Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Sử dụng mô thức và không gian làm việc hình học để phân tích khó khăn của học sinh và quan niệm của giáo viên về dạy học Hình học được nghiên cứu nhằm phân tích các khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải quyết một bài toán hình học. Nguyên nhân các học sinh gặp khó khăn và cách giáo viên xử lý các khó khăn này; phân tích quan niệm của giáo viên về dạy học Hình học ở phổ thông; tìm hiểu các mô thức hình học được giáo viên sử dụng dạy trong lớp học, các không gian làm việc hình học cá nhân của giáo viên.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Lý thuyết Van Hiele về các cấp độ nhận thức hình học
Lý thuyết Van Hiele có nguồn gốc từ luận án tiến sĩ của Dina Van Hiele- Geldof và chồng bà là Pierre Van Hiele tại đại học Utrecht, Hà Lan vào năm 1957 Đặc trưng nổi bật nhất của lý thuyết này là sự phân biệt 5 cấp độ nhận thức đối với sự phát triển nhận thức hình học của học sinh
Theo lý thuyết Van Hiele (1986, [21]), lý do chính của việc dạy học hình học truyền thống thất bại ở các trường trung học là vì chương trình giảng dạy được trình bày theo một cấp độ cao hơn so với khả năng của học sinh Nói cách khác, học sinh không thể hiểu được giáo viên cũng như giáo viên không hiểu tại sao học sinh lại không hiểu! Mặc dù lý thuyết Van Hiele phân biệt sự khác nhau giữa 5 cấp độ nhận thức nhưng chúng ta chỉ tập trung vào 4 cấp độ đầu tiên vì chúng thích hợp cho hình học ở cấp độ tiểu họcvà trung học Các đặc trưng của mỗi cấp độ được trình bày như sau:
Cấp độ 1: Nhận biết - trực quan
Học sinh có khả năng nhận ra, gọi tên, so sánh các hình hình học cơ bản theo hình dạng bên ngoài bằng cách so sánh chúng với các hình vẽ mẫu, đo đạc các yếu tố liên quan đến một hình (góc, cạnh…) Ở cấp độ này, học sinh chưa xác định được tính chất của các hình và đưa ra quyết định chỉ dựa vào trực giác, không phải dựa vào suy luận Chẳng hạn, ở cấp độ này, khi giáo viên mô tả các hình thoi, chữ nhật, hình vuông, học sinh có thể vẽ lại chúng trên bảng, học sinh nhận ra hình vuông và hình chữ nhật là khác nhau nhưng chưa thể nhận ra hình thoi cũng là một hình bình hành…
Cấp độ 2: Phân tích Ở cấp độ này, học sinh xem một hình như là tập hợp các tính chất (lớp các hình) Học sinh có khả năng nhận ra và mô tả tính chất các hình cơ bản, nhưng không thấy được mối quan hệ giữa các tính chất này Học sinh có thể phân tích các hình theo các thành phần của chúng và khám phá tính chất của các hình bằng thực
12 nghiệm (gấp, đo đạc, sử dụng tọa độ ô vuông…) Khi mô tả một hình, học sinh có thể liệt kê tất cả các tính chất mà các em biết nhưng không phân biệt được tính chất nào là cần hay đủ để mô tả nó Chẳng hạn, học sinh nhận biết hai cạnh bên của một tam giác cân thì bằng nhau, hai góc ở đáy tương ứng bằng nhau; hiểu được rằng một hình là hình chữ nhật nếu nó có bốn góc vuông, thậm chí khi hình đó không được vẽ cẩn thận…
Cấp độ 3: Suy diễn không chính thống (sắp xếp) Ở cấp độ này, học sinh nhận thức được mối quan hệ giữa các tính chất và các hình, hiểu được mối quan hệ bao hàm giữa các hình Học sinh có thể thực hiện các suy luận đơn giản không chính thống (chưa thể chứng minh bằng suy diễn hình thức) Ví dụ, học sinh nhận ra quan hệ bao hàm của các hình hình học sau: hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, tứ giác Học sinh bắt đầu hiểu thế nào là một ô chứng minh ằ trong hỡnh học Tuy nhiờn, học sinh chưa thể hiểu bản chất của suy luận diễn dịch (chứng minh)
Cấp độ 4: Suy luận diễn dịch Ở cấp độ này, học sinh có thể nhận ra mối quan hệ giữa các tính chất và thực hiện các lập luận logic về các tính chất hình học, chứng minh các tính chất hình học bằng lập luận diễn dịch Học sinh hiểu vai trò của các tiên đề, định nghĩa và định lý; hiểu được ý nghĩa của điều kiện cần, điều kiện đủ trong một phép chứng minh Chẳng hạn, học sinh có thể phân biệt được mệnh đề thuận/đảo; hoặc từ tính chất song song của hai đường thẳng suy ra được sự bằng nhau của các góc tương ứng và ngược lại…
Học sinh ở cấp độ này có thể hiểu được các khía cạnh hình thức của suy diễn như thiết lập và so sánh các hệ tiên đề khác nhau Học sinh thực hiện các suy diễn trừu tượng (hình học đã được tiên đề hóa hoàn toàn), lập luận trong các hệ tiên đề hình học khác nhau Chẳng hạn, học sinh hiểu việc sử dụng gián tiếp các chứng minh và chứng minh bằng phản chứng, có thể hiểu hệ thống hình học phi Euclide…
Clements & Battista (1992, [4]) đã đề nghị bổ sung thêm một cấp độ, gọi là cấp độ 0, hay cấp độ tiền nhận thức Học sinh ở cấp độ này chỉ ghi nhớ được một
13 tập con các tính chất trực quan của các hình, dẫn đến việc khó khăn trong phân biệt các hình Chẳng hạn, học sinh có thể phân biệt tam giác và tứ giác, nhưng khó khăn trong phân biệt hình thoi với hình bình hành
