022 đề HSG toán 7 huyện 2017 2018

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN – NĂM HỌC 2017-2018 Câu (1,5 điểm) 2 1    0,25   0,4   11  : 2014  a) M    7  1,4    0,875  0,7  2015 11   b) Tìm x, biết : x  x   x  Câu (2,5 điểm) a) Cho a, b, c ba số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện: abc bca cab   c a b  b  a  c  Hãy tính giá trị biểu thức B  1  1  1    a  c  b  b) Ba lớp A,7 B,7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho lớp tỉ lệ với 5: : sau chia theo tỉ lệ : 5: nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua Câu (2,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x   x  2013 với x số nguyên b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x  y  z  xyz Câu (3,0 điểm) Cho xAy  600 có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vng góc với Ay H, kẻ BK vng góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM  Ay M Chứng minh: a) K trung điểm AC b) KMC tam giác c) Cho BK  2cm, Tính cạnh AKM Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương  a  b  c  Chứng minh rằng: a b c   2 bc  ac  ab  ĐÁP ÁN Câu a) Ta có: 2 1   0,4    0,25   11   : 2014 M   7  1,4    0,875  0,7  2015 11    1 1  1  1  2           : 2014    11    : 2014 7  2015   1   1   2015        11       10        2  2014    : 0 7 2015   x  b) Vì x  x   nên 1  x  x   x  hay x      x  1 2 2    11   7     11 Câu a) +Nếu a  b  c  Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c b c a c  a b a b c b c a c  a b    1 c a b abc abc bca c  a b ab bc ca Mà 1  1  1     2 c a b c a b  b  a  c   b  a  c  a  b  c  Vậy B  1  1  1        8  a  c  b   a  c  b  +Nếu a  b  c  Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c b c a c  a b a b c b c a c  a b    0 c a b abc abc bca c  a b ab bc ca 1  1 11   1 Mà c a b c a b  b  a  c   b  a  c  a  b  c  Vậy B  1  1  1        1  a  c  b   a  c  b  b) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x ( x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia cho lớp A,7 B,7C lúc đầu là: a, b, c a b c a bc x 5x 6x x 7x Ta có:      a  ;b   ;c  (1) 18 18 18 18 18 Số gói tăm sau chia cho lớp a ', b ', c ' ta có: a ' b ' c ' a ' b ' c ' x 4x 5x 6x      a '  ;b '  ; c '  (2) 15 15 15 15 15 So sánh (1) (2) ta có a  a ', b  b ', c  c ' nên lớp 7C nhận nhiều lúc ban đầu 6x 7x x Vậy c ' c  hay  4   x  360 15 18 90 Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói Câu a) Ta có: A  x   x  2013  x   2013  x  x   2013  x  2015 2013 Dấu "  " xảy  x   2013  x    1  x  2013 ,x Vậy MinA  2015 1  x  b) Vì x, y, z nguyên dương nên ta giả sử  x  y  z 1 1 1        x2   x  Theo  yz yx zx x x x x Thay vào đầu ta có  y  z  yz  y  yz   z   y 1  z   1  z      y  1 z  1  TH1: y    y   z    z  TH : y    y   z    z  Vậy có hai cặp nghiệm nguyên thỏa mãn 1,2,3 , 1,3,2  Câu x C B z t K A M H   a) ABC cân B CAB  ACB  MAC BK đường cao  BK đường trung tuyến  K trung điểm AC b) ABH  BAK (cạnh huyền – góc nhọn)  BH  AK mà 1 AK  AC  BH  AC 2 Ta có BH  CM (tính chất đoạn chắn) mà CK  BH  AC  CM  CK  MKC tam giác cân (1) Mặt khác MCB  900 ACB  300  MCK  600 (2) Từ (1) (2)  MKC tam giác c) Vì ABK vng K mà KAB  300  AB  AK  2.2  4cm Vì ABK vng K nên theo định lý Pytago ta có: AK  AB2  BK  16   12 y AC  KC  AK  12 KCM  KC  KM  12 Theo câu b, AB  BC  4; AH  BK  2; HM  BC ( HBCM hình chữ nhật)  AM  AH  HM  Mà KC  Câu Vì  a  b  c  1nên:  a  1 b  1   ab   a  b  Tương tự: Do đó: Mà: a a  (2) bc  b  c ; 1 c c    (1) ab  a  b ab  a  b b b  ac  a  c (3) a b c a b c      bc  ac  ab  b  c a  c a  b (4) 2 a  b  c a b c 2a 2b 2c        2(5) bc ac ab abc abc abc a bc Từ (4) (5) suy : a b c     dfcm  bc  ac  ab 