Đề cương hình học tam giác

Đề cương hình học-tam giác PHẦN MỞ ĐẦU ĐẶC ĐIỂM CHUNG CỦA BỘ MƠN HÌNH HỌC Kiến thức mơn tốn nói chung, mơn hình học nói riêng đ ược xây d ựng theo m ột h ệ th ống chặt chẽ : Từ hệ thống Tiên đề đến Định nghĩa khái niệm – Định lý – Hệ Đối với tốn thơng thường, học sinh cần vận dụng vài khái niệm, định lý, hệ qu ả để giải Đối với tốn khó, để xác định hướng giải ( c ũng để gi ải đ ược ) học sinh cần nắm hệ thống kiến thức ( lý thuyết ) mà cón cần nắm hệ thống tập , s dụng chúng “Bổ đề “ Do để giải tốt tốn hình học, học sinh cần : a/Nắm hệ thống kiến thức lý thuyết b/Nắm hệ thống tậP c/Biết cách khai thác giả thiết nhằm : -Đọc hết thông tin tiềm ẩn giả thiết, nắm chắc, n ắm đ ầy đ ủ ta có, ta ch ưa có Từ giúp ta xây dựng hướng giải, vẽ đường phụ giúp ta giải tốn nhi ều cách d/Biết cách tìm hiểu câu hỏi ( kết luận ) : +Nắm phương pháp chứng minh dạng tốn ( cần lưu ý định nghĩa khái niệm ) +Biêt đưa toán trường hợp tương tự +Nắm ý nghĩa câu hỏi để chuyển sang dạng tương đương Ví dụ để chứng minh biểu thức M khơng phụ thuộc vị trí cát tuyến d d quay quanh điểm O ta c ần chứng minh M = số Từ vào điều ta có điều ta phải chứng minh để định hướng giải giải toán Các toán nâng cao tập tài liệu đ ược phân loại , s ắp x ếp h ệ th ống theo “Hình n ền “ mà đầu cho sở phân thành nhiều nhóm khác nhau, qua giúp cho có th ể tìm hi ểu chun sâu chủ đề giúp cho thực đ ược yêu c ầu nêu giúp tra cứu dễ dàng PHẦN A : TAM GIÁC I.TAM GIÁC THƯỜNG 1/ Tam giác tổng quát 2/ Tam giác – Phân giác 3/ Tam giác – Đường cao 4/ Tam giác – Đường cao - Phân giác 5/ Tam giác - Trung tuyến 6/ Tam giác – Trung tuyến – Phân giác 7/ Tam giác – Đường cao – Trung tuyến 8/ Tam giác – Đường cao – Trung tuyến – Phân giác 9/ Tam giác – Đường cao - Trung trực II/ TAM GIÁC ĐẶC BIỆT : PHẦN B : TỨ GIÁC 1/ Tứ giác 2/ Hình thang 3/ Hình bình hành 4/ Hình chữ nhật 5/ Hình vng PHẦN C : ĐƯỜNG TRỊN Đề cương hình học-tam giác MỘT SỐ VÍ DỤ PHẦN A : TAM GIÁC I.TAM GIÁC THƯỜNG CHỦ ĐỀ : TAM GIÁC TỔNG QUÁT I/ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HAY DÙNG 1/ 2/ 3/ Các bất đẳng thức tam giác Bất đẳng thức Cô si ( Ap dụng số không âm ) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cho 2n số a1 ; a2 ; … ; an ; b1 ; b2 ; … ; bn ta có : ( a1b1 + a2b2 + … + anbn )2 ≤ ( a12 + a22 + … + an2 ) ( b12 + b22 + … + bn2 ) Dấu “ = “ xảy ⇔ 4/ a a1 a = = = n b1 b2 bn Giá trị lớn tổng hai số a2 + b2 ≥ ½ ( a + b ) ⇔ 5/ 2( a + b ) Dấu “=” xảy ⇔ a = b Giá trị lớn tích hai số a/ a.b ≤ a2 + b2 Dấu xảy b/ ( a + b )2 ≥ ab 6/ a+b ≤ ab ≤ Hay ⇔ a=b ( a + b) Dấu “=” xảy ⇔ a = b a/ a2 + b2 + c2 < ( ab + bc + ca ) b/ a4 + b4 + c4 < ( a2b2 + b2c2 + c2a2 ) c/ a2 ( b + c – a ) + b2 ( c + a – b ) + c2 ( a + b – c ) ≤ 3abc 7/ ( a+b-c )( b+c-a )( c+a-b ) ≤ abc 8/ a/ 9/ 10/ 1 + + ≥ a b c p 1  1 1 + + ≥ 2 + +  c/ p−a p −b p −c a b c 9c 1 1 + + = a/ (1) hb hc r b/ ( p – a ) ( p – b ) ( p – c ) ≤ d/ ab bc ca + + ≥ 4p p−c p−a p −b b/ ma + mb + mc ≤ a/ ma2 + mb2 ≥ b/ abc 9R + hb + hc ≥ 9r (2) c/ 9r 1 9r ≤ + + ≤ 2s a b c 4S II/ DIỆN TÍCH TAM GIÁC Gọi a , b , c độ dài cạnh ; , hb , hc độ dài đường cao , ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến hạ từ đỉnh A , B , C ; p chu vi ; R , r bán kính đường trịn ngoại tiếp đ ường tròn n ội ti ếp ∆ ABC 1/ S = ½ ha.a = ½ hb.b = ½ hc.c 2/ S = ½ absinC = ½ bcsinA = ½ acsinB 3/ S = ½ pr = 4/ S ≤ abc = 4R p ( p − a )( p − b)( p − c) ( tham khảo ) ( cha + bhc + ahb ) 5/ Cho a , b , c độ dài ba cạnh tam giác , S diện tích tam giác Chứng minh : a/ a2 + b2 + c2 ≥ 4S b/ 2(ab + bc + ca ) ≥ 4S + a2 + b2 + c2 Đề cương hình học-tam giác 6/ Chứng minh tất cạnh tam giác nhỏ diện tích c tam giác nhỏ III/ CHU VI TAM GIÁC 1/ Trong tất tam giác cạnh đáy góc đỉnh đối diện với c ạnh , tìm tam giác có chu vi l ớn 2/ Trong tất tam giác có chung đáy đỉnh thuộc đường thẳng song song với đáy , tìm tam giác có chu vi nhỏ 3/ Tìm tam giác có chu vi nhỏ cho đỉnh điểm A cho trước , hai đ ỉnh B C n ằm đường thẳng d1 , d2 cho trước IV/ TAM GIÁC - THÊM MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN 1/ Cho ∆ ABC Từ đỉnh A, phía BC kẻ hai đường thẳng, đường thẳng AD t ạo v ới AB m ột góc C, đường thẳng AE tạo với AC góc góc B Chứng minh ∆ ADE cân HƯỚNG DẪN A a/ Nếu góc A nhọn Xét ∆ ADB : ADB = 1800 – ( B + C ) = A Xét ∆AEC : AEC = 1800 – ( B + C ) = A ADE = B + C ; AED = B + C ; C – B = 2D = 600 ⇒ AED = ADE ⇒ ∆ADE cân E B C D b/Nếu góc A tù Xét hai tam giác ABD AEC : ADE = B + C ; AED = B + C ⇒ ∆ AED cân c/ Nếu góc A = 900 D ≡ E 2/ Chứng minh cạnh a , b , c ∆ ABC thỏa mãn a2 = b2 + bc góc A B thỏa mãn góc A = 2B HƯỚNG DẪN B c a c b D A C Trên tia đối tia AC lấy D cho : AD = AB = c Từ a2 = b2 + bc ta suy : a b+c = Suy : b a ∆ CAB ~ ∆ CBD ⇒ CBA = CDB ; CAB = CBD = CBA + ABD Nhưng A = ABD ( theo cách dựng ) ⇒ ABC = ABD ˆ ˆ ⇒ A = 2B 3/ Cho ∆ ABC có góc C tù A = 2B Đường thẳng qua B vng góc với BC c AC t ại D Gọi M trung điểm AB Chứng minh AMC = BMD D HƯỚNG DẪN A J I C M B Đề cương hình học-tam giác Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt DM I , cắt DB J Ta có : CI IJ ID = (= ) Mà AM MB DM AM = MB nên CI = IJ Mặt khác ∆ CBJ vuông B nên IB = CI hay ICB = IBC Với ICB = CBA ta có : IBC = CBA Do IBA = CAB Chứng tỏ ACIB hình thang cân Từ : AC = BI Do : ∆ CMA = ∆ IMB (cgc) ⇒ AMC = BMD 4/ ∆ ABC có tính chất : tồn P tam giác cho PAB = 10 ; PCA = 300 ; PBA = 200 ; PAC = 400 Tính góc B C B HƯỚNG DẪN P A C A’ Gọi A’ điểm đối xứng A qua BP Suy APA’ = 600 ∆ APA’ Gọi E giao điểm PC VÀ BA’ , ta có : PEA’ = 1200 = EA’C + ECA’ ⇒ Tứ giác AA’EP nội tiếp đường trịn Từ ta có : AEA’ = APA’ = 600 CEA’ = 600 nên ta suy BA’ đường trung rtực AC Vậy A = C = 500 , B = 800 BÀI TỐN SUY LUẬN Ví dụ : Cho đoạn thẳng , đoạn thẳng có độ dài m v ới ≤ m < 13 m nguyên Chứng minh chọn đoạn thẳng để dụng tam giác M ệnh đ ề cịn hay khơng có đoạn thẳng ? HƯỚNG DẪN Nếu a , b , c ba cạnh tam giác có a < b + c ( ) ; b < c + a ( ); c < a + b (3) Giả sử a ≥ b ≥ c (2) , (3) nghiệm điều kiện ( ) Vậy ta rút nhận xét sau : Ba số dương xem số đo ba cạnh tam giác số lớn ba số nhỏ tổng hai số cịn lại Gọi đoạn thẳng cho m1 ; m2 ;… ; m7 Giả sử m1 ≤ m2 ≤ … ≤ m7 < 13 Nếu không chọn đoạn thẳng để làm cạnh tam giác t nhận xét ta có : m3 ≥ m + m ≥ + = m4 ≥ m + m ≥ + = m5 ≥ m + m ≥ + = m6 ≥ m + m ≥ + = m7 ≥ m5 + m6 ≥ + = 13 Kết m7 ≥ 13 ( trái gt ) , tồn ba đoạn thẳng làm cạnh c tam giác Khẳng định khơng cịn sử dụng đoạn thẳng Thật phần ví d ụ sau minh họa điều : Chọn m1 = m2 = ; m3 = ; m4 = ; m5 = ; m6 = , khơng có ba đoạn thẳng thỏa mãn (1 ) , ( ) , ( ) CHỦ ĐỀ : TAM GIÁC – PHÂN GIÁC 1/ Cho ∆ ABC với AB > AC Điểm M ( khác A ) thuộc đường phân giác N ( khác A ) thu ộc đ ường phân giác ngồi góc A Chứng minh : a/ AB – AC > MB – MC b/ AB + AC < NB + NC 2/ Ba đường phân giác AD , BE , CF ∆ ABC gặp O Từ O dựng OG vuông góc với BC Đề cương hình học-tam giác a/Chứng minh góc BOD = góc COG b/Tính góc BOC theo A c/Tính góc GOD theo góc B góc C 3/ Cho ∆ ABC , đường phân giác AA’, BB’, CC’ Gọi L giao điểm c AA’ B’C’ , K giao ểm CC’ A’B’ Chứng minh : BB’ phân giác góc KBL 4/ Cho ∆ ABC có dộ dài cạnh a,b,c l a , lb , lc độ dài đường phân giác ứng với cạnh BC , CA , AB Chứng minh : 1 1 1 + + < + + a b c l a lb lc HƯỚNG DẪN E Chú ý nhận xét : + Ta tạo đoạn thẳng b+c cách từ B vẽ tia Bx // Ac cắt AC E c = + (1) ( tương tự la 2bc 2c 2b b D + Ta chứng minh a C quan đến b , c , la ) với trường hợp cịn lại ) cách tính BE ( liên Qua B vẽ đường thẳng song song với đường thẳng AD c CA t ại E ∆ ABE cân E Xét ∆ ABE ta có : BE < AB + AE = 2AB = 2c Xét ∆ CBE ta có : AD // BE ⇒ BE CE = AD AC b+c 1 AD.CE l a (b + c) > = + (1) = < 2c ⇒ la 2bc 2c 2b AC b 1 1 1 > + (2) > + (3) Chứng minh tương tự ta có : l b 2a 2c l c 2b 2a ⇔ BE = Lấy (1) + (2) +(3) suy điều phải chứng minh 5/ Cho tam giác ABC có phân giác AY , BZ , CX Chứng minh : AX BY CZ + + ≥ XB YC ZA HƯỚNG DẪN Nhận xét ý : + Bài toán cho đường phân giác nên ý đến tính chất đường phân giác tam giác + Bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức nên ý đến BĐT ý đến BĐT Côsi A Z X B Y C Ap dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương AX BY CZ ; ; XB YC ZA ta có : AX BY CZ AX BY CZ + + ≥33 XB YC ZA XB YC ZA AX BY CZ b c a AX BY CZ = + + ≥ Do XB YC ZA a b c XB YC ZA Theo tính chất đường phân giác : Dấu “=” xảy a = b = c t ức ∆ ABC 6/ Cho ∆ ABC , ba đường phân giác AD , BE , CF Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC SDEF = ¼ SABC Đề cương hình học-tam giác 8/ Cho ∆ ABC có độ dài ba cạnh a , b , c Vẽ phân giác AD , BE , CF Chứng minh SDEF ≤ ¼ SABC , dấu “=” xảy ⇔ ∆ ABC TÍNH ĐỘ LỚN CỦA GÓC 