Theo lý thuyết Van Hiele, lập luận suy diễn xuất hiện lần đầu ở cấp độ 3 khi mạng lưới các mối quan hệ logic giữa các tính chất được thiết lập Ở cấp độ 1 và 2, học sinh chỉ có thể trải nghiệm một chứng minh như một nỗ lực nhằm xác minh kết quả Tuy nhiên, vì học sinh không nghi ngờ tính hợp lệ của các quan sát thực nghiệm nên trải nghiệm mà học sinh hướng tới là vô nghĩa Ngoài ra, cần lưu ý rằng quá trình chuyển đổi từ cấp độ 1 lên cấp độ 2 đặt ra vấn đề đặc biệt cho người học sử dụng ngôn ngữ thứ 2 vì nó đòi hỏi sự tiếp nhận các thuật ngữ chuyên môn để mô tả và khám phá các tính chất của các hình
Bên cạnh việc cung cấp một cái nhìn sâu sắc trong tư duy, cụ thể cho từng cấp độ tư duy hình học, Van Hiele đã xác định một số đặc trưng chung của lý thuyết này Các tính chất này đặc biệt quan trọng đối với nhà giáo dục bởi vì chúng cung cấp hướng dẫn để đưa ra quyết định giảng dạy:
Tính chất 1: Học sinh không thể ở cấp độ nhận thức n mà chưa đi qua cấp độ n – 1
Tính chất 2: Mỗi cấp độ liền sau đều cao hơn cấp độ liền trước về bản chất lập luận
Tính chất 3: Mỗi một cấp độ tương ứng với một ngôn ngữ, ký hiệu và hệ thống các quan hệ riêng
Tính chất 4: Hai học sinh lập luận ở trong hai cấp độ khác nhau thì không thể ô hiểu nhau ằ
Tính chất 5: Quá trình chuyển từ một cấp độ sang cấp độ cao hơn ở học sinh đòi hỏi nhiều thời gian, chủ yếu phụ thuộc vào các trải nghiệm dạy học mà học sinh được tiếp nhận, hơn là vào tuổi tác của học sinh
Theo lý thuyết Van Hiele, học sinh tiến bộ qua mỗi cấp độ tư duy thông qua việc học được tổ chức thành 5 bước kiểu kiến tạo:
Thông tin: qua trao đổi, giáo viên xác định những gì học sinh đã biết về một chủ đề và định hướng học sinh vào chủ đề mới
Hướng dẫn: học sinh khám phá nội dung bài học qua các nhiệm vụ toán thiết kế cẩn thận như gấp hình, đo đạc, dựng hình
Phát biểu: học sinh mô tả những gì vừa được học theo ngôn ngữ của mình
Giáo viên giới thiệu các thuật ngữ toán học thích hợp
Áp dụng: học sinh áp dụng kiến thức đang học vào giải quyết các vấn đề và khảo sát các nhiệm vụ kết thúc mở
Tích hợp: học sinh tóm lược và tích hợp những gì đã được học, phát triển hệ thống các đối tượng và quan hệ hình học mới
Theo lý thuyết này để việc học có ý nghĩa, học sinh nên được làm quen và khám phá nội dung hình học theo các bước từ thấp đến cao tương ứng với các cấp độ Van Hiele.
Hình học từ một tiếp cận nhận thức
Theo Duval (1998, [5]), suy luận trong hình học liên quan chủ yếu đến ba quá trình nhận thức sau đây:
◦ Khả năng diễn giải và hiểu các thông tin liên quan đến hình
◦ Tạo ra hình ảnh (tư duy hoặc thực) từ các ý tưởng trừu tượng
◦ Quá trình sử dụng các công cụ để dựng các mô hình
◦ Thước kẻ, compa, gấp hình, phần mềm… là các công cụ dựng hình chủ yếu Ở đây cần phân biệt hai khái niệm quan trọng là hình vẽ và hình hình học:
Hình v ẽ Hình hình h ọ c Đối tượng vật chất cụ thể được vẽ Một hình phản ánh một đối tượng lý thuyết được biểu diễn Hình vẽ biểu diễn một hình hình học hoặc một đối tượng vật lý
Hình được lập nên từ các đối tượng hình học (điểm, đường thẳng…) và các tính chất giữa chúng
Hình vẽ không thuộc không gian hình học
Thuộc về không gian hình học
◦ Suy luận hình học dựa trên tiên đề
Theo Jones & Bills (1998, [10]), Duval đã chỉ ra rằng những quá trình nhận thức khác nhau có thể được thực hiện một cách riêng biệt Ví dụ, trực quan hóa không nhất thiết phụ thuộc vào dựng hình Tương tự như vậy, ngay cả khi việc dựng hình dẫn đến trực quan hóa, quá trình dựng hình thực sự chỉ phụ thuộc vào các kết nối giữa các tính chất toán học có liên quan và những hạn chế của công cụ đang được sử dụng Tương tự, trực quan hóa có thể trợ giúp để suy luận nhưng trong một số trường hợp cũng có thể gây ra hiểu lầm
Tuy nhiên, Duval (1998, tr 38, [5]) lập luận rằng: "ba loại quá trình nhận thức này được kết nối chặt chẽ và sức mạnh tổng hợp của chúng về mặt nhận thức là cần thiết để thành thạo về khía cạnh hình học" Duval đã minh họa các kết nối giữa ba kiểu quá trình nhận thức theo sơ đồ sau:
Hình 2.1 Kết nối giữa ba kiểu quá trình nhận thức (Duval, 1998, tr 38, [5])
Trong sơ đồ trên mỗi mũi tên đại diện cho cách một loại quá trình nhận thức có thể hỗ trợ một loại khác trong bất kỳ hoạt động hình học Mũi tên từ trực quan hóa đến suy luận được vẽ chấm chấm bởi vì, như đã lập luận ở trên, trực quan hóa không luôn luôn hỗ trợ suy luận Mũi tên "vòng tròn" minh họa rằng suy luận có thể phát triển theo một cách độc lập với các quá trình dựng hình hoặc trực quan hóa
Cho rằng sức mạnh tổng hợp của ba quá trình này là cần thiết về mặt nhận thức để thành thạo hình học, theo Duval, vấn đề là làm thế nào để cho các học sinh nhận ra mối liên hệ giữa ba loại quá trình Duval (1998, [5]) lập luận rằng, trong cố gắng để hiểu sự phát triển của lập luận hình học, nghiên cứu của ông đã chỉ ra như sau:
1 Ba loại quá trình nhận thức phải được phát triển riêng biệt
2 Công việc phân biệt sự khác nhau giữa quá trình trực quan hóa và quá trình suy luận là cần thiết trong chương trình giảng dạy
