Hình học và lượng giác Trang 1/5 Lê Thu - 0977.640.640 Mét sè c«ng thøc lỵng gi¸c vµ tÝnh chÊt h×nh häc I. HƯ thøc lỵng trong tam gi¸c vu«ng: a) BA 2 = BH.BC (c 2 = c’.a) b) CA 2 = CH.CB (b 2 = b’.a) c) AH.BC = AB.AC ( a.h = b.c) d) HA 2 = HB.HC (h 2 = b’.c’) e) 222 111 ACABAH += ( 222 111 cbh += ) II. HƯ thøc lỵng trong tam gi¸c. a = BC; b = AC; c = AB; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp; r là bán kính đường tròn nội tiếp; p = (a+b+c)/2: nửa chu vi. 1) Đònh lý hàm sin: R C c B b A a 2 sinsinsin === 2) Đònh lý hàm cos: a 2 = b 2 + c 2 -2bc.cosA ⇒ cosA = bc acb 2 222 −+ b 2 = a 2 + c 2 -2ac.cosB ⇒ cosB = ac bca 2 222 −+ c 2 = a 2 + b 2 -2ab.cosC ⇒ cosC = ab cba 2 222 −+ 3) Công thức tính độ dài đường trung tuyến (AM = m a ) 4) Các công thức tính diện tích tam giác. a) S = 2 1 a.h a = 2 1 b.h b = 2 1 c.h c b) S = 2 1 ab.sinC = 2 1 ac.sinB = 2 1 bc.sinA. c) S = R abc 4 d) S = p.r e) S = ))()(( cpbpapp −−− ( công thức Hê–rông) 5) Một số tính chất trong tam giác: a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến AM, BN, CP là trọng tâm G. AG = 3 2 AM; BG = 3 2 BN; CG = 3 2 CP Đường trung tuyến của tam giác là đường thẳng nối từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện của đỉnh đó. b) Giao điểm của 3 đường cao là trực tâm H. c) Giao điểm 3 đường trung trực IM, IN, IP là tâm đường tròn ngoại tiếp (IA = IB = IC = R). Đường trung trực của 1 đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đường thẳng đó. d) Giao điểm của 3 đường phân giác trong AD, BE, CF của 1 tam giác là tâm đường tròn nội tiếp K. Gọi AT là đường phân giác ngoài của góc A. A B C H b c c’ b’ a h A B C M b c a m a 42 222 2 acb m a − + = 42 222 2 bca m b − + = 42 222 2 cba m c − + = S ABC = 2 . 2 . hacb = A B C M N P G A B C M N P I A B D E F K T DC DB AC AB = ⇒ DC DB AC AB −= TC TB AC AB = ⇒ TC TB AC AB = Trong tam giác vuông: sin = huyen doi ; cos = huyen ke tan = ke doi ; cot = doi ke Thần chú: sin đi học, cos khóc hoài, thôi đừng khóc, có kẹo đây. Hình học và lượng giác Trang 2/5 Lê Thu - 0977.640.640 BẢNG XÉT DẤU CÁC GÓC PHẦN TƯ ( I ) ( II ) ( III ) ( IV ) sinα + + − − cosα + − − + tanα + − + − cotα + − + − CÔNG THỨC LƯNG GIÁC 1) Cos đối (−α và α): cos(−α) = cosα sin(−α) = −sinα tan(−α) = −tanα cot(−α) = −cotα 2) Sin bù (π−α và α): sin(π−α) = sinα cos(π−α) = −cosα tan(π−α) = −tanα cot(π−α) = −cotα 3) Phụ chéo ( − 2 π α và α): sin( − 2 π α) = cosα cos( − 2 π α) = sinα tan( − 2 π α) = cotα cot( − 2 π α) = tanα 4) Hơn kém π (π+α và α): sin(π+α) = −sinα cos(π+α) = −cosα tan(π+α) = tanα cot(π+α) = cotα 5) Hơn kém 2 π ( + 2 π α và α): sin( + 2 π α) = cosα cos( + 2 π α) = −sinα tan( + 2 π α) = −cotα cot( + 2 π α) = −tanα 6) Hàm tuần hoàn: sin(α + k2π) = sinα cos sin tan cot 30 0 (I) (II) (III) (IV) 0 0 (0) 360 0 (2π) 1 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 210 0 45 0 225 0 240 0 270 0 300 0 315 0 330 0 2 3 2 1 2 1 2 3 1 2 1 − 2 2 − 2 3 − -1 2 3 − 2 2 − 2 1 − O -1 Hình học và lượng giác Trang 3/5 Lê Thu - 0977.640.640 cos(α + k2π) = cosα tan(α + kπ) = tanα cot(α + kπ) = cotα 7) Sáu công thức cơ bản: a) sin 2 α + cos 2 α = 1 b) tanα = α α cos sin c) cotα = α α sin cos d) tanα.cotα = 1 e) α 2 cos 1 = 1 + tan 2 α f) α 2 sin 1 = 1 + cot 2 α 8) Công thức cộng: sin(a+b) = sina.cosb + cosa.sinb sin(a−b) = sina.cosb − cosa.sinb cos(a+b) = cosa.cosb − sina.sinb cos(a−b) = cosa.cosb + sina.sinb tan(a+b) = ba ba tan.tan1 tantan − + tan(a−b) = ba ba tan.tan1 tantan + − Cách nhớ: sin thì sin cos, cos sin Cos thì cos cos, sin sin dấu trừ. 9) Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina.cosa cos2a = cos 2 a − sin 2 a = 2cos 2 a − 1 =1− 2sin 2 a =(cosa-sina) (cosa+sina) tan2a = a a 2 tan1 tan2 − 10) Công thức hạ bậc: sin 2 a = 2 2cos1 a− cos 2 a = 2 2cos1 a+ tan 2 a = a a 2cos1 2cos1 + − 11) Công thức nhân ba: sin3a = 3sina − 4sin 3 a cos3a = 4cos 3 a − 3cosa tan3a = a aa 2 3 tan31 tantan3 − − 12) Công thức theo t =tan 2 a : sina = 2 1 2 t t + cosa = 2 2 1 1 t t + − tana = 2 1 2 t t − 13) Công thức tích thành tổng: cosa.cosb= 2 1 [cos(a−b)+cos(a+b)] sina.sinb= 2 1 [cos(a−b)−cos(a+b)] sinacosb= 2 1 [sin(a−b)+sin(a+b)] 14) Công thức tổng thành tích: cosa+cosb = 2cos 2 ba + cos 2 ba − cosa−cosb= −2sin 2 ba + sin 2 ba − sina+sinb = 2sin 2 ba + cos 2 ba − sina−sinb = 2cos 2 ba + sin 2 ba − tana+tanb = ba ba cos.cos )sin( + tana−tanb = ba ba cos.cos )sin( − Cách nhớ: cos cộng cos bằng hai lần cos cos/ cos trừ cos trừ hai sin sin/sin cộng sin bằng hai sin cos/sin trừ sin bằng hai cos sin// tan mình cộng với tan ta, bằng sin hai đứa chia cos ta cos mình/ tan mình trừ với tan ta, bằng sin hiệu hai đứa chia cos ta cos mình. 15) Một số công thức khác: sina + cosa = 2 sin(a+ 4 π ) = 2 cos(a− 4 π ) sina − cosa = 2 sin(a− 4 π ) = − 2 cos(a+ 4 π ) sin 4 a+cos 4 a = 1 − 2sin 2 acos 2 a sin 6 a+cos 6 a = 1 − 3sin 2 acos 2 a 1 + sin2a = (sina + cosa) 2 1 − sin2a = (sina − cosa) 2 |asinx + bcosx| ≤ 22 ba + PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC 1)Phương trình sinx=a(-1≤a≤1): • sinx = 0 ⇔ x = kπ • sinx = 1 ⇔ x = 2 π + k2π • sinx = −1 ⇔ x = − 2 π + k2π • a = ± 2 1 ; ± 2 2 ; ± 2 3 và a = sint sinx = sint ⇔ +−= += ππ π 2 2 ktx ktx • a ≠ 0; ± 2 1 ; ± 2 2 ; ± 2 3 ; ±1 sinx= a⇔ +−= += ππ π 2arcsin 2arcsin kax kax • Phương trình theo độ: π180 0 Cách làm toán: • sinu = −sinv ⇔ sinu = sin(−v) • sinu = cosv ⇔ sinu = sin( 2 π −v) • sinu= −cosv⇔ sinu = −sin( 2 π −v) ⇔ sinu = sin(v− 2 π ) 2)Phương trình cosx=a(- 1≤a≤1): • cosx = 0 ⇔ x = 2 π + kπ • cosx = 1 ⇔ x = k2π • cosx = −1 ⇔ x = π + k2π • a = ± 2 1 ; ± 2 2 ; ± 2 3 và a = cost cosx = cost ⇔ +−= += π π 2 2 ktx ktx • a ≠ 0; ± 2 1 ; ± 2 2 ; ± 2 3 ; ±1 cosx= a⇔ +−= += π π 2arccos 2arccos kax kax • Phương trình theo độ: π180 0 Cách làm toán: • cosu = −cosv ⇔ cosu = cos(π−v) Hình học và lượng giác Trang 4/5 Lê Thu - 0977.640.640 • cosu = sinv ⇔ cosu = cos( 2 π −v) • cosu= −sinv⇔cosu = sin(−v) ⇔ cosu = cos( 2 π +v) 3)Phương trình tanx= a(a tùy ỳ): • a= 0; ± 3 1 ; ±1; ± 3 và a = tant tanx = tant ⇔ x = t + kπ • a ≠ 0; ± 3 1 ; ±1; ± 3 tanx= a⇔ x = arctana + kπ • Phương trình theo