Chuyên đề quỹ tích hình học 9

Chuyên đề quỹ tích bồi dưỡng học sinh giỏi, chuyên đề quỹ tích bồi dưỡng học sinh giỏi, chuyên đề quỹ tích bồi dưỡng học sinh giỏi, chuyên đề quỹ tích bồi dưỡng học sinh giỏi, chuyên đề quỹ tích bồi dưỡng học sinh giỏi, chuyên đề quỹ tích bồi dưỡng học sinh giỏi,

QUỸ TÍCH PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TỐN QUỸ TÍCH I) Định nghĩa: Một hình H gọi tập hợp điểm ( Quỹ tích) điểm M thỏa mãn tính chất A chứa chứa điểm có tính chất A II) Phương pháp giải tốn: Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất A ta thường làm theo bước sau: Bước 1: Tìm cách giải: + Xác định yếu tố cố định, không đổi, tính chất hình học có liên quan đến toán + Xác định điều kiện điểm M + Dự đốn tập hợp điểm Bước 2: Trình bày lời giải: A Phần thuận:Chứng minh điểm M thuộc hình H B Giới hạn: Căn vào vị trí đặc biệt điểm M để chứng minh điểm M thuộc phần B hình H ( Nếu có) C Phần đảo: Lấy điểm M thuộc B Ta chứng minh điểm M thoả mãn tính chất A D Kết luận: Tập hợp điểm M hình B (Nêu rõ hình dạng cách dựng hình B ) III) MỘT SỐ DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS I) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC Tập hợp điểm M cách hai điểm A, B cho trước đường trung trực đoạn thẳng AB Ví dụ 1: Cho góc xOy cố định điểm A cố định nằm tia Ox B điểm chuyển động tia Oy , Tìm tập hợp trung điểm M AB a) Phần thuận: + Xét tam giác vuông OAB ta có : OM = MA = MB nên tam giác OAM cân M Mặt khác OA cố định suy M nằm đường trung trực đoạn thẳng OA b) Giới hạn: + Khi B trùng với O M ≡ M trung điểm OA + Khi B chạy xa vô tận tia OB M chạy xa vơ tận tia M z c) Phần đảo · · Lấy M thuộc tia M z , AM cắt Oy B Suy MO = MA ⇒ MAO Mặt = MOA · · · · khác OBM (cùng phụ với góc MAO ) ⇒ MO = MB Suy MO = MA = MB = BOM = MOA Hay M trung điểm AB d) Kết luận: Tập hợp trung điểm M AB đường trung trực đoạn OA II) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ TIA PHÂN GIÁC Tập hợp điểm M nằm góc xOy khác góc bẹt cách hai cạnh góc xOy tia phân giác góc xOy Ví dụ 1) Cho góc xOy tia Ox lấy điểm A cố định B điểm chuyển động tia Oy Tìm tập hợp điểm C cho tam giác ABC vuông cân C Giải: a) Phần thuận: Dựng CH , CK vng góc với Ox, Oy ∆vCAH = ∆vCBK ⇒ CH = CK Mặt khác góc xOy cố định suy C ∈ tia phân giác Oz góc xOy b) Giới hạn, Phần đảo: Dành cho học sinh c) Kết luận:Tập hợp điểm C tia phân giác Oz góc xOy III) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG THẲNG , ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Ta thường gặp dạng tập hợp sau: Tập hợp điểm M nằm đường thẳng qua điểm cố định A, B đường thẳng AB Tập hợp điểm M nằm đường thẳng qua điểm cố định A tạo với đường thẳng (d ) góc khơng đổi Tập hợp điểm M cách đường thẳng (d ) cho trước đoạn không đổi h đường thẳng song song với (d ) cách đường thẳng (d ) khoảng h Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho trước Hướng dẫn: Phần thuận: Gọi D giao điểm AM BC Vẽ BH , CK vng góc với AM , H , K ∈ AM Ta có: S MAB BH S ABD DB = = = =a S MAC CK S ACD DC Suy BD a +1 a +1 = ⇔ DB = BC ⇒ D điểm cố định CD a a +1 Vậy điểm M nằm đường thẳng (d ) cố định qua A, D Phần lại dành cho học sinh Ví dụ 2: Cho tam giác ABC điểm K chuyển động cạnh AC , P điểm chuyển động trung tuyến BD tam giác ABC cho S APK = S BPC Gọi M giao điểm AP, BK Tìm tập hợp điểm M Hướng dẫn: Bài toán liên quan đến diện tích nên ta S MAB = a > cho S MAC dựng đường cao MF ⊥ AC , BE ⊥ AC , AH ⊥ BD, CI ⊥ BD Ta dễ chứng minh được: S ABK MK MF S ABD AH AD = = , = = =1 S AMK BK BE S BDC CI DC Mặt khác ta có: S APB AH = = Từ giả thiết ta suy S APK = S APB Nhưng S BPC CI S APK MK = = ⇒ BM = BK S APB BM Vậy tập hợp điểm M đường trung bình song song với cạnh AC tam giác ABC trừ hai trung điểm M , M tam giác ABC điểm I Ví dụ 3: Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB,CD vng góc với Một điểm M chuyển động đoạn thẳng AB ( M không trùng với O,A ,B) Đường thẳng CM cắt (O) giao điểm thứ N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N (O) điểm P Chứng minh điểm P chạy đoạn thẳng cố định: Hướng dẫn: Điểm M ,N nhìn đoạn OP góc vng nên tứ giác MNPO nội · · · tiếp suy MNO Từ = MPO = MDO suy MODP hình chữ nhật Do MP = OD = R Vậy điểm P nằm đường thẳng song song với AB cách AB khoảng không đổi R Giới hạn: P thuộc đoạn thẳng nằm hai tiếp tuyến A ,B (O) Ví dụ 4: Cho đường tròn đường kính BC đường tròn lấy điểm A ( Khác B,C ) Kẻ AH vuông góc với BC(H ∈ BC) Trên cung AC lấy điểm D (khác A ,C) Đường thẳng BD cắt AH điểm I Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AID ln nằm đường thẳng cố định D thay đổi cung AC Hướng dẫn: · · · Ta có: BDC = 900 , BAH = ACB · · µ Mặt khác ADB phụ với góc B = ACB (cùng chắn cung AB ) Suy · · suy AB tiếp tuyến BAI = ADI đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI Mặt khác AC cố định AC ⊥ AB nên tâm K đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI ln thuộc đường thẳng AC IV TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG TRÒN, CUNG CHỨA GĨC Nếu A, B cố định Thì tập hợp điểm M cho ·AMB = 900 đường tròn đường kính AB ( Khơng lấy điểm A, B ) Nếu điểm O cố định tập hợp điểm M cách O khoảng khơng đổi R đường tròn tâm O bán kính R Tập hợp điểm M tạo thành với đầu mút đoạn thẳng AB cho trước ( ) · góc MAB = α khơng đổi < α < 180 hai cung tròn đối xứng qua AB Gọi tắt ‘’cung chứa góc ‘’ Ví dụ Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) D điểm cạnh BC Kẻ DM / /AB ( M ∈ AC ) DN / /AC ( N ∈ AB) Gọi D' điểm đối xứng D qua MN Tìm quỹ tích điểm D' điểm D di động cạnh BC Hướng dẫn giải: Phần thuận: Từ giả thiết đề ta thấy NB = ND = ND' , ba điểm B,D,D' nằm 1· 1· · = BND = BAC đường tròn tâm N Từ BD'D (1) Tương tự ta có ba điểm D',D,C 2 1· 1· · = DMC = BAC nằm đường tròn tâm M Nên DD'C (2) Từ (1) (2) suy 2 ·BD'C = BAC · · (khơng đổi) Vì BC cố định, D' nhìn BC góc BAC khơng đổi, D' khác phía với D (tức phía với A so với MN ) nên D' nằm cung chứa góc · vẽ đoạn BC (một phần đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ) BAC Phần đảo: Bạn đọc tự giải Kết luận: Quỹ tích điểm D' cung chứa góc BAC đoạn BC Đó ¼ cung BAC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ví dụ Cho đường tròn ( O ) dây cung BC cố định Gọi A điểm di động cung lớn BC đường tròn ( O ) ( A khác B , A khác C ) Tia phân giác · cắt đường tròn ( O ) điểm D khác điểm C Lấy điểm I thuộc đoạn CD ACB cho DI = DB Đường thẳng BI cắt đường tròn ( O ) điểm K khác điểm B a) Chứng minh tam giác KAC cân b) Chứng minh đường thẳng AI qua điểm J cố định c) Trên tia đối tia AB lấy điểm M cho AM = AC Tìm quỹ tích điểm M A di động cung lớn BC đường tròn ( O ) Hướng dẫn giải: ( ) ( ) 1 · ¼ + sđAK ¼ ;sđDIB · » + sđKC » = sđDA = sđBD a) Ta có DBK 2 » + sđDA ¼ ∆DBI cân D nên sđKC » + sđAK ¼ Suy AK = CK hay ∆KAC cân Vì sđBD K (đpcm) b) Từ kết câu a, ta thấy I tâm đường tròn nội tiếp ∆A BC nên đường thẳng AI » không