Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm về Đại số lớp 10 nghiên cứu nhằm mục đích phát triển các nhiệm vụ đo lường về kiến thức quy trình và khái niệm, nghiên cứu mối quan hệ giữa chúng và khả năng kết hợp hai loại kiến thức để giải quyết một số bài toán không quen thuộc. Các kết quả nghiên cứu đem đến các kết luận sư phạm quan trọng trong dạy học Đại số lớp 10.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN VĂN ĐĂNG KẾT HỢP KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ LỚP 10 Chuyên ngành: Lí luận phƣơng pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS TS TRẦN VUI Huế, năm 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố công trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Văn Đăng ii Lời cảm ơn Trước hết, tơi xin bày tỏ lời biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Trần Vui, người thầy, người hướng dẫn khoa học động viên, tận tình định hướng, bảo giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy giáo, Cô giáo giảng dạy suốt khóa học lớp Cao học K22 Phương pháp Dạy học Toán Trường Đại học Sư phạm Huế Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, thầy tổ tốn tập thể lớp 10A1, 10A2, 10A3, 10A4, 10A5 trường THPT Trần Hưng Đạo tạo điều kiện thuận lợi nhiệt tình giúp đỡ tơi thời gian tiến hành thực nghiệm Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ trình học tập thực đề tài Huế, tháng năm 2015 Nguyễn Văn Đăng iii TÓM TẮT Chúng tơi tiến hành đo kiến thức quy trình khái niệm học sinh đại số lớp 10, tập trung chủ yếu vào hàm số, hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai vấn đề tương đương phương trình, bất phương trình Các kết nghiên cứu cho thấy, học sinh thường có xu hướng sử dụng quy trình giải toán, khả nhận mối quan hệ biểu diễn toán học thấp Mặt khác, kết cịn cho thấy, đứng trước tình quen thuộc, tác động trực tiếp kiến thức quy trình khơng đáng kể mà địi hỏi nhiều kiến thức khái niệm Mục đích: Nghiên cứu có mục đích phát triển nhiệm vụ đo lường kiến thức quy trình khái niệm, nghiên cứu mối quan hệ chúng khả kết hợp hai loại kiến thức để giải số tốn khơng quen thuộc Các kết nghiên cứu đem đến kết luận sư phạm quan trọng dạy học đại số lớp 10 Phƣơng pháp: Dữ liệu thu thập theo giai đoạn khác từ 140 học sinh Phân tích nhân tố khẳng định sử dụng để phát triển nhiệm vụ đo lường thành phần “kiến thức quy trình đại số”, “kiến thức khái niệm đại số” “khả kết hợp kiến thức để giải số tốn quen thuộc” Kĩ thuật mơ hình cấu trúc cho phép tích hợp phân tích nhân tố phân tích hồi quy thành mơ hình phân tích để nghiên cứu mối quan hệ Cho dù mối quan hệ nhân khơng chứng minh phân tích phù hợp để nghiên cứu liệu mối quan hệ đề nghị mơ hình có phù hợp với mẫu số liệu thu thập Các kết quả: Một lượng lớn học sinh cho thấy có kiến thức quy trình cao kiến thức khái niệm thấp, số học sinh có điểm số quy trình thấp khái niệm thấp Tuy nhiên học sinh có điểm số cao nhiệm vụ khái niệm có điểm số cao nhiệm vụ quy trình Vì kết ủng hộ quan điểm kế thừa kiến thức quy trình điều kiện cần không điều kiện đủ cho kiến thức khái niệm Các vấn việc dạy học nhà trường tập trung chủ yếu vào việc nhớ quy trình mà liên kết đến kiến thức khái niệm Kết luận: Chương trình dạy học tập trung chủ yếu vào việc rèn luyện kĩ thực hành thuật giải Việc thực hành thuật toán chưa đủ để giúp học sinh áp dụng kiến thức vào thực tế giải tốn quen thuộc Do cần trọng đến việc phát triển kiến thức khái niệm, cần cho học sinh tiếp cận khái niệm dạng biểu diễn khác nhau, khuyến khích em tự giải thích, khám phá trước dạy học iv DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT THPT Trung học phổ thông SGK Sách giáo khoa KTQT Kiến thức quy trình KTKN Kiến thức khái niệm v MỤC LỤC TRANG PHỤ BÌA i LỜI CAM ĐOAN ii LỜI CẢM ƠN iii TÓM TẮT iv DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT .v DANH MỤC CÁC BẢNG GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Giới thiệu 1.1.1 Nhu cầu nghiên cứu 1.1.2 Phát biểu vấn đề nghiên cứu .6 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Các câu hỏi nghiên cứu 1.4 Ý nghĩa nghiên cứu 1.5 Các thuật ngữ 1.6 Cấu trúc luận văn .9 1.7 Tóm tắt chương 10 TỔNG QUAN CÁC VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN .11 2.1 Tính hai mặt kiến thức toán học .11 2.2 Kiến thức quy trình khái niệm 13 2.3 Đo lường kiến thức quy trình khái niệm 16 2.4 Mối quan hệ kiến thức quy trình kiến thức khái niệm .18 2.5 Các phương pháp phát triển hai loại kiến thức .20 2.6 Tóm tắt chương 22 THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU 23 Giới thiệu .23 3.1 Thiết kế nghiên cứu 24 3.2 Kiến thức quy trình đại số 25 3.3 Kiến thức khái niệm đại số 26 3.4 Thu thập liệu cho nghiên cứu 27 3.5 Các nhiệm vụ đo loại kiến thức 28 3.6 Các nhiệm vụ đo kiến thức quy trình đại số 29 3.6.1 Các quy trình đồ thị 30 3.6.2 Các quy trình đại số 31 3.7 Các nhiệm vụ đo kiến thức khái niệm đại số .33 3.7.1 Mối quan hệ biểu diễn đồ thị đại số 34 3.7.2 Giải thích đồ thị 37 3.7.3 Giải thích đại số 38 3.8 Các tập đo khả kết hợp kiến thức quy trình khái niệm để giải số toán không quen thuộc .39 3.9 Tóm tắt chương 42 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU .44 4.1 Một số kết từ để kiểm tra thử 44 4.1.1 Các nhiệm vụ đo kiến thức quy trình đồ thị 44 4.1.2 Các nhiệm vụ đo kiến thức quy trình đại số 44 4.2 Điểm số cho nhiệm vụ 45 4.3 Điểm tổng .46 4.4 Điểm số cho câu hỏi 47 4.4.1 Quy trình đồ thị 47 4.4.2 Các quy trình đại số .48 4.4.3 Các quy trình đại số .49 4.4.4 Các mối quan biểu diễn đại số đồ thị 50 4.4.5 Giải thích đồ thị 50 4.4.6 Giải thích đại số 51 4.4.7 Giải toán .52 4.5 Các mơ hình 53 4.5.1 Mơ hình giả thuyết ban đầu 53 4.5.2 Mơ hình đầy đủ .53 4.6 Độ tin cậy 55 4.7 Liên quan kiến thức quy trình khái niệm 56 4.8 Phỏng vấn .56 4.9 Tóm tắt chương 60 THẢO LUẬN VÀ KẾT LUẬN 61 5.1 Kết luận từ mơ hình thống kê 62 5.1.1.Mơ hình đo lường 62 5.1.1.1 Câu hỏi nghiên cứu số 1: 63 5.1.2 Mơ hình cấu trúc .65 5.1.2.1 Câu hỏi nghiên cứu số 66 5.1.2.2 Câu hỏi nghiên cứu số .66 5.2 Các phản ánh từ vấn 68 5.3 Tóm tắt chương 69 KẾT LUẬN 70 DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1 Tổng hợp tập sách đại số 10……………………………… Bảng 2.1 Các thuật ngữ tìm thấy báo chia làm hai loại 13 Bảng 2.2 Các quan điểm mối quan hệ kiến thức quy trình (P) kiến thức khái niệm (C) .18 Bảng 4.1 Phạm vi điểm số cho nhiệm vụ 45 Bảng 4.2 Phạm vi điểm số cho câu hỏi .46 Bảng 4.3 Thống kê điểm số trung bình độ lệch chuẩn cho nhiệm vụ quy trình đồ thị 48 Bảng 4.4 Thống kê điểm số trung bình độ lệch chuẩn cho nhiệm vụ quy trình đại số 49 Bảng 4.5 Thống kê điểm số trung bình độ lệch chuẩn cho nhiệm vụ quy trình đại số 49 Bảng 4.6 Thống kê điểm số trung bình độ lệch chuẩn cho nhiệm vụ mối quan hệ biểu diễn đại số đồ thị .50 Bảng 4.7 Thống kê điểm số trung bình độ lệch chuẩn cho nhiệm vụ giải thích đồ thị .51 Bảng 4.8 Thống kê điểm số trung bình độ lệch chuẩn cho nhiệm vụ giải thích đại số 51 Bảng 4.9 Thống kê điểm số trung bình độ lệch chuẩn cho nhiệm vụ giải toán 52 Bảng 4.10 Hệ số tin cậy Cronbach Alpha 55 DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 2.1 Kết hỗ trợ quan điểm kế thừa .19 Hình 2.2 Kết hỗ trợ quan điểm tương tác động 19 Hình 2.3 Kết hỗ trợ quan điểm đồng hoạt hóa 20 Hình 3.1 Các nhiệm vụ đo kiến thức quy trình đồ thị 30 Hình 3.2 Các nhiệm vụ đo kiến thức quy trình đại số .32 Hình 3.3 Các nhiệm vụ đo kiến thức quy trình đại số .32 Hình 3.4 Một nhiệm vụ từ đề kiểm tra thử mối quan hệ biểu diễn đại số đồ thị .34 Hình 3.5 Một nhiệm vụ từ để kiểm tra thử để đo khả đưa biểu diễn đại số từ biểu diễn đồ thị 34 Hình 3.6 Các nhiệm vụ để đo khả làm việc với biểu diễn khác .36 Hình 3.7 Các nhiệm vụ đo giải thích đồ thị .38 Hình 3.8 Các nhiệm vụ đo giải thích đại số .39 Hình 3.9 Một số tốn đo khả kết hợp kiến thức 42 Hình 4.1 Biểu đồ tần số điểm tổng đề kiểm tra thức 46 Hình 4.2 Sai làm học sinh vẽ đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối 48 Hình 4.3 Sai lầm học sinh giải bất phương trình 49 Hình 4.4 Kết phân tích mơ hình cấu trúc ban đầu .53 Hình 4.5 Mơ hình biến tiềm ẩn mơ hình giả thuyết 54 Hình 4.6 Mơ hình biến tiềm ẩn mơ hình đầy đủ 54 Hình 4.7 Kết phân tích mơ hình cấu trúc đầy đủ .55 Hình 4.8 Điểm số kiến thức quy trình khái niệm 56 Hình 4.9 Các nhiệm vụ sử dụng vấn 59 Hình 5.1 Một hướng đề xuất kết luận 71 Chƣơng GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Giới thiệu 1.1.1 Nhu cầu nghiên cứu Một vài lí thuyết dạy học nhận thức thừa nhận hành vi hình thành hai loại kiến thức: cung cấp hiểu biết trừu tượng quy tắc mối quan hệ mẫu kiến thức lĩnh vực đó, khác cho phép giải vấn đề cách nhanh chóng hiệu Trong nghiên cứu thực nghiệm dạy học toán vấn đề trước thường đặt tên KTKN, sau gọi KTQT Khi học sinh thực hành