Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Lâm Đồng

Nhằm giúp các bạn học sinh đang chuẩn bị cho kì thi chọn HSG sắp tới cũng như giúp các em củng cố và ôn luyện kiến thức, rèn kỹ năng làm bài thông qua việc giải “Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Lâm Đồng” sau đây. Hi vọng đây là tài liệu hữu ích cho các bạn trong việc ôn tập. Chúc các bạn thi tốt!

NHĨM TỐN VD – VDC KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2018 - 2019 (Đề thi có 01 trang) MƠN: TỐN – Hệ : THPT Ngày thi : 18/01/2019 Thời gian: 180 phút Họ tên: SBD: Câu 1: (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y   x3  3x   m  1 x  3m  có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1  x2  Câu 2: (4,0 điểm) 2.1 Cho a  log b  log 12 Tính log3 60 theo a b 2.2 Giải phương trình 1 x   x   x2 NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG Câu 3: (2,0 điểm) Một biển quảng cáo có dạng hình chữ nhật ABCD sơn trang trí hình bên Chi phí để sơn phần tô đậm 250.000 đồng/ m phần lại 160.000 đồng/ m Hỏi số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách bao nhiêu? Biết AD  4m , DC  3m AE  EF  FB Câu 6: (4,0 điểm) 6.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh AB , AD H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt 2a phẳng ( ABCD) khoảng cách hai đường thẳng DM SC Tính theo a thể tích khối tứ diện SHMC 6.2 Cho hình lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' có AB  , AA '  Gọi M , N , P trung điểm cạnh A ' B ', A ' C ', BC Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng  AB ' C '  MNP  Câu 7: (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình  x  y   xy   x y 2 2  m x  y  x  x  y  y  có nghiệm  x; y  thỏa mãn x  1, y  Câu 8: (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực thỏa mãn x  y  z x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  ( x  y )( y  z )( z  x)( xy  yz  zx) - HẾT -  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc  Trang NHĨM TỐN VD – VDC Câu 4: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A 1;0;3 , B  3;1;3 , C 1;5;1 Tìm tọa độ    điểm M thuộc mặt phẳng Oxy cho biểu thức T  | MA |  | MB  MC | có giá trị nhỏ Câu 5: (2,0 điểm) k k 2019 Tính tổng S  22 C2019  32 C2019    1 k 2C2019   20192 C2019 NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHÍNH THỨC Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y   x3  3x   m  1 x  3m  có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1  x2  Lời giải Tập xác định: D   y   3x  x   m  1 NHÓM TOÁN VD – VDC Câu 1: (2,0 điểm) x  1 m y    x  1 m Hàm số có hai điểm cực trị  y   có hai nghiệm phân biệt  m  x  1 m +) TH1:   x2   m Khi x1  x2    m  1  m    m   (TM) Khi x1  x2    m  1  m    m  Vậy m   NHĨM TỐN VD – VDC x  1 m +) TH2:  ,  x2   m (TM) giá trị cần tìm Câu 2: (4,0 điểm) 2.1 Cho a  log b  log 12 Tính log3 60 theo a b x2 2.2 Giải phương trình 1 x   x   Lời giải 2.1 Cho a  log b  log 12 Tính log3 60 theo a b log  a  log  b 1 log  a Ta có:    log 12  b log 12  a.b  log  a b 1 log 60  log 60  log 12  ab  ab    log log  log a  a b 1 a   b https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC 2.2 Giải phương trình 1 x   x   x2 Điều kiện: 1  x  t2   1 x , với  t        NHĨM TỐN VD – VDC Đặt t  1 x   x  t  Phương trình theo t có dạng: t   t  2 t  4t  8   t  2  1 x   x   1 x   x  Vậy phương trình có nghiệm x  Câu 3: (2,0 điểm) Một biển quảng cáo có dạng hình chữ nhật ABCD sơn trang trí hình bên Chi phí để sơn phần tơ đậm 250.000 đồng/ m phần lại 160.000 đồng/ m Hỏi số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách bao nhiêu? Biết AD  4m , DC  3m AE  EF  FB Lời giải NHĨM TỐN VD – VDC Gọi H , K trung điểm AB CD ; I giao điểm CE DF   EH  EF 1 Ta có:   EH  KC  IH  HK  (m) ,  EF  KC  