Tổ 1 đ2 đề số 2 HSG HCM ngày thứ nhất 1819

Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCMngày thi thứ năm 2019-Tổ ĐỀ HSG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN TỐN(NGÀY THI THỨ NHẤT) TIME: 180 PHÚT Câu (5 điểm) Xét dãy số  an  xác định a1  , a2  an   3an1  an với n  1, 2,3, a 142 a12 a22 , n  1, 2,3,    nn  7 1    b) Với n �1 , đặt bn  Chứng minh dãy số  bn  có giới hạn a1a2 a2 a3 an an 1 hữu hạn n � � tìm giới hạn a) Chứng minh Bài Cho đa thức bậc ba P  x   x  3x a) Chứng minh tồn số thực a, b, c đôi phân biệt cho P  a   b, P  b   c , P  c   a b) Giả sử tồn số thực  , bi , ci  với i  1,3 gồm số đôi phân biệt cho P    bi , P  bi   ci , P  ci   với i  1,3 Đặt Si   bi  ci với i  1,3 Bài 2 Chứng minh S1  S  S3 �S1.S2  S S3  S3 S1 ( điểm) Cho AB dây cố định khác đường kính đường tròn  O  cố định Gọi M trung  thay đổi tiếp xúc với đoạn thẳng AB tiếp xúc điểm cung nhỏ AB Xét đường tròn  O� với  O  ( cho O�khác phía với M so với đường thẳng AB ) Các đường thẳng qua A , O� B cắt đường thẳng AB điểm C , D M vng góc với O� a) Chứng minh AB  2CD  cho �  T cắt đoạn AB b) Gọi T điểm thuộc  O� ATB  90� Tiếp tuyến  O� N đường thẳng MN cắt  O  K khác M Vẽ đường tròn qua M , K tiếp xúc  S Chứng minh điểm S ln di động đường tròn cố định với  O�  O�  thay đổi Câu Trong mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy, hai điểm nguyên (hoành độ tung độ số uuu r uuu r nguyên) A, B gọi “thân thiết” với A, B khác O ‫�ף‬ OA OB với O gốc tọa độ a) Hỏi có tất điểm nguyên M ( x, y ) với x �19, y �19 thỏa mãn điểm M điểm N (3;7) “thân thiết” với nhau? b) Hỏi có nhiều điểm nguyên đôi “thân thiết” với nhau?  HẾT  Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCMngày thi thứ năm 2019-Tổ GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HSG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN TỐN(NGÀY THI THỨ NHẤT) TIME: 180 PHÚT Câu (5 điểm) Xét dãy số  an  xác định a1  , a2  an   3an1  an với n  1, 2,3, a) Chứng minh a 142 a12 a22 , n  1, 2,3,    nn  7 b) Với n �1 , đặt bn  1    Chứng minh dãy số  bn  có giới hạn a1a2 a2 a3 an an 1 hữu hạn n � � tìm giới hạn Lời giải Tác giả: Hà Lê , Phạm Thị Phương Thúy; Fb: Ha Le , thuypham Kiến thức sử dụng: Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai phương trình sai phân dạng: u1   , u2   , aun 1  bun  cun 1  f  n  với n ��* Nếu 1 , 2 hai nghiệm thực khác n n un  A1  B2 , A, B xác định biết u1 , u2 Ta có: an   3an1  an � an  3an1  an  3 Xét phương trình đặc trưng dãy  an  x  3x   với hai nghiệm x  1  , x  2  3 thỏa mãn 1  2  , 12  n n Khi ta có an  A1  B2 Với n  ta có a1  A1  B2 � A1  B2   1 2 2 Với n  ta có a2  A1  B2 � A1  B2   2 n n Từ (1) (2) suy A  1, B  an  1  2 n �1 n n �12 � �22 � an2  1  2  Ta có n   � � � � n , n �1 7n �7 � �7 � n n an2 12 22  ,  � 0;1     1,      Đặt 1  Có , n  1n  2n  n , n �1 , 2  2 49 7 7 Ta có a2 a12 a22 2� �2    nn   1  12   1n    2  22   2n   �    n � 7 7 � �7 1 2   142        n �1 (đpcm) 1  1  2  1  2 1 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC b) Trước hết ta chứng minh an an   a n 1 Đề HSG HCMngày thi thứ năm 2019-Tổ  với n �1 (bằng phương pháp quy nạp) Với n  mệnh đề Giả sử mệnh đề cho với n  k  k ��, k  1 , ta có ak ak   ak21  Ta chứng minh mệnh