giải tốn, điều có làm tăng hiểu biết em khái niệm bản? Trong tình khái niệm trừu tượng giúp học sinh phát thực quy trình cách đắn? KTQT KTKN có quan hệ học sinh giải tốn khơng quen thuộc? Các câu hỏi liên quan đến chủ đề nghiên cứu trọng tâm lĩnh vực phát triển nhận thức tâm lí giáo dục: mối quan hệ KTQT KTKN Tuy nhiên, nghiên cứu quan hệ phát triển hai loại kiến thức có kết khơng rõ ràng, phần thiếu ý tính hợp lí phép đo ảnh hưởng kiến thức ban đầu lên mối quan hệ (Schneider, Rittle-Johnson & Star, 2011) Theo Peschek Schneider (2001), toán học xem khoa học việc kết nối cập nhật mối quan hệ biểu diễn, tính tốn giải thích Việc liên kết biểu diễn khác không hỗ trợ phát triển KTKN (Parpet, 1987) mà liên kết KTQT KTKN (Schwarz, Dreyfus & Bruckheimer, 1990; Haapasalo, 2003; Haapasalo & Kadijevich, 2003; Haapasalo, Zimmermann & Rehlich, 2004) Điều phù hợp với Rittle-Johnson, Siegler & Alibali (2001), họ tìm thấy thay đổi biểu diễn vấn đề tác động đến mối quan hệ hai loại kiến thức Đại số lĩnh vực quan trọng toán học, việc dạy học đại số ngày nhận ý từ phía giáo viên nhà nghiên cứu Đại số cung cấp tảng khái niệm để hiểu biết nhiều khái niệm khác mà học sinh học mơn Tốn Hiểu biết học sinh khái niệm đại số xuất phát từ năm đầu đến trường tiếp tục xuyên suốt qua trải nghiệm học toán em Câu hỏi Nhiệm vụ QT1 Vẽ đồ thị hàm số g x x x QT2 Giải bất phương trình x2 8x Nội dung Hàm số f(x) có đồ thị đây, viết biểu thức f(x) y KN2 21 x Đồ thị hàm số y f x cho Vẽ đồ thị hàm số y f x y KN2 11 x Cho hai hàm số f(x) g(x) có đồ thị đây, vẽ đồ thị hàm số f(x) + g(x) KN2 y 12 x Hình Các nhiệm vụ sử dụng vấn Lịch không gặp vấn đề với việc trả lời nhiệm vụ quy trình đồ thị khơng có vấn đề với biểu thức đại số Lịch trả lời nhiệm vụ 19 khơng có chút ngập 59 ngừng Khi hỏi nhiệm vụ 11, Lịch vẽ đồ thị không chắn Tóm lại, Thảo học sinh gặp khó khăn nhất, cho tìm kiếm cơng thức để giải nhiệm vụ Nhiệm vụ em giải mà khơng có chút ngập ngừng nhiệm vụ 21 Quang trả lời nhiệm vụ bình luận em nhiệm vụ 11 “Em cảm thấy thích tính tốn” gợi ý người học định hướng quy trình Tuy nhiên, em giải nhiệm vụ 12, chúng yêu cầu KTKN Thảo Quang dường tìm kiếm quy trình kết hướng khác mức độ Lịch xuất học sinh với kĩ đại số, gây ấn tượng việc tìm kiếm mối quan hệ áp dụng Cho dù Lịch nhận giáo viên em trung học tập trung chủ yếu vào công thức Mặc dầu Lịch người học tìm kiếm áp dụng mối quan hệ, em gặp khó khăn giải toán cho dạng biểu diễn đồ thị 4.9 Tóm tắt chƣơng Trong chương chúng tơi trình bày kết nghiên cứu Phần đầu chương kết đề kiểm tra thử số phân tích Phần chương kết đề kiểm tra thức, bao gồm thống kê cho nhiệm vụ mơ hình Chúng tơi giới thiệu kết vấn ba học sinh đến từ lớp học khác 60 Chƣơng THẢO LUẬN VÀ KẾT LUẬN Phân tích thống kê nhiệm vụ cung cấp công cụ đo lường thích hợp tin cậy Phân tích khẳng định mối quan hệ mạnh mẽ KTQT KTKN đại số ủng hộ quan điểm KTQT điều kiện cần không điều kiện đủ cho KTKN Các ước lượng mơ hình bộc lộ ảnh hưởng trực tiếp không đáng kể từ KTQT đến khả giải toán, KTKN đại số làm trung gian tác động có ý nghĩa Một mặt khác, KTQT dường khơng đủ để giải số tốn quen thuộc Phân tích kết luận ủng hộ quan điểm kế thừa quan điểm đồng hoạt hóa nghiên cứu phổ biến liên quan đến kiến thức đại số Như Haapasalo Kadijevich (2000), phân biệt KTQT KTKN phụ thuộc vào bối cảnh, nội dung cá nhân kết nên đánh giá từ quan điểm Hơn phân tích bộc lộ kết khác học sinh cho thấy có phụ thuộc vào cá nhân Các nhân tố liên quan niềm tin tốn học học sinh bối cảnh giáo dục em Các nhân tố khác tiếp cận học tiếp cận dạy từ giáo viên trước mơn tốn Các nhân tố giống việc sử dụng đánh giá sử dụng tính tốn góp phần vào kết Cho dù kết nghiên cứu khái quát đến khái niệm bên lĩnh vực mà chúng tơi nghiên cứu khó để chứng minh Trong trường hợp nào, đại số trọng tâm toán học kết luận quan trọng, chí chúng giới hạn đến khái niệm hàm số bậc nhất, bậc hai toán tương đương Các kết nghiên cứu nên lý giải mối quan hệ với ứng dụng sư phạm Vì có chứng cho quan điểm kế thừa quan điểm đồng hoạt hóa nhóm nghiên cứu, nói kết đồng thuận với tiếp cận phát triển (Haapasalo & Kadijevich, 2000) Tiếp cận phát triển phản ánh quan điểm kế thừa quan điểm đồng hoạt hóa trường hợp KTQT kích hoạt KTKN Cả hai quan điểm xem KTQT điều kiện cần cho KTKN Các câu hỏi đặt làm để lập kế hoạch dạy học cho phép chuyển đổi từ KTQT sang KTKN