3 Việc phối hợp ba loại quá trình chỉ thực sự có thể xảy ra sau khi thực hiện việc phân biệt.
Mô thức và mô thức hình học
Khái niệm mô thức (paradigm) được Thomas Samuel Kuhn giới thiệu trong tác phẩm The structure of scientific revolutions (1962, 1966), một trong những tác phẩm khoa học được trích dẫn nhiều nhất thế kỷ XX Theo Kuhn (1966, [11]), thuật ngữ mô thức đại diện cho toàn bộ tập hợp các niềm tin, giá trị, kỹ thuật, thực hành… được chia sẻ bởi các thành viên trong một cộng đồng khoa học
Khái niệm mô thức mở rộng khái niệm lý thuyết và liên kết nó với sự tồn tại của một cộng đồng các cá nhân cùng chia sẻ một lý thuyết chung Một mô thức là những gì các thành viên của một cộng đồng khoa học chia sẻ và một cộng đồng khoa học bao gồm những người chia sẻ cùng một mô thức (Kuhn, 1966, tr
Khi mọi người chia sẻ cùng một mô thức chung, họ có thể giao tiếp với nhau rất dễ dàng và theo một cách rõ ràng Ngược lại, khi họ ở trong những mô thức khác nhau, những sự hiểu lầm có thể thường xuyên xảy ra Chẳng hạn, các hình vẽ được sử dụng như thế nào trong hình học phụ thuộc vào mô thức hình học nào được chấp nhận: sử dụng các hình vẽ để chứng minh một tính chất hình học bằng cách đo đạc nhiều lúc không được chấp nhận
Theo quan điểm nhận thức luận của Gonseth (1945-1955, [6]), ba mô thức hình học sau đây được đưa ra bởi Houdement & Kuzniak (1999; 2003, [8], [9]) để tổ chức sự tương tác giữa trực giác, suy diễn và lập luận Ba mô thức hình học lần lượt được gọi là Hình học I (Hình học tự nhiên), Hình học II (Hình học tiên đề tự nhiên), Hình học III (Hình học tiên đề hình thức)
Hình học tự nhiên có phạm vi là thế giới thực và có thể nhận thức được bằng giác quan Đó cũng là căn cứ để hợp thức (chứng minh) các mệnh đề trong mô thức hình học này Trong hình học này, các khẳng định hợp lý được tạo ra bằng cách sử dụng lập luận dựa trên tri giác, thử nghiệm và suy luận Các khẳng định được chứng minh bằng cách phối hợp mô hình và thực tế Chứng minh có thể dựa vào hình vẽ hoặc các quan sát được thực hiện với các công cụ đo đạc, vẽ hình như thước kẻ, compa, thước đo góc… và cũng có thể gấp hoặc cắt hình để đi đến một khẳng định
Về mặt lịch sử, sự phát triển của hình học này đã được thúc đẩy bởi các vấn đề thực tế Hình học I có bản chất là hình học kỹ thuật và có thể xem là “hình học ở cấp độ tiểu học”
Hình h ọ c II: Hình h ọc tiên đề t ự nhiên
Hình học II, với nguyên mẫu là hình học Euclid cổ điển, được xây dựng trên một mô hình tiệm cận với thực tế Một khi các tiên đề được thiết lập, chỉ có các chứng minh được phát triển trong hệ thống các tiên đề mới có hiệu lực Hệ thống các tiên đề có thể chưa đầy đủ và hoàn chỉnh, chưa hoàn toàn tiên đề hóa một cách hình thức (còn liên kết với thực tế về ngữ nghĩa) Hình học II là có thể xem như là
“hình học ở cấp độ trung học cơ sở và trung học phổ thông”
Hình h ọ c III: Hình h ọc tiên đề hình th ứ c
Hình học I và II đều gắn liền với thế giới thực, nhưng theo những cách khác nhau Đặc biệt, chúng khác nhau ở kiểu hợp thức (chứng minh) một khẳng định và bản chất của hình (trong Hình học I, hình có tính duy nhất và cụ thể, trong Hình học
II, hình mang tính tổng quát và dựa trên định nghĩa) Điều này khác với hình học III, nơi mà hệ thống các tiên đề là trung tâm và tách khỏi thực tế Hệ thống này là đầy đủ và không còn liên quan đến các ứng dụng trong thế giới thực Khía cạnh lập luận logic hình thức là chủ đạo trong mô thức hình học này Hình học Euclide trừu tượng, hình học phi Euclide, hình học affine… là các ví dụ về Hình học III Ta có thể xem Hỡnh học III như là ô hỡnh học ở cấp độ đại học ằ
2.3.3 M ố i quan h ệ gi ữ a các mô th ứ c hình h ọ c
Theo Houdement & Kuzniak (2003, [9]), mối quan hệ giữa các mô thức hình học được trình bày trong bảng sau:
Hình h ọ c I Hình h ọ c II Hình h ọ c III
Tr ự c giác Cảm giác, gắn với tri giác, trải nghiệm Gắn với các hình Trong nội bộ toán học
Tr ả i nghi ệ m Gắn với đo đạc Gắn với một sơ đồ của thực tế Theo kiểu logic
Suy di ễ n Gần với thực tế và gắn với trải nghiệm
Chứng minh dựa trên các tiên đề
