Phương pháp chiếu giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ MỴ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TÁCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ MỴ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TÁCH Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2019 Möc lưc B£ng ký hi»u danh sách vi¸t tt M Ưu Chng Bi toỏn im bĐt ởng tỏch v bi toỏn bĐt ng thực bián phõn khơng gian Hilbert 1.1 Bài tốn điºm b§t đëng tách không gian Hilbert 1.1.1 nh xÔ khụng gión v phộp chiáu mêtric 1.1.2 Bài tốn điºm b§t đëng 1.1.3 Bài tốn điºm b§t đëng tách 10 1.2 Bi toỏn bĐt ng thực bián phõn 11 1.2.1 Ánh xÔ n iằu 11 1.2.2 Bài toán bĐt ng thực bián phõn 13 1.2.3 Mối liờn hằ giỳa bi toỏn bĐt ng thực bián phân tốn điºm b§t đëng 14 Chương Phng phỏp chiáu giÊi bi toỏn bĐt ng thực bián phõn vợi rng buởc im bĐt ởng tỏch 17 2.1 Bài toán phương pháp 17 2.1.1 Bài toán 17 2.1.2 Phương pháp 19 2.2 Sü hëi tö 20 2.2.1 Đành lý hëi tö 20 2.2.2 Mët sè h» qu£ 30 2.2.3 Ví dư minh håa 33 Kát luên 36 Ti liằu tham kh£o 37 B£ng ký hi»u danh sách vi¸t tt H 2H PC Fix(T ) VIP SFP SFPP khơng gian Hilbert thüc tªp tªp cõa H phộp chiáu mờtric lờn têp C têp im bĐt ởng cừa ỏnh xÔ T bi toỏn bĐt ng thực bián phõn bi toỏn chĐp nhên tỏch bi toỏn im bĐt đëng tách Mð đ¦u Cho H mët khơng gian Hilbert thüc vỵi tích vơ hưỵng h., i chuân k.k, C l mởt têp lỗi, úng khỏc rộng cừa H, F l ỏnh xÔ i tứ mởt têp H chựa C vo H Bi toỏn bĐt ng thực bián phõn (Variational Inequality Problem) vợi ỏnh xÔ giá F tªp ràng buëc C , ký hi»u VIP(F ,C ), đưđc phát biºu sau: Tìm x∗ ∈ C cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ ∀x ∈ C (1) Bài toán bĐt ng thực bián phõn ủc giợi thiằu lƯn Ưu tiên vào năm 1966 Philip Hartman Guido Stampacchia cơng bè nhúng nghiên cùu đ¦u tiên cõa v· bĐt ng thực bián phõn liờn quan tợi viằc giÊi tốn bi¸n phân, tốn đi·u khiºn tèi ưu tốn lý thuy¸t phương trình Ôo hm riờng án nay, bi toỏn bĐt ng thực bián phõn ó phỏt trin thnh nhiãu dÔng khỏc nhau, nh bi toỏn bĐt ng thực bián phõn tỏch, bi toỏn bĐt ng thực bián phõn vộc-t, bi toỏn bĐt ng thực bián phõn ân Bi toỏn bĐt đ¯ng thùc bi¸n phân thu hút đưđc nhi·u sü quan tâm nghiên cùu cõa nhà tốn håc mơ hình cõa chùa nhi·u tốn quan trång cõa nhúng lĩnh vüc khác tốn ùng dưng lý thuy¸t tèi ưu, tốn bù, tốn điºm bĐt ởng, lý thuyát trũ chi, cõn bơng mÔng giao thơng Mët nhúng hưỵng nghiên cùu quan trồng cừa bi toỏn bĐt ng thực