1) Giả sử các đờng cao của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Mỗi điểm trong 4 điểm A, B, C, H là trực tâm của tam giác có các đỉnh là 3 điểm kia.
Thí dụ nh điểm A là trực tâm của tam giác BHC, vì BD, HE, CF là các đờng cao. Đờng thẳng nối hai trong 4 điểm A, B, C, H sẽ vuông góc với đờng thẳng nối hai điểm kia.
2) Sáu cung của vòng tròn ngoại tiếp xác định bởi ba điểm của tam giác nhọn và ba giao điểm của các đờng cao kéo dài với vòng tròn ngoại tiếp bằng nhau đôi một
3) Khoảng cách từ trực tâm đến 1 cạnh của tam giác bằng đoạn thẳng từ chân đờng cao tơng ứng đến giao điểm của đờng cao đó kéo dài với vòng tròn ngoại tiếp
Từ hai tam giác bằng nhau AFH và AFB’ (vì AF chung và gócFAB’ = gócHAF) ta có HF = FB’.
4) Tích các đoạn thẳng do đờng cao của một tam giác nhọn định trên cạnh đối diện bằng tích chiều cao với đoạn thẳng từ trực tâm đến chân đờng cao.
Vì theo phơng tích của điểm D ta có AD. DB = CD. DC’ Mà DH = DC’ nên ta có AD. DB = CD. DH
5) Tích các đoạn thẳng nằm trên đờng cao từ đỉnh đến trực tâm và từ trực tâm đến chân đờng cao là một số không đổi. Hay nói cách khác các tích các đoạn thẳng nằm trên đ- ờng cao từ đỉnh đến trực tâm và từ trực tâm đến chân đờng cao là bằng nhau.
6) Tổng bình phơng các khoảng cách từ trực tâm đến đỉnh của tam giác và cạnh đối diện bằng bình phơng đờng kính vòng tròn ngoại tiếp.
7) Định lý Fagnano. Trong tất cả các tam giác nội tiếp trong một tam giác nhọn, tam giác trực tâm có chu vi nhỏ nhất.
Chứng minh
Cho tam giác ABC có tam giác trực tâm là DEF. lấy D’ và D” đối xứng của D qua Ab và AC. Theo định lý 1 ta có D’, E, F, D” thẳng hàng và chu vi của tam giác DEF bằng đoạn D’D”.
Xét tam giác bất kì MNP nội tiếp trong tam giác ABC và không trùng với tam giác DEF. Ta chứng minh cv. DFE < cv. MNP.
Giả sử M khác D, lấy M’ và M” đối xứng của M qua AB và AC. Do gócBAC nhọn nên gócM’AM” < 1800 và M’M” cắt AB và AC ở P’ và N’
Ta có cv. MN’P’ = M’M” ≤ cv. MNP (= M’P + PN + NM”). Dấu bằng xẩy ra khi P’ ≡ P và N’ ≡ N.
Ta so sánh D’D” với M’M”, tức là so sánh cạnh đáy của hai tam giác cân D’AD” và M’AM”, có góc ở đỉnh bằng nhau (gócM’AM” = gócD’AD” = 2gócA).
Vì cạnh bên AD’ = AD = AD” nhỏ hơn AM’ = AM = AM” nên D’D” < M’M”, tức là cv.DEF < cv.MN’P’ ≤ cv. MNP. dpcm.
Bài tập 1. Chứng minh rằng tam giác trực tâm của một tam giác ABC có các cạnh đối song với các cạnh tơng ứng của tam giác ABC.
Giải:
Vì BB’ ⊥ AC và CC’ ⊥ AB nên CB’C’B nội tiếp một đ- ờng tròn. Do đó góc AB’C’ = góc B
Do đó B’C’ đối song với CB. Tơng tự ta có
C’A’ đối song với AC và B’A’ đối song với AB.
Bài tập 2. Cho một tam giác nhọn ABC với trực tâm O. Trên các đoạn OB và OC ngời ta lấy các điểm B’và C sao cho ’ AB Cã ' = ãAC B' = 900. Chứng minh rằng AB = AC . ’ ’
Giải.
Gọi B” và C” là chân đờng cao hạ từ B và C. Vậy B”C” đối song với BC
Do đó ∆AB”C” ∼∆ABC => AB AC
AB AC
" "
= hay AB”. AC = AC”. AB (1)
Vì hai tam giác AB’C và AC’B là những tam giác vuông và B’B” ⊥ AC, C’C” ⊥ AB nên
AB’. AC = AB’2 (2) AC’. AB = AC’2 (3) Từ (1), (2) và (3) ta có AB’ = AC’
Bài tập 3. Từ một điểm bất kì D trên cạnh AB của một tam giác ABC, kẻ DE đối song với BC, cắt AC tại E. Kẻ DF song song với AC, cắt BC tại F, rồi từ F kẻ FG đối song với AB, cắt AC tại G. Kẻ GK song song với BC, cắt AB tại K, rồi kẻ tiếp KI đối song với AC, cắt BC tại I. Chứng minh rằng