chứa A ) Rõ ràng J điểm qua điểm J (điểm cung BC cố định 1· · · = BAC c) Phần thuận: Do ∆AMC cân A , nên BMC Giả sử số đo BAC 2α (khơng BC M đổi) A di động cung lớn thuộc cung chứa góc α dựng đoạn BC phía điểm O Phần đảo: Tiếp tuyến Bx với đường tròn ( O ) cắt cung chứa góc α vẽ đoạn BC » (một phần cung chứa góc α vẽ điểm X Lấy điểm M Cx đoạn BC ( M #X;M #C ) Nếu MB cắt đường tròn ( O ) A rõ ràng A thuộc cung lớn BC đường tròn ( O ) · · Vì BAC = 2α;AMC =α suy ∆AMC cân A hay AC = AM » , phần cung chứa góc α vẽ Kết luận: Quỹ tích điểm M cung Cx đoạn BC phía O trừ hai điểm C X Ví dụ Cho đường tròn ( O;R ) dây BC cố định A điểm di động đoạn thẳng BC D tâm đường tròn qua A, B tiếp xúc với ( O;R ) B ; E tâm đường tròn qua A,C tiếp xúc với ( O;R ) C Tìm tập hợp giao điểm M khác A hai đường tròn ( D ) ( E ) Hướng dẫn: a) Phần thuận: (O ) ( D ) tiếp xúc B Þ O, B, D thẳng hàng; ( O ) ( E ) tiếp xỳc ti C ị O, E ,C ả =A DB = DA , B thẳng hàng B ) ¶ = C¶ (OB = OC ) , A¶ = C¶ ( EA = EC ) Suy 1( ả =A ả ,A = Cả , B ả =A ả ị BO / / AE , A = Cả ị DA / / OE B 1 1 Do ADOE hình bình hành Gọi K tâm hình bình hành ADOE Þ K trung điểm AO DE ( D ) cắt ( E ) A , M Þ DE trung trực AM Gọi I giao điểm DE AM IK đường trung bình D AMO Þ IK / / MO Þ DOME hình thang Mà DM = OE (cùng bán kính ( D ) ) Vậy D, M ,O, E bốn đỉnh hình thang cân Do D, M ,O, E thuộc ỉ 1· 1ã ã ã ã ã ữ ỗMBC = ADE = ADM , MCB = AED = AEM ÷ đường tròn D MBC : D ADE ỗ , suy ữ ữ ỗ 2 ố ứ ã ã ã ã (không đổi) BC cố định M thuộc cung chứa góc BOC BMC = DAE = DOE b) Giới hạn: Khi A º B M º B , Khi A º C M º C Vậy M chuyển động cung chứa · BOC · c) Phần đảo: Lấy điểm M cung chứa góc BOC Dựng đường tròn ( D ) qua M tiếp xúc ( O ) B , đường tròn ( D ) cắt BC A Dựng đường tròn ( E ) qua M , A,C Cần chứng minh ( E ) tiếp xúc ( O ) C Thật vậy, từ B,C dựng hai tiếp tuyến Bx,Cy ( O ) ta có · · » ), (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn AB BMA = ABx · · · · (vì NB = NC ) Suy BMA ABx = ACy = ACy , suy Bx,Cy, MA đồng quy N Do · · AMC , suy CN tiếp tuyến ( E ) qua N , A,C Vậy ( E ) ( O ) tiếp = ACy xúc C d) Kết luận: Tập hợp điểm M cung chứa góc · dựng đoạn BC BOC Ví dụ Cho ba điểm A, B,C cố định thẳng hàng theo thứ tự Vẽ đường thẳng ( d) vng góc với AC C , D điểm di động đường thẳng ( d) Từ B vẽ đường thẳng vng góc AD H ( H Ỵ AD ) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD M , N Tìm tập hợp điểm M , N Hướng dẫn: · a) Phần thuận: ACD = 900 Þ AD đường kính đường tròn ( ACD ) ỉ¼ · · ¼ ¼ = AN ¼ , AM = AN Xét D AMB v D ACM cú ả chung, AMB ữ ỗ = ACM AN = AM ữ ị AM M ỗ ố ø AM AB = Þ AM = AB AC Þ AM = AB AC (không AC AM đổi) Vậy AM = AN = AB AC khơng đổi Do M , N thuộc đường tròn cố định Do D AMB : D ACM , suy ( A; ) AB AC b) Giới hạn: Điểm D chuyển động đường thẳng ( d) nên M , N chuyển động ( ) đường tròn A; AB AC ( ) c) Phần đảo: Lấy điểm M thuộc đường tròn A; AB AC Vẽ ( AH ^ MB ( H Ỵ MB ) cắt ( d) D; MH cắt A; AB AC ) N Ta có µ chung, · · AM = AN = AB AC D AHB : D ACD ( A AHB = ACD = 900 ) Þ AH AB = Þ AH AD = AB AC Do AM = AN = AH AD Xét D AMH D ADM AC AD µ chung, AM = AH AM = AH AD Do D AMH : D ADM · · có A Mà Þ AHM = AMD AD AM · · AHM = 900 nên AMD = 900 Þ M thuộc đường tròn ngoại tiếp D ACD ( ) Tương tự N thuộc đường tròn ngoại tiếp D ACD ( ) d) Kết luận: Tập hợp điểm M đường tròn A; AB AC Ví dụ Cho đường tròn (O;R ) hai đường kính AB CD vng góc M ¼ H hình chiếu M AB Gọi I tâm đường điểm