Biên soạn thực hiện: Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội trú ******************************************** CHUYÊN ĐỀ VỀ TẬP HỢP ĐIỂM (QUĨ TÍCH) I Một số toán tập hợp Tập hợp tất điểm cách điểm O cho trước khoảng R không đổi đường tròn (O; R) Tập hợp tất điểm nhìn đoạn thẳng AB góc vuông đường tròn đường kính AB Tập hợp điểm nhìn đoạn thẳng AB góc α không đổi hai cung chứa góc α dựng đoạn AB Tập hợp điểm cách hai đầu đoạn thẳng AB đường trung trực đoạn thẳng không đổi đường phân giác góc Tập hợp điểm cách hai cạnh góc xOy Tập điểm cách đường thẳng cho trước khoảng cách không đổi đường thẳng song song với đường thẳng II Cách giải toán quĩ tích Bước 1: Dự đoán quĩ tích Bước 2: Chứng minh phần thuận Cần chứng minh điểm M thỏa mãn tính chất T thuộc hình H Bước 3: Chứng minh phần đảo Cần chứng minh điểm M’ thuộc hình H có tính chất T Bước 4: Kết luận Quĩ tích (tập hợp) điểm M thỏa mãn tính chất T thuộc hình H III Một số dạng toán Tập hợp điểm đường thẳng phần đường thẳng a) Tập hợp điểm đường trung trực phần đường trung trực = 900 Một điểm B cố định Oy điểm A di động Ox Tìm tập hợp trung Bài Cho góc xOy điểm M đoạn thẳng AB Bài Cho góc vuông xOy điểm A cố định nằm góc đó, B điểm di động tia Ox, C điểm di động tia Oy cho tam giác ABC vuông A Tìm tập hợp trung điểm M cạnh huyền BC Bài Cho hình vuông ABCD Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng cho: MA + MB = MC + MD b) Tập hợp điểm tia phân giác Bài Cho góc vuông xOy, tia Ox lấy điểm A cố định, B điểm chuyển động tia Oy Tìm tập hợp điểm C cho tam giác ABC vuông cân C Bài Cho hai đường thẳng cắt điểm A Tìm tập hợp đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng OA Bài Cho góc xOy, tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B cho = Tìm tập hợp điểm M OB nằm góc xOy cho tỉ số diện tích tam giác MOA tam giác MOB c) Tập hợp điểm hai đường thẳng song song Bài Cho tam giác ABC điểm D chuyển động BC Vẽ DE // AC, DF // AB (E ∈ AB, F ∈ AC) Tìm tập hợp trung điểm O đoạn thẳng EF Bài Cho đường thẳng a Tìm tập hợp tâm đường tròn có bán kính R (R>0) tiếp xúc với đường thẳng a d) Tập hợp điểm đường thẳng song song với đường thẳng cho trước Bài Cho hai đường thẳng song song d d’ cách khoảng h (h > 0) Tìm tập hợp tâm O đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng d d’ Bài 10 Cho đường thẳng d điểm A không nằm d cố định Gọi (O) đường thẳng tròn di động qua A tiếp xúc với d B Tìm tập hợp hình chiếu M tâm O xuống AB e) Tập hợp điểm đường thẳng hợp với đường thẳng cho góc không đổi = 900 điểm A cố định tia Ox, điểm B chuyển động tia Oy, vẽ tam giác Bài 11 Cho góc xOy ABC (C O khác phía AB) a) Tìm tập hợp trung điểm M BC b) Tìm tập hợp điểm C Bài tập Bài 12 Cho tam giác ABC điểm D di động cạnh BC Từ D vẽ đường thẳng song song với AB, AC cắt AB, AC M N Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng MN Biên soạn thực hiện: Đỗ Trung Thành – Trường THCS Dân tộc Nội trú ******************************************** Bài 13 Cho điểm A nằm đường thẳng d có khoảng cách đến d Lấy điểm B thuộc đường thẳng d Gọi C điểm đối xứng với điểm A qua điểm B Tìm tập hợp điểm C điểm C di chuyển đường thẳng d Bài 14 Cho góc xOy vuông, tia Ox lấy đoạn thẳng cố định OA, tia Oy lấy điểm B di động Dựng hình vuông ABCD với hai đường chéo cắt I Tìm tập hợp điểm I Bài 15 Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định đỉnh A di động đường thẳng xy cố định song song với BC Tìm tập hợp trọng tâm G tam giác ABC Bài 16 Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 4, dây cung AN Trên dây cung AN lấy điểm M cho AN.AM = Tìm tập hợp điểm M Tập hợp điểm đường tròn phần đường tròn Bài 17 Một đoạn thẳng AB = h chuyển động cho hai mút chuyển động hai đường thẳng vuông góc với Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng AB Bài 18 Cho đường tròn (O, R) đường kính AB, C điểm di động đường tròn Trên tia BC lấy điểm D cho CD = CB Tìm tập hợp điểm D Bài 19 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C điểm nằm nửa đường tròn đó, kẻ CD ⊥ AB Nối O với C, OC lấy điểm E cho OE = CD Tìm tập hợp điểm E Bài 20 Cho đường tròn (O, R) đường kính AB Gọi d tiếp tuyến đường tròn A, M điểm di dộng đường thẳng d, BM cắt đường tròn (O) C Tìm tập hợp trung điểm N đoạn thẳng BC Bài 21 Cho điểm A cố định nằm đường tròn (O, R) điểm A không trùng với O Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng AB B di chuyển đường tròn Bài 22 Cho nửa đường tròn đường kính AB Hai điểm C D nửa đường tròn cho OC ⊥ OD (C thuộc cung AD) AD cắt BC I, hai tia AC BD cắt P Tìm tập hợp điểm I P điểm C D chuyển động nửa đường tròn Bài 23 Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định, C điểm nửa đường tròn, dây AC kéo dài lấy điểm D cho CD = CB a) Tìm quĩ tích điểm D C chạy nửa đường tròn cho b) Trên tia CA lấy điểm E cho CE = CB Tìm quĩ tích điểm E C chạy nửa đường tròn cho Bài 24 Cho M điểm chuyển động nửa đường tròn đường kính AB Trên đoạn AM lấy điểm N cho AN = BM Tìm tập hợp điểm N Bài 25 Cho đường tròn tâm O đường kính AB, BC dây cung Kéo dài BC đoạn CD = BC, DO cắt AC P Tìm tập hợp điểm P = α không đổi Tìm quĩ tích giao điểm ba tia phân Bài 26 Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định A giác tam giác Bài 27 Cho M điểm chuyển động nửa đường tròn đường kính AB Trên đoạn AM lấy điểm N cho AN = BM Tìm tập hợp điểm N Bài 28 Từ hai đầu đoạn thẳng AB cố định kẻ hai tia song song Ax By (thuộc nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB) Tìm tập hợp giao điểm hai đường phân giác góc xAB yAB Bài 29 Cho hình thoi ABCD có cạnh AB cố định Tìm tập hợp giao điểm O hai đường chéo hình thoi Bài 30 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Điểm M chuyển động nửa đường tròn, H hình chiếu M AB Trên đoạn thẳng OM lấy điểm N cho ON = MH = 900, điểm A cố định nằm góc đó, điểm B chạy Ox, điểm C chạy Oy Bài 31 Cho góc xOy cho AB ⊥ AC Tìm tập hợp hình chiếu A cạnh BC Bài 32 Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M tùy ý Trên AM MB dựng phía AB dựng hình vuông Đường tròn ngoại tiếp hình vuông cắt điểm thứ hai N a) Chứng minh AN qua đỉnh hình vuông thứ hai b) Tìm quĩ tích điểm N M chuyển động AB Bài 33 Một điểm A chuyển động nửa đường tròn đường kính BC Tìm tập hợp tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 34 Cho đường tròn tâm O điểm A cố định bên đường tròn Vẽ tiếp tuyến AB cát tuyến ACD với đường tròn Tìm tập hợp trọng tâm G tam giác BCD cát tuyến qua A di động Bài 35 Cho đường tròn tâm O đường kính AB, điểm M chuyển động đường tròn (O), kẻ MH ⊥ AB Tìm tập hợp tâm đường tròn nội tiếp tam giác OHM ***********************************************************