Chuyên đề Hình học 9

Việc chứng minh " Tứ giác nội tiếp một đờng tròn " đối với học sinh các huyện thị lớn có lẽ không phải là vấn đề khó, nhng đối với học sinh trờng Trung học cơ sở Thị Trấn Ba Chẽ thì khôn

phòng giáo dục - đào tạo huyện ba chẽ

trờng thcs thị trấn

sáng kiến kinh nghiệm

Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh

tứ giác nội tiếp một đờng tròn

Họ và tên giáo viên: Nguyễn Thị Ngọc Linh

Năm học 2008 - 2009

A phần mở đầu

I Lí do chọn đề tài

Trong nhà trờng phổ thông, môn Toán nói chung và môn hình học nói riêng giữ một vị trí rất quan trọng Trong môn học này, học sinh đợc học nhiều kiến thức, nhiều phơng pháp suy luận, rèn luyện kĩ năng tính toán, vẽ hình Ngoài ra môn học này còn góp phần bồi dỡng cho học sinh những phẩm chất đạo đức, tính linh hoạt,

độc lập, sáng tạo,

Nhng do tính trừu tợng của môn học và là môn học khó đối với học sinh cấp THCS Gặp bài chứng minh hình, học sinh thờng lúng túng không biết bắt đầu từ

đâu, vận dụng kiến thức nào để giải quyết vấn đề Do vậy bài làm của nhiều học sinh

bị sai, không hoàn chỉnh hoặc không tìm đợc phơng pháp giải dẫn đến học sinh ngại học môn hình

Việc chứng minh " Tứ giác nội tiếp một đờng tròn " đối với học sinh các huyện thị lớn có lẽ không phải là vấn đề khó, nhng đối với học sinh trờng Trung học cơ sở Thị Trấn Ba Chẽ thì không phải là vấn đề đơn giản, vì các em có nhiều mặt hạn chế: hoàn cảnh gia đình khó khăn, điều kiện học tập thiếu thốn, khả năng học tập yếu,

Vì vậy tôi chọn đề tài " Hớng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn " một cách có hệ thống Làm học sinh hiểu và cảm thấy không " sợ " khi gặp bài tập dạng này

II mục đích nghiên cứu của đề tài.

Phần chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn nằm trong phần hình học lớp 9 Thông thờng các bài tập dạng này là một phần trong bài tập tổng hợp, ôn tập, kiểm tra hoặc bài thi Nếu học sinh nắm chắc các bớc giải và giải đợc thì các em sẽ

tự tin hơn khi làm các phần còn lại của bài Qua việc hớng dẫn các em làm bài tập giúp các em củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản về tứ giác nội tiếp cũng nh các kiến thức về hình học nói chung

Rèn cho học sinh các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàng các môn học khác, mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế, bồi dỡng cho học sinh các kĩ năng và thói quen giải bài tập chứng minh, giúp học sinh

phát triển t duy trừu tợng, rèn cho học sinh khả năng độc lập suy nghĩ sáng tạo và khả năng suy luận, đồng thời góp phần hình thành và củng cố phẩm chất đạo đức.

Thông qua việc nghiên cứu đề tài giúp cho bản thân tự bồi dõng thêm chuyên môn nghiệp vụ và góp phần nghiên cứu kinh nghiệm giải bài tập chứng minh hình học nói chung cũng nh giải các bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đợc đờng tròn nói riêng

III các phơng pháp nghiên cứu.

Để thực hiện đề tài này, tôi chủ yếu dùng hai phơng pháp sau:

Tiến hành kiểm tra vở bài tập ở nhà thì hầu hết học sinh có làm bài tập đầy đủ Nếu yêu cầu trình bày lại ( không nhìn vào vở ) thì không làm đợc Điều đó chứng tỏ các em chép lại bài giải sẵn hoặc chép bài của bạn

Quan sát khi giáo viên chữa bài trên lớp, nhiều em cố gắng ghi chép hết những gì cô giáo ghi trên bảng và coi đó là đã hoàn thành nhiệm vụ, không cần biết điều ghi

ABCD là một tứ giác nội tiếp đợc đờng tròn

Cách chứng minh bài này là là chứng minh ãBAC = ãBDC = 90o từ đó suy ra tứ

giác ABCD nội tiếp đờng tròn đòng kính BC ( theo quỹ tích cung chứa góc )