1/ Cho ∆ ABC , đường phân giác BD , CE Tính số đo góc tam giác n ếu BDE = 24 , CED = 180 2/ Cho ∆ ABC , góc B C có tỉ lệ : , phân giác c góc A chia di ện tích tam giác theo t ỉ s ố 2: Tính góc tam giác HAI ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 1/ Cho ∆ ABC có hai đường phân giác BD , CE cắt I Biết ID = IE Chứng minh r ằng ∆ ABC cân A BAC = 600 HƯỚNG DẪN A E’ D E I C B AI đường phân giác góc A Khi hai ∆ IEA ∆ IDA xảy hai trường hợp : a/ ∆ IEA = ∆ IDA Khi : BAD = CAE ; AD = AE ; BDA = CEA ⇒ ∆ ABD = ∆ ACE ( g – c – g ) ⇒ AB = AC ⇒ ∆ ABC cân A b/ ∆ IEA ∆ IDA không ⇒ ∆ ABC không cân A Không tính tổng quát ta giả sử : C > B Lấy điểm E’ AB cho IE’ = IE = ID ⇒ ∆ IE’E cân ⇒ IE’E = IEE’ ⇒ BEI = IE’A = IDA Xét tứ giác ADIE có : D + E = 1800 ⇒ A + DIE = 1800 ⇒ A + BIE = ICB + IBC ⇒ 2A = 2ICB + 2IBC = C + B Mà BIE + DIE = 180 A + B + C = 1800 ⇒ A + 2A = 1800 ⇒ A = 600 CỰC TRỊ 1/ Cho ∆ ABC với AB ≤ AC AD đường phân giác Lấy điểm M c ạnh AB điểm N c ạnh AC cho BM.CN = k không đổi ( k < AB2 ) Xác định vị trí M , N cho diện tích tứ giác AMDN lớn HƯỚNG DẪN Nhận xét : 1/ BM + CN ≥ BM CN 2/ SAMDN = SAMD + SADN 3/ M A M K N H B D C Bk H đv E Hạ DH , DK vng góc với AB AC Ta có : DH = DK = số ( AD phân giác c góc A ) 2SAMDN = 2SADM + 2SADN = DH.AM + DK.AN = DH( AM + AN ) = DH [AB+AC – (BM+CN)] (1) Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương BM , CN : BM + CN ≥ BM CN = k , dấu “ = “ xảy ⇔ BM = CN Thay vào (1) ta : 2SAMDN ≤ DH(AB+AC- k ) Diện tích tứ giác AMDN lớn BM = CN = k < AB ≤ AC Đề cương hình học-tam giác Lúc SAMDN = ½ (AB+AC - k ) Dễ dàng dựng đoạn thẳng BM , CN theo hệ thức BM = CN2 = k.1 ( đơn vị dài ) Cách dựng : Trên BC lấy E cho BE = BF lấy H cho BH = k Dựng đường trịn đường kính BE , dựng tia Hx vng góc với BE cắt đường trịn M BM có độ dài c ần dựng CHỦ ĐỀ : TAM GIÁC – ĐƯỜNG CAO 1/ Cho ∆ ABC có a > b > c Chứng minh : a/ < hb < hc b/ a + ≥ b + hb 2/ Cho ∆ ABC có ba cạnh a , b , c ba đường cao , hb , hc Chứng minh 1 + + = hb hc p( p − a) + p ( p − b) + p ( p − c) tam giác ABC tam giác ( p nửa chu vi ∆ ABC 3/ Chứng minh tam giác có cạnh khơng t c c ạnh l ớn đường cao tương ứng lớn tổng cạnh nhỏ đường cao tương ứng 4/ Cho ∆ ABC có đường cao AA’ , BB’ , CC’ Chiếu A’ lên AB , AC , BB’ CC’ I , J , K , L Chứng minh điểm I , J , K , L thẳng hàng 5/ Cho ∆ ABC , đường cao AH Gọi C’ điểm đối xứng H qua AB G ọi B’ điểm đ ối xứng c H qua AC Gọi giao điểm B’C’ với AC AB I K Chứng minh BI CK đ ường cao c ∆ ABC ĐƯỜNG CAO – CHU VI TAM GIÁC 1/ Chứng minh ∆ ABC ta có : p2 ≥ ha2 + hb2 + hc2 ( p nửa chu vi tam giác ABC ) 2/ Cho ∆ ABC Xác định điểm M , N , P theo th ứ t ự thu ộc c ạnh BC , CA , AB cho chu vi ∆ MNP nhỏ ĐƯỜNG CAO - BẤT ĐẲNG THỨC - CỰC TRỊ 1/ Cho điểm A , B có định điểm M di động cho ∆ MAB có góc nhọn Gọi H trực tâm ∆ AMB , K chân đường cao vẽ từ M Tìm giá trị lớn KH.KM CHỦ ĐỀ 4: TAM GIÁC – ĐƯỜNG CAO - PHÂN GIÁC 1/ Đường cao đường phân giác vẽ từ đỉnh A ∆ABC tạo thành góc Tính góc đo theo góc B C tam giác ABC ( chứng minh góc nửa hiệu hai góc B C ) HƯỚNG DẪN Chú ý vànhận xét : + D nằm H trung điểm M ( chứng minh phần sau ) + Tìm cách tạo góc B – C tính B-C A B H D E C Cách : Từ A vẽ tia AE cho CAE = BAH Suy : HAD = DAE , HAE = HAD B = 900 – BAH C = 900 – HAE - CAE B – C = HAE = HAD Cách : B = 900 – BAH C = 900 – CAH B – C = CAH - BAH = CAD + HAD – ( BAD – HAD ) = HAD 1.1/ Cho ∆ ABC đường phân giác CE Từ C kẻ đường thẳng vng góc với CE cắt cạnh AB kéo dài t ại D Chứng minh góc EDC nửa hiệu góc A B 1.2/ Đuờng phân giác kẻ từ đỉnh A ∆ ABC tạo với cạnh BC góc 300 Tìm hiệu góc C B ( Cho AB > AC ) Đề cương hình học-tam giác 1.3/ Chứng minh tam giác hiệu góc đáy b ằng 90 đường phân giác đường phân giác ngồi góc đỉnh CHỦ ĐỀ 5: TAM GIÁC - TRUNG TUYẾN 1/ Chứng minh tam giác ta có : 20 (mamb + mbmc + mcma ) < ab + bc + ca < (mamb + mbmc + mcma ) HƯỚNG DẪN A P N G Q B M C + Trong tam giác ta có : ma + mb + mc < a + b + c ⇒ ma2 + mb2 + mc2 + 2(ma + mb + mbmc + mcma ) < a2 + b2 + c2 + ( ab + bc + ca ) ( ) 3a + 3b + 3c a2 + b2 + c2 Nên ( ) ⇔ 2(mamb + mbmc + mcma ) < + ( ab + bc + ca ) ab + bc + ca < + ( ab + bc + ca ) ⇔ (mamb + mbmc + mcma ) < ab + bc + ca ( * ) 1 + Kẻ PQ // AM ; AM , BN , CP trung tuyến ∆ ABC ∆ PQG có cạnh : ma ; mb ; mc 3 a b c trung tuyến ; ; 4 Do : ma2 + mb2 + mc2 = Ap dụng bất đẳng thức ( * ) vào ∆ PQG ta có : a b b c c a 1 1 1 ( + + ) < ma mb + mb mc + mc ma 4 4 4 3 3 3 20 ⇔ ab + bc + ca < (mamb + mbmc + mcma ) 2/ Cho ∆ ABC , trung tuyến AM Một cát ến ∆ quay quanh trọng tâm G cắt AB , AC t ại P Q AB AC + Chứng minh : không phụ thuộc vị trí ∆ AP AQ 3/ Tam giác ABC có ¼ AC < AB < 4AC Một đường thẳng qua tr ọng tâm G c ∆ ABC , cắt cạnh AB , AC E , F Hãy xác định vị trí điểm E cho AE + AF đ ạt giá tr ị nh ỏ nh ất ( M r ộng ) 4/ Cho ∆ ABC , trung tuyến AD Từ điểm M BD vẽ đ ường thẳng song song v ới AD c AB E , cắt AC F Chứng minh : 2AD = ME + MF HƯỚNG DẪN Chú ý nhận xét : + 2AD = ME + MF ⇔ ME + MF =2 AD + Tạo đoạn thẳng ME + MF BẤT ĐẲNG THỨC - CỰC TRỊ 1/ Có tồn hay khơng tam giác có hai trung tuyến AD CE nhỏ n ửa c ạnh đ ối di ện Đề cương hình học-tam giác HƯỚNG DẪN B E D A C AD < ½ BC ⇒ AD < DC ⇒ AD < DB ; CE < ½ AB ⇒ EC < AE Do : DCA < DAC ; DBA < DAB ⇒ DCA + DBA < DAC + DAB ⇒ 1800 – CAB < CAB ⇒ CAB tù nên CE > AC Điều mâu thuẫn với giả thiết , không tồn tam giác thỏa mãn bất đẳng thức : CE + AD < ½ ( AB + BC) b+c−a b+c < ma < 2 DIỆN TÍCH 1/ Tìm tỉ số diện tích tam giác ABC với di ện tích c tam giác khác có c ạnh b ằng trung tuyến ∆ ABC B HƯỚNG DẪN 3/Chứng minh tam giác ta có : K H F A M O E C SBOF = ½ OH.BF SABC = ½ CK.AB = ½ 3OH.2BF = 3OH.BF ⇒ SBOF = 1/6 SABC D Kéo dài BE thêm đoạn ED = EO ⇒ Tứ giác AOCD hình bình hành Ta có : OD = 2/3 BE ; CD = OA = 2/3 AM ; OC = 2/3 CF ⇒ ∆ CDO đồng dạng với tam giác có ba cạnh trung tuyến ∆ ABC Gọi S’ diện tích tam giác Ta có : S' = ( ) ⇒ S’ = 9/4 SCDO Mặt khác tam giác nhỏ OBF , OFA … có diện tích S CDO S ABC = 1/6 SABC ⇒ SCDO = 1/3SABC ⇒ S ' = S ABC = S ABC ⇒ 4 S' 2/ Cho ∆ ABC có diện tích đơn vị Trung tuyến CF V ẽ AD ( D n ằm c ạnh BC ) c CF M cho FM = ¼ CF Tính diện tích ∆ ABD CHỦ ĐỀ 6: TAM GIÁC – TRUNG TUYẾN – PHÂN GIÁC 1/ Cho tam giác có góc tù Thành cho r ằng trung ến k ẻ t đ ỉnh c góc nh ọn c tam giác đồng thời đường phân giác góc nhọn Cóng cho điều khơng thể có đ ược H ỏi b ạn nói ? Vì ? B HƯỚNG DẪN D A C Cách : Trong ∆ ABC đường phân giác góc nhọn A đường trung ến , ∆ ABC cân A Mà góc B > 900 ( gt ) ⇒ góc C = góc B > 1800 ( vơ lý ) Vậy Cơng nói Cách : Giả sử Thành nói tức Thành nói sai DB AB = = ⇒ AB = AC điều vơ lý trái giả thiết , DC AC Đề cương hình học-tam giác 2/ Cho ∆ ABC có BC < BA , đường trung tuyến BD , đ ường phân giác BE Đường th ẳng qua C vng góc với BE F cắt BD G Chứng minh DF qua trung điểm c đoạn thẳng GE HƯỚNG DẪN B F C K G E A D Gọi K giao điểm CG với AB , ∆ BCK cân B nên F trung điểm của CK Từ FD // AB FD = ½ AK GB BK GB + GD BK + FD BD BF + FD = = = = ⇔ GD FD GB BK GB BK GB BK BK BC = = = suy (1) BD FD + BK AK + BK BC + AB Từ ∆ BGK ~ ∆ DGF ⇒ Ap dụng tính chất đường phân giác ∆ ABC ta có : BC EC = BA EA BC EC BC EC EC EC = = = = (2) ⇒ BC + AB CA BC + AB CA 2CD CD GB EC = Từ (1 ) (2) ta suy : ⇒ GE // BC Vì DF qua trung điểm BC nên BD CD ⇒ qua trung điểm GE Cách : Ta có : ∆ KBC tam giác cân B ⇒ FK = FC ⇒ DF // AK DF = ½ AK CE DC − DE DC AD AE − DE AE AB = = −1 = −1 = −1 = −2= − ( Vì DF // AB) DE DE DE DE DE DE DF AB − DF AB − AK BK BG = = = = ⇒ GE // BC DF DF DF GD Vì M trung điểm BC nên DF chia đôi GE TÍNH ĐỘ LỚN 1/ Tam giác ABC có đường trung tuyến BM đường phân giác CD cắt K cho KB = KC Biết BAC = 1050 Tính góc ABC , ACB HƯỚNG DẪN A D B K H M C Dựng AH ⊥ BC , nối HM Khi MH = MA = MC suy MHC = MCH = 2BCK Theo giả thiết KB = KC ⇒ KBC = KCB Vậy có MHC = 2KBC (1) Mặt khác MHC = KBC + HMB (2) T (1 ) (2) suy KBC = HMB hay ∆ HMB cân H ⇒ MH = HB Giả sử HA > HB , lúc ABH > BAH ⇒ BAH < 450 ABH >450 Vì BAH + CAH = 1050 nên CAH >600 Tam giác AMH cân đỉnh M suy AHM = HAM > 60 ⇒ AMH < 600 Do đ1o HA < MH = Đề cương hình học-tam giác 2/ Ký hiệu la , lb , lc , ma , mb , mc , , hb , hc tương ứng độ dài đường phân giác , đường trung tuyến , đường cao kẻ tới cạnh a , b , c tam giác ABC Chứng minh : ma mb mc + + ≥ hb +l b hc +l c +l a HƯỚNG DẪN A B M P M C N Dựng đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC , kéo dài đường phân giác AP cắt đường tròn N N điểm cung BC : MN ⊥ BC trung điểm M BC , hay AH//MN Suy P n ằm đoạn HM , AH ≤ AP ≤ AM , nghĩa : ≤ la ≤ ma Từ ta + la ≤ 2ma Chứng minh tương tự ta : hb + lb ≤ 2mb ; hc + lc ≤ 2mc Để ý hi + li = 2mi ⇔ hi = li = mi ⇔ ∆ A1A2A3 cân đỉnh