Phần đầu chương thảo luận câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu dựa vào phân tích thống kê Thứ hai, nhân tố có ảnh hưởng đến kết 61 dựa vào vấn, chẳng hạn niềm tin toán học học sinh thảo luận Thảo luận cuối liên quan đến ứng dụng sư phạm dựa vào kết 5.1 Kết luận từ mơ hình thống kê Chương bình luận kết luận câu hỏi nghiên cứu dựa vào phân tích thống kê Thật khó không mong chờ để vạch kết luận chắn dựa vào phân tích Tuy nhiên, kết luận hỗ trợ liệu thu thập cung cấp kết có ý nghĩa kiểu kiến thức khác khả giải tốn khơng quen thuộc Các câu hỏi nghiên cứu là: (a) Chúng ta đo KTQT KTKN học sinh lớp 10 học đại số? (b) Các KTQT KTKN học đại số học sinh lớp 10 quan hệ với nào? (c) Khả kết hợp KTQT KTKN đại số học sinh lớp 10 thể qua việc giải toán kiểm tra nào? Câu hỏi liên quan đến phần đo lường mơ hình, hai câu hỏi lại thảo luận dựa vào mơ hình biến tiềm ẩn 5.1.1.Mơ hình đo lƣờng Chúng tiếp cận đo lường việc phát triển công cụ kiểm tra dựa vào lý giải quan sát Tất nhiên luôn cách cho việc đo lường, chẳng hạn tượng, cần thảo luận để liệu tiếp cận lựa chọn tốt hay xấu Các câu hỏi liên quan liệu tập hợp nhiệm vụ phát triển cung cấp đo lường cho KTQT KTKN, khả giải số tốn hay chưa Dường có trí chung đặc trưng đặc biệt KTQT KTKN nên đánh giá tính hợp lí xem xét Tính hợp lí tượng phức tạp, nghiên cứu điều quan trọng liệu câu hỏi có đo lường chúng dự định đo Để nhận tính hợp lí nội dung tốt có thể, nhiệm vụ phát triển để thấy tiêu chí cho KTQT KTKN khả áp dụng kiến thức để giải số tốn Vì tính hợp lí nội dung khơng thể để đo, liệu không đưa thêm thông tin bổ sung, ngoại trừ tiêu chí liên quan đến tính hợp lí thảo luận kết luận đề kiểm tra thức Vì thảo luận câu hỏi nghiên cứu liên quan mật thiết với hoàn thành nhiệm vụ, vài kết thống kê đưa với bình luận 62 5.1.1.1 Câu hỏi nghiên cứu số Chúng ta đo kiến thức quy trình khái niệm học sinh đại số nào? KTQT đại số chia thành ba loại nhiệm vụ, quy trình đồ thị, quy trình trình đại số (các tốn giải bất phương trình bậc hai bất phương trình có ẩn mẫu) quy trình đại số (các toán viết biểu thức hàm số bậc bậc hai) Chúng ta thấy dạng biểu diễn phổ biến nội dung toán học truyền thống học sinh thực thành công với 72.3% , 77.9% 73.3% câu hỏi tương ứng điểm số trung bình Phân tích thống kê mơ tả nhiệm vụ mong chờ khó có điểm số thấp nhiệm vụ mong chờ dễ có điểm số cao Nếu quan sát câu hỏi quy trình đồ thị, nhiệm vụ vẽ đồ thị hàm số bậc mong chờ dễ Điểm số trung bình 3.49 (87.3%) Nhiệm vụ thứ ba vẽ đồ thị hàm số cho dạng tương tự, hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối, mong đợi khó hai nhiệm vụ đầu Điều khẳng định liệu điểm số trung bình 3.42 (57.0%), khác biệt mong đợi lớn Độ lệch chuẩn 4.40 phạm vi từ đến 16, chúng 27.5% phạm vi Điều cho thấy nhiệm vụ phù hợp để phát khác học sinh, tính chất quan trọng cho cơng cụ đo lường Một ước lượng hệ số tin cậy Cronbach Alpha 0.83, chúng phù hợp Việc độ tin cậy hợp lí, có nghĩa có khác kết quy trình đồ thị, quy trình đại số quy trình đại số Điểm số khác đủ để nói chúng đo tính chất khác nhau, chúng đủ liên quan chúng đo khía cạnh khác tượng giống nhau, trường hợp KTQT đại số Việc có hai dạng biểu diễn, tất khía cạnh bao quát hết kiểm tra Một cho kiểm tra nên có nhiệm vụ để đo KTQT đại số biểu diễn lời văn bảng Tuy nhiên, dạng lời văn bảng sử dụng phần q trình tốn học, thường nội dung mà cần có chuyển đổi từ dạng lời văn thành biểu thức đại số đồ thị Ngồi ra, thường sử dụng để giải thích tính chất cho hàm số thực phép tính Cả hai trường hợp, điều có nhiều KTKN để làm KTQT 63 Từ Hình 4.7 thấy nhân tố tải quy trình đại số 0.74 0.76 chúng thấp nhân tố tải 0.91 quy trình đồ thị Điều có nghĩa mơ hình đo lường thiết lập, quy trình đồ thị dường tác động mạnh đến KTQT quy trình đại số Tất nhiên tác động biểu diễn đại số biểu diễn đồ thị phụ thuộc vào tập hợp nhiệm vụ sử dụng mô hình đo lường KTKN đo với ba câu hỏi: mối quan hệ biểu diễn đại số biểu diễn đồ thị, giải thích đồ thị, giải thích đại số Trái với nhiệm vụ cho câu hỏi trước, loại câu hỏi quen thuộc với học sinh Điều dễ dàng nhận thấy điểm số thấp câu hỏi Điểm số trung bình câu hỏi tương ứng 10.51, 52.6% , 4.92, 41% 5.85, 58.8 % Nhắc lại, xem câu hỏi đo mối quan hệ biểu diễn đại số đồ thị, rõ ràng nhiệm vụ mong chờ dễ có phần trăm cao Về nhiệm vụ 12, câu hỏi liên quan đến hàm số bậc hai, điểm số trung