Với bài tập trên, sau khi vẽ hình học sinh không biết chứng minh

ã ã 90o

BAC = BDC = , nghĩa là học sinh cha biết gắn điều phải chứng minh với những gì

đã học, đã biết về tứ giác nội tiếp

Đối với bài tập này, tôi quan sát thấy trên 80% học sinh cha làm đợc nếu không có sự gợi ý của giáo viên

2 Phơng pháp thực nghiệm so sánh.

Ví dụ ở năm học trớc, tôi cho một bài tập:

Cho tam giác ABC, các đờng phân giác của các góc trong tại đỉnh B và C gặp nhau tại S Các đờng thẳng chứa phân giác của hai góc ngoài tại đỉnh B và C gặp nhau tại E

Tôi chia lớp thành hai nhóm

( Hai nhóm có trình độ tơng đơng nhau )

Nhóm 1: Làm bài với câu hỏi:

Chứng minh tứ giác BSCE nội tiếp đợc đờng tròn

Nhóm 2:

Chứng minh SBE SCEã + ã = 180o.

Sau khi ra bài tập và phân nhóm với hai câu hỏi trên, tôi nhận thấy rằng các

em ở nhóm 2 làm đợc bài tốt hơn so với nhóm 1 ( số lợng em làm đợc bài nhiều hơn ) Nghĩa là các em chứng minh đợc SBEã =90 ,o SCEã =90o, suy ra SBE SCEã + ã =180o Còn nhóm 1, các em lúng túng hơn vì cha tìm đợc hớng chứng minh

Qua thực nghiệm cho thấy rằng việc học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp một

đờng tròn vẫn là khó đối với học sinh hơn là chứng minh hai góc bằng nhau hay bù nhau Vì chứng minh hai góc bằng nhau hay bù nhau các em đã đợc làm quen từ trớc

đến nay, còn chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn bây giờ mới gặp và không chỉ từ một định lí cụ thể nào đó suy ra đợc Do vậy, học sinh lúng túng không biết bắt đầu từ đâu để giải quyết vấn đề

Trở lại với bài toán thực nghiệm trên, nếu hỏi số học sinh nhóm 2: " Tứ giác BSCE có nội tiếp đợc đờng tròn không? " thì học sinh dễ dàng trả lời là " có " theo

định lí đảo của tứ giác nội tiếp

Từ hai phơng pháp quan sát và thực nghiệm so sánh trên, tôi thấy rằng nếu học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn mà không biết vận dụng những kiến thức đã học vào từng trờng hợp cụ thể thì có thể không chứng minh đợc

Vậy, để giúp học sinh biết các cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn, tôi thấy cần phải hớng dẫn các em một số cách chứng minh cụ thể

IV đối tợng nghiên cứu.

Học sinh lớp 9 trờng Trung học cơ sở Thị Trấn Ba Chẽ

V Thời gian nghiên cứu.

Năm học 2008 - 2009

b nội dung

I các cách giải cơ bản

1 Những phơng pháp suy luận thờng dùng.

Thông thờng, trong chứng minh hình học ta dùng phơng pháp chứng minh tổng hợp:

Chứng minh mệnh đề A → B ( A là giả thiết, B là kết luận ) Sơ đồ chứng minh tổng hợp đợc biểu thị nh sau: A→A1 →A2 →A3 → → A n →B.

Khi sử dụng phơng pháp chứng minh này, tôi hớng dẫn học sinh phân tích nắm vững giả thiết, kết luận, hớng dẫn học sinh ôn tập định nghĩa, định lí, quy tắc suy luận cần vận dụng trong các bớc suy luận

Để tìm đợc những mệnh đề An, An-1, An-2, đến A1, tôi thờng xuyên cho học sinh phân tích đi lên: muốn có B phải có An, muốn có An phải có An-1,

Rèn cho học sinh kĩ năng trình bày theo phơng pháp đi xuống: Từ mệnh đề A ( giả thiết ) ta suy ra đợc A1, từ A1 suy ra đợcA2, từ An suy ra đợc B

Khi chứng minh cần phải lí luận chặt chẽ, những lí do dùng làm căn cứ cho phần chứng minh nhất thiết phải bám vào những điều kiện sau:

+ Giả thiết của bài toán+ Những tiên đề đã học+ Những định nghĩa đã đợc nghiên cứu+ Những định lí đã đợc chứng minh.