bián phõn l xây düng phương pháp gi£i Trong phương pháp gi£i bi toỏn bĐt ng thực bián phõn thỡ phng phỏp chi¸u đóng mët vai trò quan trång sü đơn gi£n thuªn lđi q trình tính tốn Mưc tiêu cõa đ· tài luªn văn đåc hiºu trỡnh by lÔi mởt phng phỏp chiáu giÊi mởt lợp bĐt ng thực bián phõn trờn têp rng buởc l têp nghiằm cừa bi toỏn im bĐt ởng tỏch báo [3] cơng bè năm 2017 Bài tốn đưđc trình bày cư thº sau: Cho C Q lƯn lủt l cỏc têp lỗi úng không gian Hilbert H1 H2 , F : C H1 l ỏnh xÔ n iằu mÔnh, A : H1 → H2 tốn tû tuy¸n tính bà ch°n, T : C → C , S : Q Q l cỏc ỏnh xÔ khụng gión Bi toỏn bĐt ng thực bián phõn vợi rng buởc im bĐt đëng tách VIP(F, Ω) tốn Tìm x∗ ∈ Ω cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ ∀x ∈ Ω, (2) Ω têp nghiằm cừa bi toỏn im bĐt ởng tỏch (Split Fixed Point Problem), ký hi»u SFPP: Tìm x∗ ∈ Fix(T ) cho Ax∗ ∈ Fix(S), (3) ð Fix(T ), Fix(S) lƯn lủt l têp im bĐt ởng cừa ỏnh xÔ T v ỏnh xÔ S Nởi dung cừa ã ti luên ủc viát hai chng Chương 1: Bài tốn điºm b§t đëng tách toỏn bĐt ng thực bián phõn khụng gian Hilbert Chng ny trỡnh by cỏc khỏi niằm vã ỏnh xÔ khụng gión, phộp chiáu mờtric, bi toỏn im bĐt ởng tỏch, bi toỏn bĐt ng thực bián phõn, mối liờn hằ giỳa bi toỏn bĐt ng thực bián phõn v tốn điºm b§t đëng khơng gian Hilbert thüc H Nëi dung cõa chương đưñc têng hñp tø tài li»u [1, 2, 5, 7, 8, 13] Chương Phng phỏp chiáu giÊi bĐt ng thực bián phõn vợi ràng bc điºm b§t đëng tách Chương trình bày mởt phng phỏp chiáu giÊi bi toỏn bĐt ng thực bián phõn vợi têp rng buởc l têp nghiằm cừa tốn điºm b§t đëng tách khơng gian Hilbert Nëi dung cõa chương đưđc vi¸t düa báo [3] cơng bè năm 2017 Luªn văn đưđc hồn thnh tÔi Trớng Ôi hồc khoa hồc Ôi hồc Thỏi Nguyờn, dợi sỹ hợng dăn cừa PGS.TS Nguyạn Th Thu Thõy Em xin bày tä lòng bi¸t ơn sâu sc tợi PGS.TS Nguyạn Th Thu Thừy, ngới ó tên tỡnh hợng dăn v giỳp ù em suốt quỏ trình nghiên cùu đº em có thº hồn thành luªn văn Em bày tä lòng bi¸t n chõn thnh tợi quý thƯy cụ giỏo Trớng Ôi hồc khoa hồc Ôi hồc Thỏi Nguyờn ó giÊng dÔy v giỳp ù em hon thnh khúa hồc Nhân dàp em xin chân thành c£m n Ban giỏm hiằu, ỗng nghiằp trớng THPT n Thi, gia ỡnh v bÔn bố ó luụn ởng viờn, giỳp ù v tÔo iãu kiằn cho em suốt quỏ trình håc tªp thüc hi»n luªn văn Thái Nguyờn, thỏng 10 nm 2019 Tỏc giÊ luên Nguyạn Thà M Chương Bài tốn điºm b§t đëng tỏch v bi toỏn bĐt ng thực bián phõn khơng gian Hilbert Chương trình bày mët sè ki¸n thực liờn quan án bi