Hình học và lượng giác Trang 1/5 Lê Thu - 0977.640.640 MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC I. a) BA 2 = BH.BC (c 2 = c’.a) b) CA 2 = CH.CB (b 2 = b’.a) c) AH.BC = AB.AC ( a.h = b.c) d) HA 2 = HB.HC (h 2 = b’.c’) e) 222 111 ACABAH += ( 222 111 cbh += ) II. a = BC; b = AC; c = AB; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp; r là bán kính đường tròn nội tiếp; p = (a+b+c)/2: nửa chu vi. 1) Đònh lý hàm sin: R C c B b A a 2 sinsinsin === 2) Đònh lý hàm cos: a 2 = b 2 + c 2 -2bc.cosA ⇒ cosA = bc acb 2 222 −+ b 2 = a 2 + c 2 -2ac.cosB ⇒ cosB = ac bca 2 222 −+ c 2 = a 2 + b 2 -2ab.cosC ⇒ cosC = ab cba 2 222 −+ 3) Công thức tính độ dài đường trung tuyến (AM = m a ) 4) Các công thức tính diện tích tam giác. a) S = 2 1 a.h a = 2 1 b.h b = 2 1 c.h c b) S = 2 1 ab.sinC = 2 1 ac.sinB = 2 1 bc.sinA. c) S = R abc 4 d) S = p.r e) S = ))()(( cpbpapp −−− ( công thức Hê–rông) 5) Một số tính chất trong tam giác: a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến AM, BN, CP là trọng tâm G. AG = 3 2 AM; BG = 3 2 BN; CG = 3 2 CP Đường trung tuyến của tam giác là đường thẳng nối từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện của đỉnh đó. b) Giao điểm của 3 đường cao là trực tâm H. c) Giao điểm 3 đường trung trực IM, IN, IP là tâm đường tròn ngoại tiếp (IA = IB = IC = R). Đường trung trực của 1 đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đường thẳng đó. d) Giao điểm của 3 đường phân giác trong AD, BE, CF của 1 tam giác là tâm đường tròn nội tiếp K. Gọi AT là đường phân giác ngoài của góc A. A B C H b c c’ b’ a h A B C M b c a m a 42 222 2 acb m a − + = 42 222 2 bca m b − + = 42 222 2 cba m c − + = S ABC = 2 . 2 . hacb = A B C M N P G A B C M N P I A B D E F K T DC DB AC AB = ⇒ DC DB AC AB −= TC TB AC AB = ⇒ TC TB AC AB = Trong tam giác vuông: sin = huyen doi ; cos = huyen ke tan = ke doi ; cot = doi ke Thần chú: sin đi học, cos khóc hoài, thôi đừng khóc, có kẹo đây. Hỡnh hoùc vaứ lửụùng giaực Trang 2/5 Leõ Thu - 0977.640.640 !"#$% %& %'(!) ( I ) ( II ) ( III ) ( IV ) sin + + cos + + tan + + cot + + %&*!) %+),-. % 1/%01234/ cos() = cos sin() = sin tan() = tan cot() = cot 5/6743 4/ sin() = sin cos() = cos tan() = tan cot() = cot 8/'3 2 4/ sin( 2 ) = cos cos( 2 ) = sin tan( 2 ) = cot cot( 2 ) = tan 9/:3+4/ sin(+) = sin cos(+) = cos tan(+) = tan cot(+) = cot ;/: 2 3 + 2 4/ sin( + 2 ) = cos cos( + 2 ) = sin tan( + 2 ) = cot cot( + 2 ) = tan </4=4 sin( + k2) = sin 0 0 8> > 3./ 3 / 3 / 3.?