di động CAD tròn nội tiếp tam giác HMO Tìm tập hợp điểm I Hướng dẫn: a) Phần thuận: D HMO có µ · · H = 900 Þ HMO + HOM = 900 1· · · Do IMO + IOM = HOM = 450 ( ) · · · 0 D IMO có OIM = 180 - IMO + IOM = 135 Xét D IMO D IAO có OI (chung); OM = OA ( = R ) ;I·OM = I·OA ( I tâm đường tròn nội tiếp D HMO ) Do · · · D I MO = D IAO (c.g.c) Þ IOM = OIA OIA = 1350 , OA cố định Do I thuộc cung chứa góc 1350 dựng đoạn thẳng OA b) Giới hạn: M ® A I ® A Khi M ® C I ® O Khi M ® D I ® O Vậy M chuyển động hai cung chứa góc 1350 dựng đoạn thẳng OA c) Phần đảo: Lấy điểm I cung chứa góc 1350 dựng đoạn · A = 1350 Vẽ tia OM , M Ỵ ( O ) cho OI tia phân giác · OA Þ OI AOM · · Xét D I MO D IAO có OM = OA = R, IOM = IOA , OI (cạnh chung) Do · M = OIA · D I MO = D IAO (c.g.c), suy OI = 1350 · · · M = 450 Þ HOM · · D IMO có IMO + IOM = 1800 - OI + 2.IOM = 900 · · · · · , suy MI phân giác HMO Do I HOM + HMO = 900 Do HMO = 2IMO tâm đường tròn nội tiếp D HMO d) Kết luận: Tập hợp tâm I đường tròn nội tiếp tam giác HMO cung chứa góc 1350 vẽ đoạn thẳng OA (trừ hai điểm A O ) Ví dụ Cho đường tròn ( O ) điểm A cố định đường tròn Trên tiếp tuyến A lấy điểm B cố định Gọi đường tròn ( O ') đường tròn tiếp xúc với AB B có bán kính thay đổi Tìm tập hợp trung điểm I dây chung CD ( O ) (O ') Hướng dẫn: a) Phần thuận: CD cắt AB M · Xét D MAD D MCA có AMD Vậy I thuộc đường thẳng cố định d song song với đường thẳng a cách a khoảng R b) Giới hạn: CD quay quanh O nên E chuyển động đường thẳng a I chuyển động đường thẳng d,d / / a,d cách a khoảng R d nằm nửa mặt phẳng bờ a không chứa điểm A ( ) c) Phần đảo: Lấy điểm I tùy ý đường thẳng ( d) Vẽ IE ^ ( a) E Ỵ ( a) Vẽ DC ^ OI O AC , AD cắt a M , N AO ^ ( a) , EI ^ ( a) Þ AO / / EI mà AO = EI ( = R ) AOIE hình bình hành Þ AE / / OI Mà OI / / DC nên AE ^ DC Tương tự trên, ta chứng minh tứ giác DCMN nội tiếp Suy D EAM cân E Þ EA = EM Suy D EAN cân E Þ EA = EN Do EM = EN Vậy I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN d) Kết luận: Tập hợp điểm I đường thẳng d , song song với a , d cách a khoảng R , d nằm nửa mặt phẳng bờ a không chứa điểm A Câu Cho nửa đường tròn đường kính AB tâm O bán kính R C trung điểm cung AB M điểm chuyển động cung BC , AM cắt CO N Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN Tìm tập hợp điểm I Hướng dẫn: ¼ · a) Phần thuận: CMN = sđ AC = 450 ; 1· · · nhọn suy CMN = CIN Þ CMN · CIN = 900 D ICN cân ( IC = IN = r ) · · có CIN = 900 Þ D ICN vng cân I Þ NCI = 450 · Mà NCB = 450 ( D OBC cân O ) suy C , I , B thẳng hàng Do I thuộc đường thẳng BC b) Giới hạn: Khi M º B I º I ( I trung điểm BC Khi M º C I º C Vậy I chuyển động đoạn I 1C thuộc đoạn thẳng BC c) Phần đảo: Lấy điểm I thuộc đoạn thẳng I 1C Vẽ đường tròn ( I ;I C ) cắt OC N , AN cắt ( I ) M ( M ¹ N ) · · · Ta có IC = IN Þ D ICN cân mà NCI = 450 Þ CNI = 450 Þ CIN = 900 Do 1· · · · CMN = CIN = 450 ; CMN = CBA = 450 Þ tứ giác ACMB nội tiếp Þ M thuộc ( ) nửa đường tròn ( O ) d) Kết luận: Tập hợp điểm I đoạn thẳng CI ( I trung điểm đoạn thẳng BC ) · Câu 10 Cho góc nhọn xOy A điểm cố định tia Ox Đường tròn ( I ) di động tiếp xúc tia Ox A cắt tia Oy B C Tìm tập hợp tâm K đường tròn nội tiếp tam giác ABC Hướng dẫn: 1· · a) Phần thuận: BAK (tính chất tiếp tuyến) = BAC ổ ằ ã ã ỗ ữ OAB = OCA ỗ= s AB ữ ữ ữ ỗ ố ø · · · Do OAK = OAB + BAK = ( ) · 1· · OAB + OCA + BAC 2 1· 1· = OCA + OAC 2 ( ) 1· 1· 1· · · = 900 - AOC = 900 - xOy = OCA + OAB + BAC 2 2 1· · · Ta có