Tổ 8 đ2 HSG sở GD đt hải phòng sao

STRONG TEAM TỐN VD-VDC SỞ GD&ĐT HẢI PHỊNG ĐỀ CHÍNH THỨC HSG TỐN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHỊNG – TỔ – 2018-2019 KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ THI MƠN: TỐN HỌC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Đề thi gồm 02 trang Câu (2,0 điểm) a) Cho hàm số Tính diện tích tam giác Câu ( C) y = x + 3x - 9x +1 OAB có đồ thị Gọi O , gốc tọa độ b) Tìm tất giá trị thực tham số (2,0 điểm) a) Giải phương trình m 2sin x − sin x + cos x =0 tan x − b) Tìm tất giá trị thực tham số nghiệm Câu để hàm số (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD m A, B ( C) hai điểm cực trị y = 2x + m x + 4x + có cực tiểu để hệ phương trình ABCD có đáy  x3 − ( y − ) x − xy = m   x + 3x − y = − 2m hình thang vng A có B , ( ABCD ) AB = BC = a, AD = 2a SA = 2a , vng góc với mặt phẳng a) Tính góc hai mặt phẳng b) Cho M ( SBC ) ( SCD ) SM = x, ( < x < 2a ) ( BCM ) cho Mặt phẳng chia V1 V2 V1 S hình chóp thành hai phần tích (trong thể tích phần chứa đỉnh ) V1 = V2 x Tìm để Câu điểm nằm cạnh SA (1,0 điểm) Một quân vua đặt ô bàn cờ vua Mỗi bước di chuyển, quân vua chuyển sang ô khác chung cạnh chung đỉnh với ô đứng ( xem hình minh 3 họa) Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên bước Tính xác suất để sau bước quân vua trở ô xuất phát Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Câu HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ – 2018-2019 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ tâm tam giác ABE Điểm viết phương trình cạnh có hồnh độ nhỏ Câu (1,0 điểm) Cho dãy số Ta thành lập dãy số tính giới hạn Câu K ( 7; −2 ) AB { un } { } Oxy thuộc đoạn , biết đường thẳng xác định = với (1,0 điểm) Cho số thực dương ED AG u1 =   un +1 = 1 + +…+ 2 u1 u2 un x, y , z P= Tìm giá trị nhỏ biểu thức , cho hình vng cho ABCD GA = GK có phương trình tâm E , gọi G trọng Tìm tọa độ đỉnh 3x − y − 13 = A A đỉnh ) ( un2 + 5un + un , n ∈ ¥ , n ≥ Chứng minh dãy số thỏa mãn điều kiện có giới hạn x ≥ y; x ≥ z; x + yz ≤ xz + xy y − x y + x y + z 2z + x + + + y x+ y y+z x+z Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/ { }  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TỐN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHỊNG – TỔ – 2018-2019 Lời giải Câu (2,0 điểm) ( C) ( C) A, B có đồ thị Gọi hai điểm cực trị OAB O Tính diện tích tam giác , gốc tọa độ a) Cho hàm số y = x + 3x - 9x +1 b) Tìm tất giá trị thực tham số a) m để hàm số Lời giải y = 2x + m x + 4x + có cực tiểu éx = D = ¡ y ¢ = 3x + 6x - ị y  = ê ê ëx =- +) Tập xác định ( C) A(- 3;28), B(1; - 4) +) có hai điểm cực trị uuu r uuu r OA = (- 3;28),OB = (1; - 4) Þ SOAB = | - ×( 4) - 1.28 |= +) b) x +2 D = ¡ ; y¢ = + m x + 4x + +) Tập xác định ¡ +) Ta có: Hàm số có đạo hàm liên tục nên hàm số có cực tiểu phương trình y' = phải