IK  (m) Ta có: S ABCD  3.4  12 (m ) S ADE  S BCF  1.4  2(m ) 1 S IEF  IH EF  1.1  (m2 ) 2 1 S ICD  IK CD  3.3  (m ) 2 Gọi S1 diện tích phần tơ đậm S diện tích phần lại Ta có: S  S ADE  S BCF  S IEF  S ICD  (m ) Suy ra: S1  S ABCD  S  (m ) Vậy tổng số tiền để làm là: T  3.250 000  9.160 000  2190 000 (đồng) Câu 4: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A 1;0;3 , B  3;1;3 , C 1;5;1 Tìm tọa độ    điểm M thuộc mặt phẳng Oxy cho biểu thức T  | MA |  | MB  MC | có giá trị nhỏ Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC NHĨM TỐN VD – VDC    Gọi K trung điểm BC , ta có: K  1;3;2  MB  MC  2MK Suy ra:   T  | MA | 2 | MK |   MA  MK  Nhận xét: A, K nằm khác phía so với mặt phẳng  Oxy  Gọi A ' điểm đối xứng điểm A qua mặt phẳng  Oxy  Khi đó: T   MA  MK    MA  MK  Suy : Tmin   MA  MK min  A, M , K thẳng hàng hay M giao điểm A ' K với mặt phẳng  Oxy   Ta có: H 1; 0;   A 1; 0; 3  AK   2;3;5  Do đó: Phương trình tham số A ' K NHĨM TỐN VD – VDC  x  1 2t     M  ; ;0  y  3t   5   z  3  5t Câu 5: (2,0 điểm) k k 2019 Tính tổng S  22 C2019  32 C2019    1 k 2C2019   20192 C2019 Lời giải - Trước hết ta chứng minh đẳng thức: k Cnk  n  n  1 Cnk22  nCnk11 1   k  n, k , n     Thật vậy: k Cnk  k  k  1 Cnk  kCnk Mà: kCnk  k  2  n  1!  n  n  1! n!  n  nCnk11 k !  n  k  !  k  1!  n  k !  k  1!   n  1   k  1 ! Áp dụng (3) hai lần ta được:  k  1 kCnk   k  1 nCnk11  n  k  1 Cnk11  n  n  1 Cnk22  3  4 Từ   ,  3 ,   ta 1 - Áp dụng 1 ta được: 2019 k 2019 k 2019 S    1 k C k 2 k k 2 k 1    1  2019.2018.C2017  2019.C2018  k 2 2017 2018 k k k  2018.2019. C2017  1  2019  C2018  1 k 0  2018.2019 1  1 k k 1 2017   2019 1  1 2018    2019 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC Vậy S  2019 NHĨM TỐN VD – VDC Câu 6: (4,0 điểm) 6.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh AB , AD H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt 2a phẳng ( ABCD) khoảng cách hai đường thẳng DM SC Tính theo a thể tích khối tứ diện SHMC Lời giải Theo giả thiết ABCD hình vng, suy ADM  DCN (c.g.c)   DM  CN Từ suy  ADH  DCN HM  MD  HD  NHÓM TOÁN VD – VDC CD 2a DC.DN a a a   Vậy có: NC  DC  DN  a     ; HC  ; HD  ; CN NC 5 2 a a 3a 1 2a 3a 3a   S HMC  HC.HM   10 2 10 10 Mặt khác, ta có SH  ( ABCD)  SH  DM Theo chứng minh DM  CN , suy DM  ( SCN ) Kẻ HK  SC HK khoảng cách DM SC Suy HK  Tam giác SHC vuông H , đường cao HK suy  2a 1   2 HK SH HC 1 1 1       SH  a 2 2 SH HK HC a  2a   2a         5 1 3a a3 Vậy VSHMC  S HMC SH  a  3 10 10 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHÓM TỐN VD – VDC 6.2 Cho hình lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' có AB  , AA '  Gọi M , N , P trung điểm cạnh A ' B ', A ' C ', BC Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng  AB ' C '  MNP  NHĨM TỐN VD – VDC Lời giải  Cách 1: A C P B Δ G A' C' N I Q M Gọi I , Q trung điểm cạnh MN B ' C ' , AQ  2, PI  Giả sử PI  AQ  G  G   AB ' C '    MNP  MN   MNP  , B ' C '   AB ' C ' Hơn  nên giao tuyến mặt phẳng  AB ' C '  MNP  MN  B ' C ' đường thẳng  qua G song song với MN B ' C ' Ta có B ' C '   AA ' QP   AG   Chứng minh tương tự ta có PG   Do  AG, PG  Mặt khác IQ  AP , theo định lý Ta-lét có  AB ' C ' ,  MNP     GQ GI IQ 2     GA  2GQ  AQ  2 ; GP  2GI  PI  GA GP AP 3 2 GA  GP  AP Xét tam giác AGP có cos  AGP  2GA.GP Vậy cos   AB ' C ' ,  MNP    10  Cách https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 2      2  32  10 Trang NHĨM TỐN VD – VDC B' NHĨM TỐN VD – VDC A T A' NHĨM TỐN VD – VDC X P Q I Gọi I , Q, X trung điểm cạnh MN , B ' C ' AA ' Ta có AP  PQ  QA '  A ' A   A ' AP  900  tứ giác APQA ' hình vng  IPQ  XQA '  c  g  c   IPQ XQA '  PI  QX 1 Ta có B ' C '   APQA '  B ' C '  QX , mà MN  B ' C '  MN  QX  2 Từ 1    QX   MNP  Chứng minh tương tự ta