AI ma ma Suy chứng minh tương tự ta bất đẳng thức tương t ự ≥ hb + l b 2mb Cộng vế bất đẳng thức áp dụng bất đẳng thức si cho số dương ta đ ược : ma mb mc ; ; mb mc ma ma mb mc m mc m a mb m c m + + ≥ ( a + b + ) ≥ 33 = hb + l b hc + l c + l a mb mc ma mb mc m a Dấu xảy ∆ ABC tam giác suy từ đẳng thức m m + m + m3 m1 m hi + li = 2mI ( i = , , ) = = = =1 m2 m3 m1 m + m3 + m1 3/ Cho tam giác nhọn ABC không Kẻ đường cao AH , trung ến BM , phân giác CL c ACB Trung tuyến BM cắt AH CL P Q CL cắt AH R Chứng minh ∆ PQR tam giác CHỦ ĐỀ : TAM GIÁC – ĐƯỜNG CAO - TRUNG TRỰC 1/ Cho ∆ ABC , O giao điểm đường trung trực cạnh , H trực tâm c tam giác , M trung ểm BC a/ Chứng minh : AH = OM b/ Chứng minh ba điểm H , O , G thẳng hàng ( đường thẳng Ơ Le ) 2/ Cho tam giác ABC nhọn có A = 600 Gọi H trực tâm ∆ ABC Gọi M , N giao điểm đường trung trực BH CH với AB AC Chứng minh ba điểm M , N , H thẳng hàng Đề cương hình học-tam giác 3/ Cho ∆ ABC có ABC = 300 ; ACB = 200 Đường trung trực AC cắt BC E , cắt tia BA F Chứng minh AF = EF AC = BE HƯỚNG DẪN F A K C E B P a/ Gọi K giao điểm AC EF ∆ EAC cân E ⇒ EAK = ECK = 200 Mặt khác FAC = ABC + ACB = 500 ⇒ FEA = 700 (1) ; AEK = KEC = 900 – KCE = 700 (2) Từ (1) (2) ta suy ∆ FAE cân F ⇒ AF = EF b/ Cách : Hạ EH ⊥ AF ( H ∈ AF ) Ta có AK = EH ( ∆ FAE cân ) tam giác vng BHE có B = 30 ⇒ EH = ½ BE Mặt khác AK = ½ AC ⇒ AC = BE Cách : Trên tia KE lấy P cho ∆ PAC tam giác Ta có : FAP = FAC + CAP = ABC + ACB + CAP = 500 + 600 =1100 ; FEB = 900 + ECK = 1100 ⇒ FAP = FEB Từ suy ∆ FAP = ∆ FEB ( g.c.g) ⇒ BE = AP = AC TÍNH ĐỘ LỚN CỦA GĨC 1/ Cho ∆ ABC Dựng đoạn thẳng BD cho ABD = 600 , BD = BA tia BA nằm hai tia BC , BD Dựng đoạn thẳng BE cho CBE = 600 , BE = BC tia BC nằm hai tia BA , BE Gọi M trung điểm DE , P giao điểm hai đường trung trực đoạn thẳng BA BD Tính góc ∆ CMP HƯỚNG DẪN N E M D B P A C Từ giả thiết ta suy ∆ ABD ∆ BCE nằm phía ngồi ∆ ABC tia đối tia MP lấy điểm N cho MN = MP Ta có ∆ PMD = ∆ NME ( c.g.c) ⇒ PD = NE PD // NE , mà PD ⊥ AB ⇒ EN ⊥ AB Hạ EH ⊥ BC ta có NEH = ABC ⇒ PBC = NEC Từ ∆ PBC = ∆ NEC (c.g.c ) ⇒ CP = CN Mặt khác PCB = NCE ⇒ PCN = BCE 600 ⇒ ∆ CPN tam giác Vì M trung điểm PN nên PMC = 900 ; MPC = 600 ; PCM = 300 Đề cương hình học-tam giác TAM GIÁC CÂN 1/ Cho giác cân ABC ( AB=AC ) Từ trung điểm H c BC hạ HE vng góc v ới AC G ọi O trung ểm HE Chứng minh AO ⊥ BE A HƯỚNG DẪN D B E F C O H Cách : Hạ BD ⊥ AC ∆ CDB ~ ∆ CEH ~ ∆ HEA E O trung điểm của cạnh tương ứng c hai tam giác đ ồng dạng CDB , HEA ⇒ ∆ CEB ~ ∆ HOA ( ∆ CDB ~ ∆ HEA ⇒ CD CB 2CE CB = ⇒ = ) HE HA HO HA CE CB = ⇒ ∆ CEB ~ ∆ HOA ⇒ CBE = HAO BCHO HA ⇒ Xét hai tam giác BHI AKI cho ta : AKI = 900 Cách : Từ H kẻ HF // BE ⇒ FE = FC ⇒ OF // HC ⇒ OF ⊥ AH Xét ∆ AHF có hai đường cao gặp O ⇒ AO ⊥ HF hay AO ⊥ BE 2/ Cho giác cân ABC ( AB = AC ) , trung tuyến CE Kéo dài AB thêm đoạn BD = AB Chứng minh : CE = / CD A HƯỚNG DẪN E F’ B C F Cách : Gọi F trung điểm CD , ta có : BF //= ½ AC ⇒ BF = BE ; CBF = ACB ( so le ) ⇒ CBF = ABC ⇒ ∆ BEC = ∆ BFC ( cgc ) ⇒ CE = CF ⇒ CE = ½ CD Cách : Vẽ trung tuyến BF’ BF’ đường trung bình ∆ ADC BF’ = CE = ½ CD 3/ Cho tam giác ABC cân C Kẻ trung tuyến CM phân giác AD Tính góc C biết AD = CM F HƯỚNG DẪN C D K A M B Đề cương hình học-tam giác Vẽ Ax ⊥ AB cắt BC F Ta có : CM = ½ FA ⇒ AF = AD ⇒ ∆ FAD cân F ⇒ F = MCB = MCA = ADC Vì ADF = B + ½ A = 3/2 B ⇒ MCB = 3/2 B Và : MCB + B = 900 ⇒ 5/2 B = 900 ⇒ B = 360 ; C = 1080 4/ Cho giác cân ABC ( AB=AC ) Dựng tia Bx tam giác tia Cy ngồi tam gíac c t ại M cho gócyABx góc ACy Chứng minh góc BMA = góc AMy A’ HƯỚNG DẪN H’ H’’ x A H1 B H M C Cách : Vẽ tia Bx’ tam giác cắt Cy A’ cho A’BA = ABX ∆ A’BC cân A’ ⇒ A , A’ nằm đường trung trực BC ⇒ A’A phân giác BAM ⇒ A giao điểm ba đường phân giác ∆ A’BM ⇒ Điều phải chứng minh Cách : Trên Cy lấy H’’ cho CH’’ = BM ∆ ABM = ∆ ACH’’ ⇒ AM = AH’’ HAM = AMB ⇒ đpcm Cách : Hạ AH ⊥ Bx , lấy HH’ = BH Xét ∆ BA’M có A giao điểm phân giác đường phân giác ⇒ đpcm 5/ Cho ∆ ABC cân A , góc A = 80 Trong ∆ ABC lấy điểm M cho góc MBC = 10 , góc MCB = 300 Tính góc AMB HƯỚNG DẪN I A D E M B C H Cách : Vẽ đường cao AH AH đường cao , đường phân giác , đường trung trực ⇒ EBC = ECB = 300 ⇒ EBM = 200 , ABE = 200 ; EMB = 400 ⇒ AEB = MEB = 1200 ⇒ ∆ AEB = ∆ MEB ⇒ AB = BM ⇒ AMB = 700 Cách : Vẽ tam giác BIC ∆ BAI = ∆ CAI ⇒ BAI = 1400 , IBA = 100 ⇒ ∆ IBA = ∆ CBM ⇒ AB = MB ⇒ ∆ ABM cân B ⇒ AMB = 700 Đề cương hình học-tam giác 6/ Cho ∆ ABC cân A có góc A = 80 tam giác lấy điểm M cho góc ABM = 10 , góc ACM = 200 Tính góc AMB A M B HƯỚNG DẪN K C H Hạ đường cao AH cắt CM K Ta có : KBC = KCB = 300 ⇒ MBK = MBA = 100 ⇒ BKM = 600 ; MKA = HKC = 600 ⇒ M giao điểm hai đường phân giác ∆ ABC nên AM phân giác góc A ⇒ BAM = 20 ⇒ AMB = 1500 7/ Cho giác cân ABC ( AB=BC ) có góc BAC = góc BCA = 80 Tứ đỉnh A C dựng đường thẳng cắt cạnh đối điểm tứơng ứng D E cho góc CAD = 600 , góc ACE = 500 Tính góc ADE HƯỚNG DẪN B F E A D O C Ta có ∆ EAC có : AEC = ACE = 50 nên ∆ EAC cân A Vẽ tia CF cho góc ACF = 60 cắt AD O ⇒ ∆ OAC tam giác ⇒ AOF = 1200 ⇒ OA = OC = AC ⇒ OE = OA ⇒ ∆ EAO cân Vì EAO = 20 ⇒ EOA = 800 ⇒ EOF = 400 Mà AFC = 400 ⇒ ∆ FEO cân ⇒ EF = EO ∆ FOA = ∆ DOC ( g.c.g ) ⇒ OF = OD FOD = 600 ⇒ ∆ FDA tam giác ⇒ ∆ EFD = ∆ EOD ( c.c.c) ⇒ FDE = EDO = 300 Đề cương hình học-tam giác AM  AC  = 2 Cho ∆ABC cân A Hạ BM ⊥ AC Chứng minh :  −1 MC  BC  8/ HƯỚNG DẪN E Tính MC , AM ⇒ AM MC A M B C E Cách : Lấy E đối xứng với C qua A ∆ BCE vng B Ta có : BC BC (1) MC = CE = AC BC 2 AC − BC ( 2) = AC AC AM AC − BC AC Từ (1) (2) ta có : = = 2( ) −1 MC BC BC AC HC = Cách : Hạ AH ⊥ BC Ta có : ∆ AHC ~ ∆ BMC ⇒ BC MC Mặt khác AM = AC – MC = AC − ⇒ AC.MC = BC.HC =2HC.HC = 2HC2 ⇒ AC.MC2 = 2HC2.MC 2 AC HC AM + MC AM  AC   AC   AC  =2 = 2 = 2 = 2  ⇒  ⇒  −1 MC MC MC MC  BC   BC   BC  9/ Cho giác cân ABC ( AB=AC ) , A = 200 Gọi O giao điểm đường trung trực BO cắt AC D Chứng minh AD = BC A HƯỚNG DẪN ⇒ E D O I B H C Cách : Dựng tam giác BIC , I nằm AH Ta có : IB = IC = BC Tam giác OAB cân ⇒ BAO = OBA = 100 ⇒ OBI = 100 ⇒ ∆ AOD = ∆ BOI ( g.c.g ) ⇒ AD = BI ⇒ AD = BC Cách : Dựng tia Bx cho OBx = 100 cắt đường tròn O E A = ABE = 200 ⇒ cung AE = cung BC ⇒ AE = BC D nằm đường trung trực AE nên ∆ ADE cân Ma EAC = EBC = 600 Đề cương hình học-tam giác ⇒ tam giác ADE tam giác Vì AE = BC ⇒ AD = BC 9/ Cho ∆ ABC cân A Trên AB lấy I , AC lấy J cho AI = CJ Chứng minh IJ ≥ ½ BC A HƯỚNG DẪN I J H ML B KC a/ Cách : Hạ IH ⊥ BC , JK ⊥ BC ⇒ IJ ≥ HK Vẽ JL // AB ( L BC ) ⇒ góc B = JLC = C ∆ BJC cân ⇒ JL = JC = AI ⇒ AILJ hình bình hành ⇒ AJ = IL = IB ⇒ ∆ BIL cân ⇒ HL = BH = ½ BL ; KL = KC = ½ LC ⇒ HK = BC – ( BH + KC ) = BC – ( ½ BL + ½ LC ) = BC – ½ BC = ½ BC ⇒ IJ ≥ ½ BC BH BI CK CJ BH + CK BI + CJ = = = ⇒ BM BA CM CA BM AC BH + CK AB = = ⇒ BH + CK = BM = ½ BC hay HK = ½ BC BM AC Cách : 10/ Cho ∆ ABC cân A Lấy điểm D ( khác A ) cho AD // BC Chứng minh DB + DC > AB + AC 11/ Cho ∆ ABC cân A Lấy điểm E , F (khác B , C ) đ ường th ẳng BC cho BAC = EAF Chứng minh AE + AF > AB + AC ( ) HƯỚNG DẪN A + Nếu E , F nằm ngồi có điểm đầu mút đoạn BC (2 ) P EH C F E B F + Nếu E nằm đoạn BC ( với E gần B gần C ) Lấy H , P BC cho AH ⊥ BC , HE = HP ⇒ EAH = PAH Dễ thấy AC tia phân giác PAF Gọi M trung điểm PF Theo tốn ta có AB + AC = 2AC ≤ 2AM < AP + AF = AE + AF 12/ Cho ∆ ABC cân A Lấy điểm M thuộc cạnh AB a/ Kéo dài đoạn CN = BM Chứng minh AM + MN + NA > AB + BC + CA b/ Dựng đường thẳng BP // CM cắt tia AC P Chứng minh AM + MP + PA > AB + BC + CA HƯỚNG DẪN A a/ Dựng MH ⊥ BC NK ⊥ BC Ta có : ∆ MBH = ∆ NCK F M B H E C K Q N P S ⇒ BH = CK ⇒ BC = HK Ta có : MN = ME + EN > HE + EK = HK Từ AM + AN > AB + AC + BC b/ Dựng ∆ CSP với CS // AB ; PS // BC PB cắt đoạn CS Q Ta có : BM = CQ < CS = CP Mặt khác CN = CQ < CP nên MN < MP Từ AM + MP + PA > AM + MN + AC + CN > AB + BC + CA Đề cương hình học-tam giác 13/ Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) , AB = , đường cao CH = Gọi M trung điểm HB , N trung điểm CB AN CM cắt K Chứng minh : AK = KM HƯỚNG DẪN C N K P Q A H B M H’ K’ O trọng tâm ∆ ABC AH = 2HM = Hạ HP ⊥ AN , HQ ⊥ KM Kéo dài KM thêm đoạn MK’ = KM Ta có : H trọng tâm c ∆ KAK’ ⇒ KH qua H’ trung điểm AK’ ⇒ KA = 2KM ⇔ ∆ AKK’ cân ⇔ AKH = HKK’ ⇔ H’P = HQ SAOH = 1/3 SACH = 1/6 SABC = 1/6.1/2 = 12 S AOH 35 + = = ⇒ HP = AO 35 35 = SCHM = CM = CH + HM = + = 16 4 S CHM = HQ = suy điều phải chứng minh CM 35 DIỆN TÍCH AH + HO = AO = 1/ Cho tam giác ABC cân C Cho biết AC = k ( k ≠ ) Vẽ phân giác CM , AN , BP Gọi SABC AB = S , SMNP = S1 Chứng minh : S   = k +  a/   S'  k S b/ S’ < HƯỚNG DẪN A AC NC S NC  = = k ; SCNP ~ SCAB ⇒ =  Nhận xét :   AB NB S  BC  S1 P S2 K C N S3 H M B Đề cương hình học-tam giác a/ SCPN = S1 ; SAMP = S2 ; SBMN = S3 Ta có : S2 = S3 S’ = S – S1 – S2 – S3 Vì AN phân giác nên ta có : NC AC = =k NB AB CN CN BN k CB CN + BN CN = = = = 1+ = + k Vì : BC BC k + BN BN BN BN AC NC = =k Tam giác CPN đồng dạng với tam giác ABC ⇒ AB NB 2 S1  CN   k   k  = = ⇒ S1 = S     S  BC   k +1  k + 1 BN MH S MBN BN = = = S MBC BC k + MH BC ∆APM = ∆BMN ( c g c ) ⇒ 1  2 PK AM  S APM + S BMN S APM  = PK = AP = BN = = =  S S CM AC BC k + CM AB S ⇒ SAPM + SBMN = k +1 2   k + 2k + − k − − k  k S  k  S 1 − − k = S SMNP = S – – S  =  =S  k +1 ( k + 1) ( k + 1)  k +1  k + ( k + 1)    S ( k + 1) =  k +  =  k +  = =         ⇒ S MNP Sk k k  k   ( k + 1) 1 ≥ ( dấu xảy k =1 ) k ≠ ⇒ k + >2 b/ Ta có : k + k +1 k +1 2 S ABC  k +1   > ⇒ đpcm  >4 ⇒ ⇒ k +  >4 ⇒    S MNP k + 1   k  S 2 2/ Từ đỉnh B , C tam giác cân ABC ( AB = AC ) ta n ối v ới trung ểm O c đ ường cao h t đ ỉnh A Các đường thẳng cắt AB , AC t ại E D Tính di ện tích c t ứ giác AEOD n ếu di ện tích c tam giác ABC S A E N B HƯỚNG DẪN D O K M C Đề cương hình học-tam giác Đặt S1 = SAEOD Qua O dựng MN // BC SDOE = S DME ( Có chung cạnh đáy , đường cao ) ⇒ SAME = S1 SAEM = SMEC ⇒ SAEC = 2SAEM = 2S1 ⇒ SAOD = SAOE = ½ S1 SAOC = SACE – SAOE = 2S1 – ½ S1 = 3/2 S1 SAOC = ½ AO.CK = ½.1/2 AK 1/2 BC = 1/8 AK.BC = 1/8 S ⇒ 3/2S1 = 1/8 S ⇒ S1 = 1/6 S 3/ Cho tam giác ABC cân A Các điểm M N theo thứ tự chuyển động c ạnh AB , AC cho AM = CN Xác định vị trí M N để : a/MN có giá trị nhỏ b/Diện tích tam giác AMN có giá trị nhỏ HƯỚNG DẪN A P N Q I M B M’ K A’ N’ C a/Vẽ MM’ , NN’ vng góc với BC Ta có : MN ≥ M’N’ = BC/2 Do : MN = BC / ⇔ MN // M’N’ ⇔ M , N trung điểm AB , AC b/Gọi I trung điểm MN Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB , AC P Q IK đường trung bình hình thang MM’N’N ⇒ IK //= ½ AA’ ⇒ P , Q trung điểm AB , AC Ta ln có SAMN ≤ SAPQ ( ) ⇒ SAMN ≤ ¼ SAB TAM GIÁC CÂN – MỘT ĐƯỜNG THẲNG LUÔN ĐI QUA MỘT ĐI ỂM CỐ ĐỊNH 1/ Cho ∆ ABC cân A Lấy P đường thẳng BC ( P khác B , C ) Gọi M , N ểm đối x ứng P qua AB , AC Dựng hình bình hành MNPQ Chứng minh Q luơn nằm m ột đ ường thẳng P di chuyển đường thẳng BC HƯỚNG DẪN A Q C’ B’ K N W M B P C + Trường hợp P nằm đoạn BC Gọi C’ , B’ điểm đối xứng c C B qua AB , AC Như C’ , B’ cố định Gọi W giao điểm CC’ BB’ Ta có B , M , C’ thẳng hàng ; C , N , B’ thẳng hàng Kẻ NQ // CC’ ( Q ∈ B’C’ ) MK // BB’ ( K ∈ CC’) Ap dụng định lý Talét cho đường thẳng song song ta có : QB' B ' N BP BM KW QB' KW = = = = = Từ Suy QK // B’W tức M , K , Q thẳng QC ' NC PC MC ' KC ' QC ' KC ' hàng Do MPNQ hình bình hành Q nằm đường thẳng cố định B’C’ +Trường hợp P nằm đoạn BC chứng minh tương tự ta kết Vậy Q nằm đường thẳng cố định B’C’ P di chuyển BC Đề cương hình học-tam giác TAM GIÁC ĐỀU 1/ Cho ∆ ABC có góc B = 45 , góc A = 15 Kéo dài BC phía C lấy D đường kéo dài cho DC = CB Tính góc ADB HƯỚNG DẪN D I C H B A Cách : Hạ DH ⊥ CA Ta có : CDH = 300 Gọi I trung điểm DC ; ∆ CHI tam giác ⇒ CH = CB ⇒ ∆ BCH cân C ⇒ CBH = CHB = ½ C = 300 ⇒ ∆ BHA cân H ⇒ HB = HA ⇒ ∆ HAD vuông cân ⇒ HAD = 450 ⇒ ADB = 750 Cách : Hạ DH ⊥ AC ∆ HCD nửa tam giác ⇒ CH = ½ CD ⇒ CH = BC 2/ Cho tam giác ABC, đường cao AH Trên HC kéo dài lấy HE = HA Tứ E k ẻ đường thẳng t ạo v ới EB góc 150 cắt AB kéo dài F Chứng minh ∆ BHF cân HƯỚNG DẪN A B D H C E F Cách : Lấy D đối xứng với E qua H ⇒ DAF = ACE = 150 ( Vì DAH = D = 450 ) ⇒ ∆ DAE vuông cân A ⇒ DH = HA = HE A E nhìn DF góc 15 nên tứ giác ADFE nội tiếp đường trịn , đường kính DE ⇒ DFE = 900 ; BHF = 2E = 300 ⇒ AFH = 300 Đề cương hình học-tam giác ∆ BHF cân B Cách : Vẽ tia Ax ∆ ABC cho BAx = 150 cắt EF D ∆ ADE tam giác có góc 600 Do ta có : AD = AE ⇒ ∆ ABD = ∆ ACE ⇒ ABD = ACE = 1200 ⇒ FBD = 600 ∆ ADH = ∆ EDH ⇒ AHD = EHD = ½ ( 3600 – 900 ) = 1350 ⇒ BHD = 450 Mà BFD = 450 ⇒ ∆ BFD = ∆ BHD ⇒ BF = BH ⇒ 3/ Cho tam giác ABC điểm D đoạn BC Đường thẳng qua D song song v ới AB c AC F , DE // AC cắt AB E Gọi P trung điểm BF , Q trung điểm c CE Chứng minh tam giác PQD tam giác HƯỚNG DẪN A F EP P B Q C D Cách : BD = ED ; DF = DC ; BDF = CDE = 600 ∆ BDF = ∆ EDC ⇒ BF = EC ⇒ BQ = PF = CQ = QE ; Và DP = DQ ( Hai trung ến t ương ứng c tam giác ) ; PDQ = 600 ∆ BDP = ∆ EDQ ⇒ BDP = EDQ 600 + EDP = 600 + FDQ ⇒ EDP = FDQ ⇒ PDQ = 600 ⇒ ∆ PDQ tam giác Cách : ( Dùng phép quay ) Quay ∆ EDC quanh tâm D , góc quay 600 , : C ≡ F ; E ≡ B ⇒ CF = BF ; Q ≡ P Do góc