Chứng minh hoàn toàn dựa trên các tiên đề
Ki ể u không gian Không gian trực giác và vật lý
Không gian vật lý-hình học
Vai trò c ủ a hình v ẽ Đối tượng nghiên cứu (và chứng minh) Hỗ trợ lập luận
Sơ đồ của một khái niệm lý thuyết, công cụ thử nghiệm
Khía c ạnh ưu tiên Thực chứng và tạo dựng hình
Tính chất và chứng minh
Chứng minh và mối liên hệ giữa các đối tượng
Không gian làm việc hình học
2.4.1 Khái ni ệ m v ề không gian làm vi ệ c hình h ọ c
Nhiều quan điểm nhân chủng hiện đại đều xem toán học nói chung và hình học nói riêng, khi được dạy trong trường học, là một dạng hoạt động của con người và được xem như một phần trong một hệ thống xã hội, chứ không đơn thuần chỉ là lĩnh vực của các ký hiệu và biểu tượng trừu tượng Xem xét toán học như là một hoạt động có tính xã hội được thực hiện bởi bộ não con người có thể giúp chúng ta hiểu cách cộng đồng và các cá nhân áp dụng một mô thức hình học trong thực hành hàng ngày về toán học Theo Kuzniak (2011, [17]), khi các chuyên gia (nhà hình
19 học) cố gắng để giải quyết một số bài toán hình học, họ có thể chuyển đổi qua lại giữa các mô thức Họ có thể sử dụng các hình vẽ cho các mục đích khác nhau, đôi khi là đối tượng để nghiên cứu và đôi khi như một phương tiện để hợp thức một số tính chất Tuy nhiên, họ luôn biết chính xác mức độ tin cậy mà họ có thể cung cấp cho mỗi kết luận của mình
Một loạt các vấn đề liên quan đến người sử dụng hình học được gợi lên khi chúng ta quan niệm hình học như một công việc của con người Công việc này phụ thuộc vào vai trò của trực quan và công cụ vẽ hình trong quá trình hợp thức Nó cũng phụ thuộc vào mô hình của các tính chất và định nghĩa của các đối tượng hình học Cuối cùng, nó phụ thuộc vào niềm tin và kiến thức của mỗi cá nhân học sinh
Do đó, để mô tả sự phức tạp của một công việc hình học, khái niệm không gian làm việc hình học (GWS) đã được đưa vào GWS (Kuzniak, 2006, 2008, [12], [13]) là nơi được tổ chức, sắp xếp để đảm bảo công việc của người giải quyết các bài toán hình học (học sinh, giáo viên, nhà hình học…) Một GWS bao gồm hai mức độ (khía cạnh): mức độ thành phần (hay mức độ tri thức luận) và mức độ nhận thức
Hình 2.2 Không gian làm việc hình học (Kuzniak, 2012, [14])
Không gian thực Mô hình lý thuyết
Mức độ thành phần bao gồm ba yếu tố sau đây:
Một không gian có tính địa phương và thực
Một tập hợp các công cụ, chẳng hạn như các công cụ vẽ hoặc phần mềm
Một mô hình lý thuyết tham chiếu dựa trên các định nghĩa và tính chất Trong đó:
Không gian địa phương và thực phụ thuộc v ào t ừng mô thức h ình h ọc
◦ Đối với Hình học I, đó là các hình vẽ, hình mẫu thực
◦ Đối với Hình học II, đó là các hình hình học
◦ Đối với Hình học III, đó là các đối tượng trừu tượng (điểm, đường thẳng, mặt phẳng)
◦ Trong Hình học I, đó là thước có chia vạch, thước đo độ, compa…
◦ Trong Hình học II, đó là thước không chia vạch, compa, phần mềm… nhưng phải chứng minh cách dựng hình bằng lý thuyết
◦ Trong Hình học III, đó là thước, compa, phần mềm… nhưng hình vẽ chỉ mang tính hỗ trợ thực nghiệm
Mô hình lý thuy ế t: Đó là các mô thức Hình học I, II và III
Người ta thấy rằng mức độ thành phần như trên chưa đủ để xác định nghĩa tổng quát của một GWS, vì nghĩa đó còn phụ thuộc vào chức năng mà người sử dụng nó (học sinh, giáo viên…) xác định cho nó Vì vậy, mức độ nhận thức được đưa vào để mô tả hoạt động nhận thức của một cá nhân sử dụng nó Kuzniak (2006, [12]) đã chọn tiếp cận nhận thức hình học của Duval để làm rõ các quá trình nhận thức liên quan trong quá trình giải quyết các bài toán hình học
Khía cạnh nhận thức của một GWS bao gồm ba quá trình nhận thức sau đây:
Một quá trình trực quan liên quan đến các biểu diễn không gian tương ứng
Một quá trình dựng hình được xác định bằng các công cụ (thước, compa…) và các hình dạng hình học
Một quá trình suy luận hình học để chuyển tải lập luận và chứng minh
Cả hai khía cạnh thành phần và nhận thức như trên cần phải được khớp nối để đảm bảo một công việc hình học chặt chẽ và đầy đủ
2.4.2 Các lo ạ i không gian làm vi ệ c hình h ọ c
