BẠN KHÔNG CẦN PHẢI MẤT CÔNG BIÊN SOẠN BÀI TẬP, BỘ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM “BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN HÀM SỐ” VỚI ĐẦY ĐỦ NỘI DUNG LÝ THUYẾT VÀ CÁC BÀI TẬP THEO TỪNG MỨC ĐỘ, PHÂN DẠNG CỤ THỂ, ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT, TRÌNH BÀY ĐẸP MẮT SẼ GIÚP BẠN. CHỈ CẦN DOWNLOAD VÀ SỬ DỤNG NGAY. THÍCH HỢP ĐỂ SỬ DỤNG LÀM BÀI GIẢNG, BÀI TẬP ÔN TẬP VÀ BÀI KIỂM TRA. TÀI LIỆU BAO GỒM 2 PHẦN PHẦN 1 – NỘI DUNG LÝ THUYẾT VÀ CÁC CÂU HỎI. PHẦN 2 – ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT.
BTTN Giới hạn hàm số DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp: + Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn hàm số giới hạn dãy số + Nếu f ( x) hàm số cho cơng thức giá trị giới hạn f ( x0 ) + Nếu f ( x) cho nhiều cơng thức, ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái giới hạn phải) x3 x là: x 1 x5 Câu Chọn kết kết sau lim A 2 B C D B 11 C 11 D x3 bằng: x 2 x x Câu lim A Câu Tìm giới hạn hàm số lim x 1 A x 1 định nghĩa x2 B C 2 D Câu Tìm giới hạn hàm số lim x 1 định nghĩa x2 A B Câu Tìm giới hạn hàm số lim x 1 A x A D x3 2 định nghĩa x 1 B Câu Tìm giới hạn hàm số lim C C 2 D x3 định nghĩa x2 B C 2 D x2 x định nghĩa x x2 Câu Tìm giới hạn hàm số lim A B C 2 3x định nghĩa x 1 x Câu Tìm giới hạn hàm số lim D BTTN Giới hạn hàm số A Câu Cho hàm số f ( x) A B C D x 3x Chọn kết lim f ( x) : x 2 x 1 x3 B C Câu 10 Tìm giới hạn hàm số lim x4 2 định nghĩa 2x C 2 x 0 A B Câu 11 Tìm giới hạn hàm số lim x 1 A D 4x định nghĩa x 1 C 2 B D 3x định nghĩa x2 Câu 12 Tìm giới hạn hàm số lim x2 A D C 2 B D x2 x Câu 13 Tìm giới hạn hàm số lim định nghĩa x 1 x 1 A Câu 14 Tìm giới hạn hàm số lim x 2 A C 2 B x 1 2 x D định nghĩa C 2 B D 3x định nghĩa x x Câu 15 Tìm giới hạn hàm số lim A B C D Câu 16 Tìm giới hạn hàm số lim x x 1 định nghĩa x A x2 Câu 17 Tìm giới hạn hàm số lim x x 2 A C 2 B B Câu 18 Tìm giới hạn hàm số lim x 1 1 x D định nghĩa C x 3x định nghĩa x 1 D BTTN Giới hạn hàm số A C 2 B Câu 19 Tìm giới hạn hàm số A lim x 1 A x A x2 x định nghĩa x 1 B C Câu 20 Tìm giới hạn hàm số B lim C x 0 A C x 1 A D 36 D x x 1 định nghĩa 3x B Câu 22 Tìm giới hạn hàm số D lim 2 tan x định nghĩa sin x B Câu 21 Tìm giới hạn hàm số C lim D 1 1 D 7x 1 1 định nghĩa x2 C 2 B D 3 x 1 định nghĩa x 2 x x Câu 23 Tìm giới hạn hàm số A lim A B C Câu 24 Tìm giới hạn hàm số B lim x A 6 D sin 2x 3cos x định nghĩa tan x B C 3 D x2 x x Câu 25 Tìm giới hạn hàm số C lim định nghĩa x 1 3x A B C 3 D 235 Câu 26 Tìm giới hạn hàm số D lim x 1 A B 3x định nghĩa 3x C D BTTN Giới hạn hàm số x x Câu 27 Cho hàm số f x Chọn kết lim f x : x 2 x x A 1 B C D Không tồn x ax x Câu 28 Tìm a để hàm số sau có giới hạn x f ( x) 2 x x x A Câu B 29 Tìm a 5ax 3x 2a f ( x) 1 x x x 2 A để C hàm x x số sau B B D có giới hạn C 2 x x C 2 D có giới hạn x D x ax x Câu 31 Tìm a để hàm số f ( x) có giới hạn x 1 x x a x A B x0 5ax 3x 2a Câu 30 Tìm a để hàm số f ( x) 1 x x x A C D BTTN Giới hạn hàm số DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VƠ ĐỊNH L = lim x x0 0 P( x) với P(x), Q(x) đa thức P(x0) = Q(x0) = Q( x) Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn Chú ý: + Nếu tam thức bậc hai ax bx+c có hai nghiệm x1 , x2 ta ln có phân tích ax2 bx c a( x x1 )( x x2 ) n n n 1 n 2 n 2 n 1 + a b (a b)(a a b ab b ) P( x) với P(x0) = Q(x0) = P(x), Q(x) biểu thức chứa bậc x x0 Q ( x ) L = lim Sử dụng đẳng thức để nhân lượng liên hợp tử mẫu Các lượng liên hợp: + ( a b )( a b ) a b 3 + ( a b )( a ab b ) a b + ( n a n b )( n a n 1 n a n 2b n b n 1 ) a b L = lim x x0 P( x) với P(x0) = Q(x0) = P(x) biêu thức chứa không đồng bậc Q( x) Giả sử: P(x) = m u ( x) n v( x) với Ta phân tích P(x) = m m u ( x0 ) n v( x0 ) a u ( x) a a n v( x) Trong nhiều trường hợp việc phân tích khơng đến kết ta phải phân tích sau: n u ( x) m v( x) ( n u( x) m( x)) ( m v( x) m( x)) , m( x ) c x2 x là: x 1 x Câu 32 Chọn kết kết sau lim A B Câu 33 Tìm giới hạn A lim x 1 x3 3x : x2 4x C D BTTN Giới hạn hàm số A B Câu 34 Tìm giới hạn B lim x 2 A C D x4 5x2 : x3 B C D C D 25 (1 3x)3 (1 x) : x 0 x Câu 35 Tìm giới hạn C lim A B x3 Câu 36 Cho hàm số f x A x2 B Câu 37 Tìm giới hạn D lim x 0 A x 0 A n x 0 A n Câu 40 Tìm giới hạn A lim m A x 0 A D C n m D m n C a n D 1 n a C am bn D 1 am bn C 1 x 1 x 1 x 1 với : x B D ax với ab : bx B Câu 41 Tìm giới hạn B lim ax ( n *, a 0) : x B x 0 C xn 1 (m, n *) : xm 1 B Câu 39 Tìm giới hạn B lim x 3 (1 x)(1 x)(1 3x ) : x B Câu 38 Tìm giới hạn A lim B Giá trị lim f x là: C B D BTTN Giới hạn hàm số x2 5x : x 2 x x Câu 42 Tìm giới hạn A lim A B C D C D x 3x Câu 43 Tìm giới hạn B lim : x 1 x x A B 2x x : x2 4x Câu 44 Tìm giới hạn C lim x 3 A B B Câu 46 Tìm giới hạn E lim x 7 B x 0 B m x 0 A x 0 A C 8 27 D C D C D C a b m n D a b m n C a b m n D a b m n ax n bx : x B Câu 50 Tìm giới hạn G lim D 1 4x 1 6x : x2 Câu 48 Tìm giới hạn M lim Câu 49 Tìm giới hạn N lim (2 x 1)(3 x 1)(4 x 1) : x x 0 A C 4x 1 x : 2x B Câu 47 Tìm giới hạn F lim A D x 1 1 : 2x 1 x 0 A 3 Câu 45 Tìm giới hạn D lim A C m ax n bx : x B BTTN Giới hạn hàm số 1 mx 1 nx V lim n Câu 51 Tìm giới hạn A x2 x 0 m : B C mn n m D mn n m 1 x 1 x 1 x : Câu 52 Tìm giới hạn K lim 1 x x 1 A n 1 B Câu 53 Tìm giới hạn L lim x2 x C n x 0 A n x2 x n! n : x B D C 2n D x2 5x : x 2 x3 Câu 54 Tìm giới hạn A lim A B Câu 55 Tìm giới hạn B lim x 1 A x 3 A x 0 A D n C D C D n D x 1 1 : 2x 1 B Câu 58 Tìm giới hạn F lim C 2x : x 4x x 0 A D B Câu 57 Tìm giới hạn D lim x 3x : x3 x B Câu 56 Tìm giới hạn C lim C (2 x 1)(3 x 1)(4 x 1) : x B C BTTN Giới hạn hàm số 1 4x 1 6x : cos x Câu 59 Tìm giới hạn M lim x 0 A B C D C an bm mn D C an bm mn D C n! D C D C D C D C D 1 ax n bx Câu 60 Tìm giới hạn N lim : x 0 1 x 1 m A B 1 mx 1 nx n Câu 61 Tìm giới hạn V lim x 3x x 0 A m : B mn n m 1 x 1 x 1 x : Câu 62 Tìm giới hạn K lim 1 x n 1 x 1 A B 4x 1 2x 1 : x Câu 63 Tìm giới hạn A lim x 0 A B Câu 64 Tìm giới hạn B lim x 1 A x 1 x2 x 3x : x 1 B Câu 66 Tìm giới hạn D lim A 4x : 5x B Câu 65 Tìm giới hạn C lim A n x x2 : x 3x B BTTN Giới hạn hàm số 10 Câu 67 Tìm giới hạn A lim x 0 A x 3x : x2 B C D C D 1 4x 6x Câu 68 Tìm giới hạn B lim : x 1 x3 x x A B BTTN Giới hạn hàm số 57 Hướng dẫn giải: 2 x 1 1 x x lim x x 3 x 1 x 1 x 1 x x 4 x Ta có: C lim x Câu 104 Tìm giới hạn D lim x x2 2x x A x3 x x B : C D Hướng dẫn giải: x2 x x x Ta có: D lim x 1 x2 3 x x x x Câu 105 Chọn kết kết sau lim x cos x 0 A Không tồn B là: nx C D Hướng dẫn giải: ChọnB Cách 1: cos 2 x cos x2 nx nx Mà lim x nên lim x cos x 0 x 0 0 nx Cách 2: Bấm máy tính sau: Chuyển qua chế độ Rad + x cos n 10 so + CACL + x 109 + nx BTTN Giới hạn hàm số 58 DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC Phương pháp: Giới hạn bên :Áp dụng định lý giới hạn tích thương Dạng – : Giới hạn thường có chứa Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp tử mẫu, Sau tìm cách biến đổi đưa dạng Dạng 0.: Ta thường sử dụng phương pháp dạng Câu 106 Chọn kết lim : x 0 x x A B C D Không C D tồn Hướng dẫn giải: ChọnC 2 x2 lim lim x x x x x 0 lim x 2 x 0 Khi x 0 x x x2 Vậy lim x 0 x Câu 107 lim x 1 x3 x bằng: x 1 x A 1 B Hướng dẫn giải: ChọnC lim x 1 x3 x lim x x x 1 Câu 108 lim x 1 x x 1 x 1 x2 x bằng: x2 1 x 1 lim x 1 x x 1 x 1 x 1 lim x 1 1 x x 1 BTTN Giới hạn hàm số 59 A – B –1 C D + Hướng dẫn giải: ChọnD lim x 1 x2 x 2 lim x x lim x 0; x x 1 x 1 x2 1 Câu 109 Giá tri lim x 3 A Không tồn x3 x3 B D C Hướng dẫn giải: ChọnA x 3 1 x 3 x 3 x 3 x x 3 x lim xlim 3 x x 3 x x 3 x lim lim 1 x 3 x x 3 x 3 lim x 3 lim Vậy không tồn giới hạn Câu 110 Tìm giới hạn A lim x A x2 x x : C B D Hướng dẫn giải: ChọnC Ta có: A lim ( x x x)( x x x) x lim x2 x x2 x x x 1 x x2 x x lim x x 1 x x 1 x Câu 111 Tìm giới hạn B lim x x x : x A Hướng dẫn giải: ChọnC B C D BTTN Giới hạn hàm số 60 B lim (2 x x x 1)(2 x x x 1) 2x 4x x 1 x Câu 112 Cho hàm số f ( x) A lim x x 1 2x 4x x 1 1 Chọn kết lim f x : x 1 x 1 x 1 B C D Hướng dẫn giải: ChọnA x2 x lim f x lim x 1 x 1 x 1 lim x x 2 x 1 Khi x 1 x x3 Vậy lim f x x 1 Câu 113 Tìm giới hạn C lim [ n ( x a1 )( x a2 ) ( x an ) x ] : x A B C a1 a2 an n a1 a2 an 2n Hướng dẫn giải: ChọnC Đặt y n ( x a1 )( x a2 ) ( x an ) y n x n ( y x)( y n1 y n1 x x n1 ) y x lim ( y x) lim x x y n xn y n1 y n1 x x n1 y n xn y n1 y n2 x x n1 y n xn x n 1 C lim n 1 x y y n 1 x x n 1 x n 1 Mà lim x b b b y n xn lim (a1 a2 an 32 nn1 ) n 1 x x x x x D BTTN Giới hạn hàm số 61 a1 a2 an y k x n 1 k y n 1 y n x x n 1 lim k 0, , n lim n x x x n 1 x n 1 Vậy C a1 a2 an n Câu 114 Tìm giới hạn A lim ( x x x) : x A B C D Hướng dẫn giải: ChọnC A lim x x 1 x x 1 x Câu 115 Tìm giới hạn B lim x( x x) : x A B C D D Đáp án Hướng dẫn giải: ChọnB Câu 116 Tìm giới hạn C lim ( x x x x 1) : x A B C khác Hướng dẫn giải: ChọnD lim lim x x x lim x x x x lim x2 x x2 2 x x x x x2 x 2 x x x2 x x2 x 1 1 Câu 117 Tìm giới hạn D lim ( 8x 2x 2x) : x A Hướng dẫn giải: B C D BTTN Giới hạn hàm số 62 ChọnD 2x D lim x (8 x3 x)2 x (8 x3 x) x 0 Câu 118 Tìm giới hạn E lim ( 16 x x x 2) : x A B C D C D Hướng dẫn giải: ChọnD E lim x 16 x 3x x lim x x2 x Câu 119 Tìm giới hạn F lim ( x x ) : x A Hướng dẫn giải: ChọnD B BTTN Giới hạn hàm số 63 DẠNG : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC Phương pháp: Ta sử dụng công thức lượng giác biến đổi dạng sau: lim x 0 sin x x tan x x lim , từ suy lim lim 1 x x x x sin x x tan x Nếu lim u ( x) lim x x0 x x0 sin u ( x) tan u ( x) lim x x u ( x) u ( x) cos ax : x 0 x2 Câu 120 Tìm giới hạn A lim A B C a D C m n D Hướng dẫn giải: ChọnC Ta có: A lim ax ax sin a a lim ax x x 2 2sin x 0 Câu 121 Tìm giới hạn A lim x 0 A sin mx cos mx : sin nx cos nx B Hướng dẫn giải: ChọnC mx mx mx 2sin cos sin mx cos mx 2 Ta có: nx nx sin nx cos nx nx 2sin 2sin cos 2 2sin mx nx mx mx sin sin cos m 2 mx nx nx nx n sin sin cos 2 2 mx nx mx mx sin sin cos m lim lim 2 m A lim n x0 mx x0 sin nx x0 sin nx cos nx n 2 2 BTTN Giới hạn hàm số 64 cos x.cos x.cos x : x 0 x2 Câu 122 Tìm giới hạn B lim A B C D Hướng dẫn giải: ChọnC Ta có: cos x.cos x.cos x cos x cos x cos x(1 cos x) cos x(1 cos x) x2 x2 cos x cos x cos x cos x.cos x cos x 2 x x x2 cos x cos x cos x lim cos x.cos x lim cos x 3 2 x 0 x 0 x 0 x x x2 B lim cos x : x 0 3x 2sin Câu 123 Tìm giới hạn A lim A B C D D Hướng dẫn giải: ChọnD 3x sin sin x sin x lim x( ) lim Ta có: A lim x 0 x x x 0 x x sin 2 Câu 124 Tìm giới hạn B lim x 0 A cos x cos x : x(sin x sin x) B C Hướng dẫn giải: ChọnC 5x x 5x sin sin 2 lim( ).lim B lim x 0 x 0 x 0 7x x 5x 7x 2 x cos sin cos 2 2 2sin tan 2 x : x 0 cos x Câu 125 Tìm giới hạn C lim A B C D BTTN Giới hạn hàm số 65 Hướng dẫn giải: ChọnC tan 2 x tan 2 x(1 cos x cos 2 x ) lim x 0 cos x x 0 cos x C lim tan 2 x(1 cos x cos 2 x ) x 0 2sin x tan x x lim( ) ( ) (1 cos x cos 2 x ) x 0 2x sin x lim C x2 Câu 126 Tìm giới hạn D lim : x 0 x sin x cos x A B C D Hướng dẫn giải: ChọnC Ta có: D lim x 0 Mà : lim x 0 3lim( x 0 1 x sin x cos x x2 x sin x cos x x sin x 1 cos x lim lim 2 x x x x x2 sin 3x )2 3x x sin 3x Vậy: D Câu 127 Tìm giới hạn A lim x 1 A sin( x m ) : sin( x n ) B C n m Hướng dẫn giải: ChọnC sin (1 x m ) sin (1 x m ) (1 x n ) xn lim lim lim x 1 sin (1 x n ) x 1 (1 x m ) x 1 sin (1 x n ) x 1 x m A lim D BTTN Giới hạn hàm số 66 xn (1 x)( x n1 x n2 1) n lim x 1 x m x 1 (1 x)( x m 1 x m 1) m lim Câu 128 Tìm giới hạn B lim( x) tan x : x A B D C D C D C Hướng dẫn giải: ChọnD x sin x x) lim lim sin x Ta có: B lim( cos x x sin( x) x x 2 2 Câu 129 Tìm giới hạn C lim x sin x 0 A x ( 0) : B Hướng dẫn giải: ChọnD Ta có: | x sin | x Mà lim x x 0 x Nên theo nguyên lí kẹp A39 Câu 130 Tìm giới hạn D lim (sin x sin x ) : x A B Hướng dẫn giải: ChọnD Trước hết ta có: sin x x x Ta có: sin x sin x 2sin Mà lim x x 1 x x 1 x cos 2 nên D x 1 x x 1 x BTTN Giới hạn hàm số 67 cos x cos x : x cos x cos x Câu 131 Tìm giới hạn A lim A B C 11 D Hướng dẫn giải: ChọnC 7x x sin 2 Ta có: A lim x 0 11x x 11 sin sin 2 sin 2sin x : x 0 sin x Câu 132 Tìm giới hạn B lim A B D C 96 D C Hướng dẫn giải: ChọnC Ta có B lim x 0 2sin x sin 3x 2sin x (1 2sin x) Câu 133 Tìm giới hạn C lim x 0 A sin 2 x : cos x cos x B Hướng dẫn giải: ChọnC sin 2 x x2 Ta có: C lim 96 x 0 cos x 1 cos x x2 x2 sin x : x 0 sin x Câu 134 Tìm giới hạn D lim A Hướng dẫn giải: ChọnC B C 16 81 D BTTN Giới hạn hàm số 68 sin( cos x) Câu 135 Tìm giới hạn E lim : x 0 sin(tan x) A B C D C D a 2n D Hướng dẫn giải: ChọnD sin cos x 2 tan x E lim 0 x 0 sin(tan x) tan x Câu 136 Tìm giới hạn F lim x A 3sin x cos x : x 1 x B Hướng dẫn giải: ChọnD Ta có: 3sin x 2cos x x 1 x x x 1 x Vậy F n cos ax : x 0 x2 Câu 137 Tìm giới hạn M lim A B C Hướng dẫn giải: ChọnC Ta có: n cos ax cos ax cos ax ( cos ax ) ( n cos ax ) n 1 n n cos ax a a lim 2 n n n n x 0 x 0 x n 2n cos ax ( cos ax ) ( cos ax ) M lim Câu 138 Tìm giới hạn A lim x 0 A cos x cos x : cos x cos x B C 11 D BTTN Giới hạn hàm số 69 Hướng dẫn giải: ChọnC 7x x sin 2 Ta có: A lim x 0 11x x 11 sin sin 2 sin 2sin x : x 0 sin x Câu 139 Tìm giới hạn B lim A B D C 96 D C Hướng dẫn giải: ChọnC Ta có B lim x 0 2sin x sin 3x 2sin x (1 2sin x) Câu 140 Tìm giới hạn C lim x 0 A sin 2 x : cos x cos x B Hướng dẫn giải: ChọnC sin 2 x x2 Ta có: C lim 96 x cos x 1 cos x x2 x2 sin x : x 0 sin x Câu 141 Tìm giới hạn D lim A B C Hướng dẫn giải: ChọnC sin x Ta có: D lim x 0 2x 4 3x 16 16 sin 3x 81 81 sin( cos x) Câu 142 Tìm giới hạn E lim : x 0 sin(tan x) 16 81 D BTTN Giới hạn hàm số 70 A B C D Hướng dẫn giải: ChọnD sin cos x 2 sin(tan x) tan x Ta có: E lim Mà lim 1; x 0 x 0 sin(tan x) tan x tan x sin cos x cos (1 cos x) 2 lim 2 lim x 0 x 0 tan x tan x x sin 2sin lim x 0 tan x x sin sin sin x x x lim x x x 0 tan x sin ( )2 2 Do đó: E Câu 143 Tìm giới hạn F lim x A 3sin x cos x : x 1 x B C D b a 2n 2m D Hướng dẫn giải: ChọnD Ta có: 3sin x 2cos x x 1 x x x 1 x Vậy F Câu 144 Tìm giới hạn H lim x 0 A a b 2m 2n Hướng dẫn giải: B m cos ax m cos bx : sin x a b 2m 2n C BTTN Giới hạn hàm số 71 cos ax 1 n cos bx b a x2 x2 Ta có: H lim x 0 sin x 2n 2m x m Câu 145 Tìm giới hạn M lim x 0 A 3x x : cos x B C D Hướng dẫn giải: ChọnC 3x x 1 x Ta có: M lim x 0 cos x x 3x 5sin x cos x bằng: x x2 Câu 146 lim A B C Hướng dẫn giải: ChọnB 3x 5sin x cos x 3x 5sin x cos x lim lim lim x x x x x x x x2 lim A1 lim x lim x x 3x lim 0 x x x2 5 5sin x A2 lim lim A2 x x x 2 x 2 x 2 cos x A lim lim A3 2 x x x x x x lim 3x 5sin x cos x 0 x x2 Vậy lim D ... 146 lim A B C D BTTN Giới hạn hàm số 22 GIỚI HẠN HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: lim x x0 ; ... BTTN Giới hạn hàm số 23 B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp: + Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn hàm số giới hạn dãy số + Nếu f ( x) hàm số cho... giới hạn hàm số lim x x 2 A C 2 B B Câu 18 Tìm giới hạn hàm số lim x 1 1 x D định nghĩa C x 3x định nghĩa x 1 D BTTN Giới hạn hàm số A C 2 B Câu 19 Tìm giới