độ: π180 0 Cách làm toán: • tanu = −tanv ⇔ tanu = tan(−v) • tanu = cotv ⇔ tanu = tan( 2 π −v) • tanu= −cotv⇔ tanu = tan( 2 π +v) 4)Phương trình cotx= a(a tùy ỳ): • a= 0; ± 3 1 ; ±1; ± 3 và a = cott cotx = cott ⇔ x = t + kπ • a ≠ 0; ± 3 1 ; ±1; ± 3 cotx = a ⇔ x = arccota + kπ • Phương trình theo độ: π180 0 Cách làm toán: • cotu = −cotv ⇔ cotu = cot(−v) • cotu = tanv ⇔ cotu = cot( 2 π −v) • cotu= −tanv ⇔ cotu = cot( 2 π +v) CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÁC 1) Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác có dạng: asin 2 x + bsinx + c = 0 (1) acos 2 x + bcosx + c = 0 (2) atan 2 x + btanx + c = 0 (3) acot 2 x + bcotx + c = 0 (4) Đối với phương trình (1) và (2): đặt t = sinx (hoặc cosx), điều kiện: −1 ≤ t ≤ 1. Đối với phương trình (3) và (4): đặt t = tanx (hoặc cotx), t ∈R Sau đó đưa về PT bậc 2 theo t, giải được t, thay t vào và giải x. Lưu ý: có thể giải được các phương trình có bậc cao hơn(3, 4 ) theo cách này. 2) Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx: PT có dạng: asinx ± bcosx = c Điều kiện để PT có nghiệm: a 2 + b 2 ≥ c 2 Chia 2 vế cho 22 ba + , ta được: 22 ba a + sinx ± 22 ba b + cosx= 22 ba c + Đặt cosα = 22 ba a + ;sinα = 22 ba b + , ta được: sinxcosα ± cosxsinα = 22 ba c + ⇔ sin(x ± α) = 22 ba c + Đây là phương trình cơ bản nên giải được. 3) Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: PT có dạng: a.sin 2 x+ b.sinxcosx+ c.cos 2 x= d. • Xét cosx = 0 ⇔ sin 2 x = 1 thay vào phương trình trên, nếu thỏa ta nhận nghiệm: x = 2 π + kπ. • Xét cosx ≠ 0, chia 2 vế cho cos 2 x, ta được: atan 2 x + btanx + c = x d 2 cos ⇔ atan 2 x + btanx + c = d(1 + tan 2 x) ⇔ (a − d)tan 2 x + btanx + c − d = 0 Đây là phương trình bậc hai theo tanx, giải được. 4) Phương trình đối xứng của sinx và cosx: PT có dạng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 Đặt t = sinx + cosx = 2 sin(x + 4 π ) Điều kiện: − 2 ≤ t ≤ 2 Khi đó: t 2 = (sinx + cosx) 2 = sin 2 x+2sinxcosx+cos 2 x = 1 + 2sinxcosx ⇒ sinxcosx = 2 1 2 −t Phương trình đã cho thành: bt 2 + 2at + 2c − b = 0 Giải pt bậc hai theo t và nhận các nghiệm t o thỏa điều kiện, ta có pt: 2 sin(x+ 4 π ) = t o (giải được). Chú ý: Nếu pt có dạng: a(sinx−cosx) + bsinxcosx + c = 0 Đặt t = sinx − cosx = 2 sin(x− 4 π ) Điều kiện: − 2 ≤ t ≤ 2 Khi đó: t 2 = (sinx − cosx) 2 = sin 2 x−2sinxcosx+cos 2 x Hình học và lượng giác Trang 5/5 Lê Thu - 0977.640.640 = 1 − 2sinxcosx ⇒ sinxcosx = 2 1 2 t− Thay vào phương trình và giải tương tự như trên. . phương trình (3) và (4): đặt t = tanx (hoặc cotx), t ∈R Sau đó đưa về PT bậc 2 theo t, giải được t, thay t vào và giải x. Lưu ý: có thể giải được các phương trình có bậc cao hơn(3, 4 ) theo cách. với sinx và cosx: PT có dạng: a.sin 2 x+ b.sinxcosx+ c.cos 2 x= d. • Xét cosx = 0 ⇔ sin 2 x = 1 thay vào phương trình trên, nếu thỏa ta nhận nghiệm: x = 2 π + kπ. • Xét cosx ≠ 0, chia 2 vế cho. sin 2 x−2sinxcosx+cos 2 x Hình học và lượng giác Trang 5/5 Lê Thu - 0977.640.640 = 1 − 2sinxcosx ⇒ sinxcosx = 2 1 2 t− Thay vào phương trình và giải tương tự như trên.