Khi GWS được tạo ra trong khuôn khổ thể chế nhà trường, việc giới thiệu các cấp độ khác nhau của GWS là cần thiết để mô tả sự đa dạng tồn tại trong giáo dục nhà trường Kuzniak (2011, [16], [17]) đã phân chia GWS thành ba loại sau:
◦ Cộng đồng (nhà toán học, nhà thiết kế chương trình…) nhất trí về một mô thức hình học để dạy
◦ Là GWS tương ứng với cấp độ chương trình (nghiên cứu ý định của chương trình)
◦ GWS qui chiếu phải được sắp xếp, tổ chức lại để trở thành một GWS thích hợp, hiệu quả cho việc tổ chức dạy học hình học
◦ Là GWS tương ứng ở cấp độ sách giáo khoa (nghiên cứu nội dung sách giáo khoa)
◦ GWS tương thích sẽ được chiếm lĩnh, khám phá bởi học sinh (và giáo viên), phụ thuộc vào kiến thức, nhận thức của mỗi cá nhân
◦ Là GWS tương ứng với cấp độ thực hành dạy học trong lớp học (nghiên cứu thực hành của giáo viên, quan niệm của học sinh…) Theo Kuzniak & Rauscher (2011, [15]), một GWS chỉ tồn tại thông qua người sử dụng nó Cấu trúc của nó phụ thuộc vào cách người sử dụng kết hợp hai khía cạnh thành phần và nhận thức của chúng để giải quyết các bài toán hình học
Nó cũng phụ thuộc vào khả năng nhận thức của một người sử dụng cụ thể, các chuyên gia hoặc người mới bắt đầu học hình học
Cấu trúc của một GWS sẽ thay đổi tùy theo hệ thống giáo dục, ngữ cảnh trường học, cá nhân học sinh và giáo viên Trong thực tế, cấu trúc của một GWS không dựa trên một mô thức duy nhất, mà là trên sự tương tác giữa các mô thức khác nhau
Mối quan hệ giữa mô thức hình học và các cấp độVan Hiele
Theo Braconne-Michoux (2011, [2]), mối quan hệ giữa mô thức hình học và các cấp độ Van Hiele được thể hiện trong bảng sau:
Hình học tự nhiên Hình học tiên đề
Hình học I (cụ thể, hình họa) Hình học II
Hình học III (tiên đề chính thức) Đối tượng Vật lý Lý thuyết
(chứng minh) Trực giác Suy diễn
Suy diễn không chính thống
Bảng 2.2 Mối quan hệ giữa mô thức hình học và các cấp độVan Hiele (Braconne-
Từ bảng trên, có thể thấy rằng cấp độ suy luận diễn dịch trong hình học thường gặp ở phổ thông nằm hoàn toàn trong mô thức Hình học II, trong khi đó mức độ suy diễn không chính thống nằm ở phần tương giao giữa hai mô thức Hình học I và II.
Câu hỏi nghiên cứu
Các phân tích trong chương 1 cho phép chúng tôi đặt ra một số vấn đề cho nghiên cứu Cơ sở lý thuyết trình bày ở trên định vị cách nhìn khoa học của chúng tôi đối với vấn đề nghiên cứu đặt ra và cho phép cụ thể hoá mục tiêu nghiên cứu thành các câu hỏi nghiên cứu sau đây:
Câu hỏi 1: Học sinh THCS (lớp 9) gặp phải khó khăn như thế nào khi thực hiện một công việc hình học? Nguyên nhân của các khó khăn đó là gì?
Câu hỏi 2: Giáo viên quan niệm về việc dạy học hình học như thế nào? Mô thức hình học được giáo viên sử dụng để dạy học hình học? GWS cá nhân của giáo viên và tầm quan trọng của mỗi thành phần như thế nào ?
Kết luận chương 2
Trong chương này, chúng tôi đã điểm bình qua một vài nghiên cứu liên quan đến dạy học hình học, làm rõ các khái niệm mô thức hình học và GWS cũng như mối quan hệ giữa chúng Việc phân tích các yếu tố lý thuyết này cho phép chúng tôi định vị cách tiếp cận vấn đề và định mục tiêu nghiên cứu, từ đó chúng tôi hình thành các câu hỏi nghiên cứu phù hợp cho đề tài
THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU
Ngữ cảnh và mục tiêu
Thực nghiệm đã được tiến hành vào học kỳ 2 của năm học 2014 - 2015 trên đối tượng là học sinh lớp 9/1 Trường THCS Lộc Sơn – Phú Lộc – Huế Chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm trên 30 học sinh lớp 9/1 Học sinh của lớp 9/1 được chọn có kết quả học tập môn toán khá, đại diện cho phần lớn học sinh trong trường Tiếp theo, chúng tôi tiến hành mời một số giáo viên THCS giảng dạy môn toán trả lời các câu hỏi được đưa ra trong một bảng hỏi để thu thập dữ liệu
Phần thực nghiệm có mục tiêu là thu thập dữ liệu cần thiết và phù hợp về:
Các khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải quyết một công việc hình học
Cách giáo viên xem xét và xử lý các khó khăn mà học sinh mắc phải khi giải quyết một công việc hình học
Quan niệm của giáo viên về việc dạy học hình học.