Đây là phần học sinh hay bỏ qua không trình bày vào bài do đó cần phải thờng xuyên nhắc nhở

Để nhận rõ sự liên hệ giữa các yếu tố trong hình vẽ, ngời ta thờng dùng những

kí hiệu để đánh dấu yếu tố bằng nhau Hình vẽ phải rõ ràng, đẹp, phần này giáo viên phải rèn luyện cho chính mình và cho học sinh Hình vẽ của cô trên bảng phải rõ ràng, đẹp thì học sinh mới vẽ đẹp và đúng đợc

Trong khi chứng minh nên dùng những hệ thức thay cho lời nói trong những trờng hợp cụ thể làm bài chứng minh rõ ràng hơn, lời chứng minh cần ngắn gọ nhng không đợc thiếu hay bỏ sót

Sau khi chứng minh một yếu tố mà có một yếu tố khác cần chứng minh tơng

tự, ta có thể giảm bớt phần chứng minh yếu tố sau và chỉ cần viết lại kết quả phần chứng minh trớc đó

Dó là những phơng pháp chung trong chứng minh hình mà giáo viên cần hình thành cho học sinh

2 Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn.

Cách 1: Sử dụng định nghĩa

Cách 2: Sử dụng định lí đảo của định lí về tứ giác nội tiếp

Cách 3: Sử dụng quĩ tích cung chứa góc ( chứng minh hai đỉnh liên tiếp nhìn

đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dới các góc bằng nhau )

Cách 4: Chứng minh tứ giác là một hình đặc biệt

3 Phần áp dụng cụ thể.

Cách 1: Sử dụng định nghĩa

Phơng pháp dạy:

O C

A

B D

Để chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp, ta chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đờng tròn, hay nói cách khác 4 điểm A, B, C, D cách đều một điểm O nào đó cố định

Điều cốt yếu của phơng pháp này là phải chỉ ra đợc điểm cố định O nào đó và chứng minh điểm O đó cách đều 4 đỉnh A, B, C, D của tứ giác ABCD, thì khi đó tồn tại đờng tròn tâm O đi qua 4 đỉnh của tứ giác ABCD hay tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O

Để chứng minh đợc tứ giác BMNC nội tiếp, ta cần chỉ ra đợc tứ giác đó có 4

đỉnh B, M, N, C cùng nằm trên một đờng tròn, có nghĩa là 4 điểm B, M, N, C cách

đều một điểm O cố định nào đó

Ta thấy nếu gọi O là trung điểm của BC thì ta có ngay:

Suy ra M, N, B, C cùng thuộc (O; OB) ( theo định nghĩa đờn tròn)

⇒ Tứ giác BMNC nội tiếp đờng tròn tâm O, bán kính OB

Nhận xét:

Phơng pháp sử dụng định nghĩa không chỉ dùng để chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn mà còn đợc dùng để chứng minh ba điểm hay nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn Trong thực tế, học sinh thờng cha phát hiện ngay đợc

điểm cách đều các đỉnh của tam giác, tứ giác, hay đa giác Vì vậy, trong quá trình ớng dẫn học sinh làm bài tập dạng này, giáo viên cần dẫn dắt học sinh chỉ ra đợc

h-điểm cách đều đó Nh vậy, các vấn đề còn lại sẽ đợc giải quyết dễ dàng hơn

Cách 2: Sử dụng định lí đảo của định lí về tứ giác nội tiếp

Để chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng tròn

Cho đờng tròn (O), hai dây cung AB và CD ( AB > CD )

Các đờng thẳng chứa hai dây cung đó cắt nhau tại điểm I ở bên ngoài đờng tròn Gọi

E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD Chứng minh tứ giác OEIF nội tiếp

đ-ợc một đờng tròn Xác định tâm và bán kính của đờng tròn

FE

I

O

DA

B

C

-(O), dây cung AB, CD, ( AB >CD )

GT - Đờng thẳng AB, CD cắt nhau tại I

- E là trung điểm của dây AB

-F là trung điểm của dây CD

KL - Tứ giác OEIF nội tiếp đợc môt

đờng tròn

- Xác định tâm, bán kính của đờng

tròn đó

Phân tích

để chứng minh OEIF nội tiếp đợc một đờng tròn, ta phảI chứng minh đợc ã 1E +

ã F1 =180O Theo giả thiết dễ dàng suy ra đợc ã 1E = 900, ã F1 = 900 Ta có

điều phải chứng minh

Chứng minh

E là trung điểm của dây AB (gt) → OE ⊥ AB ( theo định lý quan hệ giữ đờng kính và dây cung) → ã 1E = 900.

