Hàm số lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biệt: Đó là các cung : 1... Công thức lượng giác: 1... Biến đổi thành tổng biểu thức: A=cos5x.cos3x 2... PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCCác
Trang 1KIÕn thøc lỵng gi¸c A- KIÕn thøc cÇn nhí
§êng trßn lỵng gi¸c:
- 3
-1
- 3 /3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
x x'
u u'
1
1 -1
-1 -π/2
π
5 π /6
3 π /4
2 π /3
- π /6
- π /4
- π /3
-1/2
- 2 /2
- 3 /2
-1/2
- 2 /2
- 3 /2 1/2 2 /2 3 /2
3 /2
2 /2 1/2
A
π /3
π /4
π /6
3 /3
3
O
B¶ng gi¸ trÞ lỵng gi¸c:
Góc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600
0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
4
3π
6
sinα 0
2
1
2
2 2
2
3
2
2
2
cosα 1
2
3 2
2
2
2
1
−
2
2
−
2
3
3
3
3
cotg
3 3
Trang 2V Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
1 Cung đối nhau : và -α α (tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
π
π − ,…)
2 Cung bù nhau : và -α π α ( tổng bằng π) (Vd:
6
5
&
6
π π
,…)
3 Cung phụ nhau : và 2α π −α ( tổng bằng 2π ) (Vd: & 3
6
π π
,…)
4 Cung hơn kém 2π : và 2α π +α (Vd:
3
2
&
6
π π
,…)
5 Cung hơn kém π : và α π α+ (Vd:
6
7
&
6
π π
,…)
1 Cung đối nhau: 2 Cung bù nhau :
cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
− =
− = −
− = −
− = −
cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot
− = −
− = −
− = −
3 Cung phụ nhau : 4 Cung hơn kém 2π
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
− =
− =
cos( ) sin 2
sin( ) cos 2
( ) 2
2
+ = −
+ = − + = −
5 Cung hơn kém π :
cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
+ = −
+ = −
+ =
4
11 cos(− π
, tg 214π
Đối cos Bù sin
Phụ chéo Hơn kém 2
π
sin bằng cos cos bằng trừ sin
Hơn kém π tang , cotang
Trang 3Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: ) cos( 2 ) cos( 3 )
2
A= π + + π − + π +
VI Công thức lượng giác:
1 Các hệ thức cơ bản:
sin
tg =
cos cos cotg =
sin
α α
α α α
α
2
2
2
2
1
1 tg =
cos 1
1 cotg =
sin
tg cotg = 1
α
α α
α
+ +
Ví dụ: Chứng minh rằng:
1 cos 4x+ sin 4x= 1 − sin 2xcos 2x
2 cos 6x+ sin 6x= 1 − 3 sin 2xcos 2x
2 Công thức cộng :
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos
tg +tg tg( + ) =
tg tg tg( ) =
tg tg
tg tg
α β
α β
α β
α β
α β
α β
−
−
−
+
Ví dụ: Chứng minh rằng:
π
π
1.cos sin 2 cos( )
4 2.cos sin 2 cos( )
4
3 Công thức nhân đôi:
α α
α α
α
= −
=
=
−
2 2
2
cos2 cos sin
2 cos 1
1 2sin cos sin sin 2 2sin cos
2
2 1
tg tg
tg
4 Công thức nhân ba:
3
3
cos3 4cos 3cos sin 3 3sin 4sin
2
2 cos 1
2
2 cos 1
α α
2
1 cos
4
cos 3 3 cos cos 3α = α+ α
4
3 sin sin 3 sin 3α = α− α
Trang 45 Công thức hạ bậc:
α
α α
α α
α α
2 cos 1
2 cos 1
; 2
2 cos 1 sin
; 2
2 cos 1
+
−
=
−