bình 3.20 (80%), điểm số nhiệm vụ khác khoảng 50% Với mục đích phát biến thiên, điều thích hợp Điểm số giải thích đồ thị thấp nhất, 4,2 12 điểm (41%) Điều không mong đợi, câu hỏi tiến hành theo cách mà hạn chế bộc lộ chi tiết quy trình Thậm chí, nhiệm vụ thể khác độ khó từ điểm số trung bình 0.49, 12.3% nhiệm vụ 11 đến 2.60, 65 % nhiệm vụ 12 Mặc dầu điểm số thấp, phát biến thiên học sinh dựa vào kết làm Điểm số trung bình giải thích đại số 5.85, 48.75% Các nhiệm vụ khác tương tự có xu hướng mà em nhận chúng trước để nhận khác Điều không làm yếu quan điểm chúng phụ thuộc vào câu hỏi giống sử dụng để đo khía cạnh khác KTKN nhiệm vụ xem xét tập nghiệm phương trình, bất phương trình Nhắc lại, khác câu hỏi bao quát khía cạnh khác Câu hỏi phải thực chuyển đổi biểu diễn, câu hỏi thứ hai đề cập đến mức độ khác đồ vật hóa (Sfard, 1991) Khi nhiệm vụ phát triển, bao gồm khía cạnh khác khái niệm dự định phân biệt vấn đề đồ thị đại số Một ước lượng giá trị Cronbach Alpha 0.88 đề nghị thích hợp bên thỏa mãn Các nhân tố tải 0.79, 64 0.88, 0.91 Sự khác tương đối nhỏ, giải thích mối quan hệ biểu diễn đại số đồ thị dường có hệ số tải thấp Khả áp dụng kiến thức vào giải tình thực tế đề cập đến sách giáo khoa Dường trí ý nghĩa khái niệm này, trường hợp khác với KTQT KTKN Các nhiệm vụ đo lường khả sử dụng hai loại kiến thức để giải số tốn bao gồm vấn đề mơ hình hóa tốn học, giải thích đồ thị tìm nghiệm phương trình, bất phương trình Tất câu hỏi dường chứa nhiệm vụ mức độ khó dễ khác Trong nhiệm vụ đo mơ hình hóa tốn học, nhiệm vụ 17 có điểm trung bình 2.48 (41.3%) Câu hỏi nhiệm vụ đưa cho học sinh toán hàm số cho dạng văn bản, điểm số tương ứng mong đợi Một mặt khác nhiệm vụ 18 chứng tỏ nguyên nhân có nhiều vấn đề, dự định trước với điểm số trung bình 2.06 (34.3%) Ở có vấn đề dường học sinh khơng thấy việc giải phương trình đồ thị Câu hỏi sử dụng đồ thị để giải thích tình thực tế với điểm số trung bình 2.61 (65.5%) Tóm lại liệu xác nhận mong chờ biến thiên độ khó Nhân tố tải tương ứng 90, 0.91, 0.75 Tác động sử dụng đồ thị giải thích tình thực tế thấp hai nhân tố khác, quan tâm tới câu hỏi khác liên quan đến sử dụng đồ thị tìm nghiệm phương trình, điều hợp lí Hệ số Cronbach Alpha ước lượng 0.88, chúng thỏa mãn bên hợp lí thuật ngữ 5.1.2 Mơ hình cấu trúc Mơ hình giả thuyết điều chỉnh, mối quan hệ trực tiếp KTQT khả sử dụng kiến thức để giải số toán dường yếu gỡ bỏ Các câu hỏi nghiên cứu ảnh hưởng điều chỉnh mơ hình câu hỏi nghiên cứu số Tuy nhiên, không kết luận liên quan đến mơ hình cuối mà mâu thuẫn với ước lượng mô hình giả thuyết ban đầu Mơ hình cho xác định liệu yêu cầu điều kiện, câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu số số minh họa mơ hình biến tiềm ẩn Nhớ tác động tiêu chuẩn hóa tương tự với biến thiên, thấy tác động mạnh Vì chúng xác nhận cần thiết KTQT KTKN 65 5.1.2.1 Câu hỏi nghiên cứu số Các kiến thức quy trình khái niệm học sinh lớp 10 đại số liên quan với nào? Để trả lời cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai, xem KTQT KTKN biến tiềm ẩn tìm hiểu mối quan hệ chúng Mối quan hệ KTQT KTKN đại số, mong đợi, mạnh Chúng giả thuyết KTQT điều kiện cần cho KTKN Điều khơng có nghĩa phát triển KTKN diễn đồng thời chiếm ưu nói phát triển KTKN cho khái niệm toán học với đồng ý lí thuyết (Sfard, 2001) Phân tích hồi quy biến 0.71 hợp lí Thậm chí nghi ngờ học sinh có định hướng tính tốn nhiều hướng đến định nghĩa tính chất em tập trung vào nhớ quy trình, điều chứng tỏ học sinh với kĩ tốt có khả tốt phát triển KTKN Để tiếp thu khái niệm toán học, KTQT ban đầu dễ học sinh tiếp nhận, tảng để phát triển KTKN, từ hồn thiện kiến thức khái niệm tốn cho học sinh Mặt khác, Hình 4.8 cho thấy có nhiều học sinh có điểm số quy trình cao điểm số khái niệm thấp, học sinh có điểm khái niệm cao điểm quy trình thấp Kết ủng hộ quan điểm kế thừa (Haapasalo & Kadijevich, 2000) KTQT điều kiện cần không điều kiện đủ cho KTKN, cho học sinh nội dung mà nghiên cứu Một vài học sinh có điểm số đường chéo phù hợp với quan điểm đồng hoạt hóa Do kết luận giả thiết mối quan hệ trực tiếp KTQT KTKN hỗ trợ trì Nếu chấp nhận mơ hình đo lường giả thiết hướng nhân phù hợp với quan điểm kế thừa (Kadjevech & Haapasalo, 2001), kết luận rõ ràng cho câu hỏi nghiên cứu Một mặt khác, nói khái niệm đại số, chúng tơi giả sử cần KTQT để phát triển KTKN 5.1.2.2 Câu hỏi nghiên cứu số Khả