Phương pháp nghiên cứu
Để trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu trên, chúng tôi tiến hành tổ chức thực nghiệm như sau:
Quan sát l ớ p h ọ c : Học sinh làm việc trên phiếu học tập được chuẩn bị sẵn
Nội dung các phiếu học tập đề cập đến các bài toán mà học sinh có thể đưa ra lời giải tùy thuộc vào mô thức hình học mà học sinh lựa chọn
B ả ng h ỏ i: Sau chuỗi bài thực nghiệm, chúng tôi tiến hành thu thập dữ liệu từ các câu trả lời của giáo viên thông qua bảng hỏi Mục đích là tìm hiểu quan niệm của các giáo viên về việc dạy hình học, cách giáo viên xem xét các khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải quyết một công việc hình học cũng như cách giáo viên xử lý các khó khăn mà học sinh mắc phải
Phân tích dữ liệu được thực hiện đối với lời giải các bài toán trong phiếu học tập được học sinh thực hiện và các câu trả lời trong bảng hỏi được giáo viên thực hiện Chúng tôi phân tích kết quả theo ba hướng:
Các khó khăn mà học sinh có thể gặp phải khi giải quyết một công việc hình học: chúng tôi xem xét tất cả lời giải của các bài toán được học sinh đưa ra trong phiếu học tập dựa trên khung lý thuyết mô thức hình học và GWS, phân loại các câu trả lời của học sinh là theo quan điểm hình học I hay hình học II hoặc nối khớp giữa hai mô thức trên Từ đó, chúng tôi phân tích những khó khăn mà học sinh có thể gặp phải khi giải quyết một công việc hình học
Cách giáo viên xem xét và xử lý các khó khăn mà học sinh có thể gặp phải khi giải quyết một công việc hình học: căn cứ vào các câu trả lời mà giáo viên đưa ra trong bảng hỏi, chúng tôi sẽ phân tích cách giáo viên xem xét và xử lý các khó khăn mà học sinh có thể gặp phải
Quan niệm của giáo viên về việc dạy hình học: căn cứ vào các câu trả lời mà giáo viên đưa ra trong bảng hỏi, chúng tôi sẽ phân tích và xem xét quan niệm của giáo viên về việc dạy hình học.
Nội dung phiếu học tập
Sau đây chúng tôi trình bày nội dung các phiếu học tập và phân tích tiên nghiệm Bài toán trong phiếu học tập 1 được chúng tôi trích dẫn từ một nghiên cứu của Rauscher & Kuzniak (2005, [26]) Bài toán này được Rauscher và Kuzniak lấy từ một cuốn sách giáo khoa thiết kế cho học sinh ở tuổi 14
Bài toán 1: Xét hình vẽ bên với các kích thước được cho sẵn
Câu h ỏ i: Tại sao chúng ta có thể khẳng định rằng tứ giác OELM là một hình thoi? Marie cho rằng
OELM là một hình vuông Charlotte cho rằng điều đó sai Theo em,
Marie đúng hay Charlotte đúng?
Mục tiêu của bài toán này là xem xét việc học sinh xác định một không gian làm việc hình học để giải bài toán, tùy thuộc vào quan điểm nhìn hình vẽ, học sinh sẽ có cách giải khác nhau phụ thuộc vào mô thức Hình học (I hoặc II) mà học sinh lựa chọn
Nhiệm vụ của học sinh: xác định xem ai trả lời đúng, Marie hay Charlotte Bằng cách sử dụng định lý Pythagore (đảo) và đưa ra kết luận tùy vào mô thức hình học mà học sinh lựa chọn Ở đây, học sinh lớp 9 được mong đợi giải quyết bài toán trong mô thức Hình học II Học sinh có thể đưa ra các câu trả lời như sau:
Từ quan điểm Hình học II, học sinh kết luận Charlotte trả lời đúng:
- Nếu tam giác OEM vuông ở O thì ta có OE 2 + OM 2 = ME 2 Kiểm tra xem liệu 4 2 + 4 2 = 5,6 2 ta có 32 không bằng 31,26 Do đó, OEM không phải là một tam giác vuông
Từ quan điểm Hình học I, học sinh kết luận Marie trả lời đúng:
- OELM là một hình vuông, vì √32 xấp xỉ bằng 5,6
- OELM là một hình vuông vì nó là một hình thoi và có một góc vuông (đo đạc)
- Dựa vào hình vẽ, học sinh kết luận OELM là hình vuông mà không đưa ra bất kỳ lời giải thích nào
Khi giải quyết bài toán này học sinh có thể mắc các sai lầm như:
- Dựa vào hình vẽ, học sinh khẳng định rằng OELM là hình vuông và cố gắng để chứng minh được điều đó (học sinh lấy giá trị của √32 xấp xỉ bằng 5,6), hoặc học sinh phụ thuộc tuyệt đối vào hình vẽ, đưa ra kết luận dựa trên cảm giác, OELM là hình vuông mà không đưa ra chứng minh (cũng có thể do thiếu kiến thức hình học)
- Giả thiết ME = 5,6 làm cho học sinh nghĩ đến việc sử dụng giá trị gần đúng với một chữ số thập phân Trong trường hợp này học sinh sẽ lấy √32 bằng 5,6 và kết luận OELM là hình vuông
- Học sinh đo đạc và kết luận OELM là hình vuông
Bài toán 2: Dựng tam giác ABC vuông cân tại A, BA = 6 cm
2 Trên cạnh BC dựng điểm I sao cho
CI = 1,4 cm Trên cạnh CA dựng điểm
J sao cho JA = 5 cm IJ có song song với BA? Chứng minh cho câu trả lời của bạn
Mục tiêu của bài toán này là xem xét liệu học sinh có chuyển đổi liên tục giữa các mô thức hình học để giải quyết bài toán hay không Đầu tiên, học sinh sử dụng công cụ đo đạc để dựng hình (Hình học I) và sau đó đi đến một kết quả tính toán rất chính xác và kết luận IJ không song song BA (Hình học II) hay quan điểm của học sinh chỉ dừng lại ở Hình học I
Nhiệm vụ của học sinh trong câu hỏi 1 là sử dụng một hình vẽ và công cụ đo đạc để kiểm tra và hợp thức việc dựng hình; tính độ dài BC bằng cách sử dụng định lý Pythagore và đưa ra kết quả (6√2 hay giá trị xấp xỉ) Trong câu hỏi 2, học sinh sử dụng công cụ đo đạc để dựng điểm I, J (đo độ dài CI và AJ), sử dụng định lý Thales để kiểm tra xem liệu IJ // BA Trong bài toán này, học sinh được mong đợi đưa ra kết quả chính xác 6√2 và kết luận IJ không song song với BA Học sinh có thể đưa ra các câu trả lời như sau:
Từ quan điểm Hình học II:
CAvì vậy IJ không song song với BA
Từ quan điểm Hình học I:
- BC =√AB + AC = 6√2≈8,4 lúc đó CI
- Dựa vào hình vẽ, học sinh kết luận IJ // BA
Khi giải quyết bài toán này học sinh có thể mắc các sai lầm sau:
- Giả thiết CI = 1,4 làm cho học sinh nghĩ đến việc sử dụng giá trị gần đúng một chữ số thập phân Trong trường hợp này thì CB CI = = 1 6 tức là IJ // BA
- Từ hình vẽ học sinh bị thuyết phục rằng IJ // BA, vì vậy học sinh cố gắng chứng minh điều này bằng cách lấy giá trị 6√2 xấp xỉ bằng 8,4
Bài toán 3: Cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 4 cm, BC = 2 cm Tia Ax vuông góc với AB
Câu h ỏ i: Có tồn tại hay không một điểm M nằm trên tia Ax sao cho tam giác ACM là tam giác đều? Chứng minh cho câu trả lời của bạn?
