Tổ-8-Đ2-HSG-SỞ-GD-ĐT-LÂM-ĐỒNG-Sao

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ THI MƠN: TỐN HỌC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 02 trang Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số Câu có hai điểm cực trị (4,0 điểm) a) Cho a = log x1 ; x2 thỏa mãn b = log 12 x1 + x2 = Tính log 60 1− x + 1+ x = − b) Giải phương trình Câu m x2 y = − x3 + x + ( m2 − 1) x − 3m − để hàm số theo a b (2,0 điểm) ABCD Một biển quảng cáo có dạng hình chữ nhật sơn trang trí hình bên Chi phí để m m2 sơn phần tơ đậm 250.000 đồng/ phần cịn lại 160.000 đồng/ Hỏi số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách bao nhiêu? Biết Câu AD = m CD = 3m AE = EF = FB , (2,0 điểm) Trong khơng gian với hệ toạ độ Tìm toạ độ điểm trị nhỏ M thuộc mặt phẳng (Oxy) Oxyz cho điểm A(1;0;3) B(−3;1;3) C(1;5;1) , cho biểu thức , có giá k 2019 S = 22 C2019 − 32 C2019 + + ( −1) k 2C2019 + − 2019 C2019 k Câu (2,0 điểm) Tính tổng Câu (2,0 điểm) Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 M,N a hình vng cạnh Gọi AB, AD CN SH H DM trung điểm cạnh giao điểm Biết vng góc với 2a ( ABCD) SC a DM mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng Tính theo thể SHMC tích khối tứ diện a) Cho hình chóp S ABCD có đáy b) Cho hình lăng trụ tam giác trung điểm cạnh ( MNP ) Câu A ' B ', A ' C ' ABCD ABC A ' B ' C ' , BC có AB = 3, AA ' = Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m ( ( x; y ) Câu thỏa mãn x ³ 1, y ³ ( AB ' C ') để hệ phương trình ïìï x + y + = xy ïí ïï x+y = m x + y + x + x + y + y + ïỵ có nghiệm , Gọi M , N, P ) (2,0 điểm) Cho x, y , z x≥ y≥z số thực thỏa mãn P = ( x − y ) ( y − z ) ( z − x ) ( xy + yz + zx ) thức x2 + y + z = Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/ Tìm giá trị nhỏ biểu  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 Lời giải Câu Tìm tất giá trị tham số điểm cực trị x1 ; x2 thỏa mãn m để hàm số x1 + x2 = y = − x3 + x + ( m2 − 1) x − 3m − có hai Lời giải Ta có y ' = −3x + x + ( m − 1) Để hàm số có hai điểm cực trị y'= có hai nghiệm phân biệt ⇒ ∆ ' > ⇔ 32 + 3.3 ( m − 1) > ⇔ 9m > ⇔m≠0 (*) Áp dụng định lý Vi-et ta có:  x1 + x2 =   x1 x2 = − m kết hợp điều kiện đề ta hệ phương trình 8    x1 =  x1 =  x1 + x2 =   2    ⇔  x2 = − ⇔ m = ±  x1 x2 = − m ⇔  x2 = − 3  x + 4x =    16   25 1 − m = − m =   m=± Vậy Câu thỏa mãn (*) (4.0 điểm) 2.1 Cho a = log 2.2 Giải phương trình b = log 12 Tính log 60 x2 1− x + 1+ x = − theo a b Lời giải Tác giả:Phạm Hải Dương; Fb: DuongPham 2.1 Ta có Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 log = a log = b −  ⇒ log = a log 12 = a.b  log = a ( b − 1) log 12 = b  log 60 + ab + ab log 60 + log 12 = = = a − a ( b − 1) a ( − b) log log − log = 2.2 Điều kiện Đặt −1 ≤ x ≤ t2 − ⇒ = − x2 t = 1− x + 1+ x Phương trình theo t , với 0≤t ≤ có dạng  t2 −  7+ ÷   t= ⇔ ( t − ) ( t + 4t + ) = ⇔ t = Với t=2 ta − x + + x = ⇔ − x2 = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm Câu (nhận) x=0 (2,0 điểm) ABCD Một biển quảng cáo có dạng hình chữ nhật sơn trang trí hình bên Chi phí để m m2 sơn phần tô đậm 250.000 đồng/ phần lại 160.000 đồng/ Hỏi số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách bao nhiêu? Biết AD = m CD = 3m AE = EF = FB , Lời giải Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Gọi Gọi HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 G I AB CD , trung điểm , H giao điểm Xét tam giác vuông tan HDI = Ta có EC DF FK ⊥ DC K , điểm thỏa DFK DHI có HI FK ⇔ HI = = 1,5 ⇒ HI = ⇒ GH = DI DK S ABCD = AD AB = 4.3 = 12 ( m ) S ∆ADE = S ∆BCF = S ∆DHC = 1 DA AE = 4.1 = ( m ) 2 1 HI DC = 3.3 = 4,5 ( m ) 2 1 S ∆EHF = GH EF = 1.1 = 0,5 ( m ) 2 ⇒ 2S ∆EHD = S ABCD − ( 2S ∆ADE + S ∆DHC + S ∆EHF ) = ( m ) Vậy số tiền để sơn biển quảng cáo Câu Trong không gian với hệ toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) T = 3.250000 + 9.160000 = 2190000 Oxyz cho điểm cho biểu thức (đồng) A(1;0;3) B(−3;1;3) C(1;5;1) , , Tìm toạ độ có giá trị nhỏ Lời giải Tác giả: Nhóm - Tổ nhóm tốn team tốn vd - vdc Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Gọi K HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 trung điểm BC , ta có : K (−1;3;2) Suy ra: (Oxy) A K A' A , nằm phía so với mặt phẳng Gọi điểm đối xứng điểm (Oxy) qua mặt phẳng Khi Nhận xét: Suy T A' K Ta có đạt GTNN ⇔ với mặt phẳng đạt GTNN (Oxy) ⇔ A', M, K thẳng hàng giao điểm H(1;0;0) Do phương trình tham số  x= 1− 2t  ⇒ M(− ; ;0)  y= 3t 5  z = −3+ 5t  M A' K k 2019 S = 22 C2019 − 32 C2019 + + ( −1) k C2019 + − 20192 C2019 k Câu (2 điểm) Tính tổng Lời giải Tác giả: Nhóm - Tổ nhóm tốn team tốn vd - vdc Trước hết ta chứng minh đẳng thức: Thật vậy: k Cnk = n ( n − 1) Cnk−−22 + nCnk−−11 ( 1) k Cnk = k ( k − 1) Cnk + kCnk ( 2) ( ≤ k ≤ n, k , n ∈ ¥ ) * Mà: kCnk = k Áp dụng ( n − 1) ! ( n − 1) ! n! = n = n = nCnk−−11 ( 3) k ! ( n − k ) ! ( k − 1) ! ( n − k ) ! ( k − 1) ! ( ( n − 1) − ( k − 1) ) ! ( 3) hai lần ta được: ( k − 1) k Cnk = ( k − 1) n.Cnk−−11 = n ( k − 1) Cnk−−11 = n ( n − 1) Cnk−−22 ( ) Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Từ ( ) ( 3) ( ) , Áp dụng S= 2019 , ( 1) ∑ ( −1) k =2 ta k k k C2019 = 2017 k =0 k 2017 = 2018.2019 ( − 1) Câu ( 1) ta được: = 2018.2019 ∑ C Vậy HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 S = 2019 2019 ∑ ( −1) ( 2019.2018.C k k =2 k k −2 2017 2018 k ( −1) − 2019.