có A ' P   AB ' C '  Do  A ' P, QX   AB ' C ' ,  MNP     TP TQ PQ    TA TX AX Từ ta TP  2, XQ  Xét tam giác PTQ , theo định lý côsin ta có Ta có XA  PQ , theo định lý Ta-lét có 2   TP  TQ  PQ cosPTQ 2TP.TQ 2      2  32  10 NHĨM TỐN VD – VDC Vậy cos   AB ' C ' ,  MNP    10  Cách Gọi I , O, J trung điểm cạnh B ' C ', MN AP Ta có MN  B ' C ' A ' I  B ' C '  MN  A ' I Đặt hình lăng tru tam giác ABC A ' B ' C ' hệ trục tọa độ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC  Oxyz  với gốc tọa độ O  0;0;0  , chiều dương Ox trùng với tia ON, chiều dương Oy trùng với tia OI , chiều dương Oz trùng với tia OJ Khi ta có :   Khi cos  cos n1 , n2    04  02  22  22  02   2   12 Vậy cos   AB ' C ' ,  MNP    10 Câu 7: (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình  x  y   xy   x y 2 2  m x  y  x  x  y  y  có nghiệm  x; y  thỏa mãn x  1, y  Lời giải  x  y   xy 1  Xét hệ  x  y (với x, y  ) 2  m x  y  x  x  y  y       NHÓM TOÁN VD – VDC             A  0;  ;3  , B '   3; ;  , C '  3; ;0  , M   ; 0;  , N  ; 0;0  , P  0; ;                 Gọi n1 , n2 véctơ pháp tuyển mặt phẳng  AB ' C '  MNP        Ta có n1   AB ', AC '   0; 2;  , n1   MN , MP    0; 2;1 Gọi  góc tạo hai mặt phẳng  AB ' C '  MNP  10    Thế vào   ta x  y  m x  y  x  xy  y   2x y  m x  y   Đặt t  x  y  x  y  1  NHĨM TỐN VD – VDC Từ 1 ta có x  y  xy      x  y x  y   xy  2  x y  4t  Do x  , y  nên  x  1 y  1   xy  x  y    xy  x  y   xy   x  y    x  y   2 x  y   x  y    Do    2t  m t  t   m  2t   t2 1  t Hệ cho có nghiệm  x; y  thỏa mãn x  1, y  phương trình  m  2t   t   t có nghiệm t   4;6 Xét hàm số f  t   2t   t   t với  t  Có f   t   2t https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc    t   t  ln   t 1    Trang NHĨM TỐN VD – VDC Mà t   t  t t2 1    t 1  1 nên f   t   với  t    17   64   37  Câu 8: (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực thỏa mãn x  y  z x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  ( x  y )( y  z )( z  x)( xy  yz  zx) Lời giải Cách Đặt Q  ( x  y )( y  z )( x  z )( xy  yz  zx ) ta có Q   P + xy  yz  zx  ta có Q  NHĨM TỐN VD – VDC Suy f  t  hàm số đồng biến Do f    m  f    16 + xy  yz  zx  đặt t  xy  yz  zx  (x  z)  x y y z Áp dụng BĐT Cơsi ta có ( x  y )( y  z )( x  z )   (1)  ( x  z)    Mà  x  y  z  xy  yz  zx   2( x  z )  2( x  y )2  2( y  z ) 2  2( x  z )2   ( x  y )  ( y  z )  3( x  z )2 hay   t   3( x  z )2  (2)  t  Xét hàm số f (t )  t (5  t )3  t  ta có f (t )  t (5  t ) (10  t), f (t )   t  t  f (0)  0, f (5)  0, f (0)  0, f (2)  108 Do Q  nên GTLN Q x  2, y  1, z  Suy P  4 nên GTNN P 4 x  2, y  1, z  Cách 2: Đặt t  xy  yz  zx  x  y  z  t  2 2 2 Giả thiết: 10  x  y  z   x  y    y  z    z  x   2t   x  y    y  z    z  x   10  2t 2 Mà  x  y    y  z    z  x  2  z  x   t 2   x  y  y  z   z  x   z  x  2 4  x  z    t  x  y  y  z   x  z 2   x  y  y  z   x  y  y  z        16     https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC 4  Từ (1) (2) suy Q  t  (5  t )   t (5  t )3 5  NHĨM TỐN VD – VDC Ta có: P   x  y   t  20  4t 2 t   y  z   z  x   xy  yz  zx    5  t  t  27   NHĨM TỐN VD – VDC Xét hàm số suy P  16  P  4 t    x; y; z    2;1;0  NHĨM TỐN VD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10 ...NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHÍNH THỨC Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y   x3  3x   m  1 x  3m  có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1 ... xác định: D   y   3x  x   m  1 NHÓM TOÁN VD – VDC Câu 1: (2,0 điểm) x  1 m y    x  1 m Hàm số có hai điểm cực trị  y   có hai nghiệm phân biệt  m  x  1 m +) TH1:... log 12 Tính log3 60 theo a b x2 2.2 Giải phương trình 1 x   x   Lời giải 2.1 Cho a  log b  log 12 Tính log3 60 theo a b log  a  log  b 1 log  a Ta có:    log 12