OAK khơng đổi, OA cố định, K thuộc tia Az cho OAz = 900 - xOy · b) Giới hạn: K nằm xOy Do K thuộc đoạn thẳng AA ' ( A ' giao điểm tia Az tia Oy ) c) Phần đảo: Lấy điểm K tia Az Vẽ K H ^ Oy ( H Ỵ Oy) , vẽ đường tròn ( K ;K H ) Từ A vẽ tiếp tuyến với ( K ) cắt Oy B C Cần chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tiếp xúc với tia Ox 1· · Ta có BAK (tính chất tiếp tuyến); = BAC ( ) 1· 1· 1· 1· 1· · · · · OAK = OAz = 900 - xOy = 900 - AOC = OCA + OAC = OCA + OAB + BAC 2 2 2 ( ) · 1· 1· · · · · · · (1) Mà OAK (2) Từ OAK = OCA + OAB + BAC = OAB + BAK = OAB + BAC 2 · · (1) (2) suy OAB (*) = OCA Vẽ tia Am tia tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp D ABC (tia Ax nằm nửa ỉ » ÷ · · ç= sđ AB ÷ mặt phẳng bờ AB có chứa tia OA ) Ta cú: mAB = OCA ỗ (**) T (*) v (**) ữ ữ ỗ ố ứ · · có OAB suy hai tia AO Am trùng = mAB Vậy AO tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC d) Kết luận: Tập hợp điểm K đoạn thẳng AA ' ( A ' giao điểm hai tia Az 1· · Oy OAz = 900 - xOy · Câu 11 Cho xAy = a không đổi , điểm B cố định nằm · Đường tròn ( O ) di động qua A B cắt Ax, Ay xAy C D Chứng minh trọng tâm G tam giác ADC thuộc đường cố định Hướng dẫn: · · Ta có: xAB = CDB , · · · · BAy = BCDDAC + DBC = 1800 · · · góc xAB khơng đổi , BAy , DAC · · · Do góc CDB , BCD , DBC không đổi Gọi M trung điểm · · đoạn CD , ta có góc BMC khơng đổi , BMD Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC Các cắt Ax E , đường tròn ngoại tiếp tam giác MBD cắt Ay F · · · · Ta có BEC + BMC = 1800 Þ AEB = 1800 - BMC khơng đổi Þ E cố định ỉ » · · ç · · · ÷ BME = BCE = sđ BE ữ ỗ , ã (t giỏc ADBC ni tip), BDF ữ + BMF = 1800 (t ỗ ữ BDF = BCE è ø giác DBMF nội tiếp) · · Do BME + BMF = 1800 Þ E , M , F thẳng hàng Vẽ AH ^ EF ( H Ỵ EF ) ,GK ^ EF ( K Ỵ EF ) ta có AH khơng đổi; đặt AH = h, AH / / GK D AHM có GK / / AH suy GM GK = AM AH G trọng tâm D ADC , AM trung tuyến D ADC nên GM GK = Do = , AM AH suy GK = h không đổi, EF cố định thuộc đường thẳng song song với EF cách EF khoảng Vậy G h Câu 12 Cho đường tròn (O;R ) hai dây cung AB CD song song với M điểm di động đường tròn ( O ) Đường thẳng MD cắt đường thẳng AB Q Tìm tập hợp tâm J đường tròn ngoại tiếp tam giác MCQ Hướng dẫn: 1) Xét M nằm cung lớn CD Tiếp tuyến ( O ) C cắt AB E , ta có E cố định.Gọi Cx tia đối · · tia CE QEC (vì AB / / DC ), = DCx ổ ẳ ã ã ỗ ữ QMC = DCx ỗ= s DC ữ ữ ữ ỗ ố ø · · Do QEC = QMC Þ tứ giác MECQ nội tiếp Ta có J E = J C ; E ,C cố định Do J thuộc đường cố định đường trung trực đoạn thẳng EC · · 2) Xét M nằm cung CD Tương tự trường hợp 1) ta có: QEC = DCx · · · · QMC + DCx = 1800 Do QEC + QMC = 1800 Þ tứ giác MCEQ nội tiếp Ta có J E = J C ; E ,C cố định Do J thuộc đường trung trực đoạn thẳng EC Câu 13 Cho tam giác ABC cân A M điểm di động cạnh BC Vẽ MD song song AC ( D Ỵ AB ) vẽ ME song song AB ( E Ỵ AC ) K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE Tìm tập hợp điểm K Hướng dẫn: a) Phần thuận: Gọi O giao điểm đường tròn ( ADE ) đường cao AH tam giác ABC Tứ giác MDAE hình bình hành (vì MD / / EA DA / / ME ), suy DM = AE · · Ta có: DMB = ACB ( DM / / AC ) ; · · ( D ABC cân A ) DBM = ACB · · Suy DMB = DBM Vậy D DBM cân D , suy DM = DB Do AE = DB ( = DM ) · · » = OE » Þ OD = OE DAO = OAE Þ OD · · Xét D OAE D OBD có OE = OD, AEO (tứ giác AEOD nội tiếp), AE = DB = ODB Do D OAE = D OBD (c.g.c) Þ OA = OB Þ O thuộc đường trung trực AB Vậy O điểm cố định (O tâm đường tròn ngoại tiếp