Chứng minh AM = AN... Suy ra: AM =AN Câu 3 Cho tam giác nhọn ABC, đường trung tuyến AM.. Câu 4 Cho tam giác ABC vuông tại AAB < AC, phân giác trong AD... Gọi D, F và H lần lượt là trung
Trang 1Soạn Ngày dạy:
Chuyên đề: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC - TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Lưu ý:
Đường trung bình của tam giác, hình thang
Định lý Ta lét
Định lý đường phân giác
Tính chất trọng tâm của tam giác
Các cách vẽ đường phụ: Khi nào thì vẽ các đường phụ: gấp đôi hoặc chia đôi một đoạn thẳng, vẽ vuông góc, vẽ song song , vẽ phân giác, vẽ theo tỉ lệ, vẽ tam giác vuông cân, tam giác đều…
Cách cm hệ thức có dạng: a b c a= + ; 2 =bc a; 2 =bc de a+ ; 2 = +b2 cd,
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, Gọi I và K thứ tự là hình chiếu của H trên AB
và AC
a) Chứng minh:
3 3
CK = AC
b) AH3 = BI.CK.CB
c) BC2 = 3AH2 + BI2 + CK2.
d) 3 BI 2 + 3 CK 2 = 3 BC 2
e) HB.HC = IA IB + KA KC
f) Vẽ phân giác AD biết BD = 75cm, CD = 100cm, tính BH, CH
h) Trên AC lấy điểm N, trên tia đối của tia HA lấy điểm M, sao cho 1
3
AC = AH = Chứng minh rằng
MN⊥MB
k) Vẽ trung tuyến AO, Chứng minh rằng:
2
i) Gọi J là trung điểm của AC, trên đoạn BJ lấy E sao cho FE = EA, CE cắt AB tại F
- chứng minh rằng: BFE∆ ∽ BEA∆
- Khi tam giác ABC vuông cân tại A Chứng minh rằng: 1
AE
AB
( hình 1)
Ta có:
2
2
AC =CH BC =CH AB44 BH22
Mặt khác: BH2 =BI AB CH ; 2 =CK AC
2
2
CH =CK AC
b, Ta có AH2 = BH CH 4 2 2
AH BH CH BI AB CK AC BI CK AB AC BI CK BC AH
3
AH BI CK CB
c, Ta có: BC2 = (BH + CH)2 = BH2 + CH2 + 2BH.CH = BI2 + IH2 + HK2 + CK2 + 2AH2
= BI2 +IK2 + CK2 + 2AH2 = BI2 + CK2 + 3AH2 ( vì IH2 + HK2 = IK2 = AH2)
d, Ta có
3
Trang 2Nguyễn Xuân Thòa THCS Tân Thành.YT.NA
Tương tự 3CK2 3CH
BC
=
e, Ta có: IH2 =IA.IB và HK2 = KC.KA mặt khác IH2 + HK2 = IK2 = AH2 = BH.CH
Suy ra BH CH = IA.IB + KC.KA
f, Ta có:
1225
+
+
2 1225.9; 2 1225.16
Mà AB2 = BH BC
2 1225.9
63 175
AB BH BC
h, Qua N kẻ NP // BC ( N thuộc AH) ta có: 1
3
Theo Pytago MN2 + BM2 = MP2 + NP2 + BH2+ MH2 = AH2 +NP2 + BH2 + AP2
= (AH2 + BH2) + (NP2+AP2) = AB2 + AN2 = BN2 Suy ra tam giác BMN vuông tại M hay · 0
90
BMN =
Hay MN⊥MB
k,
Theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có
AB2 = BH.BC = BH 2BO
2 2
2
1
+
i, - Ta có µ µ ¶ ¶
1 1 2 3
A =C =E =E lại có µB chung nên BFE1 ∆ ∽ BEA∆ (g-g)
- Trên đoạn CE lấy Q sao cho QE = EF ta có µ ¶
1 2
A =A
Cũng có: ¶ µ µ µ µ
2 3 1 1 1
A +A =E = +A B
Suy ra µ µ
3 1
A =B
ABE
∆ và CAQ∆ có µ µ
1 1
A =C ; AB = AC ; µ µ
3 1
A =B Suy ra ABE∆ = CAQ∆ (g.c.g)
Suy ra AE = CQ suy ra AE + EF = EQ+QC = CE
Có BFE∆ ∽ BEA∆ EF
AE
EB AB
Câu 2Cho tam giác nhọn ABC có H là trực tâm Trên HB, HC lấy lần lượt M, N sao cho
AMC=ANB= Chứng minh AM = AN
Trang 3Vẽ hình đúng
2
AN = AI AB
‘
2
AM = AK AC; AI AB =AK AC Suy ra: AM =AN
Câu 3 Cho tam giác nhọn ABC, đường trung tuyến AM.