/ > > 3>/ 8<> > 35/ @ 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 210 0 A9; > 225 0 240 0 270 0 300 0 315 0 330 0 2 3 2 1 2 1 2 3 @ 2 1 2 2 2 3 B@ 2 3 2 2 2 1 & B@ Hình học và lượng giác Trang 3/5 Lê Thu - 0977.640.640 cos(α + k2π) = cosα tan(α + kπ) = tanα cot(α + kπ) = cotα C/67D a) sin 2 α + cos 2 α = 1 b) tanαE α α cos sin c) cotα = α α sin cos d) tanα.cotα = 1 e) α 2 cos 1 = 1 + tan 2 α f) α 2 sin 1 = 1 + cot 2 α F/% sin(a+b) = sina.cosb + cosa.sinb sin(a−b) = sina.cosb − cosa.sinb cos(a+b) = cosa.cosb − sina.sinb cos(a−b) = cosa.cosb + sina.sinb tan(a+b) = ba ba tan.tan1 tantan − + tan(a−b) = ba ba tan.tan1 tantan + − % sin thì sin cos, cos sin Cos thì cos cos, sin sin dấu trừ. G/%1 sin2a = 2sina.cosa cos2a = cos 2 a − sin 2 a = 2cos 2 a − 1 =1− 2sin 2 a =(cosa-sina) (cosa+sina) tan2a = a a 2 tan1 tan2 − @>/%7 sin 2 a = 2 2cos1 a− cos 2 a = 2 2cos1 a+ tan 2 a = a a 2cos1 2cos1 + − @@/%7 sin3a = 3sina − 4sin 3 a cos3a = 4cos 3 a − 3cosa tan3a = a aa 2 3 tan31 tantan3 − − @5/%E 2 a sina = 2 1 2 t t + cosa = 2 2 1 1 t t + − tana = 2 1 2 t t − @8/%H4I cosa.cosb= 2 1 [cos(a−b)+cos(a+b)] sina.sinb= 2 1 [cos(a−b)−cos(a+b)] sinacosb= 2 1 [sin(a−b)+sin(a+b)] @9/%I4H cosa+cosb = 2cos 2 ba + cos 2 ba − cosa−cosb= −2sin 2 ba + sin 2 ba − sina+sinb = 2sin 2 ba + cos 2 ba − sina−sinb = 2cos 2 ba + sin 2 ba − tana+tanb = ba ba cos.cos )sin( + tana−tanb = ba ba cos.cos )sin( − % cos cộng cos bằng hai lần cos cos/ cos trừ cos trừ hai sin sin/sin cộng sin bằng hai sin cos/sin trừ sin bằng hai cos sin// tan mình cộng với tan ta, bằng sin hai đứa chia cos ta cos mình/ tan mình trừ với tan ta, bằng sin hiệu hai đứa chia cos ta cos mình. @;/J02: sina + cosa = 2 sin(a+ 4 π ) = 2 cos(a− 4 π ) sina − cosa = 2 sin(a− 4 π ) = − 2 cos(a+ 4 π ) sin 4 a+cos 4 a = 1 − 2sin 2 acos 2 a sin 6 a+cos 6 a = 1 − 3sin 2 acos 2 a 1 + sin2a = (sina + cosa) 2 1 − sin2a = (sina − cosa) 2 |asinx + bcosx| ≤ 22 ba + PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC @/'K0LE3B@≤a≤1): • sinx = 0 ⇔ x = kπ • sinx = 1 ⇔ x = 2 π + k2π • sinx = −1 ⇔ x = − 2 π + k2π • a = ± 2 1 ; ± 2 2 ; ± 2 3 và a = sint 0LE0 ⇔ +−= += ππ π 2 2 ktx ktx • a ≠ 0; ± 2 1 ; ± 2 2 ; ± 2 3 ; ±1 0LE⇔ +−= += ππ π 2arcsin 2arcsin kax kax • Phương trình theo độ: π180 0 %4 • sinu = −sinv ⇔ sinu = sin(−v) • sinu = cosv ⇔ sinu = sin( 2 π −v) • sinu= −cosv⇔ sinu = −sin( 2 π −v) ⇔ sinu = sin(v− 2 π ) 5/' K 0LE3B @≤a≤1): • cosx = 0 ⇔ x = 2 π + kπ • cosx = 1 ⇔ x = k2π • cosx = −1 ⇔ x = π + k2π • a = ± 2 1 ; ± 2 2 ; ± 2 3 và a = cost cosLE0 ⇔ +−= += π π 2 2 ktx ktx • a ≠ 0; ± 2 1 ; ± 2 2 ; ± 2 3 ; ±1 0LE⇔ +−= += π π 2arccos 2arccos kax kax • Phương trình theo độ: π180 0 %4 • cosu = −cosv ⇔ cosu = cos(π−v) Hình học và lượng giác Trang 4/5 Lê Thu - 0977.640.640 • cosu = sinv ⇔ cosu = cos( 2 π −v) • cosu= −sinv⇔cosu = sin(−v) ⇔ cosu = cos( 2 π +v) 8/' KLE34M M4): • a= 0; ± 3 1 ; ±1; ± 3 và a = tant taLE ⇔ x = t + kπ • a ≠ 0; ± 3 1 ; ±1; ± 3 LE⇔ x = arctana + kπ • Phương trình theo độ: π180 0 %4 • tanu = −tanv ⇔ tanu = tan(−v) • tanu = cotv ⇔ tanu = tan( 2 π −v) • tanu= −cotv⇔ tanu = tan( 2 π +v) 9/'K LE3 4M M4): • a= 0; ± 3 1 ; ±1; ± 3 và a = cott LE ⇔ x = t + kπ • a ≠ 0; ± 3 1 ; ±1; ± 3 LE⇔ x = arccota + kπ • Phương trình theo độ: π180 0 %4 • cotu = −cotv ⇔ cotu = cot(−v) • cotu = tanv ⇔ cotu = cot( 2 π −v) • cotu= −tanv ⇔ cotu = cot( 2 π +v) CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÁC @/ 'K 7 402 N 0 5 LO70LOE>3@/ 0 5 LO70LOE>35/ 5 LO7LOE>38/ 5 LO7LOE>39/ Đối với phương trình (1) và (2): đặt t = sinx (hoặc cosx), điều kiện: −1 ≤ t ≤ 1. Đối với phương trình (3) và (4): đặt t = tanx (hoặc cotx), t ∈R Sau đó đưa về PT bậc 2 theo t, giải được t, thay t vào và giải x. Lưu ý: có thể giải được các phương trình có bậc cao hơn(3, 4 ) theo cách này. 5/'K720L40L '!N 0L±70LE Điều kiện để PT có nghiệm: 5 O7 5 ≥ 5 Chia 2 vế cho 22 ba + , ta được: 22 ba a + sinx ± 22 ba b + cosx= 22 ba c + Đặt cosα = 22 ba a + ;sinα = 22 ba b + , ta được: sinxcosα ± cosxsinα = 22 ba c + ⇔ sin(x ± α) = 22 ba c + Đây là phương trình cơ bản nên giải được. 8/' K= 27 12 0L 40L '!N0 5 LO70L0LO0 5 LEN • Xét cosx = 0 ⇔ sin 2 x = 1 thay vào phương trình trên, nếu thỏa ta nhận nghiệm: x = 2 π + kπ. • Xét cosx ≠ 0, chia 2 vế cho cos 2 x, ta được: atan 2 x + btanx + c = x d 2 cos ⇔ atan 2 x + btanx + c = d(1 + tan 2 x) ⇔ (a − d)tan 2 x + btanx + c − d = 0 Đây là phương trình bậc hai theo tanx, giải được. 9/'K12LD0L40L '!N30LO0L/O70L0LOE> Đặt t = sinx + cosx = 2 sin(x + 4 π ) Điều kiện: − 2 ≤ t ≤ 2 Khi đó: t 2 = (sinx + cosx) 2 = sin 2 x+2sinxcosx+cos 2 x = 1 + 2sinxcosx ⇒ sinxcosx = 2 1 2 −t Phương trình đã cho thành: bt 2 + 2at + 2c − b = 0 Giải pt bậc hai theo t và nhận các nghiệm t o thỏa điều kiện, ta có pt: 2 sin(x+ 4 π ) = t o (giải được). %M Nếu pt có dạng: 30L−0L/O70L0LOE> Đặt t = sinx − cosx = 2 sin(x− 4 π ) Điều kiện: − 2 ≤ t ≤ 2 Khi đó: t 2 = (sinx − cosx) 2 = sin 2 x−2sinxcosx+cos 2 x Hình học và lượng giác Trang 5/5 Lê Thu - 0977.640.640 = 1 − 2sinxcosx ⇒ sinxcosx = 2 1 2 t− Thay vào phương trình và giải tương tự như trên. . ke doi ; cot = doi ke Thần chú: sin đi học, cos khóc hoài, thôi đừng khóc, có kẹo đây. Hỡnh hoùc va lửụùng giaực Trang 2/5 Leõ Thu - 0977.640.640 !"#$% %& %'(!) ( I ) ( II ) ( III. trình (3) và (4): đặt t = tanx (hoặc cotx), t ∈R Sau đó đưa về PT bậc 2 theo t, giải được t, thay t vào và giải x. Lưu ý: có thể giải được các phương trình có bậc cao hơn(3, 4 ) theo cách. 0L 40L '!N0 5 LO70L0LO0 5 LEN • Xét cosx = 0 ⇔ sin 2 x = 1 thay vào phương trình trên, nếu thỏa ta nhận nghiệm: x = 2 π + kπ. • Xét cosx ≠ 0, chia 2 vế cho