∑ C2018 ( −1) 2017 k =1 2018 ( − 2019 ( − 1) k −1 + 2019.C2018 ) k ) − = 2019 (4 điểm) M,N a hình vng cạnh Gọi AB, AD CN SH H DM trung điểm cạnh giao điểm Biết vng góc với 2a ( ABCD) SC a DM mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng Tính theo thể SHMC tích khối tứ diện a) Cho hình chóp S ABCD có đáy b) Cho hình lăng trụ tam giác trung điểm cạnh ( MNP ) A ' B ', A ' C ' ABCD ABC A ' B ' C ' , BC có AB = 3, AA ' = , Gọi M , N, P Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng ( AB ' C ') Lời giải a) Tác giả: Nhóm - Tổ nhóm tốn team tốn vd - vdc Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ABCD Theo giả thiết HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 hình vng, suy ∆ADM = ∆DNC (c.g c ) ·ADH = DCN · ⇒ DM ⊥ CN Từ suy  a2  a NC = DC + DN = a +  ÷ = ; HC = CD = 2a ; HD = DC.DN = a ;  2 CN NC 5 Vậy có: HM = MD − HD = a a 3a − = 10 S ∆HMC = 1 2a 3a 3a HC.HM = = 2 10 10 SH ⊥ ( ABCD) ⇒ SH ⊥ DM Mặt khác, ta có Theo chứng minh Kẻ HK ⊥ SC HK DM ⊥ CN ⇒ DM ⊥ ( SCN ) khoảng cách hai đường thẳng DM SC HK = Suy 2a H, SHC HK Tam giác vuông đường cao suy 1 1 1 = + ⇒ = − = ⇒ SH = a 2 2 2 HK SH HC SH HK HC a Vậy 1 3a a3 VSHMC = S∆HMC SH = a = 3 10 10 b) Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 Cách 1: I,Q MN B 'C ' Gọi trung điểm cạnh , PI ∩ AQ = { G} ⇒ G ∈ ( AB ' C ') ∩ ( MNP ) sử Hơn AQ = 2, PI =   MN ⊂ ( MNP ) , B ' C ' ⊂ ( AB ' C ' )    MN PB ' C ' nên giao tuyến hai mặt MN B 'C ' ∆ đường thẳng qua G song song với ( AB ' C ') Giả ( MNP ) B ' C ' ⊥ ( AA ' QP ) ⇒ AG ⊥ ∆ PG ⊥ ∆ Ta có , chứng minh tương tự , (·( AB ' C ') , ( MNP ) ) = (·AG , PG ) IQ PAP Mặt khác , theo định lý Ta-lét ta có: GQ GI IQ 2 = = = ⇒ GA = 2GQ = AQ = 2; GP = 2GI = PI = GA GP AP 3 ( 2) + ( 5) = GA + GP − AP cos ·AGP = 2GA.GP Xét tam giác AGP có cos(· ( AB ' C ') , ( MNP ) ) = Vậy 2 2 − 32 = 10 10 Cách Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 I , Q, X MN , B ' C ' AP = PQ = QA ' = A ' A = AA ' Gọi trung điểm Ta có ·A ' AP = 90o APQA ' nên tứ giác hình vng · ∆IPQ = ∆XQA ' ( c − g − c ) ⇒ IPQ = ·XQA ' ⇒ PI ⊥ QX ( 1) B ' C ' ⊥ ( APQA ') ⇒ B ' C ' ⊥ QX Từ (1) (2) suy Do Ta có mà QX ⊥ ( MNP ) Ta có MN PB ' C ' ⇒ MN ⊥ QX ( ) , chứng minh tương tự ta có (·( AB ' C ') , ( MNP ) ) = (·A 'P , QX ) TP TQ PQ = = =2 TA TX XA XA P PQ , theo định lý Ta-lét có PTQ Áp dụng định lý cosin cho tam giác ta có ( ) ( ) A ' P ⊥ ( AB ' C ' ) , từ ta TP = 2, QX = 2 + − 32 TP + TQ − PQ · cosPTQ = = = 2TP.TQ 2 10 cos(· ( AB ' C ') , ( MNP ) ) = Vậy 10 Cách Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang 10  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 I , O, J MN P B ' C ' B ' C ', MN , AP Gọi trung điểm cạnh Ta có A ' I ⊥ B ' C ' ⇒ MN ⊥ A ' I ABC A ' B ' C ' Đặt hình lăng trụ tam giác hệ trục tọa độ O ( 0;0;0 ) Oxyz Oy Ox ON OI với gốc , chiều dương trùng với tia , chiều dương trùng với tia , Oz OJ chiều dương trùng với tia Khi ta có:             A  0; − ;3 ÷, B '  − 3; ;0 ÷, C '  3; ;0 ÷, M  − ;0;0 ÷ , N ;0;0  ÷ ÷  ÷, P  0; ;3 ÷             r n1 r n2 Gọi véc tơ pháp tuyến mặt phẳng r uuuu r uuuu r uuur r  uuuu r n1 =  AB ', AC ' = ( 0;1;1) , n2 =  MN , MP  = ( 0; − 2;1) − +1 r r cos(· ( AB ' C ') , ( MNP ) ) = cos ( n1; n2 ) = cos(· ( AB ' C ') , ( MNP ) ) = Vậy Câu 10 Tìm tất giá trị tham số ( AB ' C ') 02 + 12 + 12 02 + ( −2 ) + 12 m thỏa mãn 10 để hệ phương trình ( có nghiệm Ta có ìï x + y + = xy ïï í x+ y ïï = m x + y + x + x + y + y + ïỵ ( x; y ) = ( MNP ) x ³ 1, y ³ ) Lời giải Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang 11  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 ìï x + y + = xy ïï í x+ y ïï = m x + y + x + x + y + y + ïỵ ( Xét hệ phương trình ( 1) Từ ta có x + y = xy - ( 1) ) ( 2) (với x, y ³ ) ( 2) Thế vào ta được: ( ( ) 2 x+y = m x + y + x + xy + y +1 Û x+y = m x + y + ( x + y ) +1 t =x+y ³ Đặt Do x ³ 1, y ³ f ( t) = t Xét hàm số x ³ 1, y ³ ( t +1 - t ) t +1 ³ t ³ t phương trình ( , ta có ( t +1 - t ỉ t +1 - t ỗ ln ỗ ỗ ỗ ố 17, " t ẻ [ 4;6] ị ln - t Ỵ [ 4;6] với Suy ) t +1 ³ ln - [ 4;6] hàm đồng biến ( ) f ( 4) £ m £ f ( 6) Û 16 17 - £ m £ 64 ( f ¢( t ) = 2t t Ỵ [ 4;6] , f ( t) 16 m = 2t t +1 ³ Câu Þ x+y³ 4Þ t ³ ( x - 1) ( y - 1) ³ Þ xy - x - y +1 ³ Þ xy ³ x + y - Hệ cho có nghiệm t Ỵ [ 4;6] Vậy ( *) Û 2t = m ( t + t +1) Û m = 2t ( t +1 - t ) Do f ¢( t ) > ( *) nên t +4 ³ t - 1Þ t £ Suy Do x + y + = xy £ ( x + y) ) ) 17 - £ m £ 64 ( ) có nghiệm ÷ ÷ ÷ ÷ t +1 ø 1 >0 17 nên ( *) Do để phương trình ( ) 37 - ) có nghiệm 37 - thỏa mãn yêu cầu toán (2,0 điểm) Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang 12  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Cho HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG – TỔ – 2018-2019 x≥ y≥z x, y , z số thực thỏa mãn P = ( x − y ) ( y − z ) ( z − x ) ( xy + yz + zx ) thức x2 + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu Lời giải Cách 1: Đặt +) +) Q = ( x − y ) ( y − z ) ( x − z ) ( xy + yz + zx ) xy + yz + zx < xy + yz + zx ≥ ta có đặt Q