Phương pháp mô men tổng quát và phương sai thay đổi

Trong bài báo này, tác giả sẽ trình bày ứng dụng của phương pháp mô men tổng quát trong mô hình Klein-I, là một mô hình kinh tế có phương sai thay đổi. Dữ liệu của bài báo được trích xuất từ bộ dữ liệu “Klein.wf1” về nền kinh tế Mỹ hàng năm trong giai đoạn 1920-1941. Các tính toán và ước lượng được thực hiện bằng phần mềm Eviews 9.

Phương pháp mơ men tổng qt PHƯƠNG PHÁP MƠ MEN TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG SAI THAY ĐỔI Phạm Văn Chững*, Đồn Hồng Chương** TĨM TẮT Phương pháp mơ men tổng quát (Generalized Method of Moments, viết tắt GMM), giới thiệu Hansen, trở thành công cụ thiết yếu cho nghiên cứu kinh tế, tài năm gần Phương pháp dạng mở rộng nhiều phương pháp ước lượng quen thuộc phương pháp bình phương tối thiểu (LS), phương pháp hồi quy giai đoạn (2SLS), phương pháp dùng biến công cụ (IV) phương pháp hợp lý cực đại (ML) Ưu điểm GMM so với phương pháp đề cập trênlà đòi hỏi giả thiết tính toán đơn giản Một ví dụ điển hình ưu điểm GMM so với phương pháp bình phương tối thiểu (LS) trường hợp mơ hình có phương sai thay đổi (Heteroskedasticity) Trong báo này, chúng tơi trình bày ứng dụng phương pháp mô men tổng quát mơ hình Klein-I, mơ hình kinh tế có phương sai thay đổi Dữ liệu báo trích xuất từ liệu “Klein.wf1” kinh tế Mỹ hàng năm giai đoạn 1920-1941.Các tính toán ước lượng thực phần mềm Eviews Từ khóa: Phương pháp mơ men tổng qt (GMM), Phương sai thay đổi), Mơ hình Klein-I GENERALIZED METHOD OF MOMENTS AND HETEROSKEDASTICITY ABSTRACT The Generalized Method of Moments (GMM), introduced by Hansen, has been an essential tool for economic and financial research in recent years This method generalizes many usual estimation methods such as Least Squares (LS), Two Stage Least Squares (2SLS), Instrumental Variables (IV) and Maximal Likelihood (ML) The advantage of GMM over the methods mentioned above is that it requires fewer hypotheses and its manipulation method is simple One of the best examples of the advantage of GMM * versus the Least Squares method (LS) is the case of heteroskedasticity In this paper, we will present the application of Generalized Method of Moments in the Klein-I model which is an economic model occurring the heteroskedasticity.Data was extracted from the “Klein.wf1” database of the US economy during the period of 1920-1941 The software Eviews was used to analyze the data Keywords: Generalized Method of Moments (GMM), Heteroskedasticity, Klein-I model TS GV Trường Đại Học Kinh Tế - Luật, ĐHQG Tp.HCM; Email: chungpv@uel.edu.vn ThS GV Trường Đại Học Kinh Tế - Luật, ĐHQG Tp.HCM; Email: chuongdh@uel.edu.vn ** 55 Tạp chí Kinh tế - Kỹ thuật MỞ ĐẦU wf1” kinh tế Mỹ hàng năm giai đoạn 1920-1941.Các tính tốn ước lượng thực phần mềm Eviews Phương pháp mô men tổng quát (Generalized Method of Moments, viết tắt GMM), giới thiệu báo Hansen [1], trở thành công cụ thiết yếu cho nghiên cứu kinh tế, tài năm gần GMM dạng mở rộng nhiều phương pháp ước lượng quen thuộc phương pháp bình phương tối thiểu (LS), phương pháp hồi quy giai đoạn (2SLS, Two Step Least Square), phương pháp dùng biến công cụ (IV, Instrumental Variables) phương pháp ước lượng hợp lý cực đại (ML, Maximal Likelihood) (xem [2], [3], [4]) Ưu điểm GMM so với phương pháp đề cập đòi hỏi giả thiết tính tốn đơn giản Một ví dụ điển hình ưu điểm GMM so với phương pháp bình phương tối thiểu (LS) trường hợp mơ hình có phương sai thay đổi (Heteroskedasticong x1t vecto gồm K1 biến x2t vecto gồm K biến thỏa mãn giả thiết m ( β ) = g n ( β ) 'Wg n ( β ) E ( x1tε t ) = E ( x2tε t ) ≠ = gn ( β ) Các biến x2t gọi biến nội sinh Khi đó, ước lượng LS cho tham số β mơ hình bị chệch (biased) khơng qn (inconsistent) Để giải tốn này, thay K biến x2t K biến z2t , gọi biến công cụ, z2t thỏa mãn tính chất z2t có tương quan với x2t (2.5) n ∑ xt ( yt − x 't β ) W n t =1 ma trận xác định dương Cách xác định W dựa vào thuật tốn Hansen trình bày mục 2.3 2.3 Phương pháp mô men tổng quát (GMM) Cho mẫu số liệu ( yt , xt ) , (với t = 1, , n xt ( x1t , , xmt ) ∈ � m ), độc lập, có = E ( z2 t ε t ) = phân phối (ký hiệu i.i.d.) θ ∈ Θ tham Để đơn giản hóa mơ hình, ta ký hiệu số chưa biết mơ hình Mục tiêu chúng  x1t   x1t  ta ước lượng giá trị thật θ0 θ giá xt =   zt =   x z  2t   2t  trị gần θ0 θ dựa vào mẫu số điều kiện mơ men mơ hình với biến liệu cho cơng cụ zt có dạng (ở x1t xem Giả sử điều kiện mơ men mơ hình biến cơng cụ nó) ước lượng tham số θ E ( zt ( yt − x 't β ) ) = (2.6) = m (θ ) E= ( g ( yt , xt ,θ ) ) 57 Tạp chí Kinh tế - Kỹ thuật E (.) kỳ vọng, ( yt , xt ) biến quan sát, g (., θ ) hàm liên hệ mẫu số liệu ( yt , xt ) tham số θ cần ước lượng mơ hình trường hợp R > K hệ phương trình khơng tồn nghiệm Do thay tìm nghiệm, GMM tìm θˆ cực tiểu khoảng cách mˆ (θ ) gốc tọa độ Giả sử mơ hình thỏa mãn luật số lớn Khi ta thay kỳ vọng E ( g ( yt , xt , θ ) ) trung bình mẫu Cơng thức (2.6) trở thành n = mˆ (θ ) = ∑ g ( yt , xt , θ ) n t =1 Hàm khoảng cách mˆ (θ ) gốc tọa độ có công thức sau: ˆ (θ ) m W ˆ (θ ) ' Wm ˆ (θ ) =m , với W ma trận xác định dương W xác định từ mẫu số liệu cho Khi ước lượng θ GMM nghiệm toán tối ưu: () Nếu tồn θˆ để mˆ θˆ = θˆ ước lượng tốt mơ hình Tuy nhiên (2.7) Với điều kiện quy thích hợp (xem [2]), ước lượng θˆ → θ0 n → +∞ Ma trận W toán (2.7) xác định dựa vào thuật toán sau Hansen [1] Thuật toán bước (Two Step Efficient GMM) 1: Đặt W = I (ma trận đơn vị) Tìm 2: Tính với Quá trình lặp dãy {θ k } hội tụ Ví dụ 2.2 Xét lại mơ hình Yn×1, X n× K Z n × R ma trận tương ứng với yt , xt zt Áp dụng GMM, ta có toán tối ưu sau: y=t x 't β + ε=t x '1t γ + x '2t δ + ε t ,=t 1, , n E ( x1tε t ) = E ( x2tε t ) ≠ Giả sử số mô men R mơ hình lớn số tham số K cần ước lượng Với ký hiệu mục 2.2, ta có hàm số sau mˆ ( β ) = Thay hàm ˆ ( ) (2.8) vào hàm mục tiêu, ta dạng toàn phương: n ∑ zt ( yt − x 't β ) = Z ' (Y − X β ) , n t =1 n (2.8) 58 Phương pháp mô men tổng quát Điều kiện cần cực trị toán ∂Q ( β ) 2 = − X ' ZWZ ' Y + X ' ZWZ ' X β = ∂β n n Vì Q ( β ) dạng toàn phương nên hàm số đạt cực tiểu βˆ (W ) = ( X ' ZWZ ' X )−1 X ' ZWZ ' Y định White Nguyên lý chung kiểm định chúng khảo sát mối liên hệ phần dư với biến giải thích có mơ hình Để minh họa, báo khảo sát kiểm định White GMM Với giả thiết nhiễu độc lập có phân phối (i.i.d.), ma trận W opt tối ưu xác định sau: Xét mơ hình hồi quy gồm biến độc lập yt =β + β1x1t + β x2t + ε t , t =1, , n (3.1) W opt = Sˆ −1, Kiểm định White tiến hành sau: σˆ n σˆ = Sˆ = Z ' Z ∑ zt z 't n t =1 n Bước 1: Ước lượng tham số mơ hình (3.1) tìm phần dư ε t Thay kết vào βˆGMM (W ) , ta có: ( −1 βˆGMM = X ' Z ( Z ' Z ) Z ' X ) −1 Bước 2: Thực mơ hình hồi quy bổ trợ −1 X ' Z ( Z ' Z ) Z 'Y (3.2) Phương sai ước lượng xác định công thức: ( ) ( −1 Var βˆGMM = σˆ X ' Z ( Z ' Z ) Z ' X ) Tìm R từ mơ hình hồi quy bổ trợ (3.2) Bước 3: Với giả thiết H : “khơng có tương phương sai thay đổi mơ hình (3.1)”, thống kê LM = nR có phân phối chi bình phương với bậc tự df= K − , với K số tham số cần ước lượng mơ hình hồi quy bổ trợ (3.2) −1 GMM VÀ HIỆN TƯỢNG PHƯƠNG SAI THAY ĐỔI So với phương pháp ước lượng khác LS, 2SLS IV, ước lượng GMM hiệu tượng phương sai thay đổi xảy Trong trường hợp khơng có tượng phương sai thay đổi ước lượng GMM không xấu so với phương pháp ước lượng liệt kê Tuy nhiên, Hayashi (xem [2]) ma trận trọng số tối ưu Sˆ GMM hàm mô men bậc mà việc ước lượng đòi hỏi mẫu số liệu lớn Do đó, ước lượng GMM khơng hiệu mẫu số liệu nhỏ Bước 4: Nếu nR lớn giá trị tới hạn ta bác bỏ giả thiết H KIỂM ĐỊNH SARGAN-HANSEN Nếu mơ hình có số biến cơng cụ nhiều số biến nội sinh (tức R > K ) mơ hình gọi xác định mức (overidentified) Kiểm định Sargan-Hansen (hay kiểm định J) (xem [10]), thường áp dụng để kiểm tra mơ hình hồi quy có xác định q mức hay không Với giả thiết H : mˆ θˆ = điều Để xác định có tượng phương sai thay đổi mơ hình hay khơng, người ta thường dùng kiểm định Breusch-Pagan kiểm () kiện quy thích hợp [2], thống kê 59 Tạp chí Kinh tế - Kỹ thuật () () J = n.mˆ θˆ 'Wmˆ θˆ CONS = β + β1Y + β 2Y ( −1) + β 3W + ε (5.1) có phân phối chi bình phương với bậc tự R − K Trong kiểm định J, bác bỏ giả thiết H đồng nghĩa với việc dạng mơ hình khơng phù hợp với liệu khảo sát CONS biến tiêu dùng, Y biến lợi tức cá nhân, Y ( −1) biến lợi tức cá nhân trễ, W biến tiền lương Các biến cơng cụ mơ hình P ( −1) (lợi tức ròng trễ), K ( −1) (vốn cổ phần trễ), X ( −1) (GNP trễ), TM (xu thế), WG (lương