Mục tiêu của bài toán này là xem xét việc học sinh xác định một không gian làm việc hình học để giải bài toán Học sinh sẽ đưa ra câu trả lời tùy thuộc vào mô thức Hình học (I hoặc II) mà học sinh lựa chọn
Nhiệm vụ của học sinh là khẳng định không tồn tại một điểm M nằm trên tia
Ax để tam giác ACM đều và đưa ra giải thích tùy thuộc vào mô thức hình học mà học sinh lựa chọn Trong bài toán này, học sinh lớp 9 được mong đợi sẽ đưa ra câu trả lời không tồn tại điểm M nằm trên tia Ax để tam giác ACM đều trong Hình học
II Học sinh có thể đưa ra các câu trả lời như sau:
Từ quan điểm Hình học II:
- Giả sử tồn tại điểm M trên tia Ax để tam giác ACM đều, lúc đó BAC = 30 Lấy C’ là điểm đối xứng của C qua AB Khi đó tam giác CAC’ đều Vô lý vì CC’ = 4 cm, CA = AC’= 2√5 cm Vậy không tồn tại điểm M nằm trên tia
Ax để tam giác ACM đều
- Ta có tan CAB = 2/4 = 0,5 nên CAx = 90 −CAB = 63,43 do đó không tồn tại điểm M nằm trên tia Ax để tam giác ACM đều
Từ quan điểm Hình học I:
- Dựng đường tròn (A, AC) và đường tròn (C, AC), giao điểm của hai đường tròn này không nằm trên tia Ax nên không tồn tại điểm M nằm trên tia Ax để tam giác ACM đều
- CAx≈64 (đo) nên không tồn tại điểm M nằm trên tia Ax để tam giác ACM đều
Khi giải quyết bài toán này học sinh có thể mắc các sai lầm sau:
- Học sinh sử dụng các công cụ như compa, thước đo góc… để thực hiện việc đo đạc và đưa ra kết luận
Bài toán 4: Cho hình vuông
ABCD cạnh 6 cm, E là trung điểm của CD, từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BE tại F
Câu h ỏ i: Tam giác ADF có phải là một tam giác cân? Chứng minh cho câu trả lời của bạn
Mục tiêu của bài toán này là xem xét việc học sinh đưa ra câu trả lời tùy thuộc vào mô thức Hình học (I hoặc II) mà học sinh lựa chọn, sử dụng chứng minh trong Hình học I (đo đạc hoặc dựng đường tròn tâm D bán kính 6 cm để đi đến kết luận Δ ADF là tam giác cân tại đỉnh D) như một nguồn hỗ trợ lập luận trong Hình học II
Nhiệm vụ của học sinh trong bài toán này là kiểm tra ΔADF là một tam giác cân (có thể dựa vào quan sát hoặc sử dụng thước, compa đo đạc trên hình vẽ) từ đó đưa ra một chứng minh trong Hình học II Trong bài toán này, giáo viên mong đợi học sinh đưa ra câu trả lời ΔADF cân tại D và đưa ra một chứng minh trong Hình học II Học sinh có thể đưa ra các câu trả lời như sau:
Theo quan điểm Hình học I:
- Dựng đường tròn tâm D bán kính 6 cm thì điểm F nằm trên đường tròn Vậy
DA = DF nên Δ AFD cân tại D
Theo quan điểm Hình học II:
- Lời giải 1: ta có BAF = DAE cùng bằng CBE và tứ giác AFED nội tiếp nên DAF = 90 −BAF = 90 −DAE và AFD = 90 −DEF = 90 −DAE Vậy DAF = AFD hayΔ AFD cân tại D
Bảng hỏi
Bảng hỏi bao gồm ba câu hỏi liên quan đến quan niệm của giáo viên về dạy học hình học, cách giáo viên xem xét và xử lý các khó khăn mà học sinh có thể gặp phải khi giải quyết một công việc hình học Câu hỏi thứ nhất được giáo viên trả lời khi giáo viên xem xét các bài toán trong phiếu học tập Câu hỏi thứ 2 và 3 được giáo viên trả lời sau khi giáo viên xem xét các câu trả lời trong phiếu học tập của học sinh Sau đây là nội dung bảng hỏi:
1 Theo thầy, cô các khó khăn có thể có của học sinh khi giải quyết các bài toán này là gì?
2 Theo thầy, cô lời giải nào của học sinh là gần với lời giải mà thầy cô sẽ đưa ra trong lớp học nhất?
3 Thầy, cô dự định xử lý các khó khăn mà học sinh mắc phải khi giải quyết các bài toán này như thế nào để có thể khai thác được các câu trả lời của học sinh?
Trong phần này, chúng tôi trình bày phân tích tiên nghiệm các câu hỏi đưa ra trong bảng hỏi
Theo thầy, cô các khó khăn có thể có của học sinh khi giải quyết các bài toán này là gì?