CD

S

OA

Để chứng minh EHCD là một tứ giác nội tiếp, theo định lý đảo ta cần chứng minh

ã HED +ã HCD = 1800 Hoặc ta có thể chứng minh cho ẳSEA =

ã HCD (1) Với cách này ta chỉ cần vận dụng định lý góc có đỉnh trong đờng tròn và góc nội tiếp Viết công thức tính số đo của góc này, để ý rằng ẳSA =

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn H là trực tâm Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua

BC Chứng minh rằng tứ giác ABH’C nội tiếp trong một đờng tròn

GT H là trực tâm của tam giác

H’ đối xứng với H qua BC

KL Tứ giác ABH’C nội tiếp

Trong một đờng tròn

Phân tích

Để chứng minh tứ giác ABH’C nội tiếp trong một đờng tròn, ta phải chứng minh

ãBAC +BH Cã ' = 1800

Mà ã 'BH C = ãBHC (H là điểm đối xứng của H qua BC nên ∆BH’C = ∆BHC ), ta có

ãBHC =C HBã ' '( vì đối đỉnh ) Vì vậy ta phảI chứng minh cho àA +C HBã ' ' = 1800 Theo giả thiết ta có thể chỉ ra tứ giác AC’HB’ nội tiếp nên tứ giác ABH’C nội tiếp

Chứng minh:

BB’ ⊥AC; CC’ ⊥ AB ( vì H là trực tâm của ∆ABC )

→ã 'AC H = 900; ã 'AB H = 900

→ã 'AC H + ã 'AB H = 1800.

→ Tứ giác AC’HB’ nội tiếp ( định lý đảo tứ giác nội tiếp )

→ ãBAC + C HBã ' = 1800 ( định lý tứ giác nội tiếp )

Chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn bằng cách sử dụng định lý đảo về tứ giác nội tiép là cách chúng minh đợc dùng nhiều và phổ biến trong quá trình giải các bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn Với cách này, tôI hớng dẫn các em quan sát và sử dụng các hớng chứng minh sau:

- Chứng minh trực tiếp tổng hai góc đối diện bằng 2V

- Chứng minh cho góc ngoài tại một đỉnh bằng góc kề bù với góc đối diện (ở ví dụ 2 )

Nh vậy các em có thể vận dụng linh hoạt định lý đảo về tứ giác nội tiếp để chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn Ngoài ra các em còn phải phối hợp đợc nhiều kiến thức đã học về góc, số đo cung tròn, tứ giác nội tiếp Qua đó củng cố cho các…

em kiến thức đã học

Cách 3: Sử dụng quỹ tích cung chứa góc ( chứng minh hai đỉnh liên tiếp nhìn

đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dới những góc bằng nhau)

Ph ơng pháp dạy:

Để chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng tròn, giáo viên cần dẫn dắt học sinh chứng minh hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh còn lại dới những góc bằng nhau ( đặc biệt là góc vuông), có nghĩa là ta sử dụng tính chất hai góc có đỉnh liên tiếp

A, B củă ABCD có hai cạnh là ( AC, AD), ( BC, BD) mà bằng nhau thì hai góc đó là hai góc nội tiếp → tứ giác ABCD nội tiếp

Chứng minh:

AH ⊥BC (gt) → ãAHC= 90 0 → H thuộc đờng tròn đờng kính AC Tơng tự ãADC = 90 0

→ D thuộc đờng tròn đờng kính AC ( quỹ tich cung chứa góc)

Vậy H, D cùng thuộc đờng tròn đờng kính AC Hay 4 điểm A, H, D, C cùng nằm trên

đờng tròn đờng kính AC

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC nội tiếp trên đờng tròn (O) Gọi xy là tiếp tuyến tại A của (O) Kẻ

