Đề và đáp án HSG lớp 9 cấp tỉnh Phú Thọ 2017 2018, đề thi rất hay, phân loại học sinh tốt, trắc nghiệm phong phú bao quát nhiều kiến thức, là nguồn tài liệu phong phú cho những học sinh tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 hoặc thi vào 10 chuyên toán
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) Thí sinh làm (cả phần trắc nghiệm khách quan phần tự luận) tờ giấy thi A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu Cho phương trình x mx Tập hợp giá trị tham số m để phương trình có nghiệm kép A 4; 4 B 4 C 4 D 16 Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo hai đường thẳng có phương trình y x y x A 70o B 30o C 90o D 45o Câu Cho x 10 Giá trị biểu thức x 1 62 4x 2 2018 D A 2 2018 B 22018 C Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2018; 1) B(2018;1) Đường trung trực đoạn thẳng AB có phương trình x x A y B y C y 2018 x D y 2018 x 2018 2018 Câu Cho biểu thức P x x x x , khẳng định ? A P 2 với x � B P 2 với x �1 �x �1 Câu Trong góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M , biết M cách trục tung, trục hoành đường thẳng y x Hoành độ điểm M A B C D 2 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ điểm M 2018; 2018 đến đường thẳng y x A C D B �2 � Khi m thay đổi khẳng Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A � m;m - 10 � �3 � C P 2 x với x �1 D P 2 x với định ? A Điểm A thuộc đường thẳng cố định C Điểm A thuộc đoạn thẳng cố định B Điểm A thuộc đường tròn cố định D Điểm A thuộc đường thẳng y x 10 Trang 1/3 Câu Cho tam giác ABC có AB cm, AC cm BC cm Kẻ đường cao AH , gọi I , K tâm đường tròn nội tiếp tam giác HAB tam giác HAC Độ dài đoạn thẳng KI A 1, cm B 2 cm C 1, 45 cm D cm Câu 10 Cho AB dây cung đường tròn O; cm � AOB 150o Độ dài đoạn thẳng AB A cm B cm C cm D cm Câu 11 Cho hai đường tròn I ; O;6 tiếp xúc với A Qua A vẽ hai tia vng góc với cắt hai đường tròn cho B C Diện tích lớn tam giác ABC A B 12 C 18 D 20 Câu 12 Cho hình thoi ABCD có cạnh Gọi x, y bán kính đường tròn 1 ngoại tiếp tam giác ABC tam giác ABD Giá trị biểu thức x y A B C D Câu 13 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O; R đường kính AC dây cung BD R Gọi x, y , z, t khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC , DA Giá trị biểu thức xy zt bằng 2 2 A 2 R B R C D R R Câu 14 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( I ;2 cm) nội tiếp đường tròn O;6 cm Tổng khoảng cách từ điểm O tới cạnh tam giác ABC D 32 cm A cm B 12 cm C 16 cm Câu 15 Nếu tam giác có độ dài đường cao 12,15, 20 bán kính đường tròn nội tiếp tam giác D 6 A B C Câu 16 Trên khu đất rộng, người ta muốn rào mảnh đất nhỏ hình chữ nhật để trồng rau an toàn, vật liệu cho trước 60m lưới để rào Trên khu đất người ta tận dụng bờ rào AB có sẵn (tham khảo hình vẽ bên) để làm cạnh hàng rào Hỏi mảnh đất để trồng rau an tồn có diện tích lớn ? A 400 m B 450 m C 225 m D 550 m B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) 2 a) Cho a b c b c a 2018 với a, b, c đôi khác khác khơng Tính giá trị biểu thức c a b b) Tìm tất số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a b c 91 b ca Trang 2/3 Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình x x x x b) Hai vị trí A B cách 615 m nằm phía bờ sơng Khoảng cách từ A, B đến bờ sông 118 m 487 m (tham khảo hình vẽ bên) Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người mét (làm tròn đến đơn vị mét) Câu (4,0 điểm) Cho đường tròn O điểm A nằm O Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với O ( B, C tiếp điểm), cát tuyến thay đổi qua A cắt O D E ( AD AE ) Tiếp tuyến O D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC điểm M N a) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh bốn điểm M , E , N , I thuộc đường tròn T b) Chứng minh hai đường tròn O T tiếp xúc c) Chứng minh đường thẳng IT qua điểm cố định Câu (1,5 điểm) 3b c 3c a � �3a b �9 với a, b, c độ dài Chứng minh a b c � a ab b bc c ca � � � ba cạnh tam giác - HẾT Cán coi thi khơng giải thích thêm Trang 3/3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm:Mỗi câu 0,5 điểm) Câu Câu A D C 10 B B 11 C C 12 A B,D 13 C A,B 14 A B 15 A A 16 B B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) 2 a) Cho a b c b c a 2018 với a, b, c đôi khác khác Câu khơng Tính giá trị biểu thức c a b 3,0 Điểm điểm b) Tìm tất số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a b c 91 b ca a b a b 2 Ta có a b c b c a � 0,25 bc ab ab ca c b a c a) 1.5 điểm Suy ab bc ca � bc a b c � abc a b c 2018.