D ABC ) Ta có K A = K O, OA cố định, suy K nằm đường trung trực d đoạn thẳng OA b) Giới hạn: Khi M º B D º B, K º K ( K giao điểm d đường trung trực AB ) Khi M º C E º C , K º K ( K giao điểm d đường trung trực AC ) Vậy K di động đoạn thẳng K 1K c) Phần đảo: Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng K 1K Vẽ đường tròn ( K ;K A ) cắt AB, AC D E Vẽ DM / / AC ( M Ỵ AC ) Cần chứng minh ME / / AB Ta có: K A = K O ị O ẻ ( K ) ( ) · · · · · Xét D OAE D OBD có: OAE = OBD = OAD ;AEO = ODB (tứ giác AEOD nội tiếp) Do D OAE : D OBD Þ AE OA = = Þ AE = BD BD OB · · · · ( D ABC cân A ), DMB = ACB ( DM / / AC ) Do DBM = ACB · · DBM = DMB Þ D DBM cân D Þ DM = BD Ta có AE = DM mà AE / / DM nên tứ giác MDAE hình bình hành, suy ME / / AB d) Kết luận: Tập hợp điểm K đoạn thẳng K 1K thuộc đường trung trực đoạn thẳng AO Câu 14 Cho tam giác ABC , H trực tâm Hai đương thẳng song song ( d) ( d ') qua A H Các điểm M , N hình chiếu B C ( d) ; điểm Q, P hình chiếu B,C ( d ') MP cắt NQ I Tìm tập điểm I ( d) ( d ') di động Hướng dẫn: a) Phần thuận: ìï BM ^ ( d) ï Þ BM / / CN í ïï CN ^ ( d) (gt) ïỵ ìï BM / / CN ï Þ MNPQ í ïï MN / / QP (gt) ỵ hình bình hành · Mà QMN = 900 (gt) nên MNPQ hình chữ nhật Þ I trung điểm đoạn thẳng MP NQ Gọi D E trung điểm AH BC , ta có D, E cố định ANHQ hình thang, DI đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo, suy DI / / MN MPCB hình thang, IE đường trung bình hình thang, suy IE / / NC · · E = 900 DI / / MN , IE / / NC mà MNC = 900 nên DI · E = 900, DE cố định Vậy I thuộc đường tròn đường kính DE DI b) Giới hạn: ( d) quay quanh A nên điểm I chuyển động đường tròn đường kính DE c) Phần đảo: Lấy điểm I thuộc đường tròn đường kính DE Nối DI Qua A, H kẻ đường thẳng ( d) ,( d ') song song với DI Gọi M ,Q hình chiếu B ( d) ,( d ') MI cắt ( d ') P ; QI cắt ( d) N ; PQ cắt IE K MN / / DI / / QP , DA = DH Þ I M = IP , IN = IQ IM = IP , IN = IQ Þ MNPQ hình bình hành ¶ = 900 nên MNPQ hình chữ nhật Mà M D PMB có IM = IP , IK / / MB Þ K B = K P ; D BPC có K B = K P , EB = EC Þ EK / /CP · E = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), DI DI / / MN Þ EI ^ MN , EI ^ MN , PN ^ MN Þ C , P , N thẳng hàng d) Kết luận: Tập hợp điểm I đường tròn đường kính DE Câu 15 Cho đường tròn (O;R ) , M điểm ( O ) , vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến ( O ) ( A, B tiếp điểm) đường trung trực đường kính BC cắt CA D 1) Tìm tập hợp điểm M cho D MAB 2) Tìm tập hợp điểm D cho D MAB Hướng dẫn: 1) a) Phần thuận: · D MAB Þ AMB = 600 ; 1· · OMA = AMB = 300 ( MA, MB tiếp tuyến ( O ) ) · · D OMA có OAM = 900,OAM = 300 suy D OMA nửa tam giác đều, OA = OM Þ OM = 2OA = 2R OM = 2R , O cố định, suy M thuộc đường tròn cố định (O;2R ) b) Giới hạn: M điểm tùy ý ( O;2R ) vẽ D MAB Vậy M chuyển động ( O;2R ) c) Phần đảo: Lấy M thuộc (O;2R ) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O;R ) ( A, B tiếp điểm) Þ MA = MB Þ D MAB cân M µ = 900;OA = 1OM = R , suy D OMA nửa tam giác nên Tam giác OMA có A ( ) · · · OMA = 300 , suy AMB = 2.OMA = 600 · D MAB cân có AMB = 600 Þ D MAB d) Kết luận: Tập hợp điểm M đường tròn (O;2R ) · · · · 2) a) Phần thuận: D MAB Þ AMB = 600 Mà AMB + AOB = 1800 nên AOB = 120 ; 1· · ACB = AOB = 600 µ = 900, DCO · D DOC có O = 600 suy D DOC nửa tam giác ta có DO = OC = R ( ) DO = R , O cố định nên D thuộc đường tròn O;R ( ) b) Giới hạn: D điểm tùy ý O;R ( ) c) Phần đảo: Lấy điểm D thuộc O;R Vẽ đường kính BC vng góc