ngân sách), G (chi tiêu cơng) T (thuế) Dữ liệu sử dụng ví dụ trích xuất từ liệu mẫu “Klein.wf1” phần mềm Eviews Để xác định mơ hình có phương sai thay đổi hay khơng chúng tơi thực kiểm định White ÁP DỤNG GMM CHO MÔ HÌNH KLEIN-I Mơ hình Klein-I (1950) mơ hình kinh tế (xem [8], [9]) Mơ hình bao gồm nhiều phương trình dựa liệu hàng năm kinh tế Mỹ giai đoạn 1920-1941 Mơ hình Klein-I sử dụng rộng rãi nghiên cứu kinh tế tính đơn giản ước lượng tham số mơ giải thích ý nghĩa biến mơ hình Trong mục chúng tơi giới hạn sử dụng GMM để ước lượng tham số cho mơ hình Klein-I sau Kết bảng cho thấy mơ hình có tượng phương sai thay đổi ( p < 5% ) Vì vậy, GMM phương pháp thích hợp cho mơ hình với số liệu nói Bảng Kiểm định White 60 Phương pháp mơ men tổng qt Bảng trình bày kết ước lượng tham số mô hình (5.1) Từ kết ước lượng ta suy phương trình hồi quy CONS = 20.5398 − 1.29898* Y + 1.23668* Y ( −1) + 0.87568* W Bảng Ước lượng tham số mơ hình (5.1) GMM TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hansen, L P (1982) Large sample properties of generalized method of moments estimates, Econometrica, 50, 1029-1054 [2] Hayashi, F (2000) Econometrics Princeton University Press, New Jersey [3] Wooldridge, J (2001) Applications of Generalized Method of Moments Estimation, Journal of Economic Perspectives, 15(4), 87–100 [4] Wooldridge, J (2002), Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data, MIT Press, Cambridge, MA [5] Green, W H (2012) Econometric Analysis, Pearson, NJ [6] Kunst, R M (2008) The generalized method of moments, University of Vienna and Institute for Advanced Studies Vienna, Retrieved from http: //homepage.univie ac.at/robert.kunst/gmm.pdf [7] Nielsen, H B (2005) Generalized Method of Moments (GMM) Estimation, Retrieved from http://www.econ.ku.dk/ metrics/Econometrics2_05_II/Slides/13_ gmm_2pp.pdf [8] Klein, L R (1950), Economic Fluctuations in the United States, 1921-1941, Wiley, New York [9] Tingbergen, J (1959), Selected Papers, edited by L H Klaassen, L M Koyck and J H Witteveen, North-Holland, Amsterdam [10] Baum, C F., Schaffer, M E., Stillman, S (2003) Instrumental variables and GMM: estimation and testing, The Stata Journal, 3(1), 1-31 61 ... HIỆN TƯỢNG PHƯƠNG SAI THAY ĐỔI So với phương pháp ước lượng khác LS, 2SLS IV, ước lượng GMM hiệu tượng phương sai thay đổi xảy Trong trường hợp khơng có tượng phương sai thay đổi ước lượng GMM... phương pháp ước lượng quen thuộc phương pháp bình phương tối thiểu (LS), phương pháp hồi quy giai đoạn (2SLS, Two Step Least Square), phương pháp dùng biến công cụ (IV, Instrumental Variables) phương. .. bảng cho thấy mơ hình có tượng phương sai thay đổi ( p < 5% ) Vì vậy, GMM phương pháp thích hợp cho mơ hình với số liệu nói Bảng Kiểm định White 60 Phương pháp mơ men tổng qt Bảng trình bày kết