(1) 0,5 ab bc ca � ab c a b � abc c a b (2) Từ (1) (2) ta c a b 2018 2 Đặt b qa; c q a q 1 ta a q q 91 13.7 Trường hợp 1: Nếu q số tự nhiên ta b) 1,5 điểm �a �a �� � a 1; b 9; c 81 � q q q 91 � � a7 a7 � � � � a 7; b 21; c 63 � � q3 q q 13 � � �a 13 �a 13 � � a 13; b 26; c 52 � � q q q � � x Trường hợp 2: Nếu q số hữu tỷ giả sử q x �3; y �2 y 91y 2 Khi a q q 91 x xy y �19 � a x xy y 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang 4/3 ax a ��� ��� a ty � x xy y 91 � x 6; y y y a 25; b 30; c 36 Vậy có số a; b; c thỏa mãn 1;9;81 , 81;9;1 , 7; 21;63 , 63;21;7 ; Ta có c 0,25 a) Giải phương trình x x x x b) Hai vị trí A B cách 615m nằm phía bờ sơng Câu Khoảng cách từ A, B đến bờ sông 118m 487m (tham khảo 3,5 hình vẽ đây) Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B điểm Đoạn đường ngắn mà người mét (làm tròn đến chữ số thập phân) a) 1.5 điểm x x x x � x x x x 0,25 � x x 1( L) �� � � x 2x � x2 2x � x2 x � x 1 �� x 1 � 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b) 2,0 điểm Gọi C , D hình chiếu CE x x 492 A, B lên bờ sơng Đặt Ta có CD 6152 487 118 492 0,25 Quãng đường di chuyển người AE EB 0,25 x 1182 492 x Ta có với a, b, c, d Thật vậy: 1 � a b2 c d � a 487 a b2 c2 d � a c b d a b c d � a c b d 2 (1) 0,25 b c d �ac bd (2) Nếu ac bd (2) ln Nếu ac bd �0 bình phương hai vế ta 0,25 (2) trở thành ad bc �0 Dấu đẳng thức sảy ad bc 0,25 Trang 5/3 Áp dụng (1) 0,25 AE EB � x 492 x 487 118 608089 �779,8m Câu 4,0 điểm x 96m Dấu đẳng thức xảy khi 487 x 118 492 x Vậy quãng đường nhỏ 780 m Cho đường tròn O điểm A nằm ngồi O Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với O ( B, C tiếp điểm), cát tuyến thay đổi qua A cắt O D E ( AD AE ) Tiếp tuyến O D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC điểm M N a) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AD, chứng minh bốn điểm M , E , N , I thuộc đường tròn T 0,25 0,25 b) Chứng minh hai đường tròn O T tiếp xúc c) Chứng minh IT qua điểm cố định a) 1,5 điểm b) 1,5 điểm 0,25 Ta có � ABO � ACO 180o nên tứ giác ABON nội tiếp Gọi J giao điểm AD với đường tròn ABOC Suy DMA đồng dạng DNJ Suy DM DN DA.DJ Mà DA DI ; DJ DE DM DN DI DE � DMI đồng dạng DEN Nên Vậy tứ giác MINE nội tiếp hay có đpcm Dễ thấy MN OA O T tiếp xúc E Khi MN khơng vng góc OA Gọi K giao điểm MN với tiếp tuyến O E Ta có O, J , K thẳng hàng Trong tam giác OEK : KJ KO KE (1) ( Định lý hình chiếu) Trên đường tròn ABOC ta có KJ KO KN KM (2) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang 6/3 c) 1,0 điểm Câu 1,5 điểm Từ (1) (2) suy KE KN KM nên KE tiếp xúc T � ODE � TIE � Ta có OED Nên IT POD Gọi W OA �IT Vì I trung điểm AD nên W trung điểm OA (đpcm) Khi MN OA W �IT 3b c 3c a � �3a b �9 với a, b, c Chứng minh a b c �2 a ab b bc c ca � � � độ dài ba cạnh tam giác 0,25 Giả sử a b c t đặt a tx; b ty; c tz � x y z �t x y t 3y z t 3z x � � ��9 t x y z Ta chứng minh 2 2 2 t x xy t y yz t z zx � � � � 3x y y z 3z x � �9 x xy y yz z zx 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 4x x y y y z 4z z x 4 �9 � �9 x x y y y z z z x 1 z x 1 x y 1 y z 0,25 5x y y � �9 x x2 y y z z � � 1� 0; � Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên a b c � x, y , z �� � 2� Ta có: 5x � 1� 0; � �18 x � 3x 1 x 1 �0 x �� xx � 2� 5y 1 � 1� �18 y � y 1 y 1 �0 y �� 0; � yy � 2� 5z � 1� 0; � �18 z � z 1 z 1 �0 z �� zz � 2� 5x 1 y 1 y 1 � �18 x y z Suy x x2 y y z z 5x y y � �9 x x2 y y z z - Hết - 0,25 0,25 0,25 Trang 7/3 ... VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM A PHẦN TRẮC... 0,25 Trang 5/3 Áp dụng (1) 0,25 AE EB � x 492 x 487 118 6080 89 �7 79, 8m Câu 4,0 điểm x 96 m Dấu đẳng thức xảy khi 487 x 118 492 x Vậy quãng đường nhỏ 780 m Cho đường tròn... x �3; y �2 y 91 y 2 Khi a q q 91 x xy y � 19 � a x xy y 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang 4/3 ax a ��� ��� a ty � x xy y 91 � x 6; y y y a 25;