OD, DC cắt ( O ) A M giao điểm hai tiếp tuyến A, B ( O ) ( ) µ D DOC có O = 90 ;DO = OC = R Þ D DOC nửa tam giác · · Þ DCO = 600 Þ MAB = 600 · D MAB cân ( MA = MB ) có MAB = 600 Þ D MAB ( ) d) Kết luận: Tập hợp điểm D đường tròn O;R Câu 16 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn bên ngồi tam giác vẽ hai nửa đường tròn có đường kính AB, AC Một đường thẳng ( d) quay quanh A cắt hai nửa đường tròn theo thứ tự M , N (khác A ) Tìm tập hợp trung điểm MN Hướng dẫn: · · a) Phần thuận: AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), ANC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy BCNM hình thang vng Gọi O trung điểm BC ta có O cố định; gọi K trung điểm MN OK đường trung bình hình thang BCNM suy OK / / BM ìï OK / / BM ïï · O = 900 Þ AK í· ïï AMB = 900 ïỵ · O = 900 , OA cố định, AK K thuộc đường tròn đường kính OA b) GIới hạn: Khi ( d) º ( d1) ( ( d1) tiếp tuyến đường tròn đường kính AB )thì K º K ( K hình chiếu ( O ) ( d1) ) Khi ( d) º ( d2 ) ( ( d2 ) tiếp tuyến đường tròn đường kính AC )thì K º K ( K hình chiếu ( O ) ( d2 ) ) ¼ K đường tròn đường kính OA Vậy K chuyển động cung K ẳ K ị OK ã A = 900 c) Phần đảo: Lấy điểm K thuộc cung K AK cắt đường tròn đường kính AB, AC M , N · AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) · ANC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy BCNM hình thang vng OK ^ MN OK / / BM Þ K M = K N ¼ K đường tròn đường kính OA d) Kết luận: Tập hợp điểm K cung K Câu 17 Cho đường tròn (O;R ) cố định BC dây cung cố định, A điểm ¼ Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho chuyển động cung lớn BC AD = AC Tìm tập hợp điểm D Hướng dẫn: ¼ , a) Phần thuận: Gọi J trung điểm cung lớn BC ta có I cố định xét điểm A thuộc cung I»C · · IAC + IBC = 1800 (tứ giác BI AC nội tiếp); · · IAD + IAB = 1800 (hai góc kề bù), ( ) · · » = ID º IBC = IAB IC Suy I·AC = I·AD · · Xét D IAC D IAD có IA (cạnh chung), IAC = IAD, AC = AD Do D I AC = D IAD (c.g.c), suy IC = ID I ,C cố định Þ IC khơng đổi Vậy D chuyển động đường tròn ( I ;IC ) b) GIới hạn: Khi A º B D º D1 ( D1 giao điểm ( I ;IC ) với tiếp tuyến ( O ) B ) Khi A º C D º C ¼ C đường tròn ( I ;IC ) Vậy D chuyn ng trờn cung D ẳ C ị IC = ID c) Phần đảo: Lấy điểm D cung D BD cắt ( O ) A ( A ¹ B ) 1· · · C = ABC · ¼ ( O ) ; ABC (hai góc nội tiếp chắn cung AC = DIC AI 1· · · · A Suy AIC , AIC = DIC = DI · C = DIA · , IA cạnh chung Xét D IAC D IAD có IC = I D, AI Do D I AC = D IAD (c.g.c), suy AC = AD ¼ C đường tròn ( I , I C ) (với D giao d) Kết luận: Tập hợp điểm D cung D 1 điểm đường tròn ( I , IC ) với tiếp tuyến đường tròn ( O ) B , I trung điểm ¼ ( O ) ) cung lớn BC Câu 18 Cho AB dây cung cố định đường tròn (O;R ) C điểm chuyển » Trên tia CA lấy điểm D cho CD = CB Tìm tập hợp động cung lớn AB điểm D Hướng dẫn: » a) Phần thuận: Gọi I trung điểm AB ( ) · · » º Xét D DCI D BCI có CD = CB, DCI = BCI AI = IB , CI (cạnh chung) Do (c.g.c), suy ID = I B (không đổi); I cố định D thuộc đường tròn cố định ( I ; IB ) b) Giới hạn: Khi C º A D º E ( E giao điểm tiếp tuyến A với ( O ) ( I ;IB ) ) ¼ Khi C º B D º B Vậy D chuyển động cung BAE ( I ; I B ) ¼ c) Phần đảo: Lấy điểm D BAE ( I ;I B ) , ta có ID = IB Vẽ phân giác · DIB cắt ( O ) C · · Xét D DCI D BCI (c.g.c), suy DCI = BCI ,CD = CB » » » · · · Mà BCI nên DCB ACB Do A, D,C thẳng hàng = sđ BI = sđ AB = sđ AB 2 ¼ » d) Kết luận: Tập hợp điểm D BAE ( I ;I B ) ( I trung điểm AB Chú ý: » 1) Xét toán tương tự C chuyển động AB 2) Nhận xét tốn Câu 19 Cho đường tròn ( O;R ) , A điểm cố định ( O ) Kẻ tiếp tuyến AB với ( O ) Đường thẳng ( d) quay quanh A cắt ( O ) hai điểm C , D Tìm tập hợp trọng tâm G tam giác BCD Hướng dẫn: a) Phần thuận: Gọi E , F trung điểm CD,OA ta có F cố định (vì OA cố định); K điểm BF cho BK = , suy K BF cố định (vì BF cố định) D BEF có: BG BK GK 2 = = Suy GK / / EF Þ = Þ GK = EF mà EF = OA , BE BF EF 3 GK = OA (khơng đổi) K cố định Vậy G thuộc đường tròn cố định K bán kính OA b) Giới hạn: Khi d tiến dần đến tiếp tuyến AB G ® B Khi d tiến dần đến tiếp tuyến AB1 G ® G1 (với G1 giao điểm đường trũn ổ ỗ ữ ỗK ; OAữ vi BB1 ) ữ ữ ỗ ố ứ ổ ẳ ca ng trũn ỗ ữ K ; OAữ ç Vậy G chuyển đọng BG (trừ hai điểm B v G1 ) ữ ỗ ữ ố ứ ổ ữ ẳ ( tr B v G ca ỗ ữ K ; OA ỗ c) Phn đảo: Lấy điểm G BG ), suy ữ ỗ ố ữ ứ BG GK = OA Trên tia BG lấy điểm E cho = BE AE cắt ( O ) D,C D BEF có: BG BK GK 1 = = Þ GK / / EF Þ = GK = OA = OA BE BF EF 3 · Þ E thuộc đường tròn đường kính OA Þ OAE = 900 OE ^ CD Þ E trung điểm CD D BCD có BE trung tuyến BG = nên G BE trọng tâm D BCD æ ữ ẳ ca ng trũn ỗ ữ K ; OA ỗ d) Kt lun: Tp hp cỏc im G l BG ữ(vi K thuc on ỗ ố ÷ ø ỉ ÷ K ; O ç (trừ B G1 )) BF , BK = BF , G1 l giao im ca BB1 v ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ẳ c nh đường tròn Câu 21 Cho điểm A chuyển động cung lớn BC (O;R ) Tìm tập hợp tâm I Hướng dẫn: Cách 1.a) Phần thuận: ¼ cố định, Cung BC ¼ = a (khơng đổi) đặt sđ BC ¼ · sđ BAC = sđ BC = a 2 đường tròn nội tiếp tam giác ABC 1· · ( BI phân giác IBC = ABC 1· · · ); ICB = ACB ABC · (CI phân giác ACB ); ( ) ( ) · 1· · · · · BIC = 1800 - IBC + ICB = 1800 ABC + ACB = 900 + BAC = 900 + a, BC cố định 2 Do I thuộc cung chứa góc 900 + a dựng đoạn thẳng BC b) Giới hạn: Khi A º B I º B Khi A º C I º C Vậy I chuyển động cung chứa góc 900 + a dựng đoạn thẳng BC nằm nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm O ¼ cung chứa góc 900 + a dựng c) Phần đảo: Lấy điểm I thuộc cung BC ¼ đường tròn (O;R ) cho BI đoạn thẳng BC Vẽ điểm A cung lớn BC · phân giác ABC · 1· · BIC = 900 + a;IBC = ABC 2 ( ) ( ) · 1· · · · · · ICB = 1800 - BIC + IBC = 900 BAC + ABC = ACB Þ CI phân giác ACB 2 D ABC có BI CI phân giác Þ I tâm đường tròn nội tiếp D ABC d) Kết luận: Tập hợp tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC cung chứa góc 900 + a dựng đoạn thẳng BC nằm nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm O Cỏch ã ã ằ = DC ẳ ị DB = DC a) Phần thuận: AI cắt ( O ) D , ta có BAD suy DB = DAC (không đổi) · · · · ( BID góc ngồi D ABI ) BID = ABI + BAI ỉ · · · · » = DC ẳ ữ ỗ IBD = IãBC +CBD ;BAI = CBD DB ữ ỗ ố ứ ã ABI = IãBC ( I tâm đường tròn nội tiếp D ABC ) · D Þ DB = DI Suy I·BD = BI DI = DB không đổi D cố định Vậy I thuộc đường tròn ( D, DB ) b) Giới hạn: Khi A º B I º B , Khi A º C I º C ¼ đường tròn ( D, DB ) Vậy I chuyển động BC ¼ đường tròn ( D, DB ) , ta có c) Phần đảo: Lấy điểm I thuộc BC · · , DI cắt đường tròn DI = DB = DC DB = DI Þ IBD = BID · · · · · · , CBD Do BAI A ( A D ) ị BAI = DAC = DAC = CBD · · · · · · · BI D = ABI + BAI ;IBD = IBC +CBD Suy ABI = I·BC Vậy I tâm đường tròn nội tiếp D ABC ¼ đường tròn ( D, DB ) nằm nửa mặt c) Kết luận: Tập hợp điểm I BC phẳng bờ BC có chứa điểm O ... tuyến dây cung chắn AB BMA = ABx · · · · (vì NB = NC ) Suy BMA ABx = ACy = ACy , suy Bx,Cy, MA đồng quy N Do · · AMC , suy CN tiếp tuyến ( E ) qua N , A,C Vậy ( E ) ( O ) tiếp = ACy xúc C d) Kết