toỏn im bĐt ởng, bi tốn điºm b§t đëng tách tốn b§t đ¯ng thùc bi¸n phân khơng gian Hilbert thüc Mưc 1.1 giợi thiằu vã bi toỏn im bĐt ởng, bi toỏn điºm b§t đëng tách, trình bày mët sè tính ch§t cừa phộp chiáu mờtric v tớnh chĐt vã têp nghiằm cừa bi toỏn im bĐt ởng Mửc 1.2 giợi thiằu vã bi toỏn bĐt ng thực bián phõn n iằu trình bày mèi liên h» giúa tốn b§t ng thực bián phõn v bi toỏn im bĐt ởng khơng gian Hilbert thüc Ki¸n thùc cõa chương đưđc vi¸t sð tài li»u [1, 2, 4] 1.1 Bài tốn điºm b§t đëng tách khơng gian Hilbert Cho H mët khơng gian Hilbert thüc vỵi tớch vụ hợng h., i v chuân k.k, tng ựng Cho {xn } mët dãy không gian H Ta ký hi»u xn * x nghĩa dãy {xn } hëi tư y¸u đ¸n x xn → x ngha l dóy {xn } hởi tử mÔnh án x k x − T yk k k ≤ x −t k + t −T y = k k + T k k + z −y k k k + PC k k k + y − λk µF x −t ≤ k k x −t = x −t ≤ x −t z k −T y k y − λk µF y k k − PC y k k y = x −t k k −y k + λk µ F y k nên tø lim ktk − xk k = 0, lim λ = tính bà ch°n cõa dãy {F (y k )}, ta suy k→∞ k→∞ k lim k−→∞ xk+1 − xk = 0, lim k→∞ xk − T y k = Bưỵc 5: Chùng minh lim y k − T y k k→∞ = 0, lim k→∞ uk − Suk = (2.17) Kát hủp tớnh khụng gión cừa ỏnh xÔ T vỵi T (x∗ ) = x∗ , ta có x k+1 −x ∗ = αk xk − x∗ + (1 − k ∗ − + (1 − αk ) T z k −x k − T (x∗ ) + (1 − αk ) T z k + (1 − αk ) z − x∗ ≤ α k x − x∗ Tø b§t đ¯ng thùc (2.9) (2.3), ta suy ∗ k k = α k x − x∗ x k ≤ αk x − x z k − x∗ α ) T z k ∗ 2 (2.18) ≤ (1 − λk τ ) y k − x k ∗ ∗ + λk µ kF (x )k 2 k y − x∗ + λk µ kF (x∗ )k (1 − λk τ ) y − x∗ + λk µ kF (x∗ )k i h k ∗ k k2 k k 2 ≤ (1 − λk τ ) x − x − δ − δkAk Su − Ax − δ u − Ax = (1 − λk τ ) +λk µ kF (x∗ )k 2(1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ kF (x∗ )k i h 2 k − δkAk − δ (1 − λ τ ) xk − x∗ Suk − Axk + uk − Axk ≤ k +λk µ kF (x∗ )k (1 − λk τ ) y − x∗ + λk µ kF (x∗ )k (2.19) 27 Thay (2.19) vào (2.18), ta đưñc k x k+1 − x∗k ≤ kx2 − x∗ k h k k −δ (1 − α ) (1 − λ τ ) − δkAk k Su − Ax k k k + u − Ax 2 k + (1 − αk ) λk µ kF (x∗ )k (1 − λk τ ) y − x∗ + λk µ kF (x∗ )k i (2.20) Đ°t νk := δ (1 − αk ) (1 − λk τ ) k Ψk := (1 − αk ) λk µ kF (x∗ )k (1 − λk τ ) y − x∗ + λk µ kF (x∗ )k Tø (2.20), ta có − δkAk2 kSuk − Axk νk xk − x∗ ≤ ≤ − x k x − x∗ + x k+1 k+1 − x∗ + uk − Axk k − x∗ + Ψk x k+1 −x k + Ψk (2.21) Vì lim kxk+1 − xk k = 0, dãy {xk } {y k } bà ch°n, lim λk = k→∞ limk→∞ αk = α ∈ (0, 1) nên vá phÊi cừa (2.21) tián tợi k ∞ Chú ý r¬ng, δ ∈ 0, nên − > lim νk = δ(1 − α) > 0, ta kAk + k→∞ δkAk