đờng thẳng d song song với xy cắt các tia đối của AB, AC lần lợt tai D và E Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm trên một đờng tròn

y

x d

D

O

CA

B

E

Phân tích:

Để chứng minh điểm B, C, D, E nằm trên một đờng tròn ta phải chứng minh cho hai

đỉnh liên tiếp nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lai dới những góc bằng nhau, nghĩa là phải chứng minh cho Dả 1 =Eả 1, mà Cả1 =àA1 ( cùng có số đo bằng nửa số đo cung AB ) Vậy ta phải chỉ ra Dả1= àA1 Điều này có đợc dựa vào giả thiết: xy // d Ta có điều phải chứng minh

(O); ∆ ABC nội tiếp ((O)

GT Xy là tiếp tuyến tại A của (O)

a Chứng minh rằng tứ giác OACM, OBPA nội tiếp đợc một đờng tròn

b Chứng minh rằng tứ giác CODP nội tiếp

(O), P nằm ngoài (O)

PA, PB tiếp xúc với (O) Tạị A và B

GT M ∈ AB, CD ⊥ OM tại M

C ∈ PA, D ∈ PB

KL a Tứ giác OACM, OBPA nội tiếp

b Tứ giác CODP nội tiếp

Phân tích :

Sau khi làm các ví dụ 1 và 2, học sinh đã biết hớng chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn Các em dễ dàng chứng minh đợc tứ giác OACM nội tiếp bằng cách chỉ ra ãCAO = ãCOM = 90 Tứ giác OBPA nội tiếp vì ãPAO + ãPBO = 180

O Chỉ còn chứng minh tứ giác CODP nội tiếp Các em phải vận dụng tính chất tứ giác nội tiếp để chỉ ra ãAPO = ãABO ; ãODM = ãOBM hay ãODC = OPCã đ-

ợc tứ giác CODP nội tiếp vì có hai đỉnh liên tiếp D vá P nhìn đoạn OC dới nhũng góc bằng nhau Nên ở ví ụ này, giáo viên để học sinh tự làm phần a Gợi ý để học sinh làm phần b

ãOAC = 900 ( chứng minh trên) → OAP = 900

Ta có ãOAP + ãOBP =900 + 900 = 1800 Vậy tứ giác OBPA nội tiếp đợc trong một đờng tròn ( theo định lý đảo của tứ giác nội tiếp)

b Chứng minh tứ giác CODP nội tiếp

Có tứ giác OBPA nội tiếp ( theo chứng minh trên) → ãAPO

= ãABO (3) ( hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Mặt khác tứ giác OMDB là tứ giác nội tiếp ( vì ãOMD + ãODB =2V )

→ ãODM = ãOBM hay ãODC = ãOBA (1) ( vì hai góc nội tiếp cùng hcắn một cung )

Từ (3) và (4) → ãAPO = ãODC hay ãCPO = ãCDO

Vậy tứ giác CODP có hai đỉnh liên tiếp P và D nhìn đoạn OC bối hai đỉnh O và C dới những góc bằng nhau nên tứ giác CODP nội tiếp đợc trong một đờng tròn

Nhận xét:

Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng phơng pháp chứng minh hai đỉnh liên tiếp nhìn

đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dới những góc bằng nhau thờng đợc dùng để giải bài tập , nhng thực tế giáo viên phải hớng dẫn để học sinh quan sát, chọn hai đỉnh liên tiếp nào cho thuận lợi, chứng minh dễ dàng Tránh tình trạng học sinh nhầm lẫn giữa hai đỉnh của tứ giác và hai đỉnh liên tiếp của tứ giác Nên cho học sinh nhận dạng tứ giác nối tiép qua bài tập nêu ở phần sau

Cách 4: Sử dụng cách chứng minh tứ giác là hình đặc biệt

Ph ơng pháp dạy :

Có thể coi cách này là hệ quả của hai cách trên Để chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp một đờng tròn, ta chứng minh cho tứ giác đó là hình chữ nhật, hình vuông hoặc hình thang cân

Ví dụ 1:

Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo AC và BD vuông góc với nhau Gọi M, N, R,

S lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác MNRS nội tiếp trong một đờng tròn