=
+
6.Công thức tính sin ,cos ,tg α α α theo
2
2 22 2
1
2
; 1
1 cos
; 1
2 sin
t
t tg
t
t t
t
+
= +
−
= +
7 Công thức biến đổi tích thành tổng :
1
2 1
2 1
2
Ví dụ:
1 Biến đổi thành tổng biểu thức: A=cos5x.cos3x
2 Tính giá trị của biểu thức: sin712
12
5 cos π π
=
B
8 Công thức biến đổi tổng thành tích :
sin sin 2sin cos
sin sin 2 cos sin
sin( ) cos cos sin( ) cos cos
tg tg
tg tg
α β α β
α β α β
α β α β
α β α β
α β
α β
α β
α β
α β
α β
− = −
+ + =
−
− =
Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: A= sinx+ sin 2x + sin 3x
9 Các công thức thường dùng khác:
− = + = − − cos sin 5 3cos8 4
4
4 cos 3 sin cos
6 6
4 4
α α
α
α α
α
+
= +
+
= +
Trang 5
B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Các bước giải một phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
I Định lý cơ bản: ( Quan trọng )
u = v+k2 sinu=sinv
u = -v+k2
u = v+k2 cosu=cosv
u = -v+k2 tgu=tgv u = v+k (u;v )
2 cotgu=cotgv u = v+k (u;v k )
k
π
π π
π
⇔
⇔
( u; v là các biểu thức chứa ẩn và k∈Z )
Ví dụ : Giải phương trình:
1 sin3x=sin(π4−2 )x
2 ) cos34
4 cos(x−π = π
3 cos3x =sin2x 4 sin4 cos4 1(3 cos6 )
4
II Các phương trình lượng giác cơ bản:
1 Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m ( ∀m∈R)
* Gpt : sinx = m (1)
• Nếu m >1 thì pt(1) vô nghiệm
• Nếu m ≤1 thì ta đặt m = sinα và ta có (1) sinx=sin x = +k2x = ( - )+k2α π
α
π α π
* Gpt : cosx = m (2)
Trang 6• Nếu m >1 thì pt(2) vô nghiệm
• Nếu m ≤1 thì ta đặt m = cosβ và ta có (2) cosx=cos x = +k2x = β+k2π
β
β π
* Gpt: tgx = m (3) ( pt luôn có nghiệm ∀m∈R)
• Đặt m = tgγ thì
(3) ⇔ tgx = tg γ ⇔ x = +kγ π
* Gpt: cotgx = m (4) ( pt luôn có nghiệm ∀m∈R)
• Đặt m = cotgδ thì
(4) ⇔ cotgx = cotg δ ⇔ x = +kδ π
Các trường hợp đặc biệt:
sin 1 x = 2
2 sinx = 0 x = k sin 1 x = 2
2 cos 1 x = 2 cosx = 0 x = + k
2 cos 1 x = 2
π
π π
π π π
⇔
⇔
Ví dụ:
1) Giải các phương trình :
a) sin 2 = 1
2
x b) cos( ) 2
x−π = − c) ) 3 0
6 2 sin(
2 x−π + = d) ) 3 0
3 cos(
2 x+π − =
e) sin2x+cos2x=1 f) cos 4 x+ sin 4 x= cos 2x
2) Giải các phương trình:
a) 1 cos+ 4x−sin4x=2 cos2x c) 4 (sin 4 x+ cos 4x) + sin 4x− 2 = 0 b) sin6x+cos6x=cos4x d) sin cos3x x−cos sin3x x= 14
2 1 ( sin cotgx+ x +tgx tg x =
2 Dạng 2:
Trang 7
2 2 2 2
0
atg x btgx c
+ + =
( a≠0)
Cách giải:
Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx)
Ta được phương trình : at2+ + =bt c 0 (1) Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)
Ví dụ :
a) 2 cos2x+5sinx− =4 0 b) cos2 4 cos 5 0
2
x− x+ = c) 2sin2x= +4 5cosx d) 2 cos cos2x x= +1 cos2x+cos3x
e) sin4x+cos4 x=sin 2x−12 f) 2 ) 0
2 cos(
) cos (sin
2 4 x+ 4x − π − x =
g) sin4 cos4 1 2sin
+ = − h) sin 4 x+ cos 4 x+ sinx cosx= 0