có nghiệm - x + 4x + y' = Û m = ,(x ¹ - 2) x +2 +) Xét phương trình - x + 4x + g Â(x) = > 0, " x - g(x) = , x Ỵ ¡ \ {- 2} 2 (x + 2) x + 4x + x +2 Đặt Ta có lim g(x) =- 2; lim g(x) = Ngồi ta có y = g( x) nh sau x đ+Ơ x đ- Ơ , từ ta có bảng biến thiên hàm s y' = m ẻ (- Ơ ; - 2) È (2; +¥ ) Từ bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm m>2 +) Xét trường hợp x0 y' = Phương trình có nghiệm , ta có: lim y' = + m > 0; lim y' = - m < x đ+Ơ x đ- Ơ nên ta có bảng biến thiên hàm số có dạng Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Câu HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ – 2018-2019 Từ bảng biến thiên suy hàm số có cực tiểu m Vậy (2,0 điểm) a) Giải phương trình 2sin x − sin x + cos x =0 tan x − b) Tìm tất giá trị thực tham số nghiệm m để hệ phương trình  x3 − ( y − ) x − xy = m   x + 3x − y = − 2m có Lời giải Tác giả: Nhóm - Tổ nhóm tốn team tốn vd - vdc a) Điều kiện: π  x ≠ + kπ   ⇔ tan x − ≠   x ≠ π + kπ    cos x ≠ , k ∈¢ Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương với: 2sin x − sin x + cos x = ⇔ sin x ( 2sin x − 1) + cos x = ⇔ − sin x cos x + cos x = ⇔ ( sin x − 1) cos x = π   x = + k 2π ⇔ sin x = x = π + k π ⇔  cos x = Kết hợp với điều kiện xác định phương trình phương trình cho có nghiệm 3π x= + kπ k ∈¢ , b) Ta có  x2 + x ) ( 2x − y ) = m 2 x − ( y − ) x − xy = m ⇔ (   ( x + x ) + ( x − y ) = − 2m  x + 3x − y = − 2m Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ – 2018-2019 a = x + x b = 2x − y , với điều kiện Đặt Hệ phương trình cho có dạng a = x2 + x ≥ a.b = m   a + b = − 2m t − ( − m ) t + m = ( *) a b Suy , hai nghiệm phương trình Hệ ban đầu có nghiệm phương trình ( *) t≥ có nghiệm   −t + t t ∈  − ; +∞ ÷ ⇔ m = = g t ( ) ( *)   2t + Ta có , g′ ( t ) = −2t − 2t + ( 2t + 1)  −1 − t = ⇔  −1 + t = g ′ ( t ) = ⇒ −2t − 2t + =  ( lo¹i ) (tháa m· n) Bảng biến thiên: + - m≤ Từ bảng biến thiên suy Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy 2− ABCD hình thang vng A B AB = BC = a, , ( ABCD ) AD = 2a SA = 2a , vng góc với mặt phẳng a)Tính góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD ) Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ – 2018-2019 SM = x, ( < x < 2a ) ( BCM ) cho Mặt phẳng chia V1 V2 V1 S hình chóp thành hai phần tích (trong thể tích phần chứa đỉnh ) V1 = V2 x Tìm để b)Cho M điểm nằm cạnh SA Lời giải Tác giả: Nhóm - Tổ nhóm tốn team tốn vd - vdc a) Gọi Gọi ϕ góc hai mặt phẳng H, K Ta có AK ⊥ ( SCD ) đường thẳng AH = Ta có Mặt khác hình chiếu vng góc BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH Tương tự ( SBC ) AH Ngoài A SC AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC ) Do góc hai mặt phẳng AK SB ( SBC ) ( SCD ) góc hai AH + AK − HK · cos ϕ = cos HAK = AH AK , hay SA.AB 2a SA AC 2a = , AK = = SB SC ∆SHK : ∆SCB HK = nên BC.SH 4a = SC 30 Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC cos ϕ = Vậy 15 HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ – 2018-2019 ( BCM ) SD N b) Mặt phẳng cắt cạnh Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( BCM ) BCNM hình thang VS ABC = V , V = V + V V S ABCD S BCNM S BCM S CNM Gọi thể tích khối chóp Ta có ; VS ACD = V k= SM SA VS BCM SM = = k ⇒ VS BCM = k V VS BCA SA Đặt suy ra: VS CMN SM SN = = k ⇒ VS CMN = k V VS CAD SA SD Từ suy Suy Câu  1 V1 =  k + k ÷.V  3 Mà ; V1 1 = ⇒ V1 = V V2  1 V =  k + k ÷.V ⇒ k = ⇒ x = a 3  3 Một quân vua đặt ô bàn cờ vua Mỗi bước di chuyển, quân vua chuyển sang ô khác chung cạnh chung đỉnh với ô đứng ( xem hình minh họa) Bạn An di 3 chuyển quân vua ngẫu nhiên bước Tính xác suất để sau bước quân vua trở ô xuất phát Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ – 2018-2019 Lời giải Tác giả: Nhóm - Tổ nhóm tốn team tốn vd - vdc Mỗi bước quân vua đến n ( Ω ) = 83 mẫu xung quanh, từ suy số phần tử không gian Cách Gắn hệ trục Oxy vào bàn cờ vua cho vị trí ban đầu quân vua gốc tọa độ, ô ( x; y ) ( x; y ) bàn ứng với điểm có tọa độ Mỗi bước di chuyển quân vua từ điểm đến 2 x0 ; y0 ∈ { −1;0;1} ; x0 + y0 ≠ ( x + x0 ; y + y0 ) x0 = 1; y0 = điểm có tọa độ Ví dụ x0 = −1; y0 = −1 qn vua di chuyển đến bên phải, di chuyển xuống đường chéo ( 0;0 ) Giả sử tọa độ ban đầu , sau bước tọa độ quân vua ( x1 + x2 + x3 ; y1 + y2 + y3 ) ; x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 ∈ { −1;0;1} Để vị trí ban đầu  x1 + x2 + x3 =   y1 + y2 + y3 = +) { x1; x2 ; x3 } ( xi ; yi ) , i = 1;3 có Suy { x1; x2 ; x3 } { y1; y2 ; y3} cách chọn, với cách chọn không đồng thời hoán vị { x1; x2 ; x3 } có cách chọn { −1; 0;1} { y1; y2 ; y3} Do số kết thuận lợi cho biến cố 24 p= xác suất cần tìm 24 = 83 64 Cách Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ – 2018-2019 Nhận xét để quân vua trở vị trí xuất phát sau xung quanh ban đầu Trường hợp Sau bước I quân vua Từ quân vua có Vậy số cách TH1: Từ quân vua có × ×1 = 16 Vậy số cách TH2: cách ô chung đỉnh với ban đầu cách vị trí xuất phát × ×1 = 16 + = 83 64 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ K ( 7; −2 ) cách Oxy , cho hình vng Điểm thuộc đoạn ED ABCD tâm E , gọi G trọng tâm tam GA = GK A Tìm tọa độ đỉnh viết x − y − 13 = AG AB A phương trình cạnh , biết đường thẳng có phương trình đỉnh có hồnh độ nhỏ giác ABE ô chung cạnh với ô ban đầu cách cho bước II (đi ngang dọc) Ở bước III, quân vua có Câu cách vị trí xuất phát Trường hợp Sau bước I quân vua Xác suất cần tìm: bước sau bước II quân vua phải cách cho bước II (đi ngang chéo) Ở bước III, quân vua có p= cho Lời giải Tác giả: Nhóm tổ nhóm strong team tốn vd – vdc Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TỐN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHỊNG – TỔ – 2018-2019 GA = GB = GK G ABK +) Ta có nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác o o ⇒ ·AGK = ·ABK = 2.45 = 90 AGK G ⇒ tam giác vuông cân +) Đường thẳng GK qua K ( 7; −2 ) vng góc với AG ⇒ GK : x + y − = Ta có Do Có G = GK ∩ AG ⇒ G ( 4; −1) AG có phương trình 3x − y − 13 = GA = GK = d ( K ; AG ) = 10 GA = 10 ⇔ ( t − ) + ( 3t − 12 ) · tan MAG = Từ nên A ( t ;3t − 13) , t < t = t < ⇔ → t = = 10 t = Vậy A ( 3; −4 ) MG ⇒ cos MAG · = = 10 AM +) Ta có ur uu r 2 n1 = ( a; b ) , ( a + b > ) n = ( 3; −1) AB Gọi VTPT đường thẳng VTPT AG đường thẳng · cos MAG = Khi đó: +) Với Thấy +)Với 3a − b b = 3 ⇔ = ⇔ 6ab + 8b = ⇔  10 10 10 a + b 3a = −4b 3a = −4b ⇒ AB : x − y − 24 = d ( K ; AB ) = < d ( K ; AG ) = 10 b = ⇒ AB : x − = (loại) Ghi chú: Nếu học sinh công nhận ngộ nhận chứng minh kết bước làm bước lại cho 0.5 điểm Câu Cho dãy số { un } xác định Ta thành lập dãy số tính giới hạn { } u1 =   un +1 = = với ( ) un2 + 5un + un , n ∈ ¥ , n ≥ 1 1 + +…+ 2 u1 u2 un Chứng minh dãy số Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/ { } có giới hạn  Trang 10  STRONG TEAM TỐN VD-VDC HSG TỐN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHỊNG – TỔ – 2018-2019 Lời giải Tác giả: Nhóm tổ nhóm strong team tốn vd – vdc Ta dễ có un > 0, ∀n ∈ ¥ * un +1 = Ngoài { un } Giả sử ( un +1 = Ta có un +1 > un > un2+1 Do dãy ( { un } tăng Cho qua giới hạn hệ thức ) a + 5a + a ⇒ a = vô lý lim un = +∞, lim không bị chặn =0 un ) ( un2 + 5un + un ⇔ 2un +1 − un = un2 + 5un ⇔ 4un2+1 − 4un +1un = 5un , (vì ) 1  4 1  4 1  = 4 − ÷⇒ =  − ÷ ⇒ = +  − ÷ u1  u1 un   un un +1  un +1  un un +1  lim = Suy Câu un2 + un = un , ∀n ∈ ¥ * lim un = a, a ≥ = u1 , a ∈ ¡ ) { un } ) un2 + 5un + un > un2 + 5un + un ⇒ a = un +1 = ) 12 ( ( bị chặn, Từ suy ⇔ 17 + × = 45 Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn điều kiện P= Tìm giá trị nhỏ biểu thức x ≥ y; x ≥ z; x + yz ≤ xz + xy y − x y + x y + z 2z + x + + + y x+ y y+z x+z Lời giải Tác giả: Nhóm tổ nhóm strong team toán vd – vdc +/ Ta chứng minh: Với a, b dương ab ≥ 1 + ≥ + a + b + ab (*) Thật vậy: ⇔ (*) ( +/ Ta có: a− b )( ) ab − ≥ (luôn đúng) Đẳng thức xảy x + yz ≤ xz + xy ⇔ ( x − z ) ( x − y ) ≤ ⇒ x − y ≤ Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/ a=b ab = x≥z⇒x−z≥0  Trang 11  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC t= Đặt HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ – 2018-2019 x ⇒ t ∈ [ 1;9] y P = 9−t + Khi t+2 y z t+2 1 +1+ +1+ = 9−t + +2+ + z x t +1 y+z x+z t +1 1+ 1+ y z Áp dụng bất đẳng thức chứng minh, ta có: P ≥ 9−t + t+2 +2+ t +1 f (t ) = − t + Xét hàm số −1 f '(t) = ( − t) − z x yz 1+ ( t + 1) − từ suy P= Vậy 18 t+2 +2+ t +1 1+ t t+2 +2+ , t ∈ [ 1;9] t +1 1+ t P ≥ f (t) ≥ f(9) = Dấu xảy = 9−t + ( t 1+ t ) có < 0, ∀t ∈ [ 1;9 ] 18 x y =9  x = y x = y  x z ⇔ ⇔  =  z = 3y  xy = z  z y  x z  =  z y x = y  z = 3y Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang 12 