đưñc k→∞ lim Suk − Axk = 0, lim k→∞ k→∞ uk − Axk = (2.22) Sû döng tớnh chĐt khụng gión cừa phộp chiáu PC v {xk } ⊂ C , ta đưñc k y −x k = PC ≤ k k x + δA∗ Suk − Axk k k x + δA∗ Su − Ax = δA∗ Suk − Axk −x − PC x k k 28 k ≤ δ kA∗ k Su − Ax k k = δkAk Su − Ax k K¸t hđp vỵi (2.22), ta suy lim y k − xk = k→∞ (2.23) 28 Theo b§t đ¯ng thùc tam giác k y − T yk k k ≤ x −y k u − Su k k + x −T y k ≤ u − Ax k k k + Su − Ax k tø đó, theo (2.23), (2.15) (2.22), ta có lim ky k − T (y k )k = 0, lim kuk − Suk k = k→∞ k→∞ (2.24) Bưỵc 6: Chùng minh k k lim suphF (x∗ ), x∗ − y + λk µF (y )i ≤ k→∞ L§y dãy {y ki } cõa dãy {y k } cho lim suphF (x∗ ), x∗ − y k i = lim hF (x∗ ), x∗ − y k1 i i→∞ k→∞ Vì dãy {y ki } bà ch°n nên ta có thº gi£ sû y ki * y Do lim suphF (x∗ ), x∗ − y k i = lim hF (x∗ ), x∗ − y k1 i i→∞ k→∞ = hF (x ), x yi Vỡ têp C lỗi úng nên đóng y¸u Do tø {y ki } ⊂ C y ki * y, ta suy y ∈ C Ta chùng minh y ∈ Fix(T ) Gi£ sỷ trỏi lÔi y Fix(T ), tực l y = T (y) Vì y ki * y T ỏnh xÔ / khụng gión nờn tứ (2.17) v Bờ đ· 2.1.4, ta đưñc lim inf ky ki − yk < lim inf ky ki − T (y)k i→∞ i→∞ k k k ≤ lim inf ky i − T (y i )k + kT (y i ) − T (y)k i→∞ k = lim inf kT (y i ) − T (y)k i →∞ k ≤ lim inf ky i − yk i →∞ Đi·u vô lý Vªy y ∈ Fix(T ) Vì y ki * y lim ky k − xk k = 0, ta đưđc k→∞ xki * y Do Axki * Ay Kát hủp vợi (2.22), ta cú k u i * Ay (2.25) Vì {uki } ⊂ Q Q đóng y¸u nên tø (2.25) ta có Ay ∈ Q Ta chùng minh Ay ∈ Fix(S) Gi£ sû trái lÔi S(Ay) = Ay, ú tứ Bờ ã 2.1.4 (2.24), ta có lim inf kuki − Ayk < lim inf kuki − S(Ay)k i→∞ i→∞ k k k = lim inf ku i − Su i + Su i − S(Ay)k i →∞ k k k ≤ lim inf(ku i − Su i k + kSu i − S(Ay)k) i →∞ k = lim inf kSu i − S(Ay)k i →∞ k ≤ lim inf ku i − Ayk i →∞ Đi·u vơ lý Do Ay ∈ Fix(S) Tø y ∈ Fix(T ) Ay ∈ Fix(S), ta có y ∈ Ω Do đó, x∗ ∈ ΩF nên hF (x∗ ), y − x∗ i ≥ K¸t hđp hF (x∗ ), y − x∗ i ≥ 0, lim λk = tính bà ch°n cõa dãy {F (y k )}, ta k→∞ có k k lim suphF (x∗ ), x∗ − y + λk µF (y ) k→∞ k k = lim sup hF (x∗ ), x∗ − y i + λk µhF (x∗ ), F (y ) k→∞ k = lim suphF (x∗ ), x∗ − y i k→∞ ∗ = hF (x ), x∗ − yi ≤ Bưỵc 7: Chựng minh dóy {xk } hởi tử mÔnh án x Kát hủp tớnh chĐt khụng gión cừa phộp chiáu PC , b§t đ¯ng thùc kx − yk2 ≤ kxk − 2hy, x − yi ∀x, y ∈ H1 , Bê đ· 2.1.2 (2.8), ta đưñc k z k − x∗k = kPC (y k − λk µF (xk )) − PC (x∗ )k2 k k k k k k k k ≤ ky − λk µF (y ) − x∗ k k = ky − λk µF (y ) − [x∗ − λk µF (y )] − λk µF (y )k ≤ ky − λk µF (y ) − [x∗ − λk µF (y )]k k 2 k − λk µhF (x∗ ), y − λk µF (y ) − x∗ i k ∗ ≤ (1 − λk τ )2 ky − x k − 2λk µhF ), y k − λk µF (y k ) − x∗ i ∗ (x k k ∗ k ≤ (1 − λk τ )ky − x∗ k − 2λk µhF (x∗), y − λk àF (y ) x i Thá bĐt ng thực vào (2.18), ta có k k x k+1 − x∗k ≤ αk kxk ∗ ∗k − x k + (1 − αk )kz − x k ≤ αk kx − x∗ k2 + (1 − αk )(1 − λk τ )kx k − x∗k k k − 2λk µ(1 − αk )hF (x∗ ), y − λk µF (y ) − x∗ i k = [1 − λk (1 − αk )τ ]kx − x∗ k2 + λk (1 − αk )τ θk , θk = (2.26) 2µ hF (x∗ ), x∗ −k y + λk µF (xk )i τ Vì k k lim suphF (x∗ ), x∗ − y + λk µF (x )i ≤ 0, k→∞ nên lim sup θk ≤ k→∞ Do đó, ∞ X λk (1 − αk )τ = ∞ nên áp döng Bê đ· 2.1.1 vào (2.26), ta đưñc k=0 xk → x∗ Đành lý 2.2.1 đưñc chùng minh 2.2.2 Mët sè h» qu£ Trợc hát ta trỡnh by mởt ỏp dửng cho bi toỏn bĐt ng thực bián phõn tỏch 31 nh nghĩa 2.2.2 (xem [3]) Cho C Q l¦n lưđt l cỏc têp lỗi úng khỏc rộng cỏc khụng gian Hilbert thüc H1 H2 , F : C H1 l ỏnh xÔ -n iằu mÔnh v L-liên töc Lipschitz C , F1 : C → H1 l ỏnh xÔ -n iằu mÔnh ngủc trờn C v F2 : Q H2 l ỏnh xÔ -n iằu mÔnh ngủc trờn Q Bi toỏn bĐt đ¯ng thùc bi¸n phân tách tốn Tìm x∗ ∈ ΩF1 C cho Ax∗ ∈ ΩF2 Q , (2.27) ð ΩF1 C ΩF2 Q l¦n lưđt l têp nghiằm cừa cỏc bi toỏn bĐt ng thực bi¸n phân Tìm x ∗ ∈ C cho hF1 (x∗ ), x − x∗ i ≥ ∀x ∈ C (2.28) Tìm y ∗ ∈ Q cho hF2 (y ∗ ), y − y ∗ i ≥ ∀y ∈ Q (2.29) Nhªn xét 2.2.3 Xét ánh xÔ F1 : C H1 l -n iằu mÔnh ngủc trờn C v F2 : Q H2 l -n iằu mÔnh ngủc trờn Q Theo Bờ đ· 1.2.8, vỵi ≤ ξ1 ≤ 2η1 < 22 , thỡ cỏc ỏnh xÔ T : C → C, S : Q → Q cho bði T (x) = PC (x − ξ1 F1 (x)) ∀x ∈ C, S(y) = PQ (y − ξ2 F2 (y)) y Q l cỏc ỏnh xÔ khụng gión Fix(T ) = ΩF1 C , Fix(S) = ΩF2 Q Theo Đành lý 2.2.1, ta có h» qu£ sau H» qu£ 2.2.4 (xem [3]) Cho C Q lƯn lủt l cỏc têp lỗi úng khỏc rộng không gian Hilbert thüc H1 H2 , A : H1 → H2 tốn tû tuy¸n tính bà ch°n vỵi tốn tû liên hđp A∗ Gi£ sû F : C H1 l -n iằu mÔnh L-liên töc Lipschitz C, F1 : C → H1 l ỏnh xÔ -n iằu mÔnh ngủc trờn C v F2 : Q H2 l ỏnh xÔ -n iằu mÔnh ngủc trờn Q Vợi x0 C 32 b§t kỳ, xét dãy {xk }, {uk }, {v k }, {y k }, {z k } {tk } sau  uk = PQ (Axk ),   v k= P (uk Q − ξ2 F2 (uk )),    k y = PC (xk + δA∗ (v k − Axk )), z k = PC (y k − λk µF (y k )),   k t = PC (z k − ξ1 F1 (z k )),   k+1 x = αk xk + (1 − αk )tk ∀k ≥ 0, 2β δ ∈ 0, , < ≤ 2η ≤ 2η ∈ , < ξ , µ 0, , {λk } 1 2 ξ kAk + L2 {αk } hai dãy số khoÊng (0, 1) thọa ỗng thới cỏc đi·u ki»n (C2)–(C4) ð Đành lý 2.2.1 Khi dãy {xk } hởi tử mÔnh án nghiằm nhĐt cừa VIP(F, ) vợi iãu kiằn têp nghiằm = {x ∈ ΩF1 C : Ax∗ ∈ ΩF2 Q } cõa bi toỏn bĐt ng thực bián phõn tỏch (2.27)(2.29) khỏc réng Sau mët áp dưng cho tốn tỡm nghiằm cú chuân nhọ nhĐt Nhên xột 2.2.5 Ta xét trưíng hđp đ°c bi»t cõa H» qu£ 2.2.4 F (x) = x vợi mồi x C Dạ thĐy F l -n iằu mÔnh v L-liờn tửc Lipschitz C vỵi β = L = Khi ú bi toỏn bĐt ng thực bián phõn VIP(F, Ω) ð h» qu£ trð thành toán tỡm nghiằm cú chuân nhọ nhĐt cừa bi toỏn bĐt đ¯ng thùc bi¸n phân tách Tø H» qu£ 2.2.4 chån tham sè µ = 1, ta có h» qu£ sau H» qu£ 2.2.6 (xem [3]) Cho C Q lƯn lủt l cỏc têp lỗi úng khỏc rộng không gian Hilbert thüc H1 H2 , A : H1 → H2 tốn tû tuy¸n tính bà ch°n vỵi tốn tû liên hđp A∗ , F1 : C H1 l ỏnh xÔ -n iằu mÔnh ngủc trờn C v F2 : Q H2 l ỏnh xÔ -n iằu mÔnh ngủc trờn Q Gi£ sû tªp nghi»m Ω = {x∗ ∈ ΩF1 C ; Ax∗ ∈ ΩF2 Q } cõa tốn b§t ng thực bián phõn tỏch (2.27)(2.29) khỏc rộng Vợi x0 ∈ C b§t kỳ, xét dãy {xk }, {uk }, {v k }, {y k }, {z k } {tk } sau  uk = PQ (Axk ),   v k= P (uk Q − ξ2 F2 (uk )),   k y = PC (xk + δA∗ (v k − Axk )), z k = PC (y k − λk y k ),   k t = PC (z k − ξ1 F1 (z k )),   k+1 x = αk xk + (1 − αk )tk ∀k ≥ 0, 2β δ ∈ 0, , < ≤ 2η ≤ 2η ∈ , < ξ , µ 0, , {λk } 1 2 ξ kAk + L2 {αk } hai dãy sè khoÊng (0, 1) thọa ỗng thới cỏc iãu kiằn (C2)–(C4) ð Đành lý 2.2.1 Khi dãy {xk } hởi tử mÔnh án x , ú kx k = min{kxk : x ∈ Ω} H» qu£ 2.2.6 cho ta thuêt toỏn tỡm nghiằm cú chuân nhọ nhĐt cừa bi toỏn bĐt ng thực bián phõn tỏch, ú cỏc ỏnh xÔ F1 , F2 n iằu mÔnh ngưđc 2.2.3 Ví dư minh håa Trong mưc ta trình bày mët ví dư minh håa cho Đành lý 2.2.1 Xột H1 = R3 vợi chuân kxk = (x2 +1 x2 +2 x2 )32 vỵi x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 H2 = R2 vợi chuân kyk = (y 1+ y 22) vỵi y = (y1 , y2 )T ∈ R2 Xét A : R3 → R2 cho bði A(x) = (x1 + x3 , x2 + x3 ) T vỵi måi x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 Khi đó, A tốn tû tuy¸n tính bà ch°n tø R3 √ vào R vợi chuân kAk = Xột B : R2 R3 cho bði B(y) = (y1 , y2 , y1 + y2 ) T vỵi måi y = (y1 , y2 )T ∈ R2 Khi đó, B tốn tû tuy¸n tính bà ch°n tø R2 vào √ R3 vợi chuân kBk = Vợi mồi x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 y = (y1 , y2 )T ∈ R2 , ta có hA(x), yi = hx, B(y)i Do B = A∗ tốn tû liên hđp cõa A Xét T C = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R : x1 + x2 − x3 ≥ 1} ánh xÔ T : C C xỏc nh bi T (x) = PK1 (x) vỵi måi x ∈ C tªp K1 đưđc cho bði K1 = {(x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 : x1 + x2 − x3 = 1} Vì tốn tû chi¸u ánh xÔ khụng gión nờn T l ỏnh xÔ khụng gión Têp im bĐt ởng cừa T cho bi T Fix(T ) = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R : x1 + x2 − x3 = 1} Đ°t T Q = {(y1 , y2 ) ∈ R : y1 y2 4} v xột ỏnh xÔ S : Q → Q cho bði S(y) = PK2 (y) vợi mồi y Q ú têp K2 đưñc cho bði K2 = {(y1 , y2 )T ∈ R2 : y1 − y2 = 4} Do S l ỏnh xÔ khụng gión v têp im bĐt ởng cõa S cho bði T Fix(S) = {(y1 , y2 ) ∈ R : y1 − y2 = 4} Têp nghiằm cừa bi toỏn im bĐt ởng tỏch (SFPP) Ω2 = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ Fix(T ) : A(x) = A(x1 , x2 , x3 ) ∈ Fix(S)} = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R : x1 + x2 − x3 = 1, x1 − x2 = 4} T = {(t + 4, t, 2t + 3) : t ∈ R} T −5 −1 , , Nghiằm cú chuân nhọ nhĐt cừa bi toỏn im bĐt đëng tách x∗ = 3 Chån điºm xu§t phát x0 = (4, 3, −6)T ∈ C b§t kỳ, δ = 0, 2, λk = , k+2 { k} { k} k+1 αk = Ta th§y λ α hai dãy sè kho£ng (0, 1) thọa 2(k + 3) ỗng thới cỏc đi·u ki»n lim λk = 0, k→∞ ∞ X k=0 λk (1 − αk ) = ∞ lim αk = k→∞ ∈ (0, 1) Sû döng tiêu chu©n døng kxk+1 − xk k < ε = 10−6 ta có k¸t qu£ tính tốn ð B£ng 2.1 B£ng 2.1: Ví dư sè minh håa cho Đành lý 2.2.1 Sè bưỵc l°p k xk1 x2k 3xk 4.00000 3.00000 −6.00000 0.93056 0.09722 −1.97222 0.60625 −0.33542 −1.22917 0.63155 −0.46645 −0.98490 0.71990 −0.54125 −0.87135 ··· ··· ··· ··· 7390 2.32615 −1.67115 −0.34500 7391 2.32615 −1.67115 −0.34500 7392 2.32615 −1.67115 −0.34500 7393 2.32615 −1.67115 −0.34500 7394 2.32615 1.67115 0.34500 Nghiằm xĐp x sau 7394 bợc lp x7394 = (2.32615, −1.67115, −0.34500)T −5 −1 T ∗ mởt xĐp x tốt cho nghiằm cú chuân nhọ nhĐt x = , , 3 Kát luên Đ· tài luªn văn trình bày phương pháp l°p giÊi bi toỏn bĐt ng thực bián phõn vợi têp rng buởc l têp nghiằm cừa bi toỏn im bĐt đëng tách Cư thº: (1) Trình bày mèi quan h» giỳa bi toỏn bĐt ng thực bián phõn, bi toỏn im bĐt ởng; giợi thiằu bi toỏn im bĐt ởng tỏch, bi toỏn bĐt ng thực bián phõn tỏch (2) Trình bày phương pháp l°p gi£i tốn b§t đ¯ng thực bián phõn vợi rng buởc im bĐt ởng tỏch trờn c s phng phỏp chiáu giÊi bi toỏn bĐt ng thực bián phõn v k thuêt lp KrasnoselskiiMann tỡm im bĐt ởng cừa ỏnh xÔ khụng gión (3) Trỡnh bày h» qu£ phương pháp gi£i tốn b§t ng thực bián phõn vợi têp rng buởc l têp nghiằm cừa bi toỏn bĐt ng thực bián phõn tỏch, bi toỏn tỡm nghiằm cú chuân nhọ nhĐt cừa bi toỏn bĐt ng thực bián phõn tỏch Ti liằu tham kh£o Ti¸ng Vi»t [1] Hồng Tưy (2003), Hàm thüc v GiÊi tớch