kết hợp kiến thức quy trình khái niệm học sinh lớp 10 đại số thể qua việc giải toán kiểm tra nào? Vài chủ đề diễn tả câu hỏi nghiên cứu Một liệu KTKN có điều kiện cần để áp dụng kiến thức giải tình huống, câu hỏi chúng rõ ràng khẳng định phân tích Phân tích rõ ràng đề nghị có mối 66 quan hệ mạnh KTKN đại số khả áp dụng kiến thức để giải số tình Một vấn đề bổ sung khác câu hỏi nghiên cứu liệu KTQT có điều kiện cần để áp dụng kiến thức giải số toán, câu hỏi mà dễ dàng thảo luận phân tích hai câu hỏi Nếu xem quan hệ trực tiếp KTQT khả áp dụng KTKN làm trung gian Phân tích từ mơ hình ban đầu khơng hỗ trợ kết luận mối quan hệ có ý nghĩa Như thảo luận chương 5, mối quan hệ bị gỡ bở từ mơ hình Điều khơng có nghĩa mối quan hệ khơng tồn tại, phân tích liên kết dường yếu Một mặt khác, dường KTQT khơng đủ để giải số tình Câu hỏi khác liên quan đến ảnh hưởng gián tiếp KTQT khả giải số tốn quen thuộc KTQT có tác động dán tiếp đến khả giải tốn Việc giải thích điều này, KTQT đại số có tác động lên khả giải số tốn, thơng qua trung gian KTKN đại số Một nói mơ hình ban đầu mơ hình cuối hướng, kết mà mối quan hệ trực tiếp KTQT khả giải số tốn khơng chứng minh có ý nghĩa Tóm lại phân tích đề kiểm tra thức, KTQT đại số quan trọng, trước tất để phát triển KTKN đại số KTKN đại số điều kiện cho khả giải số tình Mối quan hệ trực tiếp KTQT đại số khả giải số tình thực tế quen thuộc dường yếu Có lẽ phần quan tâm kết luận tầm quan trọng KTKN Điều thích hợp để diễn tả cẩn thận phân biệt câu hỏi kiểm KTQT KTKN tạo giáo viên, người bắt đầu lập kế hoạch điều khiển học cho học sinh cụ thể Các tiếp cận dạy học, khả học sinh, chủ đề tốn học khác Điều thích hợp nhấn mạnh bốn quan điểm không chứng cho kết luận tổng quát mối quan hệ KTQT KTKN Vì thay cho việc tìm kiếm kết luận nên thực vài nhận thức kết thực nghiệm khác ý liên kết KTQT KTKN kiểm tra chúng thuật ngữ giáo dục thích hợp 67 5.2 Các phản ánh từ vấn Trong phần thảo luận nhân tố tác động đến kết quả, chúng phân biệt với kết luận từ phân tích thống kê Các kết ủng hộ quan điểm kế thừa nhiều học sinh dường giới hạn KTQT tập trung vào quy trình Lí mà học sinh giới hạn quy trình? Một vài nhân tố ảnh hưởng, chẳng hạn mức độ kiến thức toán học giáo viên, hiểu biết giáo viên cách dạy khái niệm, bối cảnh giáo dục học sinh niềm tin em mơn tốn Vì nhiều học sinh định hướng trước phương án có động học tập kì thi, nội dung kiểm tra dường nhân tố quan trọng Các vấn cung cấp thông tin cho thảo luận, chúng dựa vào niềm tin trải nghiệm học toán học sinh Niềm tin học sinh toán học dường ảnh hưởng suy nghĩ hành động em (Pehkone & Safuanov, 1996) Niềm tin học sinh hiểu kiến thức chủ quan động mơn tốn chúng định hình trải nghiệm em (Pehkonen, 2003), hợp lí để giả sử niềm tin trường hợp liên quan đến cá nhân Để hiểu rõ trải nghiệm, vấn bán cấu trúc áp dụng để điều tra niềm tin chất kiến thức toán học đồng thời với trải nghiệm người học Sự phức tạp niềm tin toán học giáo dục, vấn phù hợp để bộc lộ suy nghĩ mà chúng không diễn tả phần nghiên cứu định lượng Phần câu hỏi diễn tả niềm tin có nghĩa hiểu biết toán học phần thứ hai liên qua đến tình học tập Tiếp cận dạy học áp dụng nhà trường nhân tố mà dường ảnh hưởng đến niềm tin học sinh Thảo, Quang, Lịch góp phần với ba câu chuyện khác Có thể thấy mơi trường học mà Thảo, Quang trải nghiệm có hoạt động khuyến khích KTKN Các hoạt động chủ yếu mà em diễn tả giáo viên chứng minh quy trình, nêu phương pháp giải yêu cầu học sinh lặp lại chúng với tập tương tự Nó dường khó để dạy học KTKN giáo viên khơng có phương án rõ ràng cách đẩy mạnh mối quan hệ KTQT KTKN Thảo học sinh thực gặp khó khăn mơn tốn với định hướng quy trình túy Lí mà Thảo tập trung vào việc nhớ quy trình Thảo nghĩ tốn học khó Nếu cá nhân với kiến thức tốn học thấp nhìn chung tìm 68 tiếp cận quy trình phương án có thể, lí tương tự từ giáo viên em Các giáo viên với KTKN thấp đưa kế hoạch dạy học để phát triển hiểu biết sâu sắc mà dừng lại việc chứng minh điều quen thuộc Điều phù hợp với kết (Ma, 1999) giáo viên Mỹ người dự định để dạy hiểu biết thường khơng thành cơng họ khơng có hiểu biết sâu sắc KTKN Giống Thảo, Quang diễn tả em học sinh tập trung vào cách để giải toán có trải nghiệm tương tự từ trường trung học Khi cho tập khái niệm, Quang diễn tả em thấy dễ em tính tốn Lí cho niềm tin Quang Quang thấy vấn đề khái niệm khó Một giải thích khác nhiệm vụ khái niệm thường đòi hỏi hiểu biết cần tảng kiến thức quy trình điều phù hợp với tiếp cận giáo dục (Haapasalo & Kadijevich, 2000) Phần vấn với Lịch, Lịch gây ấn tượng học sinh có định hướng khái niệm, Lịch tìm kiếm mối quan hệ bên tốn học bên mơn học khác chẳng hạn vật lí Lịch xem xét người học tập trung vào quy tắc cách mà toán giải chúng quan trọng vấn đề liên quan Tuy nhiên Lịch gặp nhiều vấn đề với tập có định hướng khái niệm tập quy trình Một giải thích giáo viên Lịch tập trung chứng minh cách giải vấn đề, khuyến khích phản ánh để có hiểu biết sâu sắc Tóm lại, tất ba học sinh có định hướng quy trình khơng em thực tốt nhiệm vụ khái niệm nhiệm vụ quy trình Mặc dầu tương tự ba câu chuyện, vấn điều nhắc nhở kết kiến thức học sinh dạng KTQT KTKN phụ thuộc cá nhân Các vấn khơng có mục đích minh chứng cho phân tích thống kê, chúng không đối lập với kết phân tích, KTKN khơng vượt trội KTQT cho học sinh vấn 5.3 Tóm tắt chƣơng Trong chương đưa thảo luận kết luận cho ba câu hỏi nghiên cứu, chúng cho thấy tầm quan trọng kiến thức khái niệm trình giải vấn đề Chúng đưa hướng đề xuất cần cân đối kiến thức quy trình kiến thức khái niệm chương trình đại số 10 69 KẾT LUẬN Trong luận văn này, phát triển nhiệm vụ đo lường: kiến thức quy trình, kiến thức khái niệm đại số khả giải số tốn quen thuộc Kĩ thuật mơ hình phương trình cấu trúc sử dụng để phát triển công cụ đo lường, chúng dường hợp lí tin cậy Chúng tơi cho mơ hình phương cấu trúc cách thích hợp để nghiên cứu khái niệm toán học, chẳng hạn khái niệm nghiên cứu thường mập mờ khó để phân tích kĩ thuật mơ hình truyền thống Sơ đồ đường cung cấp công cụ giao tiếp khía cạnh kiến thức Nghiên cứu rằng, phát triển nhiệm vụ hợp lí tin cậy để đo lường kiến thức quy trình khái niệm khái niệm toán học Kết nghiên cứu cho thấy điểm số kiến thức quy trình cao kiến thức khái niệm Điều quan tâm học sinh quen thuộc em toán đề kiểm tra truyền thống, tập sách giáo khoa điều học lớp Dường hợp lí cho việc dạy học truyền thống nhấn mạnh ưu kĩ quy trình mà thiếu vai trò kiến thức khái niệm Nhưng phần lớn điều tra nghiên cứu ảnh hưởng kiến thức khái niệm kiến thức quy trình việc phát triển kiến thức khái niệm dẫn đến phát triển kiến thức quy trình (Baki & Kartal 2004; Hiebert & Waerne, 1996; Perry, 1991; Rittle- Johnson & Alibali, 1999) Kiến thức khái niệm hỗ trợ kiến thức quy trình nhằm sử dụng quy trình cách đắn thành công Việc nhận thức rõ kiến thức khái niệm mục đích giáo dục tốn, khơng nên bỏ qua vai trị kĩ quy trình để đạt mục đích Thay vào nói khơng nên tập trung vào kiến thức quy trình hay khái niệm mà cần tập trung đồng thời hai Một cách đảm bảo điều xảy kết nối hai loại kiến thức thông qua hoạt động lớp học Việc làm học sinh giải phương trình nên kết nối đến tình thực tế, bảng biểu đồ thị Không kiến thức quy trình trở nên mạnh mà việc hiểu biết học sinh hàm số phát triển Nghiên cứu giới hạn kiến thức hàm số, hàm số bậc , hàm số bậc hai số toán tương đương phương trình bất phương trình, vài áp dụng đại số tình thực tế Dữ liệu nghiên cứu tập hợp từ học sinh lớp trường trung học phổ thơng kết luận từ 70 phân tích giải thích chủ yếu với đối tượng Các nghiên cứu tương lai nên xem xét kết luận khái niệm toán học khác lĩnh vực áp dụng khác Việc hiểu biết khái niệm toán học bao gồm khả thấy mối quan hệ biểu diễn khác nhau, chẳng hạn biểu diễn đại số đồ thị khái niệm tốn học Tính hai mặt kiến thức toán học tiếp cận theo hai quan điểm luận văn Tiếp cận lí thuyết việc xem xét liên quan đến nghiên cứu trước chất tính chất loại kiến thức Trong kết luận cuối cùng, mối quan hệ đến khía cạnh khác, chẳng hạn niềm tin học sinh thảo luận Một quan điểm khác phân tích thống kê cho mẫu kích thước kết hợp với tiếp cận thực hành Nếu hiểu mối quan hệ tiếp cận không tập trung vào cái, hiểu tính hai mặt kiến thức tốn học tốt Tóm lại lực toán học dựa vào phát triển kiến thức quy trình kiến thức khái niệm Song chương trình dạy học tập trung chủ yếu việc rèn luyện kĩ thực hành thuật giải Việc thực hành thuật toán chưa đủ để giúp học sinh áp dụng kiến thức vào thực tế giải toán quen thuộc Do cần trọng đến việc phát triển kiến thức khái niệm, cần cho học sinh tiếp cận khái niệm dạng biểu diễn khác nhau, khuyến khích em tự giải thích, khám phá trước dạy học Cần có cân đối kiến thức quy trình kiến thức khái niệm (hình 5.1) Kiến thức quy trình kết luận quan trọng cho nghiên cứu Chương trình tốn Giảm Tăng Kiến thức khái niệm Hình Một hướng đề xuất cho chương trình hành 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông(2006), Sách giáo khoa Đại số 10 (nâng cao), Nhà xuất giáo dục Trần Vui (2014), Giải vấn đề thực tế dạy học toán, ISBN 978 – 604 – 912 – 271 – 2, NXB Đại học Huế Tiếng Anh Bethany Rittle-Johnson and Kenneth Koedinger, (2009) Iterating between lessons on concepts and procedures can improve mathematics knowledge British Journal of Educational Psychology (2009), 79, 483–500 Bethany Rittle-Johnson, and Michael Schneider (2012) Developing Conceptual and Procedural Knowledge of Mathematics, The Oxford Handbook of Numerical Cognition, Oxford University Press Bollen, K.A (1990), "Overall Fit in Covariance Structure Models: Two Types of Sample Size Effects," Psychological Bulletin, 107 (2), 256-59 Byrnes, J P & Wasik, B A (1991) Role of conceptual knowledge in mathematical procedural learning Developmental Psychology, 27, 777–786 doi: 10.1037//0012-1649.27.5.777 Djordje Kadijevich (2007) Towards relating procedural and conceptual knowledge by CAS Megatrend University & Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts, Belgrade, SERBIA Haapasalo, L., & Kadijevich, D (2000) Two Types of Mathematical Knowledge and Their Relation Journal für Mathematik-Didaktik 21(2), 139-157 Harskamp, E., Suhre, C., & Van Streun, A (2000) The graphics calculator and students‟ solution strategies, Mathematics Education Research Journal, 12, 37– 52 Kadijevic, D (1999) Conceptual Tasks in Mathematics Education The Teaching of Mathematics, 2(1), 59-64 Kadijevich, D., & Haapasalo, L (2001) Linking procedural and conceptual mathematical knowledge through CAL Journal of Computer Assisted Learning, 17(2), 156-165 Lenni Haapasalo, (2012) Two pedagogical approaches linking conceptual and procedural knowledge University of Eastern Finland, Finland Lenni Haapasalo, Djordje Kadijevich, (2000) Two Types of Mathematical Knowledge and Their Relation, Journal for Mathematics Teaching, Volume 21, Issue , pp 139-157 Newsom, J T (2002) A multilevel structural equation model for dyadic data Structural Equation Modeling, 9, 431– 447 doi:10.1207/ S15328007SEM0903_7 72 PÅL Lauritzen, (2012) Conceptual and Procedural Knowledge of Mathematical Functions, Dissertations in Education, Humanities, and Theology, University of Eastern Finland Rittle-Johnson, B., Siegler, R S., & Alibali, M W (2001) Developing conceptual understanding and procedural skill in mathematics: an iterative process Journal of Educational Psychology, 93, 346–362 doi: 10.1037//0022–0663.93.2.346 Rittle-Johnson, B., Star, J R., & Durkin, K (2011) Developing procedural flexibility: are novices prepared to learn from comparing procedures? British Journal of Educational Psychology, 82 (3), 436–455.doi: 10.1111/j.2044– 8279.2011.02037.x Ruthven, K (1990) The influence of graphic calculator use on translation from graphic to symbolic forms, Educational Studies in Mathematics, 21, 431-450 Schneider, M & Stern, E (2010) The developmental relations between conceptual and procedural knowledge: a multimethod approach Developmental Psychology, 46, 178–192 doi: 10.1037/a0016701 Sfard, A (1991) On the Dual Nature of Mathematical Conceptions: Theoretical Reflections on Processes and Objects as Different Sides of the Same Coin Educational Studies in Mathematics, 22, 1-36 Skemp, R R (1976) Relational Understanding and Instrumental Understanding Mathematics Teaching, 77, 20-26 Thomas, M O J & Gray, E (2001) Quadratic Equation Representations and Graphic Calculators: Procedural and Conceptual Interactions, 24th Annual MERGA Conference, Sydney, July 2001 73 ... đo kiến thức quy trình khái niệm học sinh Đại số 10 nào? Câu hỏi 2: Các kiến thức quy trình khái niệm học sinh lớp 10 đại số liên quan với nào? Câu hỏi 3: Khả kết hợp kiến thức quy trình khái niệm. .. Vì chúng tơi chọn ? ?Kết hợp kiến thức quy trình khái niệm đại số lớp 10? ?? làm đề tài nghiên cứu luận văn Bảng 1.1 Tổng hợp tập sách đại số 10 Chủ đề Số tập Số KTQT KTKN tập Số toán áp dụng có nội... hợp lí kiến thức quy trình khái niệm đại số lớp 10 Thứ hai: Làm rõ mối quan hệ KTQT KTKN số lĩnh vực đại số 10, cụ thể hàm số, hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, tốn phương trình bất phương trình