quay 600 nên PDQ = 600 Do ∆ PQD tam giác 4/ Cho góc xPy = 1200 điểm A nằm tia Px Dựng tam giác ABC cho B thuộc tia Py C thuộc tia phân giác góc xPy Gọi Q giao điểm AB PC Chứng minh 1 = + PQ PA PB HƯỚNG DẪN C y B P Q A x Lấy D tia đối tia Py cho PD = PA Do APD = P1 = 600 nên tam giác APD tam giác ⇒ D PD = PA = AD (1 ) Ta có : P1 = P2 = P3 = 600 Trong ∆ ABD có PQ // DA nên theo ĐL Ta lét ta có : Đề cương hình học-tam giác PB DB PB + PD PB PD 1 PD = = = + = + ( 2) ⇒ PQ DA DA DA DA PQ DA DA.PB 1 = + Từ (1) (2) ta suy : PQ PA PB 5/ Cho tam giác ABC , M điểm nằm tam giác cho MA = MB2 + MC2 Hãy Tính góc BMC HƯỚNG DẪN A M’ M C B Sắp xếp ba đoạn thẳng MA , MB , MC vị trí c ạnh c tam giác vuông nh sau : Thực phép quay Q , tâm C , góc quay 60 theo chiều kim đồng hồ Qua phép quay , ảnh điểm B M A M’ ∆ CMM’ , MB = M’A Từ MA = MB2 + MC2 Hay MA = MM’2 + M’A2 Như AM’M = 900 , suy AM’C = 900 + 600 = 1500 Phép quay biến ∆ CBM thành ∆ CAM’ , từ ∆ CBM = G CAM’ , suy : BMC = AM’C = 1500 6/ Cho tam giác ABC , cạnh a , tâm O Đường thẳng qua O c c c ạnh AB , AC , BC l ần l ượt điểm M , N , P Chứng minh : A 1 18 + + = 2 2 OP OM ON a HƯỚNG DẪN I D B O E F C Ta có : ∆ IDO tam giác ∆ BDO = ∆ AIO chúng tam giác cân ⇒ OD = OE = OF = m = PM BP BP = = 1/3 a Ap dụng định lý Talet ta có : hay Ta lại có : BP2 = x2 2 OM OD OM OD BP + y2 + xy với BM = x ; BP = y Do ta có : y y ( x − m) y ( m − x ) ( 2m + y ) = 2 = = ⇒ ; OM m ( x + y + xy ) OP m ( x + y + xy ) ON m ( x + y + xy ) 1 18 + + = Từ hệ thức ta suy : 2 OP OM ON a Đề cương hình học-tam giác CỰC TRỊ 1/ Cho điểm M di động đoạn thẳng AB Vẽ tam giác AMC , BMD phía c AB Xác định vị trí M để tổng diện tích hai tam giác nhỏ HƯỚNG DẪN K D C S2 S1 A x M y B Gọi K giao điểm AC BD Các tam giác AMC, BMD đồng dạng với tam giác AKB Đặt AM = x , MB = y , AB = a SAMC = S1 ; SBMD = S2 ; SKAB = S Ta có : S1  x  =  S a S  y ; =  S a nên S1 + S x + y ( x + y ) a2 = ≥ = = 2 S a 2a 2a Dấu “ = “ xảy x = y Do (S1 + S2 ) = 1/2 S ⇔ M trung điểm AB Cách : x2 y2 3 2 ; S2 = suy S1 + S2 = (x + y ) ≥ 4 Min ( S1 + S2 ) = a ⇔ x = y ⇔ M trung điểm AB Ta có : S1 = ( x + y) = a BÀI TỐN SUY LUẬN Ví dụ : Một tam giác chia thành số hữu hạn tam giác Chứng minh có tam giác có ba góc nhỏ 1200 HƯỚNG DẪN Giả sử cách phân chia có a điểm bên tam giác , b điểm nằm cạnh ( a , b ∈ N* ) Tổng số đo góc có tất điểm chia với đỉnh cạnh tam giác a 3600 + b 1800 + 1800 = ( 2a + b + ) 1800 Do số tam giác phân chia 2a + b + Tại đỉnh cạnh tam giác có nhiều góc lớn 1200 Tại đỉnh bên tam giác có nhiều góc lớn 1200 Do tổng số goác lớn 1200 nhiều 2a + b Mà có 2a + b + tam giác nên phải có tam giác mà ba góc nhỏ 1200 Chú ý : Kết luận tốn khơng đổi thay ∆ ABC tam giác có ba góc khơng vượt q 1200 Đề cương hình học-tam giác TAM GIÁC ĐỀU – ĐIỂM NẰM TRÊN CẠNH – DIỆN TÍCH 1/Cho tam giác ABC , điểm M , N di chuyển hai c ạnh AB , AC cho AM AN + = ( ) Tìm vị trí M , N để SAMN lớn MB NC HƯỚNG DẪN A x M E y N F B a C Ta chứng minh bổ đề : Khi M , N di chuyển AB , AC th ỏa mãn ( ) chu vi ∆ AMN khơng đổi Gọi E , F trung điểm AB , AC Từ ( ) suy AM < MB , AN < NC ⇒ M nằm x y + = ⇔ a2 – 2ax - 2ay + 3xy = ( ) A , F Do ( ) ⇔ a−x a− y Ta có : EM + FN = ½ a – x + ½ a – y = a – ( x + y ) ⇒ ( EM + FN )2 = a2 - 2ax – 2ay + 2xy Ap dụng định lý hàm Côsin cho ∆ AMN : MN2 = x2 + y2 – xy ⇒ ( EM + FN )2 – MN2 = a2 - 2ax – 2ay + 3xy ( ) ( ) , ( ) ⇒ EM + FN = MN ⇒ chu vi ∆ AMN = AM + MN + AN = AM + ME + AN + NF = AE + AF = a = số xy Ta có : SAMN = ½ AM.AN.sin600 = Theo bổ đề a = x + y + MN = x + y + x + y − xy Mà x2 + y2 – xy ≥ xy nên a ≥ xy + xy = xy ( Ap dụng BĐT Côsi ) ⇒ xy ≤ 1/9 a2 Dấu “ = “ xảy ⇔ x = y = 1/3 a AM AN a2 = = Vậy max SAMN = ⇔ AB AC 36 .. .Đề cương hình học- tam giác MỘT SỐ VÍ DỤ PHẦN A : TAM GIÁC I .TAM GIÁC THƯỜNG CHỦ ĐỀ : TAM GIÁC TỔNG QUÁT I/ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HAY DÙNG 1/ 2/ 3/ Các bất đẳng thức tam giác Bất đẳng... AB > AC ) Đề cương hình học- tam giác 1.3/ Chứng minh tam giác hiệu góc đáy b ằng 90 đường phân giác đường phân giác ngồi góc đỉnh CHỦ ĐỀ 5: TAM GIÁC - TRUNG TUYẾN 1/ Chứng minh tam giác ta có... có 2a + b + tam giác nên phải có tam giác mà ba góc nhỏ 1200 Chú ý : Kết luận toán không đổi thay ∆ ABC tam giác có ba góc khơng vượt q 1200 Đề cương hình học- tam giác TAM GIÁC ĐỀU – ĐIỂM NẰM