chuyên đề hình học tam giác

chuyên đề hình học tam giác Chơng Khoảng cách điểm đặc biệt tam giác Bổ túc 1.1 Định lý Ceva (1647 1734) Cho tam giác ABC ba đờng thẳng AA, BB,, BB, BB,, CC, BB, xuất phát từ đỉnh tam giác cắt đờng thẳng chứa cạnh đối diện A, BB,, B, BB,, C, BB, cho ba điểm A, BB,, B, BB,, C, BB, nằm ba cạnh tam giác hoặ ba điểm nằm cạnh tam giác hai điểm nằm phần kéo dài hai cạnh lại Điều kiện cần đủ để AA, BB,, BB, BB,, CC, BB, đồng quy song song với ta có hệ thøc AB ' CA' BC' = (1) B'C A'B C'A Chứng minh Điều kiện cần (=>) AA, BB,, BB, BB,, CC, BB, đồng quy song song => (1) a) Trêng hỵp AA’, BB’,, BB’, BB,, CC, BB, đồng quy điểm (ở tam giác) Qua A kẻ đờng thẳng song song víi BC, c¾t BB’, BB’,, CC’, BB’, theo thứ tự M N Ta có AB ' = AM (a) M P B 'C BC A CA' = NA (b) N B’, BB’, C’, BB’, A' B AM BC' = BC (c) P M A N C' A NA Tõ (a), (b) vµ (c) suy B A’, BB’, B A’, BB’, C C AB ' CA' BC' = AM NA BC = B 'C A' B C' A BC AM NA b) Trêng hỵp AA’, BB’, // BB, BB, // CC, BB, Theo định lý Thalet ta cã AB ' = A' B (a) B’, BB’, C’, BB’, B 'C BC CA' = CA' (b) A A'B A'B BC' = BC (c) B A’, BB’, C C' A CA' Tõ (a), (b) vµ (c) suy AB ' CA' BC' = A' B CA' BC = B 'C A' B C' A BC A' B CA' Điều kiện đủ ( AA, BB,, BB, BB,, CC, BB, đồng quy song song Ta xét trờng hợp điểm A, BB, nằm cạnh tam giác hai điểm B, BB,, C, BB, nằm phần kéo dài hai cạnh a) Nếu có hai ba đờng thẳng AA, BB,, BB’, BB’,, CC’, BB’, song song víi nhau, thÝ dơ AA, BB, // BB, BB,, CC, BB, không song song với hai đờng thẳng Từ C kẻ CC // AA, BB, cắt AB kéo dài C Theo điều kiện cần ta có AB ' CA' BC'' = (2) B 'C A' B C'' A Tõ (1) vµ (2) suy BC'' = CB ' C'' A C' A VËy C” trïng C’, BB’, (do C, BB, C nằm đoạn thẳng AB) vµ AA’, BB’, // BB’, BB’, // CC’, BB’, b) Trong trờng hợp hai đờng thẳng song song ba đờng thẳng nói song song víi nhau, ta chøng minh cã ba ®êng ®ång quy Gọi P giao điểm AA, BB, BB, BB, chẳng hạn Nếu CC, BB, không qua điểm P từ C kẻ đờng thẳng qua P cắt AB C Theo điều kiện cần ta có AB ' CA' BC'' = (3) B 'C A' B C'' A Tõ (1) vµ (3) suy BC'' = CB ' C'' A C' A VËy C” trùng C, BB, (do C, BB, C nằm đoạn thẳng AB) tức AA, BB,, BB, BB,, CC, BB, đồng quy P Trong trờng hợp ba ®iĨm A’, BB’,, B’, BB’,, C’, BB’, ®Ịu n»m cạnh tam giác ABC từ (1) suy AA’, BB’,, BB’, BB’,, CC’, BB’, ®ång quy, chøng minh tơng tự 1.2 Các đờng thẳng đồng quy đặc biệt Từ định lý Cêva ta suy r»ng mét tam gi¸c ABC ta cã a) Ba đờng trung tuyến đồng quy (tại trọng tâm tam giác) Vì A, BB,, B, BB,, C, BB, trung điểm cạnh nên ba tỉ số AB, BB,/B, BB,C, CA, BB,/A, BB,B BC, BB,/C, BB,A b) Ba đờng phân giác đồng quy (tại tâm đờng tròn nội tiếp tam giác) Gọi BC = a, CA = b, AB = c ta cã AB ' = c ; CA' = b ; BC' = a B'C a A'B c C'A b Do ®ã AB ' CA' BC' = B'C A'B C'A c) Ba ®êng cao đồng quy (tại trực tâm tam giác) Ta có AB’, BB’, = c cosA, B’, BB’,C = a cosC CA’, BB’, = b cosC, A’, BB’,B = c cosB BC’, BB’, = a cosB, C’, BB’,A = b cosA Do ®ã AB ' CA' BC' = B'C A'B C'A d) Ba ®êng trung trực đồng quy (tại tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác) Vì ba đờng trung trực ba đờng cao tam giác có đỉnh chân đờng trung trực, nên chúng đồng qui e) Đờng phân giác góc A hai đờng phân giác hai góc đỉnh B C đồng quy (tại tâm đờng tròn bàng tiếp góc A cđa tam gi¸c ABC) Ta cã AB ' = c ; CA' = b ; BC' = a B'C a A'B c C'A b Do ®ã AB ' CA' BC' = B'C A'B C'A f) Các đờng thẳng qua đỉnh tam giác tiếp điểm cạnh đối diện với đ- ờng tròn nội tiếp đồng quy (tại điểm gọi điểm Gergone) Do AB’, BB’, = AC’, BB’, ; BC’, BB’, = BA’, BB’, ; CA’, BB’, = CB’, BB’, Do ®ã AB ' CA' BC' = B'C A'B C'A g) Các đờng thẳng qua đỉnh tam giác tiếp điểm cạnh đối diện với đờng tròn bàng tiếp đồng quy (tại điểm gọi điểm Nagel) Gọi D, E lần lợt tiếp điểm BA BC (kéo dài) với đờng tròn bàng tiếp góc B Ta có AB, BB, = AD ; CB’, BB’, = CE Do ®ã BD = BE = (a + b + c)/2 = p Suy AB’, BB’, = AD = p – c B’, BB’,C = p – a CA’, BB’, = p – b BC’, BB’, = p – a A’, BB’,B = p – c C’, BB’,A = p – b Do ®ã AB ' CA' BC' = B'C A'B C'A VÝ dô Chøng minh rằng, tam giác ABC, giao điểm ba đ- ờng thẳng đồng qui AA, BB,, BB’, BB’,, CC’, BB’, (A’, BB’, trªn BC, B’, BB’, AC, C, BB, AB) trùng với trọng tâm G tam giác tích AB, BB,, CA, BB,, BC’, BB’, cã trÞ sè lín nhÊt Gi¶i: ab  a  b Chú ý: Với hai độ dài a, b bào có hệ thức Ta có AB '.B ' C  AB ' B ' C = AN hay AB’, BB’, B’, BB’,C  AN2 T¬ng tù CA’, BB’, A’, BB’,B  CM2 BC’, BB’, C’, BB’,A  BP2 Tõ ®ã (AB’, BB’, CA’, BB’, BC’, BB’,)(B’, BB’,C A’, BB’,B C’, BB’,A)  (AN CM BP)2 Theo định lý Ceva: AB, BB, CA, BB’, BC’, BB’, = B’, BB’,C A’, BB’,B C’, BB’,A VËy AB’, BB’, CA’, BB’, BC’, BB’,  AN CM BP Tõ ®ã tÝch AB’, BB’, CA’, BB’, BC’, BB’, có trị số lớn AN CM BP = abc B’, BB’,, A’, BB’,, C’, BB’, trïng víi trung ®iĨm cạnh Ví dụ Cho tam giác ABC với AA’, BB’,, BB’, BB’,, CC’, BB’, ®ång qui (A’, BB’, BC, B’, BB’, AC, C’, BB’, AB) Gäi M, N, P, M, BB,, N, BB,, P, BB, lần lợt trung điểm đoạn thẳng BC, CA, AB, CC, BB,, BB, BB,, AA, BB, Chứng minh đờng thẳng MM, BB,, NN, BB, PP, BB, đồng qui Giải: Theo gi¶ thiÕt ta cã AB ' CA ' BC ' = B'C A'B C'A Nhân tử số mẫu số tỉ số với ta có AB ' CA' BC ' =  PN ' NM " MP ' = B'C A'B 1C'A N'M M'P P'N 2 Hoặc PN ' MP ' NM ' = N'M P'N M'P HƯ thøc nµy chøng tá lµ tam giác MNP, ba đờng thẳng MM, BB,, NN, BB,, PP, BB, đồng qui Trờng hợp đặc biệt 