đề với n  k  Thật vậy: ak 1ak 3  ak2  ak 1  3ak   ak 1   ak2  ak   3ak 1  ak    ak21  ak  ak  ak21  (đpcm) Ta có a � 1 a a  a2 �a  i i  i 1  � i  i 1 � , i �1 1ai  1ai 2 �ai 1  � Ta định nghĩa thêm a0  dãy số thỏa mãn hệ thức truy hồi n 1 a � �a a � 1 n 1 �a  �� i  i 1 � �  n � , n �1 Từ bn  � i 0 �ai 1  � �a1 an 1 � i  1ai  n n Theo câu a) ta có an  1  2 , n Suy lim n �� an 3   an 1  �2  � 5  bn  �  Vậy nlim (đpcm) � �� 5� � 30 �3 � Bài Cho đa thức bậc ba P  x   x  x a) Chứng minh tồn số thực a, b, c đôi phân biệt cho P  a   b, P  b   c , P  c   a b) Giả sử tồn số thực  , bi , ci  với i  1,3 gồm số đôi phân biệt cho P    bi , P  bi   ci , P  ci   với i  1,3 Đặt Si   bi  ci với i  1,3 2 Chứng minh S1  S  S3 �S1.S2  S S3  S3 S1 Lời giải a) Giả sử a, b, c số thực đôi phân biệt thỏa mãn P  a   b, P  b   c, P  c   a Xét a  2cos  với  � 0;   b  P  a   P  cos    8cos   cos   cos 3 Tương tự, c  P  b   P  cos 3   cos 9 , a  P  c   P  cos 9   cos 27 k �   � 13  k �Z  Từ ta cần có cos   cos 27 �   �27  k 2 � � k �  � 14 Vậy chọn a  cos  3 9 b  cos , c  cos ta số thực a, b, c đôi phân 13 13 13 biệt thỏa mãn toán b) Giả sử tồn số thực  , bi , ci  với i  1,3 gồm số đôi phân biệt cho P    bi , P  bi   ci , P  ci   với i  1,3 Đặt Si   bi  ci với i  1,3 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCMngày thi thứ năm 2019-Tổ Chứng minh S  S  S �S1.S2  S S3  S3 S1 2 2 2 Giả sử S1  S2  S3  S1.S  S2 S3  S3 S1 � S1  S  S3  d Xét đa thức Q  x   x  P  x   P  P  x    d suy Q  x  đa thức bậc Ta có: Q  a1   a1  P  a1   P  P  a1    d  a1  b1  P  b1   d  a1  b1  c1  d  S1  d  Q  b1   b1  P  b1   P  P  b1    d  b1  c1  a1  d  S1  d  Q  c1   c1  P  c1   P  P  c1    d  c1  a1  b1  d  S1  d  Suy a1 , b1 , c1 nghiệm phân biệt phương trình Q  x   Tương tự, a2 , b2 , c2 a3 , b3 , c3 nghiệm phân biệt phương trình Q  x   hay phương trình Q  x   có nghiệm thực phân biệt có tổng 3d Mặt khác, Q  x   x  x  3x   x  3x    x  3x  hay Q  x   x  x  27 x  29 x  x suy Q  x  không chứa x8 nên theo định lí viét phương trình Q  x   có tổng nghiệm hay 3d  � d  � Q  x   có nghiệm 0, mà P    mâu 2 thuẫn với giả thiết P    bi , P  bi   ci , P  ci   Vậy S1  S  S3 �S1.S2  S S3  S3 S1 Bài ( điểm) Cho AB dây cố định khác đường kính đường tròn  O  cố định Gọi M trung  thay đổi tiếp xúc với đoạn thẳng AB tiếp xúc điểm cung nhỏ AB Xét đường tròn  O� với  O  ( cho O�khác phía với M so với đường thẳng AB ) Các đường thẳng qua A , O� B cắt đường thẳng AB điểm C , D M vng góc với O� a) Chứng minh AB  2CD  cho �  T cắt đoạn AB b) Gọi T điểm thuộc  O� ATB  90� Tiếp tuyến  O� N đường thẳng MN cắt  O  K khác M Vẽ đường tròn qua M , K tiếp xúc  S Chứng minh điểm S di động đường tròn cố định ngồi với  O�  O�  thay đổi Lời giải Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCMngày thi thứ năm 2019-Tổ Lời giải � a) Gọi E , F tiếp điểm  O  với  O  AB Cách 1: Ta chứng minh EF qua M � �� F nên EOM Cách 1.1 Do OM // O�  EO F Do �� � 180� EO F 180� EOM �� � Suy EF qua M O EF    OEM 2 Cách 1.2 Giả sử EA, EB cắt O�ở X , Y Khi đó, dễ thấy XY //AB Ta có AF  AX AE , BF  BY BE nên 2 �AF � AX AE �AE � AF AE  � ��  � � �BF � BY BE �BE � BF BE Do đó, EF phân giác � AEB nên EF qua M AM FM �  EAM �  � MA2  ME.MF Tiếp theo, FAM nên