2
BC
AB +AC = AM +
b) Lấy D là điểm bất kỳ năm giữa B và C
Chứng minh: AB DC AC BD AD BC BC DC BD2 + 2 − 2 =
Vẽ đường cao AH, ta có: AB2= AH2 +HB2; AC2= AH2
+HC2
⇒ AB2+ AC2= 2AH2 +HC2+HB2
= 2(AM2+ HM2) +(HM + MC)2+(MB – HM)2
= 2AM2+
2 2
BM
Vậy
2
2 2 2 2
2
BC
AB +AC = AM +
Ta có: AB2= AH2 +(DB – HD)2; AC2= AH2 +(HD +
DC)2
AD2= AH2 +HD2
⇒ AB DC AC BD AD BC BC DC BD2 + 2 − 2 =
Câu 4 Cho tam giác ABC vuông tại A(AB < AC), phân giác trong AD Phân giác ngoài AE
Chứng minh rằng: a, 1 1 2
AB+ AC = AD b, 1 − 1 = 2
AB AC AE
2
S = AB AC S= +S
sin 45 sin 45
2AB AD +2AC AD
2
AB AC= AB AC AD+
AB+ AC = AD
b, Ta có: SABC = 1
2AB.AC = SAEC - SABE =
1
2AE.ACsin135
0 - 1
2AB.AEsin45
0
A
C B
M H
D
Trang 4Nguyễn Xuân Thòa THCS Tân Thành.YT.NA
⇒ AB.AC = AE
−
AB AC AE Bài 5
Cho tam giác ABC cân tại A Gọi D, F và H lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC, O là giao điểm của các đường trung trực ∆ABC; G và E tương ứng là trọng tâm của ∆ABC và ∆ACD Từ
G kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại I Chứng minh:
a, GH HI
AD = DO
b, ∆ADG ~ ∆DOE Từ đó suy ra OE⊥CD
a, ∆GHI ~ ∆ADO GH HI
⇒ = ; mà DE = 2
3DF =2 2
3HC= HI
GH = 1
2AG
GH AG AD
HI = DE = DO
Mặt khác góc DAG bằng góc ODE
Suy ra ∆ADG ~ ∆DOE Suy ra Góc AGD bằng góc DAO suy ra OE⊥CD
Bài 6
Chứng minh rằng nếu tam giác mà độ dài các đường trung tuyến đều lớn hơn 1 thì diện tích tam giác đó lớn hơn 0,67
- Ký hiệu:
+ Các trung tuyến và đường cao xuất phát từ cácc đỉnh A, B, C tương ứng là ma, mb , mc và ha , hb , hc + Các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C tương ứng là a, b, c
+ Diện tích tam giác ABC là S
- Ta có 2S < a.ha = b.hb = c.hc (1)
có aha < ama < a (2) vì ma < 1
Tương tự: bhb < b (3); chc < c (4)
Từ (1), (2), (3), (4) ta có 6S < a + b + c (5)
mà a < 2
3(mb + mc) <
3 3+ =3 (vì độ dài các đường trung tuyến nhỏ hơn 1) Tương tự b < 4
3, c <
4
3 Vậy từ (5) suy ra S < 0,666 hay S < 0,67
Bài 7 Cho tam giác đều ABC với O là trung điểm của cạnh BC Trên cạnh AB lấy điểm M, trên
cạnh AC lấy điểm N sao cho góc MON = 600
a) Chứng minh BC2= 4.BM.CN
b) MO cắt BN tại I Chứng minh IB.MN = IN.MB
c) Khi góc MON quay quanh O thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định Lời giải
a, Ta có: ·BOM MOB+· =1800− =Bµ 1800−600 =1200
·CON MOB+· =1800−MON· =1800−600 =1200
Suy ra ·BMO CON= · lại có µB C=µ do đó ∆BOM ∽∆CNO(g.g)
A
G
I O E
Trang 52 2 4
b, Có ON OC BO (OC OB
OM = BM = BM = ,∆BOM ∽∆CNO) và ·MBO MON=·
suy ra ∆BOM ∽∆ONM (cgc)⇒·BMO NMO=· ⇒MO là phân giác ·BMN
Theo tính chất phân giác ta có: BI BM BI MN IN BM
c, C/m tương tự cũng có NO là phân giác góc CNM
Vì O là giao của phân giác góc BMN và CMN nên O cách đều ba cạnh BM, CN và MN hay BM, CN,
MN là tiếp tuyến của đường tròn tâm O cố định
Kẻ OH ⊥BM ta có OH = BO.sinB = BO.sin600 = 3
4
BC không đổi Vậy MN luôn tiếp xúc với đường
tròn cố định
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao, vẽ (O) đường kính AH đường tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại D và E
a, chứng minh ba điểm O, D, E thẳng hàng
b, Chứng minh: AD.AB + AE.AC = 2DE2
c, Chứng minh: AD BD + AE.CE = DE2
d, Tam giác AHM và tam giác NGH đồng dạng
e, Gọi G là trực tâm của tam giác AMN, chứng minh rằng
4
AH
GH =
Lời giải
a, Ta có: tam giác ADE vuông tại A nội tiếp trong đường tròn tâm O nên tâm O
Là trung điểm của DE hay D, E, O thẳng hàng
b, Tứ giác ADHE là hình chử nhật (OD = OE = OH = OA)
theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABH và ACH ta có
AH2 = AD.AB; AH2 = AE.AC
AD.AB + AE.AC = 2AH2 = 2DE2
c, theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABH và ACH ta có
AD.DB = DH2 ; HE2 = AE.AC mà DH2 + HE2 = DE2
Suy ra: AD BD + AE.CE = DE2
d, AMH∆ ∽ ∆NGH (gg)
e, MO là đtb của tam giác ABH nên OM // AB mà AB⊥AC suy ra OM⊥AC do đó O là trực tâm tam giác ACM
Suy ra OC ⊥AM
Ta lại có: NG ⊥AM (G là trực tâm tam giác AMN)
Suy ra CO // NG
Tam giác COH có N là trung điểm của CH và CO // NG nên G là trung điểm của OH hay GH =
OH = AH
Bài 9: Cho hình chử nhật ABCD với AD = tAB(t>0) Lấy điểm M trên cạnh BC Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại P Lấy E trên AB và F trên CD sao cho EF luôn vuông góc với AM Chứng minh
a, EF = tAM
b,
2
AB = AM + AP
Lời giải
Kẻ AQ ⊥ AM có AEFQ là hình bình hành nên AQ = EF
Trang 6Nguyễn Xuân Thòa THCS Tân Thành.YT.NA
ADQ
∆ ∽ ABM∆ (gg)
EF=tAM
b, Ta có
2
AD = AQ + AP ⇒t AB =t AM +AP ⇒ AB = AM + AP
Bài 10: Cho ABC∆ vuông cân tại A, M là điểm bất kỳ trên BC Cmr 2MA2 = MB2 + MC2 Lời giải
C1: Kẻ ME⊥AB MF; ⊥ AC tứ giác AEMF là hcn
Theo PYTAGO: MB2 = BE2 + ME2 = 2BE2 ; MC2 = MF2 + CF2 = 2MF2 ; AM2 = ME2 + MF2
2 2
C2: ME = BMsinB = BM.sin450 = 2
2
BM nên ME2 = 2
2
BM
MF = MCsinC = MC sin450 = 2
2
CM nên MF2 = 2
2
CM
Mà AM2 = ME2 + MF2 2 2
Bài 11: Cho tam giác ABC có µB=300 Dựng ra phía ngoài tam giác ABC tam giác đều ACD Cmr BD2 = AB2 + BC2
Lời giải
Dựng ra phía ngoài tam giác ABC tam giác đều ABE
Ta có: ·CBE CBA ABE=· +· =300+600 =900
CE2 = BC2 + BE2 (1)
Lại có: ABD∆ và ∆AEC có
AD = AC; ·DAB EAC=· ( = µA+600); AB = AE
Do đó: ABD∆ = ∆AEC(c.g.c) Suy ra CE = BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra BD2 = AB2 + BC2
Bài 12: a, Cho ∆đều ABC có ·AOB =1500 (O ở trong ∆ABC)
Chứng minh: OC2 = OA2 + OB2
b, Cho ∆vuông cân ABC ( µ 0
A 90= ) Điểm M ở trong ∆ABC sao cho · 0
AMB 135= Chứng minh : MC2 = MB2 + 2MA2
Lời giải
Dựng tam giác đều BOD có ·AOD=900
Có AD2 = AO2 + DO2 = OA2 + OB2
∆ = ∆ (cgc) AB = BC; DB = BO; ·DBA OBC=· ( = 600 - ·ABO )
Suy ra AD = OC
Vậy OC2 = OA2 + OB2
b, Dựng tam giác vuông cân ADM suy ra · 0
90
DMB=
Trang 7BD2 = BM2 + DM2 = BM2 + 2 2 2
( 2AM) =BM +2AM
∆ = ∆ (cgc) suy ra BD = MC
2
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A từ M trong tam giác vẽ MI ⊥BC MJ; ⊥AC MK; ⊥AB, xác
định vị trí của điểm M sao cho tổng MI2+MJ2+MK2 đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải
Ta có:
1 2 1 2
BCM ABC
MI BC
S = AH BC = AH
Tương tự: AMC
ABC
S = AB ; ABM
ABC
ABC
Theo BĐT Bunhiacopsky ta có
2
Mà 1 2 12 12
AH = AB + AC Suy ra
2
2
2
2
AH
AH
MI +MJ +MK nhỏ nhất =
2 2
AH
khi M là trung điểm của AH Gv: Đặt bài toán với tam giác ABC là tam giác thường
Bài 14: Cho ABC đều Trên cùng một nửa mặt phẳng chứa A bờ BC, vẽ tia Bx//AC, tia Cy//AB.
đường thẳng d đi qua A, cắt các tia Bx và Cy thứ tự tại E và F, BF cắt CE tại K
a) Chứng minh: BKC ∽ EBC
b) Chứng minh: BC2 = BK2 + KC2 + BK KC
* Quá trình phân tích đi tìm lời giải.
a) Để C/M BKC ∽ EBC
Ta cần chứng minh
B
C
E
F
H
K
x
y
A
Trang 8Nguyễn Xuân Thòa THCS Tân Thành.YT.NA
BEC FBC= ⇒cần chứng minh
EBC ∽ BCF (c.g.c)
⇒cần C/M EB BC
BC =CF
⇒ Cần chứng minh: EB AC
AB= CF (Vì AB = BC = AC)
⇒ Cần chứng minh AEB ∽ FAC (g.g)
b) Kẻ BH ⊥EC ⇒ K ∈[ ]HC vì góc BKC tù
Ta có BH2 + HC2 = BC2 như vậy ta dữ nguyên BC và biến đổi
BH2 + HC2 = BK2 – HK2 + 2HK KC + KC2 +HK2
⇒ BC2 = BK2+ KC2 +2HK KC
Ta cần chứng minh: 2HK KC = KB.KC
BHK vuông tại H có · 0
30
HBK = (Vì ·HKB=60 )0
⇒BK = 2HK do đó KB KC = KC 2HK
* Giáo viên ra thêm
Khi đường thẳng d di chuyển nhưng luôn cắt 2 tia Bx và Cy tìm vị trí của đường thẳng d để AK + BK +
CK đạt GTNN
Bài 16: Cho ∆ ABC vuông tại A, đường cao AH , tia phân giác của ·HAC cắt HC ở D Gọi K là h/c
của D trên AC, G là trọng tâm tam giác ABC Đường thẳng qua G cắt AB, AC lần lượt tại M và N
a, Biết BC = 25 cm DK = 6cm Tính độ dài AB
b, Cmr: 1 2 12 92
AM + AN ≥ BC
Lời giải
a, C1: ta có: AB2 = BH.BC = BC(BD – HD) = BC( BD – DK)
= BC( AB – DK) = 25(AB – 6) ( ABD∆ cân tại B)
⇒ AB = 15; AB = 10
C2: AB2 = BH.BC = BC( BC – HC) = BC( BC – HD – DC) = BC(BC – DK – DC) = BC(BC – DK –
DK BC
AB )
( do DK CD
AB = BC ) ⇒ AB = 15; AB = 10
b, Vẽ AE vuông góc với MN ta có: 1 2 1 2 12
AM + AN = AE
BC
Trang 9⇒ 1 2 1 2 92
AM + AN ≥ BC