1) Trong tam giác, đờng thẳng nối trung điểm cạnh với trung điểm đờng cao tơng ứng đồng qui điểm 2) Trong tam giác, đờng thẳng nối trung điểm cạnh với trung điểm đờng phân giác tơng ứng đồng qui điểm PN ' NM " MP ' = N'M M'P P'N VÝ dơ Cho tam gi¸c ABC víi AA’, BB’,, BB’, BB’,, CC’, BB’, ®ång qui (A’, BB’, BC, B’, BB’, AC, C’, BB’, AB) TÝnh SA’, BB’,B’, BB’,C’, BB’,, theo diện tích S tỉ số AB ' = m, CA ' = n, BC ' = t B'C A' B C' A  SAB 'C ' SBA'C ' SCA' B '  Gi¶i: SA’, BB’,B’, BB’,C’, BB’, = S      S S S Sư dơng c«ng thøc S = absinA ®Ĩ tÝnh diƯn tÝch tam gi¸c, ta cã SAB 'C' = AB '.AC ' = AB ' AC ' = m AC.AB AB ' B 'C AC ' C ' B m 1 t 1 S T¬ng tù SBA'C' = t S 1t 1n SCA' B ' = n S 1n 1m Cuèi cïng SA’, BB’,B’, BB’,C’, BB’, = S [1 - m - t - n ] m 1 t 1 1 t 1 n 1 n 1 m = S 1 mnt = 2S (v× mnt = 1) (1 m)(1 n)(1 t) (1 m)(1 n)(1 t) Các trờng hợp đặc biệt 1) Khi AA, BB,, BB, BB,, CC, BB, đờng trung tuyến : m = n = p = SA’, BB’,B’, BB’,C’, BB’, = S/4 2) Khi AA’, BB’,, BB’, BB,, CC, BB, đờng phân giác trong: m = c/a, n = b/c, t = a/b SA’, BB’,B’, BB’,C’, BB’, = 2Sabc (a  b)(b  c)(c  a) 3) Khi AA’, BB’,, BB’, BB’,, CC’, BB’, lµ đờng cao: m = c.cos A , n = b.cosC , t = a.cos B a.cosC c.cos B b.cos A SA’, BB’,B’, BB’,C’, BB’, = 2Sabc.cos A.cos b.cos C (a cos A  c.cos B)(c.cos B  b.cos C)(b.cos C  a.cos A) (v× acosC + c.cosA = b, c.cosB + b cosC = a, b cosA + a cosB = c) Định lý Stuya Một số định lý liên quan 2.1 Định lý Stuya (1717 1785) Nếu đờng thẳng AD = d thuộc tam giác ABC chia cạnh BC thành đoạn BD = m CD = n th× d2a = b2m + c2n – amn Chứng minh Giả sử AE ®êng cao cđa tam gi¸c ABC Tõ c¸c tam gi¸c BDA vµ ADC ta cã c2 = d2 + m2 – 2mDE A b2 = d2 + n2 + 2nDE Nhân vế đẳng thức thứ với n vế đẳng thức thứ hai với m cộng lại ta thu đợc c2n + b2m = d2(m + n) + mn(m + n) B E DC hay d2a = b2m + c2c – amn ®pcm Chú ý Nếu biết tỉ số đoạn thẳng BD = p từ đẳng thức ta rót DC q liªn hƯ sau d2a = b2ap + c2aq - a2 pq p  q p  q (p  q) => d2 = b2 p + c2q - a2 pq (dạng định lý Stuya) p  q p  q (p q) Với dạng định lý Stuya cho phép tính khoảng cách từ đỉnh tam giác ®Õn ®iĨm thc c¹nh ®èi diƯn, biÕt r»ng ®iĨm ®ã chia c¹nh ®èi diƯn theo tØ sè p cho trớc Các trờng hợp đặc biệt 1) AD = ma trung tuyến tơng ứng với cạnh a Trờng hợp nµy m = n = a ta cã m a = a (b2 + c2) – a a2  ma = 2(b2  c2 )  a2 a2 2) AD = a phân giác góc A Trờng hợp ta có m = n = m n = a c b bc bc => m = ac , n = ab bc bc =>  a a =2 b2ac c2ab a3bc + - b  c b  c (b  c) bc[(b  c)2  a2] bc(b  c  a)(b  c  a) 4bc.p( p  a) =>  a = (1)   a = = (b  c) (b  c) (b  c)  a = bcp( p  a) bc áp dụng định lý cosin ta có a2 = b2 + c2 – 2bc cosA  a2 = b2 + c2 – 2bc(2cos2 A - 1) = (b + c)2 – 4bccos2 A Thay vµo (1) ta cã 4b2c2 cos2 A 4bc cos A a =  a = (b  c)2 (b  c) 3) Chứng minh khoảng cách từ đỉnh A tam giác ABC với tâm I đờng A trßn néi tiÕp b»ng AI = ( p  a)bc p Chứng minh Gọi AD đờng phân giác tam giác ABC Qua tâm I đờng tròn nội tiếp, kẻ đờng thẳng song H, BB, I song với BC, cắt đờng cao AH (= h) H’, BB’, Ta cã AI h  r h  ah B C 2p  a b  c = = 2p = 2p = 2p AD h h VËy AI = bcp( p  a) b  c = ( p  a)bc 2p p bc Công thức khoảng cách số điểm đặc biệt tam giác 3.1 Định nghĩa Trung điểm đoạn thẳng thuộc đờng cao kẻ từ đỉnh đến trực tâm tam giác gọi điểm Ơ le 3.2 Định lý Chân trung tuyến, chân đờng cao điểm Ơ le nằm vòng tròn, gọi vòng tròn chín điểm hay vòng tròn ¥ le Chøng minh Gäi D, E, F lµ trung điểm cạnh tam giác ABC; AK, MB hai đờng cao tam giác; H trực tâm Ngoại tiếp tam giác DEF vòng tròn Ta hÃy chứng minh K chân đờng cao AK điểm Ơle L trung điểm đoạn BH, nằm vòng tròn vừa vẽ Thật vậy, DK cát tuyến tam giác BKA, xuất phát từ đỉnh góc vuông nên nửa cạnh huyÒn: DK = AB , EF = AB => DK = EF Do ®ã hình thang DEKF cân vòng tròn qua ba đỉnh D, F, E hình thang phải qua ®Ønh K Nèi trung ®iĨm L cđa BH víi trung điểm D AB Đờng thẳng DL // AK, đờng thẳng DF//BC, L DF = /2; LE // CH nªn L EF = /2 VËy cã thĨ vÏ đợc vòng tròn ngoại tiếp tứ giác EFDL vòng tròn ngoại tiếp tam giác DEF qua K L Tơng tự ta chứng minh vòng tròn ®i qua ®iÓm T, P, N, M 3.3 Mét số tính chất vòng tròn Ơle 3.3.1 Định lý Tâm vòng tròn chín điểm nằm trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm với tâm vòng tròn ngoại tiếp Chứng minh Thật vậy, tâm O9 vòng tròn chín điểm nằm giao điểm đờng thẳng góc dựng từ trung điểm đoạn thẳng KE MF Giả sử O tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì đờng thẳng góc vừa dựng đờng trung bình hình thang MHOF KHOE nên tâm O9 vòng tròn cần tìm phải nằm trung điểm cạnh OH 3.3.2 Định lý Bán kính vòng tròn chín điểm R/2, R bán kính vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Nối điểm E với tâm vòng tròn chín điểm O9 Đờng thẳng EO9 cắt đờng cao AK điểm L, LE đờng kính vòng tròn chín điểm Do hai tam giác O9EO O9LH nhau, nên OE = LH LH = AL nên OE = AL Vậy tứ giác ALEO hình bình hành AO = LE, LE đờng kính vòng tròn chín điểm Ao bán kính vòng tròn ngoại tiếp tam giác Hệ Khoảng cách từ đỉnh tam giác đến trực tâm gấp đôi khoảng cách từ tâm vòng tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện Vì theo định lý OE = AL = HL  2OE = AH 3.3.3 Cho tam gi¸c ABC nội tiếp (O), gọi H, G, O9 lần lợt trực tâm, trọng tâm, tâm vòng tròn điểm Khi H, G, O9, O thẳng hàng Chứng minh: Gọi G giao điểm HO AA, BB, (A, BB,, B, BB,, C, BB, trung điểm