VAFM : VEAM � EM AM  từ đẳng thức trên, ta thấy M có phương tích đến Xét đường tròn điểm A đường tròn  O� hai đường tròn Suy MC trục đẳng phương đường tròn điểm A đường tròn  O�  Do đó, CA2  CF nên CA  CF Tương tự DB  DF nên AB  2CD Cách 2: Ta có �  NM tan NMD � CD  NC  ND  NM tan NMC   F O� F� �O� �� ��  MN tan O AB  tan O BA  MN �  � �FA FB � O� F AB OM AB EF AB MN 2MO AB  MN  MN   FA.FB FE.FN EM ME.MF b) Ta chứng minh M , S , T thằng hàng MS MT  MA2  MB Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCMngày thi thứ năm 2019-Tổ  , S ��T Cách Gọi S �là giao điểm đường thẳng TM với  O� Lúc MS � MT  MF ME  MA2  MN MK nên tứ giác NKTS �nội tiếp y tiếp tuyến  O�  S �, ta có  xy, S � M   S�� TN  S�� KM suy xy tiếp Gọi xS �  Do  MKS �  tiếp xúc với  O�  tuyến đường tròn  MKS � �S Suy M , S , T thẳng hàng MS MT  MA2  MB Suy S � (2 điểm) Cách Ta thấy với điểm Eo � O  ; Fo �AB cho Eo Fo qua M chứng minh 2 tương tự trên, ta có MA = MB = ME o.MFo Xét phép nghịch đảo  tâm M , phương tích MA2 thì: AB �  O  ,  O�  �  O�   Chú ý Ảnh TN qua  đường qua M tiếp xúc với  O�  : N � K nên ảnh TN  MSK  Suy S � T hay M , S , T thẳng hàng MS MT  MA2  MB (2 điểm) � � �  BTS � nên Tiếp theo, cách xét tam giác đồng giác, ta có SAM ATS , SBM �  SBM �  90o SAM �  SBM �  90o nên � Xét tứ giác AMBS có � AMB   khơng đổi tổng SAM ASB  270o   , chứng tỏ S thuộc cung chứa góc 270o   dựng AB Ta có đpcm (1 điểm) Câu Trong mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy, hai điểm ngun (hồnh độ tung độ số uuu r uuu r nguyên) A, B gọi “thân thiết” với A, B khác O ‫�ף‬ OA OB với O gốc tọa độ a) Hỏi có tất điểm nguyên M ( x, y ) với x �19, y �19 thỏa mãn điểm M điểm N (3;7) “thân thiết” với nhau? b) Hỏi có nhiều điểm ngun đơi “thân thiết” với nhau? Lời giải a) Ta có điều kiện 1 �3 x  y �1 nên có ba trường hợp: (1) Nếu x  y  ( x, y )  ( 7t ,3t ) với t �� thỏa mãn Xét hệ ràng buộc sau �19 �7t �19 � 2 �t �2 t �0 nên có tất điểm � �19 �3t �19 (2) Nếu x  y  ( x, y )  (2  7t ,1  3t ) với t �� thỏa mãn Xét hệ ràng buộc 19 �2  7t �19 � � 2 �t �3 nên có tất điểm � 19 �1  3t �19 � Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCMngày thi thứ năm 2019-Tổ (3) Nếu x  y  1 ( x, y )  (2  7t , 1  3t ) với t �� thỏa mãn Xét hệ ràng buộc 19 �2  7t �19 � � 3 �t �2 nên có tất điểm � 19 �1  3t �19 � Vậy tổng số điểm nguyên thỏa mãn    16 2 b) Gọi điểm cho Ai (ai ; bi ) với , bi ��, i  1, n  bi  Ta có ak  bibk �1 với i �k Ta thấy rằng: - Có tối đa hai điểm thuộc trục Ox (1;0) (1;0) - Có tối đa hai điểm thuộc trục Oy (0;1), (0; 1) Ta chứng minh có khơng q điểm không thuộc Ox, Oy Giả sử ngược lại có ba điểm thỏa mãn đề A1 (a1 , b1 ), A2 (a2 , b2 ), A3 (a3 , b3 ) Ta có hai trường hợp: (1) Nếu có hai điểm thuộc góc phần tư, giả sử A1 , A2 số a1 , a2 dấu, số b1 , b2 dấu nên a1a2  0, b1b2  � a1a2  b1b2 �2 , loại (2) Nếu khơng có điểm thuộc góc phần tư phải có hai điểm thuộc hai góc phần tư đối nhau, giả sử A1 , A2 số a1 , a2 trái dấu, số b1 , b2 trái dấu nên a1a2  0, b1b2  � a1a2  b1b2 �2 , không thỏa Do đó, điều giả sử sai, tức tổng cộng có khơng q điểm thỏa mãn đề Ta có A1 (0;1), A2 (0; 1), A3 (1;0), A4 ( 1;0), A5 (1;1), A6 ( 1;1) đôi “thân thiết”  HẾT  Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang