Bài tập lớn đại số tuyến tính -2013 Hình thức đánh giá 1.1 Phần 1: Lập trình câu (5điểm) • Chạy chương trình: điểm • Hỏi lệnh chương trình: điểm 1.2 Phần 2: Giải toán cụ thể lệnh matlab Command window (5 điểm) C om Phân làm phần • câu loại 1: câu điểm • câu loại 2: điểm (cho làm 5phút, chấm theo mức độ hồn thiện cơng việc) Bài tập lập trình ne Đề tài Zo Nhập vào ma trận A Kiểm tra xem A có vng hay khơng? Nếu có, dùng lệnh rref để tìm ma trận nghịch đảo Không dùng lệnh tính trực tiếp ma trận nghịch đảo Vi en Nhập vào họ véc tơ dạng ma trận cột Kiểm tra xem họ véc tơ có độc lập tuyến tính hay khơng? Nếu có, dùng cơng thức Gram-smith trực chuẩn họ véc tơ Dùng lệnh norm dot để tính độ dài tích vơ hướng véc tơ Không dùng lệnh qr Đề tài Si nh Nhập họ véc tơ E, F dạng ma trận cột, vuông cấp n Xét xem họ véc tơ có sở hay khơng? Nếu có, nhập ma trận axtt f sở E tìm ma trận f sở F Nhập vào ma trận A Kiểm tra A có vng đối xứng hay khơng? Nếu có, tính các định thức A suy A có xác định dương hay âm : định thức dương A xác định dương; định thức lẻ âm chẵn dương A xác định âm; trường hợp lại khơng kết luận Đề tài Nhập ma trận A, B Kiểm tra điều kiện để phép nhân A.B Nếu thỏa, tính phần tử ma trận tích AB theo định nghĩa xuất ma trận tích Nhập vào ma trận A Đưa A dạng bậc thang Xuất ma trận bậc thang A hạng ma trận A Không dùng lệnh rref, rank SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Đề tài Nhập họ véc tơ E dạng ma trận cột Kiểm tra xem E có sở hay khơng? Nếu có nhập ma trận ánh xạ tuyến tính f sở E véc tơ x Tìm f (x) Nhập vào ma trận A Kiểm tra xem A có vng khả nghịch hay khơng? Nếu có, tính phần tử bù đại số Aij , lập ma trận phụ hợp suy ma trận nghịch đảo Không dùng lệnh mặc định tìm ma trận nghịch đảo Đề tài Nhập ma trận A, b Xét xem hệ Ax = b có hệ Cramer hay khơng? Nếu có, tìm nghiệm hệ theo công thức Cramer .C om Nhập ma trận A Kiểm tra A vuông dùng lệnh rank det kiểm tra A khả nghịch hay không? Nếu có, tìm ma trận nghịch đảo A phép biến đổi sơ cấp Không dùng lệnh rref hay lệnh mặc định tìm ma trận nghịch đảo Đề tài Nhập đa thức f (x) ma trận vng A Kiểm tra xem A có vng hay khơng? Nếu có, tính f (A) Zo ne Nhập không gian dạng ma trận cột (KG sinh véc tơ cột) Kiểm tra xem KG có tương thích số chiều hay khơng? Nếu có, tìm sở GK giao KG Được dùng tất lệnh Matlab Đề tài en Nhập ma trận số cột A, B Kết hợp với lệnh null, tìm sở số chiều giao không gian nghiệm hệ Ax = 0, Bx = nh Đề tài Vi Nhập véc tơ tập sinh V dạng ma trận cột véc tơ x Tìm sở V tìm hình chiếu vng góc x xuống không gian V Si Nhập tập véc tơ dạng ma trận Kết hợp lệnh rref để tìm sở số chiều tổng không gian sinh tập Nhập vào ma trận A véc tơ cột b Giải hệ phương trình Ax = b Hướng dẫn: Dùng lệnh rank để xét xem hệ có nghiệm nhất, vô nghiệm hay vô số nghiệm Trong trường hợp hệ vơ số nghiệm, ta tìm nghiệm tổng qt dạng xtq = xr + xtn Trong đó, xtn KG nghiệm hệ Ax = tìm lệnh null Tìm xr : dùng lệnh rref đưa bậc thang tìm ẩn sở Cho ẩn tự 0, ta hệ Cramer gồm r pt , r ẩn số Tìm nghiệm hệ ta nghiệm riêng Xuất sở xtn xr Đề tài Cho ánh xạ tuyến tính dạng ma trận Tìm sở số chiều Imf ker f Nhập ma trận số cột A, B Kết hợp với lệnh null rref, tìm sở số chiều tổng không gian nghiệm hệ Ax = 0, Bx = SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Đề tài 10 Nhập véc tơ x tập sinh V theo ma trận cột Tìm sở V , suy sở trực chuẩn V lệnh qr(A) Xuất véc tơ hình chiếu Nhập vào ma trận A Kiểm tra xem A có vng hay khơng? Nếu có, tính định thức A phép biến đổi sơ cấp (có thể đưa ma trận tam giác kết hợp với phương pháp khai triển) Không dùng lệnh det Các câu hỏi làm command window 3.1 Nhóm câu điểm C om Tìm argument modul số phức √ 1+i (a) z = 1+i √ (b) z = (1 + i 3)(1 − i) √ −1 + i (c) z = 1−i (b) |2z − i| = |3z − + 2i| = Zo |z + − i| = |z − + 2i| = en (a) ne Tìm số nghiệm hệ phương trình sau (a) z = z¯ nh (b) z = z − z¯ Vi Giải phương trình phức Si 2 Đưa ma trận 3 −1 −3 −1 5 Cho A = 5 về dạng bậc thang 4 ;B = −1 Tính vết ma trận BAT −4 −1 −4 Chứng tỏ r(A) = r(AAT ) = r(AT A) Cho A = −10 −1 2 1 Cho A = , B = 2, C = −1 1 Tính 2AC − (CB)T −1 −2 −1 −1 −2 1 Tìm số lũy linh ma trận −3 −2 1 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Tìm chuẩn Frobenius −2 1 1 −1 10 Cho A = −1 Với 2 m giá trị m A khả nghịch? 11 Tìm ma trận nghịch đảo 1 1 12 Cho A = Tính f (A), với f (x) = x2 − 2x − −1 13 Tính C om 3 −2 a+x x x b+x x x −2 15 Cho A = −1 16 Cho A = x x c+x 1 −1 Tính det(2AB) ,B = −2 Tính det(A2 ) 1 1 17 Dùng định thức để biện luận tính khả nghịch ma trận 2 m 2 2 −1 18 Cho ma trận A = Tìm PA −1 Si nh Vi en Zo ne 14 Tính 19 Giải phương trình ma trận (a) −1 X = (b) X −2 −4 −2 = −1 −2 −8 −25 23 −30 (d) −5 X = −36 −2 −26 −16 −26 (c) −1 −5 X = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 20 Tìm SỐ nghiệm hệ phương trình 3x + 2x2 + x3 + 2x4 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = = = = 7 18 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 22 Tìm 23 Giải 24 Tìm ne 25 Giải x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = x1 + 3x2 − 13x3 + 22x4 = −1 SỐ nghiệm hệ phương trình 3x1 + 5x2 + x3 − 2x4 = 2x1 + 3x2 + 4x3 − 7x4 = x1 −2x2 +3x3 −4x4 = 3x1 +3x2 −5x3 +x4 = −3 SỐ nghiệm hệ phương trình −2x1 +x2 +2x3 −3x4 = 3x1 +3x3 −10x4 = x1 + 2x2 − x3 = 12 hệ phương trình theo phương pháp Cramer 2x1 + 3x2 − 3x3 = 3x1 + 2x2 + 5x3 = −8 x1 + x2 + x3 + x4 = 2x + x + 3x − x = 2 m để hệ phương trình có nghiệm 3x + 4x + 2x = −2x − x + mx = m − 1 x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 + 7x5 = hệ phương trình 2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 + 5x5 = x1 + 5x2 + 7x3 + 6x4 + 10x5 = C om 21 Tìm Zo 26 Tìm hạng họ ĐLTT cực đại họ véc tơ M = {(1; 1; 1; 0), (1; 2; 1; 1)(2; 1; 2; −1)} 27 Tìm sở số chiều không gian V =< (1; 2; 1; −1), (3; 1; 0; 5), (0; 5; 3; −8) > en 28 Tìm sở số chiều không gian V =< (1; 2; 1; 1), (2; −1; 1; 3), (5; 5; 3; 2) > Vi 29 Tìm sở số chiều khơng gian F = x2 + x + 1, 2x2 + 3x − 1, x2 + 2x − 30 Tìm sở số chiều khơng gian nh V = {(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) ∈ R4 x1 + x2 − x3 = ∧ 2x1 − x3 − x4 = 0} 1 , , −3 1 −1 Si 31 Xét ĐLTT, PTTT họ véc tơ M = 32 Trong R3 sở E = {(1; 1; 1), (1; 1; 2), (1; 2; 1)} [x]E = (1; −3; 2)T Tìm x 33 Trong R3 sở E = {(1; 1; 1), (1; 1; 0), (1; 0; 1)} Tìm toạ độ x = (1; 2; −1) sở E 34 Tìm m để M = {(1; 2; −1), (2; 1; 3), (−1; 2; m)} tập sinh R3 35 Tìm m để M = {(1; −2; 1), (3; 1; −1), (m; 0; 1)} sở R3 36 Kiểm tra tập M = {x2 + x + 1, 2x2 + x + 1, x2 + 2x + 2} có sở P2 [x]? 37 Trong R3 , cho sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)} E = {(1; 1; 2), (1; 2; 1), (1; 1; 1)} Tìm ma trận chuyển sở từ E sang E ma trận chuyển sở từ E sang E 38 Tìm m để x = (1; 0; m) tổ hợp tuyến tính M = {(1; 1; 1), (2; 3; 1)} Hướng dẫn: tìm hạng M hạng {M, x} định thức SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 39 Trong R4 , cho không gian 1 −1 −1 F = x ∈ R4 | −1 −1 x1 x2 = , G =< (2; −1; 0; m) > x3 x4 Tìm m để G ⊂ F 40 Trong R4 , cho không gian V = {(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) ∈ R4 |x1 − x2 + x3 = ∧ x2 + x3 + x4 = 0} Tìm dim(V ⊥ ) 41 Trong R4 , cho không gian C om V1 =< (8; −6; 1; 0), (−7; 5; 0; 1) >, V2 =< (1; 0; −8; 7), (0; 1; 6; −5) > Kiểm tra xem V1 ⊥ V2 hay không? 42 Trong R4 , cho không gian ne V1 =< (−2; 0; −6; 5), (1; 1; −1; 0) >, V2 =< (2; −1; 1; 2), (−1; 3; 2; m) > Tìm m để V1 ⊥ V2 Zo 43 Trong khơng gian R3 với tích vơ hướng tắc, cho u = (1; 1; 2), v = (2; 1; −1) Tính cos(u, v) en 44 Trong khơng gian R3 với tích vơ hướng tắc, cho u = (1; 1; 2), v = (2; 1; −1) Tính d(u, v) tìm véc tơ w vng góc với véc tơ u, v Vi 45 Tìm sở số chiều nhân ánh xạ tuyến tính f (x1 ; x2 ; x3 ) = (2x1 + x2 − 3x3 ; x1 − 4x2 ) nh 46 Tìm sở số chiều ảnh ánh xạ tuyến tính f (x1 ; x2 ; x3 ) = (2x1 + x2 − 3x3 ; x1 − 4x2 ) Si 47 Tìm sở số chiều nhân ánh xạ tuyến tính f (x1 ; x2 ; x3 ) = (x1 + x2 ; x2 + x3 ; x1 − x3 ) 48 Tìm sở số chiều ảnh ánh xạ tuyến tính f (x1 ; x2 ; x3 ) = (x1 + x2 ; x2 + x3 ; x1 − x3 ) 49 Cho axttf : R3 −→ R2 , biết f (1; 1; 0) = (2; −1), Tìm f (2; 0; 3) f (1; 1; 1) = (1; 2), f (1; 0; 1) = (−1; 1) 50 Cho axtt f : R3 −→ R2 biết ma trận f cặp sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)}, F = {(1; 1), (2; 1)} AE,F = −3 Tìm f (1; 2; 3) 51 Cho f (x1 ; x2 ; x3 ) = (x1 + x2 ; x2 + x3 ; x3 + x1 ) Tìm véc tơ x cho f (x) = (1; 2; 3) 52 Cho A = 53 Cho A = , λ1 = −1, λ2 = Số TR A? u = ,v = −5 Xét xem véc tơ VTR A −2 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 1 54 Cho A = 2 2 Tìm tất TR VTR tương ứng ma trận A 1 −8 55 Cho A = −1 −8 Tìm m để A có trị riêng Tìm tất TR VTR −14 m tương ứng ma trận A với m vừa tìm 3.2 Nhóm câu điểm Cho A = Tìm ma trận nghịch đảo A phép biến đổi sơ cấp C om Trong R3 , cho M = {(1; 2; −1), (3; 2; −1), (0; 2; −1)} Tìm m để (3; 8; m) tổ hợp tuyến tính M Trong R3 , cho V =< (1; 2; −1), (3; 2; −1), (0; 2; −1) > Tìm m để (−3; 5; m) ∈ V ne Trong R4 , cho U = (1, 2, 1, 1); (2, 1, 0, −2) V = (1, 5, 3, 5); (3, 0, −1, m) Tìm m để U ≡V Hướng dẫn: Kiểm tra v1 ∈ U Để v2 ∈ U r(u1 , u2 , v2 ) = suy ma trận cấp suy biến Chọn ma trận cấp có chứa m, tính định thức suy m Thử lại suy kết en Zo Trong R4 , cho V tập nghiệm hệ phương trình x1 + x2 − x3 = 2x1 + 2x2 + x3 + x4 = x1 + x2 + 2x3 + mx4 = Vi Tìm m để dim(V ) lớn Tìm sở số chiều V với m câu a nh Trong R4 , cho U = (1, 2, 1, 0); (2, −1, 1, 1) V = (1, 1, −2, 1); (2, 0, 4, m) Tìm m để dim(U + V ) bé Tìm sở số chiều U + V cho khơng gian dạng tập nghiệm hệ phương trình 2 2 0 , V : −1 −1 −1 m dim(U ∩ V ) lớn Tìm sở số chiều U ∩ V Si Trong R4 , U: −1 Tìm m để Trong R4 , cho không gian V = {(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) ∈ R4 |x1 − x2 + x3 = ∧ x2 + x3 + x4 = 0} Tìm sở V ⊥ Trong R4 , cho không gian V = {(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) ∈ R4 |x1 + x2 + x3 = ∧ −x1 + x2 + x4 = 0} Tìm sở V ⊥ 10 Trong R4 , cho KG V =< (2; −1; 1; 0), (−2; 1; 0; 1) > x = (1; 1; 0; 1) Tìm P rV (x) SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 11 Trong R3 , cho KG V1 =< (1; 2; 1), (−1; 0; 1) >, V2 = {(x1 ; x2 ; x3 ) ∈ R3 |x1 − x2 + mx3 = 0} Tìm m để V1 ≡ V2 12 Trong khơng gian R3 với tích vơ hướng tắc, cho F =< (1; 1; 2), (2; 1; −1) > véc tơ x = (1; 2; 3) Tìm hình chiếu x xuống F 13 Trong R3 , cho tích vơ hướng (x, y) = x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 − x1 y3 − x3 y1 Tính góc khoảng cách véc tơ u = (1; 1; 2) v = (2; 1; −1) Hướng dẫn: Nhập tích vơ hướng dạng ma trận đối xứng A: (u, v) = uAv T 14 Trong R3 , cho tích vơ hướng (x, y) = x1 y1 + 2x2 y2 + 5x3 y3 − 2x1 y3 − 2x3 y1 Tìm khơng gian bù vng góc F =< (1; 2; 3) > f (1; 1; 1) = (1; 2), f (1; 0; 1) = (−1; 1) .C om 15 Cho axttf : R3 −→ R2 , biết f (1; 1; 0) = (2; −1), Tìm f (x1 ; x2 ; x3 ) 16 Cho axtt f : R3 −→ R2 biết f (x1 ; x2 ; x3 ) = (x1 + 2x2 − 3x3 ; 2x1 + x3 ) Tìm ma trận f cặp sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)}, F = {(1; 3), (2; 5)} ne 17 Cho axtt f : R3 −→ R3 biết ảnh tập sinh f (1; 1; 1) = (1; 2; 1), f (1; 1; 2) = (2; 1; −1), f (1; 2; 1) = (5; 4; −1) Tìm ma trận f sở E = {(1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 1; 1)} 18 Cho axtt f : R3 −→ R2 biết ma trận f cặp sở Zo E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)}, F = {(1; 1), (2; 1)} AE,F = −3 Tìm ma trận f sở tắc Vi en 19 Cho axtt f : R3 −→ R3 có ma trận sở E A = 2 1 = {(1; 2; 1), (1; 1; 2), (1; 1; 1)} 4 nh Tìm ma trận f sở tắc Si 20 Cho axtt f : R3 −→ R3 có ma trận sở E A = 2 1 = {(1; 2; 1), (1; 1; 2), (1; 1; 1)} 4 Tìm ma trận f sở E = {(1; 2; 3), (2; 3; 5), (5; 8; 4)} 21 Cho axtt f : R3 −→ R3 có ma trận sở E 1 AE = = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)} −1 Tìm sở số chiều Imf 22 Cho axtt f : R3 −→ R3 có ma trận sở E 1 AE = = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)} −1 Tìm sở số chiều ker f SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Chú ý: Si nh Vi en Zo ne C om Những tập cụ thể đại diện cho lớp toán tương tự Do vậy, tính tốn em phải dùng matlab mà khơng tính tay SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn ... ý: Si nh Vi en Zo ne C om Những tập cụ thể đại diện cho lớp toán tương tự Do vậy, tính tốn em phải dùng matlab mà khơng tính tay SinhVienZone. com https://fb .com/ sinhvienzonevn ... sở số chiều ảnh ánh xạ tuyến tính f (x1 ; x2 ; x3 ) = (2x1 + x2 − 3x3 ; x1 − 4x2 ) Si 47 Tìm sở số chiều nhân ánh xạ tuyến tính f (x1 ; x2 ; x3 ) = (x1 + x2 ; x2 + x3 ; x1 − x3 ) 48 Tìm sở số. .. , r ẩn số Tìm nghiệm hệ ta nghiệm riêng Xuất sở xtn xr Đề tài Cho ánh xạ tuyến tính dạng ma trận Tìm sở số chiều Imf ker f Nhập ma trận số cột A, B Kết hợp với lệnh null rref, tìm sở số chiều