BC, CA, AB) ta chứng minh G trọng tâm ABC) Ta cã HA= 2OA’, BB’, vµ AH // OA’, BB’,  GA = HA =  G lµ trọng tâm ABC H, G, O thẳng hàng (1) GA' OA' DÔ thÊy O trực tâm A, BB,B, BB,C, BB, (vì OA, BB,  B’, BB’,C’, BB’,, OB’, BB’,  A’, BB’,C’, BB’,), O9 tâm đờng tròn điểm O9 tâm đờng tròn ngoại tiếp A, BB,B, BB,C, BB, Theo chứng minh O, G, O9 thẳng hàng (G tâm đờng tròn ngoại tiếp A, BB,B, BB,C, BB,) (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã H, G, O, O9 thẳng hàng 3.4 Khoảng cách điểm đặc biệt tam giác 3.4.1 Khoảng cách tâm vòng tròn ngoại tiếp trọng tâm Giả sử ABC, O tâm vòng tròn ngoại tiếp, G trọng tâm, AA, BB, trung tuyến, OA, BB, khoảng cách từ tâm vòng tròn ngoại tiếp đến cạnh BC Khi ®ã OA = R; OA’, BB’, = R2  a2 = 4R2  a2 42 AA’, BB’, = ma = 12 2(b2  c2)  a2 Ta tìm chiều dài đoạn OG = d cách dùng định lý Stuya Ta có OA2 GA, BB, +OA, BB’,2 AG – OG2 AA’, BB’, = AG GA’, BB’, AA’, BB’, => d2 = OG2 = OA2.GA' + OA'2 AG - AG GA’, BB’, AA ' AA ' Nhng AG = nªn AG = AA’, BB’, ; GA’, BB’, = AA’, BB’, GA' VËy d2 = R2 + 4R2  a2 - 2(b2  c2 )  a2 = R2 - a2  b2  c2 18 => d = R2  a2  b2  c2 HƯ qu¶ Trong bÊt tam giác ta có R a2  b2  c2 Bất đẳng thức trở thành đẳng thức trờng hợp tam giác tam giác OG không Hệ Trong tam giác vuông khoảng cách tâm vòng tròn ngoại tiếp trọng tâm phần sáu cạnh huyền Trong trờng hợp R = a/2 nên d = a/6 3.4.2 Khoảng cách tâm vòng tròn chín điểm träng t©m EO9G đồng dạng víi GOA  O9G  EG 1  GO9 = OG GO GA Suy GO9 = 16 9R2  (a2 b2 c2) 3.4.3 Khoảng cách từ tâm vòng tròn ngoại tiếp đến trực tâm Vì HG = (do GOE đồng dạng với GAH) GO nên HG  GO = HO = GO GO HO = 3GO = 9R2  (a2 b2 c2 ) Đối với tam giác vuông HO = c/2 3.4.4 Khoảng cách từ trọng tâm đến tâm vòng tròn nội tiếp Giả sử I tâm vòng tròn nội tiếp ABC A, BB, trung điểm BC Ta tính cạnh tam gi¸c A AA’, BB’, = 12 2(b2  c2)  a2 N Trong  IMA’, BB’, ta cã MA’, BB’, = a - (p – b) = b  c I G B M A’, BB’, C Suy IA’, BB’, = r2  (b  c)2 = 4r2  (b  c)2 T¬ng tù tam gi¸c ANI ta cã IA = r2  ( p a)2 Vì trọng tâm G chia đoạn AA, BB, thành đoạn AG GA, BB, theo tØ sè : nªn AG = AA’, BB’,; GA’, BB’, = AA’, BB’, áp dụng định Stuya ta có IA2 GA’, BB’, + A’, BB’,I2 AG – IG2 AA’, BB’, = AG GA’, BB’, AA’, BB’, KÝ hiÖu IG = d, ta cã d2 = IA2GA' + IA'2 GA - AG GA’, BB’, AA ' AA ' = r2  ( p  a)2 + 4r2  (b  c)2 - 2(b2  c2)  a2 18 = r2 + 6p2  12ap  6a2  3b2  3c2  6bc  2b2  2c2  a2 18 10 = ad’, BB’,A + bd’, BB’,B + cd’, BB’,C + (a + b + c) = 2p Hệ Nếu từ đỉnh ta hạ đờng vuông góc dA, dB, dC xuống tiếp tuyến vòng tròn bán kính có tâm trùng với tâm vòng tròn nội tiếp a.dA + b dB + c dC = 2p Một trờng hợp đặc biệt định lý định lý sau , BB’,’, BB’,NÕu