Hàm riêng của toán tử sturm liouville trên khoảng hữu hạn và trên khoảng vô hạn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————- Nguyễn Viết Đại HÀM RIÊNG CỦA TOÁN TỬ STURM-LIOUVILLE TRÊN KHOẢNG HỮU HẠN VÀ TRÊN KHOẢNG VÔ HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ Hà Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————- Nguyễn Viết Đại HÀM RIÊNG CỦA TOÁN TỬ STURM-LIOUVILLE TRÊN KHOẢNG HỮU HẠN VÀ TRÊN KHOẢNG VƠ HẠN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Cán hướng dẫn: TS Đặng Anh Tuấn Hà Nội - 2019 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy Đặng Anh Tuấn Thầy tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Thầy không hướng dẫn em mặt chuyên môn tốn, thầy dạy em nhiều điều sống Những lời dạy bảo thầy giúp em nhìn chuyện, giúp em vượt khúc mắc, yếu đuối mặt tâm lý mà tưởng chừng vượt qua Em xin lỗi thầy nhiều yếu đuối muốn bỏ cuộc, em ngắt liên lạc với thầy, thầy không bao dung ln quan tâm đến em em tiếp tục Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin cám ơn tới ông nội , ông bà ngoại, bố mẹ cậu mợ em người thương yêu , quan tâm che chở cho em Ngoài em xin cảm ơn trung tâm anh ngữ ViViAn tận tình dạy cho em để thi tiếng anh B1 Em xin cảm ơn anh Đỗ Duy Hiếu nhận em vào làm trung tâm anh để có tiền trang trải sống suốt thời gian Hà Nội, em xin lỗi bỏ mà khơng nói lời Em xin cảm ơn Viện Tốn kí hợp đồng với em tháng, khơng có hợp đồng làm động lực để quay lại em khơng thể vượt qua tiếng anh B1 Cuối em xin cảm ơn bạn Tô Thị Vân Anh bạn Nguyễn Đức Ngà, bạn Vân Anh liên lạc gọi em lại học tiếng anh chuyên ngành, bạn Ngà hướng dẫn em bước làm thủ tục bảo vệ Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2018 Học viên Nguyễn Viết Đại LỜI MỞ ĐẦU Từ đại số tuyến tính hữu hạn chiều, cho ma trận đối xứng ta tìm thấy sở trực chuẩn khơng gian gồm tồn vectơ riêng ma trận Khi ta có khai triển n v= ∑ (v, vk )vk k =1 với vk vectơ riêng chuẩn hóa ma trận A Ngồi ta có đẳng thức Pythagoras |v|2 = ∑nk=1 |(v, vk )|2 Từ lý thuyết chuỗi Fourier hàm f tuần hồn chu kì 2π khả vi liên tục R có khai triển +∞ f (x) = ∑ k=−∞ ( f , vk )vk ( x ) √ vk ( x ) = eikx / 2π hàm riêng chuẩn hóa ứng với giá trị d2 riêng k tốn tử vi phân thường − Ngồi ta có đẳng thức Parseval dx ∞ || f ||22 = ∑+ −∞ |( f , vk )| Chuỗi Fourier xuất ta giải phương trình truyền nhiệt, dao động sợi dây, dao động màng mỏng, phương pháp tách biến Sự tương tự vấn đề đại số tuyến tính lý thuyết phương trình nhà tốn học thấy từ lâu trước Tuy nhiên D.Hilbert người hệ thống lại tương tự việc làm lý thuyết phương trình tích phân, xem [5] Một kết việc làm làm nảy sinh không gian Hilbert l2 sau khơng gian Hilbert tổng qt Xây dựng tốn học cho khơng gian l2 khơng gian Hilbert trừu tượng dẫn đường cho phát triển mạnh mẽ lý thuyết phổ toán tử tự liên hợp không gian Hilbert Lý thuyết phổ trừu tượng hoàn thiện, định lý sở toàn lý thuyết định lý khai triển phổ Một tốn tử tự liên hợp khơng gian Hilbert khai triển thông qua phép chiếu phổ Eλ (còn gọi họ phổ giải thức đơn vị) Tuy nhiên trường hợp toán tử cụ thể thông tin tiệm cận giá trị riêng, hàm riêng họ phổ Trong luận văn em đọc hiểu trình bày chi tiết lại kết khai triển hàm riêng toán tử Sturm-Liouville cho hai trường hợp khoảng hữu hạn nửa đường thẳng Nội dung luận văn gồm chương Chương 1: kiến thức chuẩn bị Chương 2: khai triển khoảng hữu hạn Chương 3: khai triển nửa đường thẳng Nội dung chương trình bày cơng thức tiệm cận giá trị riêng hàm riêng toán tử Sturm-Liouville, chứng minh tồn dãy đếm giá trị riêng cách khác nhau: sử dụng định lý Rouche, lý thuyết dao động Sturm, phương pháp phương trình tích phân Ngồi chương có cách chứng minh khác cho định lý khai triển hàm riêng : phương pháp phương trình tích phân, phương pháp thặng dư Cauchy Ở cuối chương định lý , hội tụ điểm khai triển hàm riêng Sturm-Liouville giống hội tụ điểm chuỗi Fourier thông thường Nội dung chương 3, xây dựng hàm phổ ρ(λ) (còn gọi độ đo phổ) từ định nghĩa biến đổi Fourier tổng quát thu đẳng thức Parseval định lý khai triển dạng tương tự chương Đồng thời chương trình bày phân loại giới hạn điểm, giới hạn tròn tốn tử Sturm-Liouville nhiên em chưa tìm hiểu xuất phát điểm vật lý khái niệm Ngồi chương trình bày biểu diễn tích phân giải thức, rõ họ phổ Eλ toán tử Sturm-Liouville Ở cuối chương ánh xạ f ( x ) → F (λ) đặt tương ứng hàm f ( x ) ∈ L2 (0, ∞) với biến đổi Fourier tổng quát F (λ) ∈ L2ρ(λ) (−∞, +∞) ánh xạ Unitary ( song ánh bảo toàn chuẩn) Các kết mục 2.2 tham khảo [7] [9], mục 2.3 tham khảo [4] [11], mục 2.4 2.5 tham khảo [4] [9], mục 2.6 tham khảo [8] [9], chương tham khảo [9], họ phổ Eλ trình bày trừu tượng tìm đọc [6] phụ lục [9] Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2018 Học viên Nguyễn Viết Đại Mục lục Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính trù mật 1.2 Một số định lý phương trình vi phân thường 1.3 Một số định lý giải tích phức 1.4 Một số kết tích phân Khai triển khoảng hữu hạn 11 2.1 Giới thiệu số tính chất 11 2.2 Công thức tiệm cận cho giá trị riêng hàm riêng 14 2.3 Phân bố không điểm hàm riêng 24 2.4 Hàm Green, toán tử compact đối xứng 30 2.5 Định lý khai triển đẳng thức Parseval 37 2.6 Chứng minh định lý khai triển tích phân Cauchy 41 2.7 Hội tụ điểm khai triển hàm riêng 52 Khai triển nửa đường thẳng 57 3.1 Đẳng thức Parseval với nửa đường thẳng 57 3.2 Giới hạn điểm, giới hạn tròn 3.3 Biểu diễn tích phân giải thức 73 3.4 Tính trực giao khai triển 79 Tài liệu tham khảo 65 93 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính trù mật Ký hiệu C [ a, b] không gian hàm giá trị phức, liên tục khoảng mở hữu hạn ( a, b), liên tục phải a liên tục trái b Khơng gian C [ a, b] có tích vơ hướng cho bởi: b ( f , g) = a f ( x ) g∗ ( x )dx, f , g ∈ C [ a, b], g∗ ( x ) liên hợp phức g( x ) Cho D ( L) tập C [ a, b] xác định D ( L) = {y( x ) ∈ C2 [ a, b] : BCa (y) = BCb (y) = 0}, BCa (y) = y( a)cos(α) + y ( a)sin(α) = 0, BCb (y) = y(b)cos( β) + y (b)sin( β) = (α, β ∈ R), C2 [ a, b] khơng gian hàm giá trị phức, khả vi liên tục cấp hai ( a, b), khả vi liên tục cấp hai bên phải a bên trái b Khi ta có khẳng định sau: Bổ đề 1.1.1 ([2]) D ( L) trù mật không gian C [ a, b] với chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng 1.2 Một số định lý phương trình vi phân thường 1.2 Một số định lý phương trình vi phân thường Bổ đề 1.2.1 (Cơng thức Liouville) ([4]) Xét phương trình y ( x ) + p( x )y ( x ) + q( x )y( x ) = 0, với p( x ), q( x ) ∈ C [ a, b] Giả sử y1 ( x ) y2 ( x ) hai nghiệm phương trình Khi định thức W {y1 , y2 }( x ) = y1 ( x )y2 ( x ) − y1 ( x )y2 ( x ) Wronskian y1 ( x ) y2 ( x ) cho công thức Liouville: x W {y1 , y2 }( x ) = c.exp a p(t)dt ∀ x ∈ [ a, b], (1.2.1) với c số Bổ đề 1.2.2 (Bất đẳng thức Gronwall-dạng vi phân) ([4]) Cho η (.) hàm không âm, liên tục [0, T ] thỏa mãn bất đẳng thức vi phân η (t) ≤ φ(t)η (t) + ψ(t), ∀t ∈ [0, T ], φ(t), ψ(t) hàm không âm liên tục [0, T ] Khi đó: η (t) ≤ e t φ(r )dr t [ η (0) + ψ(s)ds], ∀t ∈ [0, T ] Bổ đề 1.2.3 (bất đẳng thức Gronwall-dạng tích phân) ([4]) Cho ξ (t) hàm không âm, liên tục [0, T ] thỏa mãn theo t bất đẳng thức tích phân: ξ (t) ≤ C1 t ξ (s)ds + C2 , với số C1 , C2 ≥ Khi đó: ξ (t) ≤ C2 (1 + C1 teC1 t ), ≤ t ≤ T Định lý 1.2.1 (định lý tồn nghiệm ([9]) ) Nếu q( x ) hàm liên tục [ a, b], với α ∈ R, λ ∈ C toán Cauchy: y ( x ) + (λ − q( x ))y( x ) = 0, ϕ( x0 , λ) = sin(α), ϕ x ( x0 , λ) = −cos(α), ( x0 ∈ [ a, b] cố định ) (1.2.2) có nghiệm ϕ( x, λ), x ∈ [ a, b] Với x cố định thuộc [ a, b] hàm ϕ( x, λ) hàm nguyên λ, tức hàm chỉnh hình tồn mặt phẳng phức C 80 3.4 Tính trực giao khai triển số bổ đề sau Cho ϕ( x, λ) ρ(λ) mục trước Ta đặt E∆ ( x, t) = λ+∆ ϕ( x, µ) ϕ(t, µ)dρ(µ) λ Bổ đề 3.4.1 ([9]) Cho ∆ = (λ, λ + ∆) khoảng hữu hạn với hai đầu mút điểm liên tục hàm ρ(λ) Với x cố định hàm E∆ ( x, t), xem hàm theo t, thuộc vào L2 (0, ∞) Chứng minh Từ tính trực giao hàm riêng ta có       b 1 ϕn,b ( x ) ϕn,b (t) ϕ (t) ϕn,b (z) dt ∑  λ≤λ ∑≤λ+∆ α2n,b n,b  λ≤λ ≤λ+∆ αn,b n,b n,b = ∑ λ≤λn,b ≤λ+∆ αn,b ϕn,b ( x ) ϕn,b (z) Nếu a < b x = z; từ đẳng thức ta suy bất đẳng thức a λ+∆ dt ≤ ϕ( x, µ) ϕ(t, µ)dρb (µ) λ λ+∆ ϕ2 ( x, µ)dρb (µ) λ Cho b → ∞, với a cố định ta a λ+∆ E∆2 ( x, t)dt ≤ ϕ2 ( x, λ)dρ(λ), λ a nên bổ đề chứng minh Bổ đề 3.4.2 ([9]) Cho f ( x ) ∈ L2 (0, ∞) ( E∆ f )( x ) = Khi ∞ ∞ E∆ ( x, t) f (t)dt ( E∆ f )2 ( x )dx ≤ ∞ f ( x )dx Chứng minh Đầu tiên xem xét f ( x ) = f n ( x ) hàm có giá nằm 81 3.4 Tính trực giao khai triển [0, n] Với b > n ta có b λ+∆ n f n (t) b = ϕ( x, µ) ϕ(t, µ)dρb (µ) dt dx λ      n f n (t)  = ∑ α2 λ≤λk,b ≤λ+∆ k,b 2  ϕk,b ( x ) ϕk,b (t) dt dx  α λ≤λk,b ≤λ+∆ k,b ∑ n n ≤ f n (t) ϕk,b (t)dy f n2 ( x )dx Nếu a < b ta có a n f n (t) λ+∆ dx ≤ ϕ( x, µ) ϕ(t, µ)dρb (µ) dt λ n f n2 ( x )dx Cho b → ∞ với a cố định ta a n dx ≤ E∆ ( x, t) f n (t)dt n f n2 ( x )dx Bây cho a → ∞ ta ∞ ( E∆ f n )2 ( x )dx ≤ n f n2 ( x )dx Bây cho f ( x ) hàm bình phương khả tích Ta đặt   f ( x ), ≤ x ≤ n f n (x) = 0, x > n Khi với a > cố định từ bất đẳng thức trước ta có a n dx ≤ E∆ ( x, t) f n (t)dt n f n2 ( x )dx Cho n → ∞ ta thu ∞ a 0 E∆ ( x, t) f (t)dt dx ≤ ∞ f ( x )dx Cuối cho a → ∞ ta điều phải chứng minh 82 3.4 Tính trực giao khai triển Bổ đề 3.4.3 ([9]) Cho f ( x ) ∈ L2 (0, ∞) n F (λ) = l.i.m.n→∞ f ( x ) ϕ( x, λ)dx Khi ( E∆ f )( x ) = ∆ F (λ) ϕ( x, λ)dρ(λ) (3.4.1) Chứng minh Giả sử f ( x ) = f n ( x ) có giá nằm [0, n] Ta đặt n Fn (λ) = f n (t) ϕ(t, λ)dt Nhân hai vế đẳng thức với ϕ( x, λ) tích phân khoảng ∆ = (λ, λ + ∆) (theo độ đo dρ(λ)), ta thu n f n (t) E∆ ( x, t)dt = ∆ Fn (λ) ϕ( x, λ)dρ(λ) Bây xem xét trường hợp tổng quát, f (t) hàm thuộc L2 (0, ∞) Ta đặt f n (t) = f (t) với t ∈ [0, n] f n (t) = với t > n Nếu cho n → ∞ Fn (λ) hội tụ bình phương trung bình tới F (λ) (theo dρ(λ)) Do ta tiến qua giới hạn vế phải đẳng thức Vế trái đẳng thức tiến qua giới hạn E∆ ( x, t) hàm bình phương khả tích; từ ta thu điều phải chứng minh Bổ đề 3.4.4 ([9]) Cho E∆ ( x ) = ∆ ϕ( x, λ)dρ(λ) f ( x ) ∈ L2 (0, ∞) Khi với hầu khắp λ (với tương ứng theo độ đo ρ(λ)) ta có F (λ) = lim∆→0 ρ(∆) ∞ f ( x ) E∆ ( x )dx, ρ(∆) = ρ(λ + ∆) − ρ(λ) Chứng minh Nếu sin(α) = lấy y = bồ đề 3.4.1 ta E∆ ( x ) ∈ L2 (0, ∞) Lấy x = (3.4.1) ta ∞ E∆ (t) f (t)dt = ∆ F (λ)dρ(λ) Chia vế cho ρ(∆) = ρ(λ + ∆) − ρ(λ) ta ρ(∆) ∞ E∆ (t) f (t)dt = ρ(∆) ∆ F (λ)dρ(λ) 83 3.4 Tính trực giao khai triển Cho ∆ → 0, từ định lý đạo hàm Lebesgue vế phải đẳng thức tiến tới F (λ) với hầu khắp λ ( theo độ đo ρ(λ)) Như bổ đề chứng minh trường hợp sin(α) = Với sin(α) = ta làm sau Từ tính trực giao hàm ϕn,b ( x ) ta có b ∂E∆ ( x, t) ∂x b dt = ∆ ϕ x ( x, λ) ϕ(t, λ)dρb (λ)  b = = λ≤λ ∑ n,b ≤ λ + ∆ α2n,b (x) ϕn,b ∑ α2n,b λ≤λn,b ≤λ+∆ dy ϕn,b (t) ϕn,b ( x ) = 2  dt  ∆ ϕ2x ( x, λ)dρb (λ) Với a < b ta có a ∂E∆ ( x, t) ∂x ∂E∆ ( x, t) ∂x dt ≤ ϕ2x ( x, λ)dρb (λ) ∆ Cho b → ∞ ta a dt ≤ ∆ ϕ2x ( x, λ)dρ(λ) Cuối cùng, cho a → ∞ , với x cố định ta ∂E∆ ( x, t) ∈ L2 (0, ∞) ∂x Từ ta đạo hàm (3.4.1) theo x dấu tích phân sau lấy x = ta thu ∞ E∆ (t) f (t)dt = ∆ F (λ)dρ(λ) Lập luận giống trước ta điều phải chứng minh Định lý 3.4.1 ([9]) Cho f ∈ L2 (0, ∞), ∆ = (λ, λ + ∆), λ, λ + ∆ điểm liên tục ρ(λ) Với z khơng thực ta có ( Rz E∆ f ) ( x ) = = ∞ ∆ G ( x, t, z) ∞ E∆ (t, u) f (u)du dt ϕ( x, λ) F (λ)dρ(λ), z−λ F (λ) biến đổi Fourier tổng quát f ( x ) (3.4.2) 84 3.4 Tính trực giao khai triển Chứng minh Đầu tiên ta xét f ( x ) = f n ( x ) triệt tiêu bên đoạn [0, n] Ta có b n Gb ( x, t, z) f n (u) ϕ(t, λ) ϕ(u, λ)dρb (λ)du dt ∆ b = ∆ n Gb ( x, t, z) ϕ(t, λ)dt n Gb ( x, t, z) ϕk,b (t)dt ϕk,b ( x ) z−λ k,b λ≤λk,b ≤λ+∆ αk,b ∑ = = ∆ f n (u) ϕ(u, λ)du dρb (λ) b ∑ α2 λ≤λk,b ≤λ+∆ k,b = 0 f n (u) ϕk,b (u)du n f n (u) ϕk,b (u)du n ϕ( x, λ) z−λ f n (u) ϕ(u, λ)du dρb (λ) Cho b → ∞ ∆ ϕ( x, λ) z−λ n f n (u) ϕ(u, λ)du dρb (λ) → ∆ ϕ( x, λ) Fn (λ)dρ(λ) z−λ Cho a > cố định, ta viết b n Gb ( x, t, z) f n (u) a = b + a ∆ ϕ(t, λ) ϕ(u, λ)dρb (λ)du dt n Gb ( x, t, z) Gb ( x, t, z) n f n (u) f n (u) ∆ ∆ ϕ(t, λ) ϕ(u, λ)dρb (λ)du dt (3.4.3) ϕ(t, λ) ϕ(u, λ)dρb (λ)du dt Sử dụng bổ đề 3.2.2, với a > cố định, cho b → ∞ số hạng vế phải tiến tới a n G ( x, t, z) f n (u) ∆ ϕ(t, λ) ϕ(u, λ)dρ(λ)du dt Ta chứng minh số hạng thứ hai tiến tới không a → ∞, b > a Để làm 85 3.4 Tính trực giao khai triển điều ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:       b n  ϕ ( t ) ϕ ( u ) du dt Gb ( x, t, z) f n (u)  ∑ α2 k,b k,b   a λ≤λk,b ≤λ+∆ k,b b ≤ a a a a | Gb ( x, t, z)|2 dt b  a     b | Gb ( x, t, z)| dt 1 ∑ αk,b ϕk,b (t) αk,b λ≤λ ≤λ+∆ k,b   n α2k,b ∑ k,b ≤ λ + ∆ 1     2 n f n (u) ϕk,b (u)du dt 1     1 f (u) ϕk,b (u)du 2  2 f (u)du f n (u) ϕk,b (u)du dt n 2 n   2 1 ∑ αk,b ϕk,b (t) αk,b λ≤λ ≤λ+∆ k,b λ≤λ b ≤ | Gb ( x, t, z)|2 dt   b ≤      b ≤ | Gb ( x, t, z)|2 dt Ta chứng minh b a 2 | Gb ( x, t, z)| dt tiến tới cho a, b → ∞, b > a Thật vậy, cho trước đủ lớn cho ∞ |ψ(t, z)|2 dt ≤ > bất kỳ, chọn a a Từ bổ đề 3.2.2 ta chọn b đủ lớn cho a b a |ψ(t, z)|2 dt − |ψb (t, z)|2 dt ≤ , a |ψb (t, z)|2 dt − |ψ(t, z)|2 dt ≤ Khi ta thu b a |ψb (t, z)|2 dt = b a b ≤ b + a b |ψb (t, z)|2 dy − |ψb (t, z)|2 − a b |ψ(t, z)|2 dt ≤ |ψ(t, z)|2 dt + |ψ(t, z)|2 dt + b a a |ψ(t, z)|2 dt |ψ(t, z)|2 − a |ψb (t, z)|2 dt 86 3.4 Tính trực giao khai triển Như cho b → ∞ (3.4.3) ta chứng minh (3.4.2) Với trường hợp f ( x ) ∈ L2 (0, ∞) bất kỳ, ta đặt f n ( x ) = f ( x ) x ∈ [0, n] f n ( x ) = x > n Khi ta có ( Rz E∆ f n ) ( x ) = ∆ với ϕ( x, λ) Fn (λ)dρ(λ), z−λ (3.4.4) n Fn (λ) = f ( x ) ϕ( x, λ)dx Cho n → ∞ trong(3.4.4) ta thu ( Rz E∆ f ) ( x ) = ∆ ϕ( x, λ) F (λ)dρ(λ), z−λ Từ hồn thành chứng minh Nhận xét: Cho g( x ) ∈ L2 (0, ∞) Nhân hai vế (3.4.2) với g( x ) sau lấy tích phân từ đến n ta n ( Rz E∆ f ) ( x ) g( x )dx = ∆ Gn (λ) F (λ) dρ(λ), z−λ n Gn (λ) = g( x ) ϕ( x, λ)dx Cho n → ∞ ta ∞ ( Rz E∆ f ) ( x ) g( x )dx = ∆ F (λ) G (λ) dρ(λ), z−λ n G (λ) = l.i.mn→∞ g( x ) ϕ( x, λ)dx Họ tốn tử E∆ có tính chất sau Mệnh đề 3.4.1 ([9]) Cho f , g ∈ L2 (0, ∞) Khi (i) tự liên hợp: ( E∆ f , g) = ( f , E∆ g), (ii) đơn điệu: ∆ ⊂ ∆ ( E∆ f , f ) ≤ ( E∆ f , f ), (iii) đầy đủ: ( E(−∞,+∞) f , g) = ( f , g) = (iv) trực giao: E∆ E∆ = E∆·∆ ∞ f ( x ) g( x )dx, (3.4.5) 87 3.4 Tính trực giao khai triển ∆ · ∆ giao ∆ với ∆ Chứng minh Nhân hai vế (3.4.1) với g( x ) sau lấy tích phân theo x từ đến n ta ∞ n g( x ) E∆ ( x, t) f (t)dt dx = ∆ Gn (λ) F (λ)dρ(λ) Cho n → ∞ ta ( E∆ f , g) = ∞ g( x ) ∞ E∆ ( x, t) f (t)dt dx = ∆ F (λ) G (λ)dρ(λ) (3.4.6) Từ (3.4.6) tính đối xứng hàm E∆ ( x, t) ta thu (i) Lấy g = f (3.4.6) trở thành ( E∆ f , f ) = ∆ F2 (λ)dρ(λ) Từ đẳng thức ta thu (ii) Từ (3.4.6) đẳng thức Parseval ta thu (iii) Đặt Eλ = E(−∞,λ) Khi để chứng minh (iv) ta cần chứng minh E∆ Eλ = E∆ E(−∞,λ) = E∆·(−∞,λ) Thật vậy, ∆ = (λ , λ + ∆ ) E∆ E∆ = E∆ E(−∞,λ +∆ ) − E(−∞,λ ) = E∆ E(−∞,λ +∆ ) − E∆ E(−∞,λ ) = E∆·(−∞,λ +∆ ) − E∆·(−∞,λ ) = E∆·[(−∞,λ +∆ )−(−∞,λ )] = E∆·∆ Từ (3.4.6) lấy ∆ = (−∞, λ) ta λ ( Eλ f , g) = −∞ F (λ) G (λ)dρ(λ) Từ tính chất (ii) ta thu hàm số λ → ( Eλ f , g) hàm đơn điệu tăng theo λ, dλ ( Eλ f , g) = F (λ) G (λ)dρ(λ) Khi (3.4.5) viết lại thành ( Rz E∆ f , g) = ∞ ( Rz E∆ f ) ( x ) g( x )dx = ∆ dλ ( Eλ f , g) = z−λ ∞ −∞ dλ ( E(−∞,λ)·∆ f , g) z−λ (3.4.7) 88 3.4 Tính trực giao khai triển Mặt khác (3.3.12) thay f E∆ f ta ∞ ( Rz E∆ f ) ( x ) g( x )dx = ∞ dλ ( E(−∞,λ) E∆ f , g) −∞ z−λ (3.4.8) Từ (3.4.7) (3.4.8) tính độ đo Stieltjes ta ( E(−∞,λ)·∆ f , g) − ( E(−∞,λ) E∆ f , g) = c Lấy λ = +∞, từ tính đầy đủ ta c = Do f , g ∈ L2 (0, ∞) nên E(−∞,λ)·∆ = E(−∞,λ) E∆ Bổ đề 3.4.5 ([9]) Cho E∆ ( x, t) = ∞ E∆ ( x, u) E∆ (u, t)du = ∆ ∆·∆ ϕ( x, λ) ϕ(t, λ)dρ(λ) Khi ϕ( x, λ) ϕ(t, λ)dρ(λ) = E∆·∆ ( x, t) (3.4.9) Chứng minh Cho x cố định thuộc (0, ∞), với f (t) ∈ L2 (0, ∞) ta có: ∞ ∞ E∆ ( x, u) E∆ (u, t)du f (t)dt = ∞ = ∞ E∆ ( x, u) ∞ E∆ (u, t) f (t)dt du E∆ ( x, u) E∆ f (u)dt = E∆ E∆ f ( x ) = E∆·∆ f ( x ) = ∞ E∆·∆ ( x, t) f (t)dt ∞ Do E∆·∆ ( x, t) E∆ ( x, u) E∆ (u, t)du hàm liên tục theo t đẳng thức xảy với f (t) ∈ L2 (0, ∞) nên với t ∈ (0, ∞) ta có: ∞ E∆ ( x, u) E∆ (u, t)du = E∆·∆ ( x, t) Do x lấy nên ta điều phải chứng minh Bổ đề 3.4.6 ([9]) Cho E∆ ( x ) = ∆ ϕ( x, λ)dρ(λ) F∆ (λ) biến đổi Fourier E∆ ( x ) Khi với hầu khắp nơi λ (theo độ đo ρ(λ)) ta có: F∆ (λ) = λ ∈ ∆ F∆ (λ) = λ ∈ / ∆ Chứng minh Xét trường hợp sin(α) = Lấy x = t = (3.4.9) ta ∞ E∆ (t) E∆ (t)dt = ∆·∆ ρ ( λ ) (3.4.10) 89 3.4 Tính trực giao khai triển Với trường hợp sin(α) = ta thu đẳng thức cách đạo hàm (3.4.9) theo x, t lấy x = t = Chia hai vế (3.4.10) cho ρ(λ ) ta ρ(∆ ) ∞ E∆ (t) E∆ (t)dt = ρ(∆ ) ∆·∆ ρ ( λ ) Cho ∆ → từ bổ đề 3.4.4 vế trái đẳng thức tiến tới F∆ (λ) hầu khắp nơi, vế phải tiến tới λ ∈ ∆, tiến tới λ = ∆ Bổ đề 3.4.7 ([9]) Với x cố định, z không thực biến đổi Fourier hàm ϕ( x, λ) Green G(x,t,z) z−λ Chứng minh Từ biểu diễn tích phân giải thức ta có ∞ G ( x, t, z) E∆ (t)dt = ∞ −∞ ϕ( x, λ) F∆ (λ)dρ(λ) z−λ Sử dụng bổ đề 3.4.6 đẳng thức viết lại thành ∞ G ( x, t, z) E∆ (t)dt = ∆ ϕ( x, λ) dρ(λ) z−λ Chia hai vế cho ρ(∆) ta ρ(∆) ∞ G ( x, t, z) E∆ (t)dt = ρ(∆) ∆ ϕ( x, λ) dρ(λ) z−λ Cho ∆ tiến 0, sử dụng bổ đề 3.4.4 vế trái đẳng thức tiến tới biến ϕ( x, λ) đổi Fourier hàm Green G(x,t,z), vế phải tiến tới , từ ta z−λ điều phải chứng minh Bây ta quay lại chứng minh định lý mục Định lý 3.4.2 ([9]) Cho ρ(λ) xây dựng định lý 3.1.1 Khi với hàm F (λ) ∈ L2ρ(λ) (−∞, +∞) tồn hàm f ( x ) ∈ L2 (0, ∞) cho N f ( x ) = l.i.m N →∞ −N F (λ) ϕ( x, λ)dρ(λ) thỏa mãn đẳng thức Parseval: +∞ −∞ F2 (λ)dρ(λ) = ∞ f ( x )dx 90 3.4 Tính trực giao khai triển Chứng minh Đầu tiên ta xem xét FN (λ) hàm liên tục, có giá nằm [− N, N ] Ta đặt N gN (x) = −N Ta chứng minh ∞ FN (λ) ϕ( x, λ)dρ(λ) g2N ( x )dx ≤ ∞ (3.4.11) Cho λ0 = − N, λ1 , λ2 , , λn = N phân hoạch khoảng (− N, N ), cho ξ i ∈ [λi−1 , λi ] Ta đặt gnN ( x ) = n λi i =1 λ i −1 ∑ FN (ξ i ) ϕ( x, λ)dρ(λ) Nếu max(λi − λi−1 ) → gnN ( x ) → g N ( x )(n → ∞) theo x đoạn hữu hạn Từ bổ đề 3.4.5 ta có ∞ { gnN ( x )}2 dx = n ∑ Fn2 (ξ i ) i =1 λi dρ(λ) → λ i −1 N −N FN (λ)dρ(λ) (3.4.12) Cho a > số cố định Từ (3.4.12) tồn số K cho với n ta có a (3.4.13) { gnN ( x )}2 dx ≤ K a Cho n → ta thu minh (3.4.11) { g N ( x )}2 dx ≤ K Vì a nên ta chứng Tiếp theo ta chứng minh biến đổi Fourier hàm g N ( x ) trùng với FN (λ) hầu khắp nơi (theo độ đo ρ(λ)) Từ (3.4.10) ta ∞ gnN ( x ) E∆ ( x )dx = ∑ FN (ξ i ) i ∆ · ∆i dρ(λ) (3.4.14) Cho n → ∞, đồng nghĩa với max ∆i → Từ việc E∆ ( x ) ∈ L2 (0, ∞) (3.4.13) ta tiến qua giới hạn dấu tích phân (3.4.14) để thu ∞ g N ( x ) E∆ ( x )dx = ∆ FN (λ)dρ(λ) (3.4.15) Chia hai vế cho ρ(∆), sau cho ∆ → từ bổ đề 3.4.4 vế trái tiến tới biến đổi Fourier g N ( x ) hầu khắp nơi (theo độ đo ρ(λ) ) vế phải tiến tới FN (λ) Sử dụng đẳng thức Parseval ta ∞ g2N ( x )dx = +∞ −∞ FN (λ)dρ(λ) (3.4.16) 91 3.4 Tính trực giao khai triển Bây giờ, cho F (λ) ∈ L2ρ(λ) (−∞, +∞) bất kỳ, ta tìm dãy hàm liên tục FN (λ) có giá nằm [− N, N ] hội tụ bình phương trung bình tới F (λ) Cho N gN (x) = −N FN (λ) ϕ( x, λ)dρ(λ) Từ (3.4.16) với N > N ta có ∞ gN (x) − gN (x) ∞ dx = −∞ FN (λ) − FN (λ) dρ(λ) Do g N ( x ) phải hội tụ bình phương trung bình tới hàm f ( x ) ta có Parseval ∞ +∞ f ( x )dx = F2 (λ)dρ(λ) −∞ Cuối ta cần chứng minh N f N (x) = −N F (λ) ϕ( x, λ)dρ(λ) hội tụ bình phương trung bình tới f ( x ) Cho H (λ) ∈ L2ρ(λ) (−∞, +∞) h( x ) xây dựng từ H (λ) giống f ( x ) xây dựng từ F (λ) Khi ta có ∞ { f ( x ) − h( x )}2 dx = +∞ −∞ { F (λ) − H (λ)}2 dρ(λ) Cho H (λ) = F (λ) với − N ≤ λ ≤ N H (λ) = |λ| > N Ta thấy ∞ { f ( x ) − f N ( x )}2 dx = −N −∞ F2 (λ)dρ(λ) + ∞ N F2 (λ)dρ(λ) Cho N → ∞ ta f N ( x ) hội tụ bình phương trung bình tới f ( x ) 92 3.4 Tính trực giao khai triển KẾT LUẬN Khóa luận khơng đưa kết mới, nội dung khóa luận gồm đọc hiểu trình bày chi tiết lại kết khai triển hàm riêng toán tử Sturm-Liouville đoạn hữu hạn nửa đường thẳng Khóa luận trình bày với chương Ở chương kiến thức chuẩn bị phục vụ cho chứng minh chương chương Ở chương trình bày cơng thức tiệm cận giá trị riêng hàm riêng toán tử Sturm-Liouville, chứng minh tồn dãy đếm giá trị riêng cách khác nhau: sử dụng định lý Rouche (xem định lý 2.2.1), lý thuyết dao động Sturm (xem định lý 2.3.3), phương pháp phương trình tích phân ( xem bổ đề 2.4.1 chứng minh tồn dãy đếm giá trị riêng giải thức ) Ngoài chương có cách chứng minh khác cho định lý khai triển hàm riêng : phương pháp phương trình tích phân ( xem định lý 2.5.2), phương pháp thặng dư Cauchy (xem định lý 2.6.2 định lý 2.6.3) Ở cuối chương định lý , hội tụ điểm khai triển hàm riêng Sturm-Liouville giống hội tụ điểm chuỗi Fourier thông thường ( xem định lý 2.7.1 nhận xét cuối mục 2.7 ) Ở chương 3, xây dựng hàm phổ ρ(λ) (còn gọi độ đo phổ) từ định nghĩa biến đổi Fourier tổng quát thu đẳng thức Parseval định lý khai triển dạng tương tự chương (xem định lý 3.1.1, định lý 3.1.3 định lý 3.3.4 ) Đồng thời chương trình bày phân loại giới hạn điểm, giới hạn tròn tốn tử Sturm-Liouville nhiên em chưa tìm hiểu xuất phát điểm vật lý khái niệm Ngồi chương trình bày biểu diễn tích phân giải thức (xem định lý 3.3.3), rõ họ phổ Eλ toán tử SturmLiouville ( xem bổ đề 3.4.3 mệnh đề 3.4.1) Ở cuối chương ánh xạ f ( x ) → F (λ) đặt tương ứng hàm f ( x ) ∈ L2 (0, ∞) biến đổi Fourier tổng quát F (λ) ∈ L2ρ(λ) (−∞, +∞) ánh xạ Unitary ( song ánh bảo toàn chuẩn) Mặc dù cố gắng, nhiên luận văn không tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc Tài liệu tham khảo [1] Apostol T.M (1974), Mathematical analysis, 2nd, Pearson [2] Al-Gwaiz M.A (2008), Sturm-Liouville and its applications, Springer [3] Brown J.W and Churchill R.V (2013), Complex variables and applications, 9th, McGraw-Hill [4] Coddington E.A and Levinson N (1955), Theory of ordinary differential equations, McGraw-Hill [5] Courant R and Hilbert D (1989), Methods of mathematical physics, vol I, Wiley-VCH [6] EidelmanY., Milman V and Tsolomitis A (2004), Functional analysis an introduction, AMS [7] Freiling G and Yurko V (2001), Inverse Sturm-Liouville problems and their applications, Nova Science [8] Folland G.B (1992), Fourier analysis and its applications, Wadsworth Brooks/ cole [9] Levitan B.M and Sargsjan I.S (1975), Introduction to spectral theory: selfadjoint ordinary differential operators, AMS [10] Levitan B.M and Sargsjan I.S (1991), Sturm-Liouville and Dirac operators, Springer [11] Lebovitz N (2019), Ordinary differential equations, Cengage Learning [12] Stein E and Shakarchi R (2005), Real analysis, Princeton university press TÀI LIỆU THAM KHẢO 94 [13] Teschl G (2012), Ordinary differential equations and Dynamical systems, AMS [14] Teschl G (2014), Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrodinger operators, 2nd, AMS [15] Titchmarsh E.C (1950), Eigenfunction expansions associated with second-order differential equations part I, Clarendon Oxford ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————- Nguyễn Viết Đại HÀM RIÊNG CỦA TOÁN TỬ STURM- LIOUVILLE TRÊN KHOẢNG HỮU HẠN VÀ TRÊN KHOẢNG VƠ HẠN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC... hợp toán tử cụ thể thông tin tiệm cận giá trị riêng, hàm riêng họ phổ Trong luận văn em đọc hiểu trình bày chi tiết lại kết khai triển hàm riêng toán tử Sturm- Liouville cho hai trường hợp khoảng. .. triển khoảng hữu hạn 2.1 Giới thiệu số tính chất Tốn tử Sturm- Liouville tốn tử vi phân thường L có dạng L= − d2 + q ( x ), dx2 q( x ) hàm giá trị thực liên tục đoạn hữu hạn [ a, b] Tốn tử tuyến