k) 0
sin 2 2
cos sin ) sin (cos
=
−
− +
x
x x x
x
2 sin 2 1
3 sin 3 cos (sin
+
+
x
x x
3 Dạng 3:
cosa x b+ sinx c= (1) ( a;b 0)≠
Cách giải:
• Chia hai vế của phương trình cho a2+b2 thì pt
(1) 2a 2 cosx 2b 2 sinx 2c 2
• Đặt 2 2 cos và 2b 2 sin
a
a
2 2
c (2) cosx.cos + sinx.sin =
a c
cos(x- ) = (3)
a
b b
α
⇔
+
⇔
+
Pt (3) có dạng 1 Giải pt (3) tìm x
Chú ý :
Pt acosx + bsinx = c có nghiệm ⇔ a2+b2 ≥c2
Ví dụ : Giải các phương trình :
Trang 8a) cosx+ 3 sinx= −1 b) cosx+ 3 sinx= 2 c) 4(sin4 x+cos )4 x + 3 sin 4x=2 d) tgx x
cos
1
3 =
−
1 sin cos
2
2 sin cos
−
−
−
x x
x x
d Dạng 4:
asin2x b+ sin cosx x c+ cos2x=0 (a;c 0)≠ (1)
Cách giải 1:
Aùp dụng công thức hạ bậc : sin2 1 cos2 và cos2 1 cos2
và công thức nhân đôi : sin cos 1sin 2
2
x x= x thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3
Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )
Chia hai vế của pt (1) cho cos x ta được pt:2
atg x btgx c2 + + =0
Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải
Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem x k
2
π
= + π có phải là nghiệm của (1) không?
Ví dụ : Giải phương trình:
3 sin 2 x+ ( 1 − 3 ) sinx cosx− cos 2 x+ 1 − 3 = 0
d Dạng 5:
(cosa x+sin )x +bsin cosx x c+ =0 (1)
Cách giải :
• Đặt cos sin 2 cos( ) với - 2 2
4
Do (cos sin )2 1 2sin cos sinx.cosx=t2 1
2
• Thay vào (1) ta được phương trình :
2 1 0
2
t
at b+ − + =c (2)
• Giải (2) tìm t Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt: 2 cos( )
4
x−π =t tìm x.
Ví dụ : Giải phương trình :
sin 2x−2 2(sinx+cos ) 5 0x − =
Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng : (cosa x−sin )x +bsin cosx x c+ =0
Ví dụ : Giải phương trình : sin 2x+4(cosx−sin ) 4x =
Trang 94 Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :
a Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác cơ
bản đã biết
2
3 2 sin cos
sin 4x+ 4x+ x− =
b Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số
Cơ sở của phương pháp là dựa vào các định lý sau đây:
A B. =0 ⇔ A=0B=0 hoặc
A=0 0 B=0
C=0
A B C
= ⇔
Ví dụ : Giải các phương trình :
a sin2 x+sin 22 x+sin 32 x=2 b sin 32 x−cos 42 x=sin 52 x−cos 62 x
c 2sin3x+cos2x−cosx=0 d ) 3 0
4 sin(
2 cos 2 2 2 sin x+ x+ x+π + =
c Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ
Một số dấu hiệu nhận biết :
* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa)
Ví dụ : Giải các phương trình :
a cos3x+cos2x−cosx−1=0
b 4 cos 3x− cos 2x− 4 cosx+ 1 = 0
c 2 cos2 8cos 7 1
cos
x
d sin 4 x+ cos 2 2x= 2
* Phương trình có chứa (cosx±sin ) và sinx.cosxx
Ví dụ : Giải phương trình : a 1 sin+ 3 +cos3 =3sin 2x
2
x x
b sin 3x+ cos 3x= 2 (sinx+ cosx) − 1