ngêi ta vÏ mét tiÕp tuyÕn tuú ý với vòng tròn nội tiếp trọng tam giác, hạ đờng vuông góc dA, dB, dC giá trị tuyệt đối tổng đại số a.dA + b dB + c dC b»ng hai lÇn diƯn tÝch tam gi¸c ThËt vËy, nÕu  = r ta cã a.dA + b dB + c dC = 2pr = 2S TÝnh chÊt Gi¶ sư qua mét điểm D lấy phân giác góc ABC, vẽ đờng thẳng cắt cạnh góc điểm A C Vẽ DN // AB DM // BC Khi BD MB = BN = ND = DM = cos B Tõ c¸c tam giác đồng dạng AMD ABC ta có AM MD AB  MB MD BD BD AB = BC AB BC  =  - 2AB cos B = 2BC cos B2  + = cos B2 AB BC BD VÏ qua điểm D đờng thẳng DE cắt cạnh AB K cạnh BC kéo dài L Ta cã DN NL BD BD KB = BL  2KB cos B = + 2BL cos B2  - = cos B2 KB BL BD VËy - = + = cos B2 KB BL AB BC BD Chúng ta coi đoạn nằm cạnh góc dơng đoạn nằm đỉnh cạnh kéo dài âm (thí dụ đoạn BL) Với quy ớc ta có Một đờng thẳng qua điểm lấy phân giác góc, định cạnh đoạn thẳng mà tổng đại số trị số nghịch đảo trị số không đổi với điểm đà cho 19 Giả sử qua tâm O vòng tròn nội tiếp tam giác vẽ đờng thẳng không qua đỉnh tam giác Dựa vào định lý ta có + = cos = A = A sin A sin A AL AK AO AOsin r + = sin B , + = sin C BL BM r CK CM r Suy + + + + + = sin A + sin B + sin C AL AK BL BM CK CM r r r = p(sin A  sin B  sin C) = 4Rp(sin A  sin B  sin C) S abc = 2p(a  b  c) = 4p2 abc abc Vậy đờng thẳng qua tâm vòng tròn nội tiếp không qua đỉnh tam giác định cạnh hay cạnh kéo dài tạm giác đoạn thẳng mà tổng đại số trị số nghịch đảo bình phơng chu vi chia cho tích cạnh tam giác Trong tam giác đều, tổng 9a2 = a3 a Một số đờng đặc biệt tam giác 5.1 Đờng thẳng Ceva Trong định lý Cêva đờng thẳng AA, BB,, BB, BB,, CC, BB, xuất phát từ đỉnh tam giác ABC đồng quy điểm ba đờng thẳng Cêva Các đoạn thẳng AA, BB,, BB, BB,, CC, BB, gọi đoạn thẳng Cêva Giao điểm đờng thẳng Cêva gọi điểm Cêva Một số tính chất đờng thẳng Cêva Định lý Van Oben Đối với đờng thẳng đờng Cêva cắt điểm nằm tam giác, có hÖ thøc AK = AB ' + AC' KA' B 'C C' B Chøng minh Qua ®Ønh A vÏ đờng thẳng MAN song song với BC Từ tam giác đồng dạng MKN BKC ta có AK = MN = MA  AN = MA + AN KA' BC BC BC BC Tõ tam giác đồng dạng MAC, BB, CBC, BB, ta cã 20 ... song song với cạnh tam giác qua trung điểm đoạn thẳng nối đỉnh tam giác với điểm nằm tam giác hay cạnh tổng ba yếu tố tuyến tính tơng ứng thuộc tam giác yếu tố tuyến tính tam giác đà cho (yếu tố...  a2  b2  c2 Hệ Trong tam giác ta cã R  a2  b2  c2 Bất đẳng thức trở thành đẳng thức trờng hợp tam giác tam giác OG không Hệ Trong tam giác vuông khoảng cách tâm vòng... đỉnh tam giác không đổi, vòng tròn có tâm trùng với trọng tâm tam giác Hệ Tổng bình phơng khoảng cách từ mọt điểm mặt phẳng đến đỉnh tam giác có giá trị nhở điểm trùng với trọng tâm tam giác