đổi Câu Trong mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy, hai điểm nguyên (hoành độ tung độ số uuu r uuu r nguyên) A, B gọi “thân thiết” với A, B khác O �ף OA OB với O gốc tọa độ a) Hỏi có tất điểm nguyên M ( x, y ) với x �19, y �19 thỏa mãn điểm M điểm N (3;7) “thân thiết” với nhau? b) Hỏi có nhiều điểm nguyên đôi “thân thiết” với nhau? HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCMngày thi thứ năm 2019-Tổ GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HSG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN TỐN(NGÀY THI THỨ NHẤT) TIME: 180 PHÚT Câu (5 điểm) Xét dãy số an xác định a1 , a2 an 3an1 an với n 1, 2,3, a) Chứng minh a 142 a12 a22 , n 1, 2,3, nn 7 b) Với n �1 , đặt bn 1 Chứng minh dãy số bn có giới hạn a1a2 a2 a3 an an 1 hữu hạn n � � tìm giới hạn Lời giải Tác giả: Hà Lê , Phạm Thị Phương Thúy; Fb: Ha Le , thuypham Kiến thức sử dụng: Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai phương trình sai phân dạng: u1 , u2 , aun 1 bun cun 1 f n với n ��* Nếu 1 , 2 hai nghiệm thực khác n n un A1 B2 , A, B xác định biết u1 , u2 Ta có: an 3an1 an � an 3an1 an 3 Xét phương trình đặc trưng dãy an x 3x với hai nghiệm x 1 , x 2 3 thỏa mãn 1 2 , 12 n n Khi ta có an A1 B2 Với n ta có a1 A1 B2 � A1 B2 1 2 2 Với n ta có a2 A1 B2 � A1 B2 2 n n Từ (1) (2) suy A 1, B an 1 2 n �1 n n �12 � �22 � an2 1 2 Ta có n � � � � n , n �1 7n �7 � �7 � n n an2 12 22 , � 0;1 1, Đặt 1 Có , n 1n 2n n , n �1 , 2 2 49 7 7 Ta có a2 a12 a22 2� �2 nn 1 12 1n 2 22 2n � n � 7 7 � �7 1 2 142 n �1 (đpcm) 1 1 2 1 2 1 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC b) Trước hết ta chứng minh an an a n 1 Đề HSG HCMngày thi thứ năm 2019-Tổ với n �1 (bằng phương pháp quy nạp) Với n mệnh đề Giả sử mệnh đề cho với n k k ��, k 1 , ta có ak ak ak21 Ta chứng minh mệnh đề với n k Thật vậy: ak 1ak 3 ak2 ak 1 3ak ak 1 ak2 ak 3ak 1 ak ak21 ak ak ak21 (đpcm) Ta có a � 1 a a a2 �a i i i 1 � i i 1 � , i �1 1ai 1ai 2 �ai 1 � Ta định nghĩa thêm a0 dãy số thỏa mãn hệ thức truy hồi n 1 a � �a a � 1 n 1 �a �� i i 1 � � n � , n �1 Từ bn � i 0 �ai 1 � �a1 an 1 � i 1ai n n Theo câu a) ta có an 1 2 , n Suy lim n �� an 3 an 1 �2 � 5 bn � Vậy nlim (đpcm) � �� 5� � 30 �3 � Bài Cho đa thức bậc ba P x x x a) Chứng minh tồn số thực a, b, c đôi phân biệt cho P a b, P b c , P c a b) Giả sử tồn số thực , bi , ci với i 1,3 gồm số đôi phân biệt cho P bi , P bi ci , P ci với i 1,3 Đặt Si bi ci với i 1,3 2 Chứng minh S1 S S3 �S1.S2 S S3 S3 S1 Lời giải a) Giả sử a, b, c số thực đôi phân biệt thỏa mãn P a b, P b c, P c a Xét a 2cos với � 0; b P a P cos 8cos cos cos 3 Tương tự, c P b P cos 3 cos 9 , a P c P cos 9 cos 27 k � � 13 k �Z Từ ta cần có cos cos 27 � �27 k 2 � � k � � 14 Vậy chọn a cos 3 9 b cos , c cos ta số thực a, b, c đôi phân 13 13 13 biệt thỏa mãn toán b) Giả sử tồn số thực , bi , ci với i 1,3 gồm số đôi phân biệt cho P bi , P bi ci , P ci với i 1,3 Đặt Si bi ci với i 1,3 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCMngày thi thứ năm 2019-Tổ Chứng minh S S S �S1.S2 S S3 S3 S1 2 2 2 Giả sử S1 S2 S3 S1.S S2 S3 S3 S1 � S1 S S3 d Xét đa thức Q x x P x P P x d suy Q x đa thức bậc Ta có: Q a1 a1 P a1 P P a1 d a1 b1 P b1 d a1 b1 c1 d S1 d Q b1 b1 P b1 P P b1 d b1 c1 a1 d S1 d Q c1 c1 P c1 P P c1 d c1 a1 b1 d S1 d Suy a1 , b1 , c1 nghiệm phân biệt phương trình Q x Tương tự, a2 , b2 , c2 a3 , b3 , c3 nghiệm phân biệt phương trình Q x hay phương trình Q x có nghiệm thực phân biệt có tổng 3d Mặt khác, Q x x x 3x x 3x x 3x hay Q x x x 27 x 29 x x suy Q x không chứa x8 nên theo định lí viét phương trình Q x có tổng nghiệm hay 3d � d � Q x có nghiệm 0, mà P mâu 2 thuẫn với giả thiết P bi , P bi ci , P ci Vậy S1 S S3 �S1.S2 S S3 S3 S1 Bài ( điểm) Cho AB dây cố định khác đường kính đường tròn O cố định Gọi M trung thay đổi tiếp xúc với đoạn thẳng AB tiếp xúc điểm cung nhỏ AB Xét đường tròn O� với O ( cho O�khác phía với M so với đường thẳng AB ) Các đường thẳng qua A , O� B cắt đường thẳng AB điểm C , D M vng góc với O� a) Chứng minh AB 2CD cho � T cắt đoạn AB b) Gọi T điểm thuộc O� ATB 90� Tiếp tuyến O� N đường thẳng MN cắt O K khác M Vẽ đường tròn qua M , K tiếp xúc S Chứng minh điểm S di động đường tròn cố định ngồi với O� O� thay đổi Lời giải Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCMngày thi thứ năm 2019-Tổ Lời giải � a) Gọi E , F tiếp điểm O với O AB Cách 1: Ta chứng minh EF qua M � �� F nên EOM Cách 1.1 Do OM // O� EO F Do �� � 180� EO F 180� EOM �� � Suy EF qua M O EF OEM 2 Cách 1.2 Giả sử EA, EB cắt O�ở X , Y Khi đó, dễ thấy XY //AB Ta có AF AX AE , BF BY BE nên 2 �AF � AX AE �AE � AF AE � �� � � �BF � BY BE �BE � BF BE Do đó, EF phân giác � AEB nên EF qua M AM FM � EAM � � MA2 ME.MF Tiếp theo, FAM nên VAFM : VEAM � EM AM từ đẳng thức trên, ta thấy M có phương tích đến Xét đường tròn điểm A đường tròn O� hai đường tròn Suy MC trục đẳng phương đường tròn điểm A đường tròn O� Do đó, CA2 CF nên CA CF Tương tự DB DF nên AB 2CD Cách 2: Ta có � NM tan NMD � CD NC ND NM tan NMC F O� F� �O� �� �� MN tan O AB tan O BA MN � � �FA FB � O� F AB OM AB EF AB MN 2MO AB MN MN FA.FB FE.FN EM ME.MF b) Ta chứng minh M , S , T thằng hàng MS MT MA2 MB Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCMngày thi thứ năm 2019-Tổ , S ��T Cách Gọi S �là giao điểm đường thẳng TM với O� Lúc MS � MT MF ME MA2 MN MK nên tứ giác NKTS �nội tiếp y tiếp tuyến O� S �, ta có xy, S � M S�� TN S�� KM suy xy tiếp Gọi xS � Do MKS � tiếp xúc với O� tuyến đường tròn MKS � �S Suy M , S , T thẳng hàng MS MT MA2 MB Suy S � (2 điểm) Cách Ta thấy với điểm Eo � O ; Fo �AB cho Eo Fo qua M chứng minh 2 tương tự trên, ta có MA = MB = ME o.MFo Xét phép nghịch đảo tâm M , phương tích MA2 thì: AB � O , O� � O� Chú ý Ảnh TN qua đường qua M tiếp xúc với O� : N � K nên ảnh TN MSK Suy S � T hay M , S , T thẳng hàng MS MT MA2 MB (2 điểm) � � � BTS � nên Tiếp theo, cách xét tam giác đồng giác, ta có SAM ATS , SBM � SBM � 90o SAM � SBM � 90o nên � Xét tứ giác AMBS có � AMB khơng đổi tổng SAM ASB 270o , chứng tỏ S thuộc cung chứa góc 270o dựng AB Ta có đpcm (1 điểm) Câu Trong mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy, hai điểm ngun (hồnh độ tung độ số uuu r uuu r nguyên) A, B gọi “thân thiết” với A, B khác O �ף OA OB với O gốc tọa độ a) Hỏi có tất điểm nguyên M ( x, y ) với x �19, y �19 thỏa mãn điểm M điểm N (3;7) “thân thiết” với nhau? b) Hỏi có nhiều điểm ngun đơi “thân thiết” với nhau? Lời giải a) Ta có điều kiện 1 �3 x y �1 nên có ba trường hợp: (1) Nếu x y ( x, y ) ( 7t ,3t ) với t �� thỏa mãn Xét hệ ràng buộc sau �19 �7t �19 � 2 �t �2 t �0 nên có tất điểm � �19 �3t �19 (2) Nếu x y ( x, y ) (2 7t ,1 3t ) với t �� thỏa mãn Xét hệ ràng buộc 19 �2 7t �19 � � 2 �t �3 nên có tất điểm � 19 �1 3t �19 � Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCMngày thi thứ năm 2019-Tổ (3) Nếu x y 1 ( x, y ) (2 7t , 1 3t ) với t �� thỏa mãn Xét hệ ràng buộc 19 �2 7t �19 � � 3 �t �2 nên có tất điểm � 19 �1 3t �19 � Vậy tổng số điểm nguyên thỏa mãn 16 2 b) Gọi điểm cho Ai (ai ; bi ) với , bi ��, i 1, n bi Ta có ak bibk �1 với i �k Ta thấy rằng: - Có tối đa hai điểm thuộc trục Ox (1;0) (1;0) - Có tối đa hai điểm thuộc trục Oy (0;1), (0; 1) Ta chứng minh có khơng q điểm không thuộc Ox, Oy Giả sử ngược lại có ba điểm thỏa mãn đề A1 (a1 , b1 ), A2 (a2 , b2 ), A3 (a3 , b3 ) Ta có hai trường hợp: (1) Nếu có hai điểm thuộc góc phần tư, giả sử A1 , A2 số a1 , a2 dấu, số b1 , b2 dấu nên a1a2 0, b1b2 � a1a2 b1b2 �2 , loại (2) Nếu khơng có điểm thuộc góc phần tư phải có hai điểm thuộc hai góc phần tư đối nhau, giả sử A1 , A2 số a1 , a2 trái dấu, số b1 , b2 trái dấu nên a1a2 0, b1b2 � a1a2 b1b2 �2 , không thỏa Do đó, điều giả sử sai, tức tổng cộng có khơng q điểm thỏa mãn đề Ta có A1 (0;1), A2 (0; 1), A3 (1;0), A4 ( 1;0), A5 (1;1), A6 ( 1;1) đôi “thân thiết” HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang