Ebook Xác suất & thống kê Y học

Ebook Xác suất & thống kê Y học sau đây được biên soạn nhằm trang bị cho các bạn những kiến thức về khái niệm sơ lược về xác suất; lượng ngẫu nhiên hàm phân phối; mẫu và cách biểu diễn mẫu; lý thuyết ước lượng; kiểm định giả thuyết thống kê và một số kiến thức khác.

Xác suất & Thống kê Y học Mở đầu Trong giáo trình toán, vật lý nhà trường phổ thông người ta thường xét toán kết phép toán xác định cách Chẳng hạn, ta thả đá rơi với gia tốc không đổi Vị trí cuả đá thời điểm tính Tuy nhiên có nhiều toán mà kết kết thực chúng không xác định cách nhất, lại cã ý nghÜa lín lao vỊ mỈt khoa häc còng nh­ viƯc ¸p dơng kü tht, Kinh tÕ, Y học, Chẳng hạn, ta gieo đồng tiền nói trước đồng tiền rơi xuống mặt đất, mặt sấp hay mặt ngữa đồng tiền lên trên, kết phép thử thực không xác định cách Hình toán ta không nên nói trước điều xác định, nhiên với thực tiễn trò chơi thông thường chứng tỏ điều ngược lại là, với số lớn lần gieo đồng tiền ta thấy gần số lần rơi mặt sấp số lần rơi mặt ngữa, quy luật xác định Trong lý thuyết xác suất người ta nghiên cứu quy luật dạng Chính việc thiết lập toán thay đổi Chúng ta quan tâm kết phép thử xác định mà nhận sau nhiều lần lặp lại phép thử Nói cách khác, lý thuyết xác suất ta nghiên cứu tính quy luật biến cố ngẫu nhiên hàng loạt Lý thuyết xác suất xuất phát triển trình giải loạt toán riêng lẻ mang tính trò chơi ứng dụng Các kiến thức biết có quan hệ với việc giải toán trò chơi xuất hiÖn tõ thÕ kû XVI – XVII (D Cardano, Huyghens, B Pascal, P Ferma,) Sau toán ứng dụng bắt đầu xuất phát triển (đáng kể toán đề phòng tai nạn thiên tai) Dần dần tách lĩnh vực toán với hình thái riêng biệt phương pháp giải chúng, hình thành định nghĩa định lý Định lý thiết lập mối quan hệ lý thuyết thực hành phần đầu nhóm định lý có tên Định lý giới hạn lý thuyết x¸c suÊt Bernoulli (1654 - 1705) chøng minh cuèi kỷ 17 Sau phát triển lý thuyết xác suất tiếp tục công trình cña A Moivre (1667 - 1754), P Laplace (1749 - 1827), K Gauss (1777 - 1855), Poisson (1781 - 1840), đặc biệt công trình nhà toán học Nga P.L Chebưshev (1821 - 1894), học trò ông ta A.A Markov (1856 1922), A M Liapunov (1857 - 1918) Trong thÕ kû XX sù phát triển lớn lý thuyết xác suất việc trình bày cách hoàn thiện khoa học toán học giới thiêu công trình nhà toán học Xô viết Hơn 300 năm phát triển, đến nội dung phương pháp xác suất thống kê phong phú, áp dụng rộng rải nhiều lĩnh vực Vì vậy, việc học tập, nghiên cứu môn xác suất thống kê trở thành nhu cầu thiếu sinh viên nhiều ngành trường Đại học cán nghiên cứu hầu hết ngành khoa học kỷ thuật Để nâng cao chất lượng đào tạo, đáp ứng với nhu cầu phát triển xã hội tạo điều kiện thuận lợi cho sinh viên học tập nghiên cứu môn học này, biên soạn sách Xác suất & thống kê Qua sách nhỏ này, mong muốn hy vọng bạn sinh viên đạt kết cao học tập áp dụng phương pháp xác suất thống kê công việc sau Đối với bác sỹ, dược sỹ, nhà nhà kinh tế, nhà doanh nghiệp chuyên gia nghiệp vụ quản lý, biết thu thập, xử lý thông tin nghề nghiệp yêu cầu Xác suất & Thống kê Y học thiếu Toán học nói chung, lý thuyết xác suất thống kê nói riêng, công cụ nghiên cứu hữu hiệu Đối với sinh viên ngành Y khoa, sinh học, kinh tế, kỷ thụât, mục đích cuối học toán sử dụng công cụ công việc Do sách viết theo quan điểm thực hành, trọng việc vận dụng phương pháp xác suất thống kê thực tế mà không sâu vào việc chứng minh sở lý thuyết toán học cách chặt chẽ Với tinh thần ứng dụng, tốc độ, dễ hiểu dễ áp dụng vào thực tiễn, sách chia làm hai phần: phần Sơ lược lý thuyết xác suất trình bày hai chương Chương kháI niệm xác suất Chương Lượng ngẫu nhiên hàm phân phối Cuối chương đưa số tập nhằm cho sinh viên vận dụng lý thuyết học cách thành thạo, thấy phần nµo øng dơng thĨ cđa nã vµo thùc tiƠn Phần Thống kê toán học trình bày chương Chương3 mẫu cách biểu diễn mẫu Chương Lý thuyết ước lượng Chương kiểm định giả thuyết thống kê Chương Tương quan hồi qui Đặc biệt cuối chương phần cuối sách hướng dẫn cách sử dụng máy tính bỏ túi Casio fx 500MS việc tính toán vài tham số xác suất thống kê phục vụ cho việc thi cử nghiên cứu sau chưa có đủ điều kiện Vì khả có hạn, nên sách khó tránh khỏi sai sót, mong bạn đọc đồng nghiệp đóng góp để hoàn thiện Tác giả Xác suất & Thống kê Y học Phần I Sơ lược lý thuyết xác suất Lý thuyết xác suất môn Toán học nghiên cứu quy luật ngẫu nhiên tượng số lớn Nó xác lập quy luật tất nhiên ẩn dấu sau tượng mang tính ngẫu nhiên Khi nghiên cứu số lớn tượng tương tự, việc nắm bắt quy luật cho phép dự báo tượng ngẫu nhiên xẩy Các phương pháp lý thuyết xác suất ứng dụng rộng rải việc giải toán thuộc lĩnh vực khác khoa học Tự nhiên Kinh tế Xã hội Chương CáC KHáI NIệM CƠ BảN CủA lý thuyết xác suất Đ1 Phép thử - kiện - x¸c st cđa sù kiƯn 1.1 Kh¸i niƯm vỊ phÐp thư, sù kiƯn (biÕn cè) liªn kÕt víi phÐp thử Khi nghiên cứu tượng đó, người ta cần phải chuẩn bị số điều kiện để tiến hành thí nghiệm, ta nói người ta chuẩn bị phép thử ngẫu nhiên Vậy phép thử ngẫu nhiên thực loạt điều kiện xác định với mục đích xác ®Þnh tr­íc, Ng­êi ta th­êng ký hiƯu phÐp thư ngÉu nhiên phép thử (G) Phép thử ngẫu nhiên (G) thí nghiệm lặp lại điều kiện bên giống hệt Chẳng hạn tung đồng xu rơi xuống mặt bàn (phép thử (G)) quan sát xem mặt sấp lên hay mặt ngửa lªn trªn Mét phÐp thư (G) sau thùc hiƯn xong nã cã nhiỊu kÕt cơc cã thĨ xÈy ra, kết cục gọi kiện sơ cấp phép thử Tập hợp kiện sơ cấp phép thử (G) gọi không gian kiện sơ cấp của(G), kí hiệu , kiện sơ cấp phép thử (G) xem điểm không gian Một tập hợp gọi kiện (hay biÕn cè) cđa phÐp thư (G) Ta gäi mét kiện liên kết phép thử (G) kiện xảy không xảy tuỳ thuộc vào kết (G) thực Sự kiện gọi kiện ngẫu nhiên Khi phÐp thư (G) thùc hiƯn, mét sù kiƯn nµo gọi xẩy cần biến cố sơ cấp chứa kiện xẩy đủ Ví dụ Phép thử (G) gieo xúc xắc xuống mặt bàn Gọi ei kết mặt có i chấm lên (i=1,2,3,4,5,6) không gian biến cố sơ cấp phép thử là: ={e1, e2, e3, e4, e5, e6} TËp A = {e3, e6} lµ biÕn cố xuất mặt có chấm bội lên sau gieo xúc xắc Biến cố A gọi xẩy phép thử (G) tiến hành, (G) thực mặt chấm lên hay mặt chấm lên Các kiện phép thử thông thường chia làm loại chính: + Sự kiện bất khả, kí hiệu V kiện mà phép thử thực hiƯn nhÊt thiÕt nã kh«ng xÈy + Sù kiƯn chắn, kí hiệu kiện mà phÐp thư thùc hiƯn nhÊt thiÕt nã ph¶i xÈy + Sự kiện ngẫu nhiên, kí hiệu chữ in hoa A, B kiƯn mµ phÐp thư thùc hiƯn nã cã thĨ xảy không xẩy 1.2 Quan hệ, phép toán kiện Xác suất & Thống kê Y học Người ta định nghĩa quan hệ kiện phép toán chúng giống phép toán tập hợp, mà sử dụng phép toán lý thut tËp hỵp 1.2.1 Sù kiƯn kÐo theo Sù kiƯn A gäi lµ kÐo theo sù kiƯn B nÕu A xÈy th× B còng xÈy KÝ hiệu A B 1.2.2 Sự kiện tương đương Hai kiện A B gọi tương đương vµ chØ A  B vµ B  A 1.2.3 Tổng kiện Sự kiện C gọi tổng kiện A B, ký hiƯu A+B = C, hc A  B = C C xẩy sù kiƯn A hc B xÈy A B Tỉng qu¸t Cho n sù kiƯn A1 , A2 , , An Tỉng cđa n sù kiƯn Ai lµ sù kiƯn C, kÝ n hiƯu C = A i  C xÈy th× Ai xÈy ( i  1;2; ; n ) i 1 1.2.4 TÝch c¸c sù kiƯn TÝch cđa hai sù kiƯn A B kiện kí hiệu AB A  B tho¶ m·n: AB xÈy  c¶ A B đồng thời xẩy AB B A n Tỉng qu¸t TÝch cđa n sù kiƯn A1 , A2 , , An lµ sù kiƯn kÝ hiƯu A i tho¶ m·n: i 1 n A i xÈy tất Ai xẩy ( i 1;2; ; n ) i 1 1.2.5 HiƯu cđa hai kiện Sự kiện E gọi hiệu hai sù kiƯn A vµ B, kÝ hiƯu E = A\ B nÕu E xÈy A xÈy mà B không xẩy A B 1.2.6 Quan hệ kiện Xác suất & Thống kê Y học i) Hai kiện A B gọi xung khắc, A xuất B không xuất ngược lại Nếu A, B hai sù kiƯn xung kh¾c, ta kÝ hiƯu A  B  V A B  V , ®ã sù kiƯn ®èi lËp cđa A A B   ii) Hai sù kiƯn A vµ B gäi lµ ®èi lËp nÕu  ký hiƯu lµ A iii) HÖ n sù kiÖn A1 , A2 , , An gọi hệ kiện đầy đủ nếu: Ai  A j  V , i  j n   A    i 1 VÝ dô PhÐp thư (G) gieo mét xóc x¾c, gäi ei ( i = 1, 2, , 6) lµ sù kiện xuất mặt i chấm lên sau gieo A kiện mặt có số chấm chẵn lên trên, B kiện mặt có số chấm bội lên trên, thì:  = {e1, e2, , e6} vµ e6 = A  B ; A = e2  e4  e6 Ví dụ Hai xạ thủ bắn người bắn viên vào bia Gọi Ai := Ng­êi thø i b¾n tróng bia” (i=1 ,2) H·y viÕt c¸c biÕ cè sau qua A1 , A2 a Chỉ có xại thủ thứ bắn trúng bia: A1 A2 b Có xạ thủ bắn trúng bia: A1 A2 È A1A2 c Cã Ýt nhÊt xạ thủ bắn trúng bia: A1 ẩ A2 d Cả hai xạ thủ bắn trúng bia: A1A2 e Không có xạ thủ bắn trúng bia: A1 ẩ A2 f Có không xạ thđ ¾n tróng bia: A1A2 g ChØ mét vài nhóm biến cố đầy đủ: { A1 , A1 } hc { A2 , A2 } hc { A1A2 , A1 A2 , A1A2 , A1 A2 } §2 Các định nghĩa xác suất Chúng ta thấy rằng, có phép thử ngẫu nhiên (G) thực biến cố ngẫu nhiên A, B, C, liên kết với (G) xẩy không xẩy Do vấn đề đặt là: Làm đo mức độ xẩy biến cố ngẫu nhiên ? Để giải vấn đề người ta tìm cách gán cho biến cè A liªn kÕt víi (G) mét sè ký hiƯu P(A) tháa m·n tÝnh chÊt sau: P (W) = 1; P (Ỉ) = P (A ) Î éê0, 1ùú ë û NÕu A, B lµ hai biến cố xung khắc P (A ẩ B ) = P (A ) + P (B ) Th× số P(A) gọi xác suất biến cố A Ba tính chất gọi ba tính chất xác suất Xác suất & Thống kê Y học Vậy xác suất biến cố số thực thuộc đoạn [0, 1], mức độ xẩy khách quan biến cố (sự kiện) phép thử tiến hành Để đạt mục đích đưa định nghĩa xác suất số trường hợp hay gặp sau 2.1 Định nghĩa cổ điển xác suất Xét phép thử (G) có số kết xẩy n kết đồng khả năng, n kết có m kết thuận lợi cho kiện A xẩy xác xuất kiƯn A lµ sè thùc kÝ hiƯu P  A định nghĩa P A m n VÝ dơ Gieo mét xóc x¾c (PhÐp thư (G)) th×  ={e1, e2, , e6} xúc xắc cân đối đồng chất nên kết ei (i =1,2,3,4,5,6) đồng khả xẩy nên số khả (G) n = Gọi A biến cố xuất mặt có chấm bội số khả thuận lợi cho A xẩy 2, mặt chÊm xt hiƯn hc mỈt chÊm xt hiƯn A xuất m = Theo định nghĩa cổ điển xác suất xác suất biÕn cè A lµ: P  A  m   n VÝ dô Mét thùng kín có bi trắng bi đen, bi làm đồng chất, độ lớn độ nhẵn (gọi đồng khả năng) Lấy ngẫu nhiên bi lúc Tìm xác suất để lấy bi đen bi trắng Phép thử (G) lấy ngẫu nhiên lúc bi, bi đồng khả lấy nên số cách lÊy lµ C73  7! 7.6.5.4!   35 3! ! 3!4! Số đồng khả lµ n = 35 Gäi A lµ biÕn cè lÊy bi đen bi trắng, nên số cách lấy bi đen C4 , số cách lấy bi trắng C31 Theo luật tích, số cách lấy lúc bi hai bi đen bi trắng là: C42 C31 = = 18 số khả thuận lợi cho A m = 18 Vậy theo định nghĩa cổ điển xác suất ta có: P A 18 35 2.2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê Xét phép thử (G) liên kết với kiện A , lặp lại phép thử (G) n lần độc lập, Chúng ta thấy cã k lÇn xt hiƯn sù kiƯn A Khi tỉ số gọi tần suất xuất kiện A n lần lặp lại phép thử (G) Chóng ta nhËn thÊy r»ng tÇn st f n  A  cã c¸c tÝnh chÊt sau: 1) f n     1, f n V   2)  f n  A  3) A, B xung khắc f n  A  B   f n  A   f n  B  (Tù kiÓm tra ?) Và f n A thay ®ỉi nÕu n thay ®ỉi hc thùc hiƯn phÐp thư n lần khác Tuy nhiên thực nghiệm người ta chứng minh với n lớn f n A ổn định quanh giá trị p đó, giá trị p theo quan điểm thống kê gọi xác suất kiện A Xác suất & Thống kê Y học Định nghĩa Xác suất kiện A trị số ổn định tần suất f n A số lượng phép thử tăng lên vô hạn Chẳng hạn hai nhà thống kê Buffon Pearson thí nghiệm gieo đồng tiền nhiều lần, kết bảng sau: Người gieo Số lần gieo Số lần sấp TÇn xuÊt Buffon 4040 2048 0,5080 Pearson 12000 6019 0,5016 Pearson 24000 12012 0,5005 Qua kết cho thấy tần suất xuất mặt sấp (S) ổn định xung quanh giá trị p = 0,5 số lượng phép thử n tăng lên, nên ta nói xác suất xuất mặt sấp gieo đồng tiền P(S) = 0,5 2.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Xét phép thử (G) lấy ngẫu nhiên điểm đoạn [0, 1], không gian kiện sơ cấp phép thử vô hạn kết không đếm Trong trường hợp ta xây dựng xác suất kiện A sở xác suất kiện sơ cấp Pi (vì điểm đoạn thẳng coi đồng khả pi = 0) Nh­ng ta thÊy r»ng nÕu sù kiÖn A đoạn thẳng nằm đoạn [0, 1] A lớn xác suất để điểm rơi vào A lớn, ta xem xác suất điểm rơi vào miền A P A Độ dài Đọan A §é dµi §äan  0,1 DƠ thÊy r»ng P(A) cã tính chất xác suất Mở rộng kết cho trường hợp điểm rơi vào miền phẳng hay khối không gian ta có định nghĩa sau: Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Giả sử tập hợp điểm (đoạn thẳng, miền phẳng, mảnh mặt cong hay khối không gian), A tập , xác suất để điểm rơi vào miền A là: P A Độ Đo A , độ đo độ dài, diện tích hay thể tÝch… §é §o cđa  VÝ dơ Hai ng­êi hẹn gặp địa điểm định khoảng thời gian từ 19 đến 20 Hai người ®Õn hĐn ®éc lËp vµ quy ­íc r»ng đến chổ hẹn đợi 10 phút, người không đến bỏ Tính xác suất để họ gặp Giải Ta biểu diễn thời ®iĨm ®Õn hĐn cđa ng­êi thø nhÊt lµ mét điểm trục hoành, người thứ hai trục tung Như thời điểm đến hai người biểu diễn điểm có tọa độ cặp (x,y) nằm hình vuông x 60; y 60 , đơn vị tính phút Để hai người người gặp thời điểm đến x y người phải thỏa mãn bất đẳng thức x y 10 , Hay x  10  y  x  10 Các điểm thỏa mãn bất đẳng thức biểu diễn điểm nằm hai đường thẳng y=x-10 y=x+10 (Hình vẽ) Vậy theo định nghĩa xác suất Hình học ta có P A Độ Đo cña A 60  60  50  50 11 =  60  60 36 §é §o cđa  Xác suất & Thống kê Y học 60 y=x+10 10 10 60 2.4 Sơ lược số khái niệm giải tích kết hợp 2.4.1 Chỉnh hợp Cho tập hợp X có n phần tử khác Một cách chọn k phần tử khác có thứ tự từ n phần tử tập hợp X gọi chỉnh hợp chập k n phần tử ( k  n ) Sè chØnh hỵp chËp k n phần tử kí hiệu tính theo công thøc: Ank  n  n  1 n    n  k  1 VÝ dơ Cho X={1,2,3,4,5} gåm ch÷ sè 1; 2; 3; 4; Hỏi tạo nên số gồm chữ số đôi khác từ năm chữ số Một số đề có thứ tự gồm chữ số đôi khác lấy từ chữ số cho Do số số tạo thành là: A53     60 sè 2.4.2 Hoán vị Một hoán vị n phần tử tập hợp X gồm n phần tử khác mét chØnh hỵp chËp n cđa n KÝ hiƯu số hoán vị n phần tử là: Pn Ann  n ! 2.4.3 Tỉ hỵp Mét tỉ hỵp chập k n phần tử tập hợp X gồm n phần tử khác cách chọn k phần tử khác X không phân biƯt thø tù Sè tỉ hỵp chËp k cđa n phần tử kí hiệu tính theo công thức sau: Ank n! C   k ! k ! n k ! k n Người ta chứng minh r»ng: Cnk11  Cnk1  Cnk Qui ­íc Cn0  ta có công thức khai triển nhị thức sau: Xác suất & Thống kê Y học a  b n n   Cnk a n  k b k k 0 VÝ dô Mét nhãm học viên có người, có nam nữ Muốn chọn học viên lao động có nam nữ Hỏi có cách chọn Số cách chọn nam nam là: C32 Số cách chọn nữ nữ là: C21 Số cách chọn người có nam nữ là: C32 C21 2.4.4 Luật tích Giả sử để thực việc A ta phải thực hiƯn liªn tiÕp k b­íc: B­íc thø 1: cã m1 c¸ch thùc hiƯn B­íc thø 2: cã m2 c¸ch thùc hiƯn B­íc thø k: có mk cách thực Khi số cách thùc hiƯn viƯc A lµ m = m1  m2 mk Đ3 định lý xác suất 3.1 Định lý cộng xác suất Nếu A, B biến cố xung khắc p  A  B   p  A   p  B  NÕu A, B lµ biÕn cè bÊt k× th× p  A  B   p  A   p  B   p  AB  Tỉng qu¸t: Cho n biÕn cè A1 , A2 , , An NÕu n biÕn cè A1 , A2 , , An nµy xung khắc đôi ta có: n n p   Ai    p  Ai   i 1  i 1 NÕu n biÕn cè A1 , A2 , , An bÊt k× ta có công thức: n n n  n 1 P   Ai    P  Ai    P  Ai A j    P  Ai A j Ak     1 P   Ai  i j i jk  i 1  i 1  i 1  Chøng minh c«ng thøc phương pháp qui nạp 3.2 Xác suất có điều kiện, định lý nhân xác suất 3.2.1 Định nghĩa Nếu B biến cố có xác suất P( B) ) xác suất có điều kiện cđa biÕn cè A víi ®iỊu kiƯn cđa biÕn cè B xẩy định nghĩa là: B PPAB B P A 3.2.2 Định lý nhân xác suất Nếu P A 0, P  B   víi A, B lµ biÕn cè bÊt k× th×:  B   P  A   P  B A P  AB   P  B   P A Ví du Trong kho có 96% sản phẩm qui cách Trong số sản phẩm qui cách có 70% sản phẩm loại I Lấy ngẫu nhiên sản phẩm, tính xác suất để lấy sản phẩm loại I Xác suất & Thống kê Y học Gọi A biến cố lấy ngẫu nhiên sản phẩm sản phẩm loại I, B biến cố lấy ngẫu nhiên sản phẩm sản phẩm qui cách, ta có P( B) 96%   CÇn tÝnh P  AB   P  B   P A B  0,96  0, 70  0, 672 3.2.3 Sù ®éc lập biến cố Nếu việc xẩy hay không xẩy biến cố B không ảnh hưởng ®Õn viÖc xÈy biÕn cè A , lÏ dÜ nhiên A, B biến cố độc lập ta viÕt:  B   p  A B   p  A p A Tõ ®ã suy ra: A, B hai biến cố độc lập p  AB   p  A   p  B  NhËn xÐt NÕu A, B lµ biến cố độc lập A B ; A B ; A B độc lập Tỉng qu¸t: Cho n biÕn cè A1 , A2 , , An gọi độc lập biến cố chúng độc lập với tích số biến cố lại Từ tổng quát định lý nhân cho n biÕn cè       A  P  An A1 , A2 , , An lµ: P   Ai   P  A1  P  A2  P    n 1  A1   A1 A2     i 1  A  i    i 1  n Chøng minh c«ng thøc qui nạp (độc giả tự chứng minh xem tập) 3.3 Công thức xác suất toàn phần, công thức Bâyet Giả sử A1 , A2 , , An hệ kiện đầy đủ, B mét sù kiƯn bÊt k× th×:  n  B  B    Ai   BA1  BA2   BAn  i 1  Do c¸c Ai ,  i  1, 2, n  xung khắc đôi nên BAi xung khắc đôi áp dụng công thức cộng xác suất ta cã: P  B   P  BA1   P  BA2    P  BAn áp dụng công thức nhân ta có: P  B   P  A1  P  B   P  A2  P  B    P  An  P  B   A1   A2   An  n hay : P  B    P  Ai  P  B A  i i (1) Công thức (1) gọi công thức xác suất toàn phần Bây phép thư ®· thùc hiƯn, biÕt sù kiƯn B ®· xÈy ra, tìm xác suất xuất kiện Ai ,( i 1, 2, , n ), tức cần tìm xác suất P Ai B , ( i  1, 2, , n ) ?  Theo Định lý nhân xác suất thì: 10 Xác suÊt & Thèng kª Y häc tăng trọng (kg/ngày) giống lợn Hai mức vitamin A (0 mg), hai mức vitamin B (0 5mg) sử dụng thí nghiệm Tổng số 20 lợn phân thành cơng thức thí nghiệm cách ngẫu nhiên Số liệu thu kết thúc thí nghiệm sau: VitaminA mg mg VitaminB mg mg mg mg 0,585 0,567 0,473 0,648 0,536 0,545 0,450 0,702 0,458 0,589 0,869 0,900 0,486 0,536 0,473 0,698 0,536 0,549 0,646 0,693 Tổng 2,601 2,786 2,729 3,677 Trung binh 0,520 0,557 0,549 0,735 Hỏi việc bổ sung vitamin A, B theo mức có ảnh hưởng đến việc tăng trọng lợn hay khơng ? với mức  =0,05 80 X¸c suÊt & Thèng kª Y häc Chương TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY §1 KIỂM ĐỊNH MỐI LIÊN QUAN: RR, OR, HỆ SỐ TƯƠNG QUAN, HỒI QUI ĐƠN BIẾN 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Khái niệm tương quan Khi nghiên cứu hai đặc tính định lượng đại diện biến số X, Y, ta tìm xem giá trị hai đặc tính có liên quan với khơng? Thường ta thấy chúng có mối quan hệ sau đây: a) Hai đặc tính định lượng có liên quan chặt chẽ với tức ứng với giá trị X ta nhận giá trị Y Theo mối quan hệ ta nói X, Y có mối quan hệ với hàm tính ký hiệu Y = f (X) Ví dụ Trong quần thể hình tròn, biết bán kính X diện tích Y xác định theo biểu thức Y =  X2 b) Hai đặc tính X, Y khơng có quan hệ với nhau, chẳng hạn X chiều cho người lái xe Y trọng tải xe X, Y khơng có mối quan hệ nào, lúc ta nói X, Y độc lập c) Hai đặc tính định lượng X, Y có liên quan thống kê học, chẳng hạn chiều cao X trẻ em tuổi Y hai đại lượng liên quan thống kê học với Đành biết chiều cao X em ta khơng biết tuổi em cách xác Nhưng ta biết: Tuổi lớn em cao Khi ta gọi X, Y có tương quan thống kê, cụ thể X, Y tương quan thuận 1.2 Trung bình (kỳ vọng) có điều kiện, tương quan hồi qui Ta xét liên quan đại lượng ngẫu nhiên X Y Giả sử với giá trị X = x1 , Y nhận giá trị y1  4, y2  6, y3  Trung bình cộng giá trị Y 4 68  Ta gọi Y x1 trung bình có điều kiện Y X= x1 Tổng quát ta có: Gọi trung bình cộng giá trị Y tương ứng với giá trị X = x trung bình (kỳ vọng) có điều kiện Y X = x kí hiệu Y x Nếu với giá trị x tương ứng giá trị Y x trung bình có điều kiện hàm x , Y x =f( x ) Trong trường hợp ta nói Y phụ thuộc tương quan đối X = x1 Y x  với X Phương trình Y x = f( x ) gọi phương trình hồi qui Y X, f( x ) gọi hàm hồi qui Y X Nếu đường hồi qui đường thẳng ta nói Y có hồi qui tuyến tính X 1.3 Đồ thị phân tán Giả sử ta nghiên cứu mức độ tương quan hai lượng ngẫu nhiên X, Y định lượng hoá mẫu thu n cặp  xi ; yi  ta biểu diễn điểm Mi  xi ; yi  lên mặt phẳng toạ độ Đề vng góc Oxy Các điểm Mi lập lên “đám mây” thống kê học gọi đồ thị phân tán (phân bố), quan sát đồ thị phân tán ta thấy chúng có dạng sau: 81 X¸c st & Thèng kª Y häc + Các điểm Mi nằm sát theo đường cong (hình 1), điều cho nghĩ X, Y có quan hệ hàm số + Các điểm Mi nằm rải rác không theo qui tắc (hình 2) lúc ta phán đoán X, Y độc lập + Các điểm Mi nằm vào vòng định, có dạng hình bầu dục (hình 3), lúc ta phán đốn X, Y có tương quan tuyến tính với Nếu trục lớn hình bầu dục nghiêng lên ta nói X, Y có tương quan thuận, nghiêng xuống tương quan nghịch Nếu hình bầu dục dẹt tương quan chặt, hình bầu dục tròn ta nghĩ X, Y độc lập Y     Y Y                                                H-1 X                    H- x H-3 X §2 HỆ SỐ TƯƠNG QUAN MẪU Để đo mức độ tương quan tuyến tính hai biến ngẫu nhiên định lượng X, Y thông qua mẫu thực nghiệm n cặp số liệu  x1 , y1  ;  x2 , y2  ; ;  xn , yn  , người ta vẽ đồ thị phân tán, tính hệ số tương quan mẫu r x , y  , kiểm định hệ số tương quan mẫu 2.1 Công thức tính hệ số tương quan mẫu Giả sử lấy mẫu từ lượng ngẫu nhiên X, Y gồm n cặp  x1 , y1  ;  x2 , y2  ; ;  xn , yn  ta có cơng thức tính hệ số tương quan mẫu là: n   x  x  y  y  i r x , y   i i 1 n 2 n   x  x   y  y i i i 1 i 1 Với cơng thức dễ tính máy Dùng bất đẳng thức Buniakobski chứng minh r x , y   Nếu r x , y  > X, Y gọi tương quan thuận Nếu r x , y  < X, Y gọi tương quan nghịch Nếu r x , y  = X, Y độc lập, khơng độc lập Khi tính xong r x , y  để kiểm định X, Y có tương quan mức  hay khơng, thc hin: 82 Xác suất & Thống kê Y häc + Nếu cỡ mẫu n  100 tra bảng hệ số tương quan r mức  bậc tự n -2 r Nếu r x, y  < r X, Y khơng tương quan Nếu r  x, y  > r tương quan + Nếu cỡ mẫu n  100 tính T  r x , y   r 2 x , y  n  , n cỡ mẫu Nếu T  T tra bảng phân phối T mức  bậc tự n -2 X, Y tương quan Nếu T  T khơng tương quan Ví dụ Người ta muốn biết có mối liên quan liều độc X thời gian sống sót Y chuột lang hay không? Qua thực nghiệm chuột có: X 4,25 3 1,75 1,5 0,5 0,25 Y Hỏi với mức ý nghĩa  =0,01 X, Y có tương quan khơng? Lập bảng tính: X Y XX Y Y ( X  X )( Y  Y ) X  X  4,25 3 1,75 1,5 0,5 0,25 14,25 -3 -2 -1 2,215 0,965 0,965 0,285 -0,535 -1,535 -1,785 -6,645 -1,930 -0,965 -0,535 -3,070 -5,355 -18,500 1  x 21 Y  Y  4,960 0,931 0,931 0,081 0,286 2,356 3,185 12,676 21 14, 25 18,500  3; y   2, 035  r x , y    0,978 Tra bảng hệ số tương 7 28 12, 676 quan r ,  = 0,01 bậc tự 7-2 = có r0,01    0,8795  r x , y   r0,01    X , Y tương quan với mức  =0,01 r x , y  < nên X , Y tương quan nghịch 2.2 Tương quan Spearman (tương quan hạng) Hệ số tương quan mẫu r x , y  phép kiểm định tốt cho hai biến ngẫu nhiên định lượng, không áp dụng mẫu có nhiều yếu tố định tính bán định lượng Trường hợp phải dùng tương quan phi tham số Spearman gọi tương quan R Tương quan R có ưu điểm: Dễ sử dụng ứng dụng cho trường hợp định lượng, bán định lượng định tính Ví dụ cách tính Cách tính: - Xếp thứ tự (cao đến thấp ngược lại) cột Rx , Ry - Tính chênh lệch d : d  Rx  Ry 83 X¸c suÊt & Thèng kª Y häc - Tính bình phương chênh lệch d : d - Tính R theo cơng thức: R   6 d n  n  1 Chú ý Những số liệu trùng hạng chúng trung bình cộng số thứ tự hạng - Sau tra bảng R tương quan Spearman số R0,05 R0,01 n từ  30 - Nếu R ta nằm khoảng  R0,05 , R0,01  kết luận có mối tương quan (bảng 12 – [8]) Ví dụ Một nhóm sinh viên theo dõi tình hình bệnh nhân sốt xuất huyết, thấy có mối liên quan số lượng tiểu cầu mức độ sốt xuất huyết Số liệu thu sau: Số thứ tự bệnh nhân Số lượng tiểu cầu Giga/l Mức độ sốt xuất huyết 100 Vừa 60 nặng 120 nhẹ 150 nhẹ 100 Vừa 80 nặng 90 nặng 120 Vừa Hỏi mối tương quan có đủ tin cậy khơng? Đặt H0: Khơng có mối tương quan số lượng tiểu cầu mức độ sốt xuất huyết H1 có mối tương quan nghịch, tiểu cầu xuất huyết nhiều Kiểm định thống kê, dùng tương quan R0,05 Sperman Lập bảng: STT Số lượng Mức độ Số hạng Chênh Bình phương Bệnh Tiểu cầu xuất huyết lệch chênh lệch d nhân G/l (X) (Y) d R R x 100 60 120 150 100 80 90 120 Vừa nặng nhẹ nhẹ Vừa nặng nặng Vừa y 4,5 6,5 4,5 6,5 1,5 1,5 7  R  1  151  0, 79  82  1 84 0,5 -6 6,5 0,5 -5 -4 2,5 0,25 36 25 42,25 0,25 25 16 6,25 151 Xác suất & Thống kê Y học Tra bng tng quan R có R0,05 < R < R0,01  H0 bác bỏ, nên chấp nhận H1 Kết luận: Có mối tương quan rõ rệt số lượng tiểu cầu mức độ xuất huyết tương quan nghịch Nhưng cần nghiên cứu mối tương quan hai biến ngẫu nhiên định tính mà mẫu thu thơng qua tỉ số hai phương pháp tỏ khơng hiệu lực Để khắc phục điều người ta sử dụng RR OR để nghiên cứu mức độ liên qua hai bến ngẫu nhiên định lượng Đặc biệt biến nhị giá Khi biến ngẫu nhiên biến nhị giá người ta thường sử dụng giá trị tỉ nguy RR OR để đo lường mức độ liên hệ Cách tính RR OR thông qua mô tả: Kết Mắc bệnh Không mắc bệnh Tổng Biến số phơi Phơi nhiểm a1 b1 N1 nhiểm Không Phơi nhiểm a0 b0 N0 Tổng a0  a1 b0  b1 N  N1  N Tỉ số nguy (RR) tỉ số nguy nhóm phơi nhiểm với nguy nhóm khơng phơi nhiểm.: a1 N RR  a0 N0 1,96 1 1    a1 N1 a0 N0 Khoảng tin cậy 95% tỉ số nguy : RR   e (OR) tỉ số số chênh mắc bệnh nhóm phơi nhiểm với số chênh mắc bệnh nhóm khơng phơi nhiểm Trong trường hợp nghiên cứu bệnh chứng, tỉ số chênh tỉ số số chênh phơi nhiểm nhóm bệnh với số chênh phơi nhiểm nhóm khơng chứng a1 b RR  a0 b0  1,96 Khoảng tin cậy 95% tỉ số chênh : OR  e  1 1    a1 b1 a0 b0 1,96 , OR  e 1 1    a1 b1 a0 b0    Ví dụ Có 240 người tiêm vaccine phòng bệnh cúm 220 người tiêm placebo Trong nhóm tiêm vaccine có 20 người bị cúm nhóm tiêm placebo có 80 người bị cúm cho biết mức độ liên hệ vaccine cúm bệnh cúm Cho biết khoảng tin cậy 95% tỉ số nguy Giải: Lập bảng số liệu 2 ô sau Kết Mắc bẹnh cúm Không mắc Tổng bệnh cúm Có 20 = a1 220 = b1 240 = N1 Tiêm chủng Placebo 80 = a0 140 = b0 220 = N0 Tổng 100 360 460 = N  85 Xác suất & Thống kê Y học a1 20 N Tỉ số nguy RR   240  0, 229166666  0, 23 a0 80 N 220 Khoảng tin cậy 95% tỉ số nguy  1 1 1 1  1,96    ; RR  e1,96     RR : e  a1 N1 a0 N a1 N1 a0 N    1 1 1 1  1,96    ; 0, 23  2, 71821,96     0, 23: 2, 7182  20 240 80 220 20 240 80 220   [ 0,1476192812; 0,3583542717] Hay [0,15; 0,36] Tính R > library(epicalc) Loading required package: foreign Loading required package: survival Loading required package: splines Loading required package: nnet > csi(20,220,80,140) Exposure Outcome Non-exposed Exposed Total Negative 140 220 360 Positive 80 20 100 Total 220 240 460 Rne Risk 0.36 Re Rt 0.08 0.22 Estimate Lower95ci Upper95ci Risk difference (Re - Rne) -0.28 -0.36 -0.2 Risk ratio 0.23 0.15 0.34 Protective efficacy =(Rne-Re)/Rne*100 77.1 65.62 84.61 or percent of risk reduced Number needed to treat (NNT) 3.57 2.81 4.88 or -1/(risk difference) §3 PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUI TUYẾN TÍNH 3.1 Bài tốn dẫn đến khái niệm phương trình hồi quy tuyến tính Khi nghiên cứu tương quan hai đại lượng X, Y thông qua mẫu n cặp:  x1 , y1  ;  x2 , y2  ; ;  xn , yn  ta vẽ đồ thị phân tán (gọi đường hồi qui thực nghiệm) Nếu điểm Mi đường hồi qui thực nghiệm nằm sát đường thẳng ∆: y  ax  b 86 X¸c st & Thèng kª Y häc ta dự đốn X, Y tương quan tuyến tính với Việc tìm đường thẳng ∆ cho tổng bình phương khoảng cách điểm Mi đến bé Đường thẳng ∆ gọi đường thẳng bình phương tối thiểu, hay gọi đường hồi qui lý thuyết mẫu Y            X Ta thành lập cơng thức tìm phương trình đường thẳng ∆: y  ax  b từ n cặp số liệu:  x1 , y1  ;  x2 , y2  ; ;  xn , yn  Giả sử X, Y tương quan theo qui luật y  f  x  , điểm lý thuyết  x , f  x   ;  x , f  x   ; ;  x , f  x   , điểm thực nghiệm Mi  x , y  điểm lý thuyết  x , f  x   có sai lệch Tìm dạng hàm f để sai lệch nhỏ Muốn 1 n i n i i i ta tính sai lệch: l1  f  x1   y1 l2  f  x2   y2 ln  f  xn   yn n Tìm hàm f cho U   li nhỏ Nếu biết dạng y  ax  b (trong trường i 1 n hợp hồi qui tuyến tính) có U  a, b     axi  b  yi  hàm biến a, b hàm i 1 đạt cực tiểu điểm  a, b  Ta có U U  0 a b n n n U  2a xi  2b xi  2 xi yi a i 1 i 1 i 1 n n U  2a  xi  2nb  2 yi theo   b i 1 i 1 có hệ phương trình: 87   X¸c st & Thèng kª Y häc n n  n a x  b x  xi yi   i   i  i 1 i 1 i 1  n n a x  nb  yi   i  i 1 i 1 Giải hệ phương trình phương pháp định thức ta thu được: n   x  x  y  y  i a i i 1 n  x  x b  y  xa ; i i 1 n n  xi yi  x yi Hoặc: a  i 1 n i 1 n x i i 1 ; b  y  xa  x  xi i 1 Ví dụ Ở ví dụ liều độc X thời gian sống Y (Ví dụ 2) có phương trình hồi qui tuyến tính Y theo X YX  y  0, 66 x  4, 0157 a gọi hệ số hồi qui Y theo X , sử dụng cơng thức tính hệ số tương quan ta có: y  a  r x, y  x  b  y  ax  Tương tự đường hồi qui X theo Y X Y  x  ay  b x   a  r x , y   y  b  x  a y  Hai đường hồi qui qua điểm M  x, y  Từ  a.a  r2x , y  3.2 Dư tỉ lệ phần trăm + Dư (Residuals) Giả sử thực nghiệm từ mẫu ta lập đường hồi quy dự báo (lý thuyết) Y theo X Y X = y = a x + b , thỡ ta định nghĩa: Dư = Khoảng cách chiều dọc từ điểm quan sát đến đường hồi qui: y thực tế - y dự báo (hồi qui) Tổng dư bình phương (Residual Sum of Squares) gọi sai số RSS   n  1  SY   r 2x , y    Độ lệch chuẩn dư (Residual Standard Deviation) có tài liệu gọi độ sai chuẩn ước lượng RSD  RSS Rdf Rdf gọi độ tự dư Rdf  n  88 Xác suất & Thống kê Y học Vỡ th RSD  RSS n2 Ví dụ Nghiên cứu loại thuốc ngủ, kết sau: Liều thuốc (mg) X Giấc ngủ tạo (giờ) Y 2,5 2,5 3,5 10 Tính x = 7,5 ; y =3,083 S X* =1,87 ; SY* = 1,06 Đường hồi qui Y theo X: Y = - 0,88 + 0,528X ; r x, y  = 0,925 0,811  0, 45 + Tỷ lệ phần trăm (Percentage fit) gọi R R = 100 r 2 x, y   RSS    11, 06    0,925    0,811  RSD  Ở ví dụ ta có R = 100(0,925)2 = 85,56 Có nghĩa phép tính hồi qui tính 85,56% trường hợp số liệu phù hợp với tính tốn, 14,44% chưa đề cập tới + Phương trình hồi qui thực (true regresstion) Từ mẫu nghiên cứu nhỏ suy hồi qui cho tập hợp có kết tin cậy hay khơng? Ta tìm test T Cơng thức tìm T cho hồi qui: T R  n  2 T  a.S X n2 RSD 100  R Áp dụng ví dụ có T = 4,8683 T = 4,8865 Tra bảng T0,05 bậc tự n  = có t0,05   = 2,766; t0,01   = 4,604 Độ xác dự báo (accuracy predietion) + Khoảng tin cậy (Confidence interval) hệ số hồi quy tính theo cơng thức: CI  a   a  t  n   RSD  a Y theo X CI  a   n  1  S X  Trong t  (n - 2)tra bảng phân phối T bậc tự n-2 Áp dụng ví dụ ta có: a=0,528; RSD=0,045; t  (n - 2)=2,776; (S X* ) = (1,87)2 = 3,49 CI  a   0,528  2, 776  0, 45  0,528  0, 298  3, 49 Vậy CI  a  từ 0,23 n 0,826 89 Xác suất & Thống kê Y học Có nghĩa là: Nếu tăng thêm mg giấc ngủ kéo dài thêm từ 0,23 đến 0,826 + Khoảng tin cậy b (true intercept) Công thức tính: CI  b   b  t  n   RSD  x  n  n  1  S  X  Áp dụng ví dụ  CI  b   0,88  2, 776  0, 45  7,5    0,88  0, 23 =-3,18 đến 1,42  3, 49 + Khoảng tin cậy y CI  y   ax  b  t  n   RSD    xx  n  n  1  S  X  Nếu giả thiết x = 8, ta có:  CI  y   0,88   0,528  2, 776  0, 45   7,5    3, 44  0, 53  3, 49 Như có nghĩa là: Ở liều dùng mg, theo tính tốn tạo giấc ngủ kéo dài trung bình 3,34 với giới hạn tin cậy 3,34 - 0,53 = 2,81 giờ; giới hạn tin cậy là: 3,34 + 0,53 = 3,87 Các dạng hồi qui: Có nhiều dạng như: - Đơn hồi qui (simple regression) - Đa hồi qui (multiple regression) - Hồi qui phi tuyến tính (nonlinear regression) Trong hồi qui “đơn hồi qui” có phân chia nhiều loại phương trình: - Hồi qui đường thẳng (linear) - Hồi qui nhân (multiplication) - Hồi qui đảo (reciprocal) - Hồi qui mũ (exponential) Nếu sử dụng phương trình Statgraphics Computer tính vẽ đồ thị loại hồi qui cách nhanh chóng Tuỳ theo vấn đề, người nghiên cứu định chọn phương trình hồi qui thích hợp 3.3 Phương pháp tính hệ số tương quan mẫu phương trình hồi quy tuyến tính máy tính bỏ túi Casio fx- 500MS Vào chương trình RES ấn máy fx-500MS ấn M ODE Máy khác ấn M ODE M ODE Trong mode SD mode RES phím M  dùng phím DT , hình 90 X¸c suÊt & Thèng kª Y häc Lin Log EX P      Pwr ln v Quad ấn tương ứng ta vào chức muốn chọn Cụ thể ấn  Lin  : Tuyến tính  Log : Lôgarit;  Exp  : Mũ;   Pwr  : Luỹ thừa;   ln v : Nghịch đảo;   Quad : Bậc hai Trước tính tốn phải ấn Shift CLR  Scl   để xoá nhớ thống kê Nhập liệu theo cú pháp: , DT Các kết nhập xong gọi sau Nếu phương trình hồi qui Y=aX + b muốn có a ta ấn: Shift S.VAR   Muốn có b ta ấn: Shift S.VAR   Muốn có hệ số tương quan r (x ,y ) Shift S.VAR   