hm, NXB Ôi hồc Quốc gia H Nëi Ti¸ng Anh [2] Agarwal R.P., O’Regan D., Sahu D.R (2009), Fixed point theory for lipschitzian-type mappings with applications, Springer [3] T.V Anh, L.D Muu (2016), "A projection-fixed point method for a class of bilevel variational inequalities with split fixed point constraints", Optimization, 65(6), 1229-1243 [4] Byrne C (2002), "Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem", Inverse Problems, 18(2), 441–453 [5] Byrne C., Censor Y., Gibali A., Reich S (2012), "The split common null point problem", J Nonlinear Convex Anal., 13(4), 759–775 [6] Censor Y., Elfving T (1994), "A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space", Numer Algorithms, 8(2-4), 221–239 [7] Ceng L.C., Ansari Q.H., Yao J.C (2012), "Relaxed extragradient methods for finding minimum-norm solutions of the split feasibility problem", Nonlinear Anal., 75(4), 2116–2125 [8] Censor Y., Gibali A., Reich S (2012), "Algorithms for the split variational inequality problem", Numer Algorithms, 59(2), 301–323 [9] Moudafi A (2010), "The split common fixed-point problem for demicontractive mappings", Inverse Problems, 26(5), ID: 055007 [10] Moudafi A (2011), "Split monotone variational inclusions", J Optim Theory Appl., 150(2), 275–283 [11] Suzuki T (2005), "Strong convergence of Krasnoselskii and Mann’s type sequence for one–parameter nonexpansive semigroup without Bochner in- tegrals", J Math Anal Appl., 305(1), 227–239 [12] Xu H.K (2002), "Iterative algorithms for nonlinear operators", J London Math Soc 66(1), 240–256 [13] Xu H.K (2010), "Iterative methods for the split feasibility problem in infinitedimensional Hilbert spaces", Inverse Problems, 26(10), ID: 105018 [14] Yamada I (2001), "The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings", In: Butnariu, D., Censor, Y., Reich, S (eds.) Inherently Par- allel Algorithms for Feasibility and Optimization and Their Applications, Elsevier, Amsterdam, pp 473-504 ... - NGUYỄN THỊ MỴ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TÁCH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG... thực bián phõn vợi rng buởc im bĐt ởng tách 17 2.1 Bài toán phương pháp 17 2.1.1 Bài toán 17 2.1.2 Phương pháp 19 2.2 Sü... hởi tử mÔnh cừa phương pháp nêu Mưc 2.1, trình bày mët sè áp dưng vùng mët ví dư sè minh håa Nëi dung cõa chương đưđc vi¸t sð báo [3] 2.1 2.1.1 Bài toán phương pháp Bài toán Cho C v Q lƯn lủt