Bài viết giới thiệu phương pháp song song hóa thuật toán chọn tâm và tính véc tơ trọng số cho phương pháp không lưới RBF-FD giải phương trình Poisson. Kết quả thử nghiệm cho thấy, khi kích thước dữ liệu của bài toán tăng lên, việc song song hóa thuật toán chọn tâm và tính véc tơ trọng số đã cải thiện đáng kể thời gian tính toán.
ISSN: 1859-2171 TNU Journal of Science and Technology 195(02): 69 - 74 SONG SONG HĨA VIỆC CHỌN TÂM VÀ TÍNH VÉC TƠ TRỌNG SỐ CHO PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBF-FD GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON Đặng Thị Oanh*, Ngơ Mạnh Tưởng Trường Đại học Công nghệ thông tin Truyền thông – ĐH Thái Nguyên TÓM TẮT Trong năm gần đây, phương pháp không lưới RBF-FD (Radial Basis Function - Finite difference) giải phương trình đạo hàm riêng nhiều nhà khoa học quan tâm Phương pháp hiệu tốn có miền hình học phức tạp, hàm có độ dao động lớn khơng gian nhiều chiều, tính mềm dẻo nội suy RBF Tuy nhiên, vấn đề lớn phương pháp thời gian chọn tâm tính véc tơ trọng số cao Để khắc phục tình trạng này, chúng tơi giới thiệu phương pháp song song hóa thuật tốn chọn tâm tính véc tơ trọng số cho phương pháp khơng lưới RBF-FD giải phương trình Poisson Kết thử nghiệm cho thấy, kích thước liệu tốn tăng lên, việc song song hóa thuật tốn chọn tâm tính véc tơ trọng số cải thiện đáng kể thời gian tính tốn Từ khóa: Tính tốn song song; Phương pháp RBF-FD; Khơng lưới; Phương pháp phần tử hữu hạn Ngày nhận bài: 02/01/2019; Ngày hoàn thiện: 13/02/2019; Ngày duyệt đăng: 28/02/2019 PARALLELIZATION IN CHOOSE THE CENTERS AND COMPUTE THE WEIGHT VECTORS FOR THE MESHLESS RBF-FD TO SOLVE POISSON EQUATION Dang Thi Oanh*, Ngo Manh Tuong TNU - University of Information and Communication Technology ABSTRACT In recent years, the RBF-FD (Radial Basis Function - Finite difference) method of solving partial differential equation has been researched by many scientists This method is effective for problems with complex geometry, large fluctuations function or multidimensional space, due to the flexibility of RBF interpolation However, the biggest problem of this method is that the time for choosing center and computing weight vector is quite high To overcome this situation, we introduced a method of parallelizing the selection stencil algorithm and computation the weight vector for the RBF-FD method to solve the Poisson equation Numerical results show that when the data of the problem increases, the parallelization of the selection stencil algorithm and the computation weighted vector has significantly improved computational time Keywords: Parallel computing; RBF-FD; meshless; FEM Received: 02/01/2019; Revised: 13/02/2019; Approved: 28/02/2019 * Corresponding author: Tel: 0982 756992, Email: dtoanh@ictu.edu.vn http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 69 Đặng Thị Oanh Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN GIỚI THIỆU Phương pháp không lưới RBF-FD công bố năm 2003 Tolstykh Shirobokov [1] Năm 2006, Wright Fornberg đề xuất phương pháp RBF-FD sử dụng nội suy Hermite [2] Năm 2011, Oleg Davydov Đặng Thị Oanh công bố phương pháp RBF-FD dựa nội suy đa điểm số thuật toán hỗ trợ phương pháp không gian chiều [3, 4] Gần đây, Đặng Thị Oanh, Oleg Davydov Hoàng Xuân Phú tiếp tục phát triển phương pháp tốn có hình học phức tạp hàm có độ dao động lớn [5] Các kết theo hướng nghiên cứu đạt là: Phát triển số cách tính véc tơ trọng số dựa ý tưởng phương pháp sai phân hữu hạn (FD-Finite Difference) phương pháp phần tử hữu hạn (FEM-Finite Element Method) [3, 6, 7], xây dựng thuật toán ước lượng tham số hình dạng tối ưu [4], xây dựng thuật tốn làm mịn thích nghi [3, 5] xây dựng thuật toán chọn tâm nội suy [3, 5, 6, 8] Thuật tốn chọn tâm hỗ trợ tính tốn véc tơ trọng số tác giả giới thiệu [3, 5] hiệu quả, tốn có cấu trúc liệu lớn phức tạp tốc độ tính tốn bị ảnh hưởng khơng nhỏ Ngun nhân chủ yếu khiến thời gian tính tốn phương pháp RBF-FD cao công đoạn chọn tâm tính véc tơ trọng số Để tăng tốc độ tính tốn, báo chúng tơi giới thiệu kỹ thuật song song hóa q trình chọn tâm tính véc tơ trọng số cho phương pháp khơng lưới RBF-FD giải phương trình poisson Bài báo gồm phần: Sau Phần giới thiệu Phần 2, miêu tả phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson; Phần 3, giới thiệu thuật tốn chọn tâm; Phần 4, trình bày phương pháp song song hóa q trình chọn tâm tính véc tơ trọng số, Phần 5, thử nghiệm số Phần Kết luận PHƯƠNG PHÁP RBF-FD 70 195(02): 69 - 74 Xét tốn Dirichlet với phương trình Poisson sau: Cho miền mở hàm số f xác định , g xác định Tìm hàm u : Du f ug thỏa mãn in , (1) on , đó, D tốn tử Laplace Giả sử tập tâm rời rạc Gọi int : tâm nằm miền : tâm nằm biên Với tâm int , ta chọn tập : 0 , 1 , , k , với o (còn gọi tập tâm hỗ trợ phương pháp khơng lưới) Khi Bài tốn (1) rời rạc hóa thành hệ phương trình tuyến tính w u f , , int ; u g , , (2) u nghiệm xấp xỉ u w , véc tơ trọng số tính nội suy RBF w , 1 | , int , (3) (xem [3, 8, 5]) Đối với phương pháp này, thời gian tính tốn phụ thuộc nhiều vào q trình chọn tâm tính véc tơ trọng số theo Cơng thức (3), phần nhắc lại Thuật tốn chọn tâm THUẬT TỐN CHỌN TÂM Thuật tốn trình bày chi tiết [5, Thuật tốn 1], gọi tắt thuật tốn ODP có nội dung sau: Input: Bộ tâm rời rạc , Output: Tập tâm hỗ trợ Các tham số: k (số tâm chọn), m k (số tâm ứng viên ban đầu), u 1.0 (hệ số góc đều), c 1.0 (hệ số khoảng cách) I Tìm m tâm 1 , , m \ cho gần nhất, xếp tâm theo chiều tăng dần theo khoảng cách đến , http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn Đặng Thị Oanh Đtg : , 1 , Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN , k i : k Tiếp theo, thực thuật tốn ODP xử lý để tìm tập tính véc tơ II While i m : If i c k j j j 1 2k j 1 then STOP and Return Tính góc , , ' ' , ' k 1 tương ứng với tập mở rộng , , ' , k' 1 1 , , ' , k , i If góc tia i hai tia lân cận lớn góc nhỏ ' : 1' , 2' , , k' 1 then: i Tìm j thỏa mãn 'j ' Chọn p j p j phụ thuộc 'j 1 'j 1 'j 1 'j 1 ii If 1' , 2' , , k' 1 \ p' 1 , , , k then: a Update : , 1 , , k , 1' , , k' 1 \ p' b If 1 , 2 , , k u 1 , 2 , , k then STOP and Return then: tìm điểm im m m1 , m2 , , 2m \ gần nhất, xếp điểm theo chiều tăng dần khoảng cách đến m : m If Đặt i : i SONG SONG HÓA VIỆC CHỌN TÂM VÀ TÍNH VÉC TƠ TRỌNG SỐ HỖ TRỢ PHƯƠNG PHÁP KHƠNG LƯỚI RBF-FD Ý tưởng thuật tốn Giả sử có N xử lý tập tâm sau: tập tâm rời rạc, tập int chứa điểm nằm miền Trước tiên, phân hoạch int thành N phần xấp xỉ nhau, tương ứng với N xử lý http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 195(02): 69 - 74 trọng số w tương ứng với , đồng thời lưu trữ véc tơ trọng số vừa tìm vào tập w Để thực tính tốn song song sử dụng thuật tốn ODP tính véc tơ trọng số, ta cần phân luồng liệu đầu vào phù hợp Nghĩa là, tách phân phối n tâm tập int khắp N xử lý, cho xử lý có số tâm gần nhau, tương ứng là: int : j : j 1, 2, i i , n i , i 1, 2, ,N, n n( N ) Từ N xử lý tính số tập tâm hỗ trợ i j , i = 1, 2, …, N, j = 1, 2,…, n (i ) véc tơ với n(1) n(2) trọng w j , i = 1, 2, …, N, j = 1, 2, …, n i số i tương ứng Quá trình xử lý song song Mục 4.2 Nội dung thuật toán Input: Bộ tâm rời rạc , int , N Output: Tập véc tơ trọng số w , int Tham số: Các tham số thuật toán ODP k , m, u , c Đầu tiên, w : I Phân hoạch liệu cho N xử lý: n n1 ; i : 1; j : N While i N a If i N then n i : n1 1 N n Else ni : n1 ; b int : j 1 , j , i , j n i ; c j : j ni ; d i : i II Đối với xử lý thứ i N , (i ) For each j int : a Sử dụng thuật tốn chọn tâm ODP, tìm i tập j , j = 1, 2, …, n ( i ) ; 71 Đặng Thị Oanh Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 69 - 74 Hình Lưu đồ song song hóa thuật tốn hỗ trợ chọn tâm ODP tính véc tơ trọng số b Tính véc tơ trọng số i w j , j = 1, 2, …, n ( i ) cơng thức (3) Lưu đồ tính tốn song song sử dụng thuật tốn hỗ trợ chọn tâm ODP (Hình 1) tương ứng với tập THỬ NGHIỆM SỐ i j , j = 1, 2, …, n (i ) Lưu trữ véc tơ trọng số vừa tính w := w w j : j = 1, 2,…, n(i ) i Lưu đồ thuật toán 72 Mục tiêu thử nghiệm so sánh hiệu mặt thời gian việc có sử dụng q trình song song hóa chọn tâm nội suy tính véc tơ trọng số cho phương pháp RBFFD giải phương trình Poisson hay không? http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn Đặng Thị Oanh Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 69 - 74 Trong thử nghiệm sau, sử dụng hàm nội suy RBF Gauss-QR (xem [4, 5, 8, 9]), với tham số hình dạng 105 Chúng tơi sử dụng cơng thức sai số trung bình bình phương rms (root mean square): rms : # int u u 1/ 2 int , # int số tâm miền Các tham số sử dụng thuật toán ODP u 2.5, c 3.0, k 6, m 50 Bài toán: Xét phương trình Laplace u miền hình tròn khuyết tọa độ 3 3 cực xác định r 1, , với 4 2 điều kiện biên u r , cos dọc theo cung u r , theo đường thẳng Nghiệm xác toán 2 u r , r cos Chúng thử nghiệm tâm sản phẩm PDE Toolbox MATLAB [3, 5], Hình minh họa miền với 11891 tâm Hình Phân luồng liệu thời gian chạy xử lý với 32841 tâm miền Kết thử nghiệm số tốn trình bày Bảng Hình Sai số rms phương pháp FEM thể cột thứ Bảng đường mầu đỏ, nét rời có nhãn ‘‘FEM’’ Hình Sai số rms phương pháp RBF-FD cột thứ Bảng đường mầu xanh, nét liền có nhãn ‘‘RBF-FD’’ Hình Các cột 4, 5, Bảng Hình biểu diễn thời gian tính tốn q trình song song phương pháp RBF-FD Cụ thể là: Cột Bảng 1và đường mang nhãn ‘FEM’ Hình biểu diễn thời gian tính tốn tuần tự, Cột 5, Bảng tương ứng với đường nhãn ‘2 workers’ đường ‘4 workers’ Hình biểu diễn thời gian trình song song với xử lý xử lý Hình Miền với 11891 tâm Hình minh họa việc phân luồng liệu tính tốn song song sử dụng thuật toán ODP cho phương pháp RBF-FD, thử nghiệm với 32841 tâm xử lý (4 worker) Hình (a) biểu diễn thời gian tính tốn Hình (b) biểu diễn kết phân luồng liệu xử lý, tương ứng với mầu khác Quan sát ta thấy xử lý có số tâm xấp xỉ http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn Hình Sai số rms tâm Kết thử nghiệm Hình cho thấy độ xác phương pháp khơng lưới RBFFD khơng thay đổi áp dụng q trình song song Nhưng thời gian chạy thể Hình cho thấy miền có mật độ tâm phân bố cao hiệu việc áp dụng 73 Đặng Thị Oanh Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN trình song song vào chọn tâm tính véc tơ trọng số lớn, thời gian giảm tương ứng số xử lý tăng 195(02): 69 - 74 KẾT LUẬN Song song hóa q trình chọn tâm tính véc tơ trọng số thực hiệu số tâm miền lớn số xử lý cao Đây kết đáng quan tâm khích lệ nhóm tác giả tiếp tục theo đuổi nghiên cứu để song song hóa công đoạn khác phương pháp không lưới RBF-FD, nhằm giải vấn đề thời gian phương pháp LỜI CÁM ƠN Bài báo tài trợ Đề tài cấp Đại học, mã số ĐH2015-TN07-03 Hình Thời gian chạy song song Bảng Kết thử nghiệm toán Số tâm miền 82 103 140 182 229 416 828 1566 2875 5210 9528 17676 32841 Sai số rms FEM 4,85e-03 2,54e-03 1,57e-03 1,17e-03 9,31e-04 3,90e-04 2,11e-04 1,31e-04 6,24e-05 3,30e-05 1,98e-05 1,01e-05 5,47e-06 RBF-FD 5,96e-03 2,98e-03 7,32e-04 8,02e-04 4,57e-04 1,32e-04 1,43e-04 4,66e-05 3,07e-05 1,81e-05 8,54e-06 4,26e-06 2,85e-06 TÀI LIỆU THAM KHẢO A I Tolstykh and D A Shirobokov (2003), “On using radial basis functions in a ‘finite difference mode’ with applications to elasticity problems”, Computational Mechanics, 33(1), pp 68-79 G B Wright and B Fornberg (2006), “Scattered node compact finite difference-type formulas generated from radial basis functions”, J Comput Phys., 212(1), pp 99-123 O Davydov and D T Oanh (2011), “Adaptive meshless centres and RBF stencils for Poisson equation”, J Comput Phys, 230, pp 287-304 O Davydov and D T Oanh (2011), “On the optimal shape parameter for Gaussian Radial Basis Function finite difference approximation of Poisson equation”, Computers and Mathematics with Applications, 62, pp 2143-2161 74 Thời gian chạy (giây) phương pháp RBF-FD xử lý xử lý xử lý 1,644808 4,591271 28,582 0,693356 0,821131 0,4110 1,110646 1,00694 0,4092 1,486193 1,660133 0,6201 1,680099 1,997218 0,7309 3,286499 3,154779 1,2410 6,080352 4,10526 2,3081 9,36640 9,662382 3,2220 15,79933 13,32561 7,5275 28,67375 19,61979 11,5588 53,27411 34,59895 17,0929 100,8927 61,7280 32,1302 196,7588 120,9914 60,9951 D T Oanh, O Davydov, and H X Phu (2017), “Adaptive RBF-FD method for elliptic problems with point Singularities in 2d”, Applied Mathematics and Computation, 313, pp 474-497 C K Lee, X Liu, and S C Fan (2003), “Local multiquadric approximation for solving boundary value problems”, Comput Mech, 30(5-6), pp 396409 L Shen, G Lv, and Z Shen (2009), “A finite point method based on directional differences” SIAM Journal on Numerical Analysis, 47(3), pp 2224–2242 G F Fasshauer (2007), Meshfree Approximation Methods with MATLAB, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, USA M D Buhmann (2003), Radial Basis Functions, Cambridge University Press, New York, NY, USA http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn ... song song hóa q trình chọn tâm tính véc tơ trọng số cho phương pháp khơng lưới RBF-FD giải phương trình poisson Bài báo gồm phần: Sau Phần giới thiệu Phần 2, miêu tả phương pháp RBF-FD giải phương. .. ĐHTN trình song song vào chọn tâm tính véc tơ trọng số lớn, thời gian giảm tương ứng số xử lý tăng 195(02): 69 - 74 KẾT LUẬN Song song hóa q trình chọn tâm tính véc tơ trọng số thực hiệu số tâm. .. phương trình Poisson; Phần 3, giới thiệu thuật toán chọn tâm; Phần 4, trình bày phương pháp song song hóa q trình chọn tâm tính véc tơ trọng số, Phần 5, thử nghiệm số Phần Kết luận PHƯƠNG PHÁP RBF-FD