Muốn có X ấn ta ấn: Shift S.VAR Muốn có Y ấn Shift S.VAR  Chú ý: ấn DT DT nhập số liệu hai lần Dùng phím Shift ; để nhập nhiều liệu giống Ví dụ nhập 20,5 bảy lần ta ấn 20.5 Shift ; DT 91 Xác suất & Thống kê Y học BÀI TẬP CHƯƠNG Quan sát X Y có bảng tương quan thực nghiệm sau X Y 6 10 -6 – 11 11 – 16 16 -21 a Giả sử X Y có tương quan tuyến tính, tính 14 hệ số tương quan r Tìm (x ,y ) phhương trình hồi qui Y theo X b Ước lượng trung bình giá trị Y (với điều kiện X = 10), tìm khoảng tinh cậy Y X = 10 với độ tinh cậy 95% (Giả thiết Y biến ngẫu nhiên tuân theo theo qui luật phân phối chuẩn) c Đại lượng ngẫu nhiên Z xác định Z = 5X-3 Hãy ước lượng kỳ vọng phương sai Z X(%), Y(cm) hai tiêu loại sản phẩm Điều tra mẫu ta có kết cho bảng sau: Y X 80 -84 12 84 - 88 11 12 a Tìm hệ số tương quan mẫu r (x ,y ) 88 -92 92 - 96 15 10 b Ước lượng hàm hồi quy tuyến tính Y theo X c Những sản phẩm có tiêu Y khơng 92 cm sản phẩm loại A Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại A với độ tin cậy 99% Thống kê dân số (đơn vị tính: triệu người) năm sau: Năm 1989 1990 1991 1992 Dân số 60 62 62 63 Đặt X = Năm – 1987, Y = dân số -60 a Tính hệ số tương quan mẫu r ? 1993 65 1994 65 1995 68 1996 71 1997 71 (x ,y ) b Tìm phương trình hồi quy Y theo X, Tìm phương sai hồi quy Biết X ; N (0,1), P (- 1, 96 £ X £ 1, 96) = 0, 95 92 Xác suất & Thống kê Y học Mt nghiờn cứu liên quan hàm lượng Iốt nước uống X (đơn vị tính mg / l ) tỷ lệ bướu cổY vùng dân cư sau: 60 70 80 90 100 110 120 X( mg ) 50 Y(%) 10 3 a Tìm hàm hồi quy tuyến tính Y theo X? b Tính hệ số tương quan mẫu r ? (x ,y ) Đánh giá mối tương quan tuổi liệu thu người đây: Tuổi 21 24 27 L.sữa(ml) 105 110 105 a Tìm hệ số tương quan mẫu r người mẹ lượng sữa vắt lần, số (x ,y ) 30 90 33 95 36 90 39 85 42 80 b Lập phương trình hồi quy lượng sữa Y theo tuổi X TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Văn Tiến, Giáo trình xác suất thống kê, Nhà xuất Giáo dục Hà Nội 1991 [2] Lê Khánh Trai, Ứng dụng xác suất thống kê Y sinh học, Nhà xuất KHTN 1979 [3] Guylefort, Toán học cao cấp tập 4, Nhà xuất KHKT Hà Nội 1970 [4] Harald Crame, Phương pháp toán học thống kê, Nhà xuất KHKT Hà Nội 1970 [5] Ngơ Như Hồ, Thống kê nghiên cứu Y học tập I, II, Nhà xuất Y học 1982 [6] Đào Hữu Hồ, Xác suất thống kê, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội 1998 [7] Đào Hữu Hồ, Thống kê xã hội học, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội 1996 [8] Nguyễn Xuân Phách, Thống kê Y học, Nhà xuất Y học chi nhánh Hồ Chí Minh 1995 [9] Robert G D Steel, James H Torrie, Principles and procedures of statistics, Mc Graw – Hill Book company, INC New York Toronto London 1960 93 Xác suất & Thống kê Y häc Mơc lơc Trang MỞ ĐẦU……………………………………………………………………………………1 PHÇN i lÝ thuyết xác suất Chương1: kháI niệm bN CA L THUYT xác suất Đ1 Phép thử, kiện, x¸c st cđa sù kiƯn Đ2 Các định nghĩa cđa x¸c st Đ3 Các định lý xác suất Bài tập chương 15 Chương 2: Biến ngẫu nhiên hàm phân phối Đ1 Biến ngẫu nhiên 17 Đ2 Các đặc trưng lượng ngẫu nhiên 20 §3 Một số phân phối xác suất thường gặp thống kê 22 Đ4 Các định lý giới hạn 29 Đ5 Đại lượng ngẫu nhiên nhiều chiều 31 Bài tập chương 34 PHầN ii Thống kê toán học Chương 3: mẫu cách biểu diễn mẫu Đ1 Tập hợp (tổng thể) mẫu 37 Đ2 Các phương pháp biểu diễn mẫu thực nghiệm 40 Đ3 Thống kê mô tả đo độ tập trung phân tán sè liƯu 43 Bµi tËp ch­¬ng 49 Ch­¬ng 4: Lý thuyết ước lượng Đ1 Ước lượng điểm, ước lượng kho¶ng 50 Đ2 Ước lượng tham số khoảng tin cậy 54 Bài tập chương 58 Ch­¬ng 5: kiểm định giả thuyết thống kê Đ1 Các khái niÖm chung 59 Đ2 Một số toán kiểm định cụ thể 60 Bài tập chương 78 Chương 6: Tương quan hồi qui Đ1 Kiểm định mối liên quan RR-OR, Hệ số tương quan, hồi quy đơn biến 81 §2 HƯ sè t­¬ng quan mÉu 82 §3 Phương trình hồi qui tuyến tính 86 Bài tập chương 92 Tài liệu tham khảo 93 Môc lôc 94 Các bảng số 95 94 ... để hoàn thiện Tác giả Xác suất & Thống kê Y học Phần I Sơ lược lý thuyết xác suất Lý thuyết xác suất môn Toán học nghiên cứu quy luật ngẫu nhiên tượng số lớn Nó xác lập quy luật tất nhiên ẩn dấu.. .Xác suất & Thống kê Y học thiếu Toán học nói chung, lý thuyết xác suất thống kê nói riêng, công cụ nghiên cứu hữu hiệu Đối với sinh viên ngành Y khoa, sinh học, kinh tế, kỷ thụât,... + P (B ) Thì số P(A) gọi xác suất biến cố A Ba tính chất gọi ba tính chất xác suất Xác suất & Thống kê Y học V y xác suất biến cố số thực thuộc đoạn [0, 1], mức độ x y khách quan biến cố (sự