Mục tiêu của câu hỏi này là để giáo viên dự đoán các khó khăn mà học sinh có thể mắc phải khi giải quyết các bài toán này Nguyên nhân các học sinh gặp khó khăn là gì? Với câu hỏi này, chúng tôi mong muốn xem xét các khó khăn của học sinh khi giải quyết một công việc hình học mà giáo viên quan tâm, cách giáo viên phân tích giả thiết, kết luận của bài toán, các sai lầm của học sinh trong khi chứng minh một bài toán hình học, qua đó phân tích quan điểm của giáo viên khi dạy hình học
Theo thầy, cô lời giải nào của học sinh là gần với lời giải mà thầy, cô sẽ đưa ra trong lớp học nhất?
Mục tiêu của câu hỏi này, chúng tôi mong muốn các giáo viên bày tỏ mong đợi của họ về lời giải mà học sinh đưa ra khi giải quyết các bài toán trên Từ đó xem xét GWS của giáo viên, các giáo viên tập trung vào mô thức Hình học nào (I hoặc II) hoặc nối khớp giữa hai mô thức khi giảng dạy hình học, xem xét các điểm tương
34 đồng hay khác biệt trong việc lựa chọn mô thức hình học giữa các giáo viên từ đó phân tích quan điểm của giáo viên khi dạy hình học
Thầy, cô dự định xử lý các khó khăn mà học sinh mắc phải khi giải quyết các bài toán này như thế nào để có thể khai thác được các câu trả lời của học sinh?
Mục tiêu của câu hỏi mở này là để giáo viên tự do thể hiện cách xử lý các khó khăn mà học sinh mắc phải khi giải quyết các bài toán này, cách giáo viên xử lý các câu trả lời mà học sinh đưa ra Với câu hỏi này chúng tôi mong muốn xem xét việc giáo viên hoàn toàn nhận ra được sự tồn tại các lời giải khác nhau của bài toán là tùy thuộc vào sự lựa chọn mô thức hình học của học sinh Khi giáo viên xác định được nguyên nhân gây khó khăn, chúng tôi xem xét việc các giáo viên cung cấp các ý tưởng hoặc đề nghị để khắc phục, từ đó làm rõ quan điểm của giáo viên về việc dạy học hình học.
Kết luận chương 3
Trong chương này, chúng tôi đã trình bày các vấn đề liên quan đến phương pháp nghiên cứu như ngữ cảnh, phương pháp thu thập và phân tích dữ liệu Chúng tôi giới thiệu chi tiết nội dung các phiếu học tập, bảng hỏi Phân tích tiên nghiệm các phiếu học tập và bảng hỏi cho phép chúng tôi làm sáng tỏ ý định của nhà nghiên cứu qua các bài toán và nhiệm vụ đưa ra, các cách trả lời có thể có của học sinh, những khó khăn học sinh có thể gặp phải, quan niệm của giáo viên về dạy học hình học làm cơ sở để đối chiếu với phân tích bài làm của học sinh sau thực nghiệm
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Phân tích phiếu học tập của học sinh
Chúng tôi tiến hành xem xét tất cả các phiếu học tập của học sinh Dựa trên khái niệm mô thức hình học và GWS, chúng tôi phân loại các lời giải bài toán thành ba loại chính
4.1.1 L ờ i gi ả i bài toán d ựa trên quan điể m Hình h ọ c II
Học sinh đi đến một chứng minh dựa trên các định nghĩa, định lý, tính chất hình học và các con số trên lý thuyết mà không xem xét các khía cạnh thực tế của đối tượng Một số phiếu học tập sau sẽ minh chứng cho điều này:
Bài toán 1: Xét hình vẽ bên với các kích thước được cho sẵn
Câu h ỏ i: Tại sao chúng ta có thể khẳng định rằng tứ giác OELM là một hình thoi? Marie cho rằng
OELM là một hình vuông
Charlotte cho rằng điều đó sai
Theo em, Marie đúng hay Charlotte đúng? Giải thích?
Học sinh tập trung kiểm tra tứ giác OELM có phải là 1hình vuông bằng cách kiểm tra định lý Pytagore đảo mà không xem xét khía cạnh thực tế của hình vẽ
Hình 4.1 Bài làm của Thùy Dung
Hình 4.2 Bài làm của Xuân Hảo Bài toán 2:
Bài toán 2: Dựng tam giác ABC vuông cân tại A, BA = 6 cm
2 Trên cạnh BC dựng điểm I sao cho
CI = 1,4 cm Trên cạnh CA dựng điểm
J sao cho JA = 5 cm IJ có song song với BA? Chứng minh cho câu trả lời của bạn
Học sinh áp dụng định lý Pythagore để tính BC và đưa ra kết quả là một giá trị chính xác, sau đó áp dụng định lý Thales đảo để chứng minh IJ không song song với BA mà không xem xét đến yếu tố hình vẽ
Hình 4.3 Bài làm của Kim Chi
Hình 4.4 Bài làm của Minh Thư
Bài toán 3: Cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 4 cm, BC = 2 cm Tia Ax vuông góc với AB
Câu h ỏ i: Có tồn tại một điểm M nằm trên tia Ax sao cho tam giác ACM là tam giác đều? Chứng minh cho câu trả lời của bạn?
Học sinh chứng minh không tồn tại điểm M nằm trên tia Ax dựa vào định nghĩa, các tính chất của tam giác đều và các con số trên lý thuyết mà không xem xét hình vẽ như một nguồn hợp thức
Hình 4.5 Bài làm của Diệu My
Hình 4.6 Bài làm củaMinh Ngọc
Bài toán 4: Cho hình vuông ABCD cạnh 6 cm, E là trung điểm của CD, từ A kẻ đường thẳng vuông góc với
Câu h ỏ i: Tam giác ADF có phải là tam giác cân hay không ? Chứng minh cho câu trả lời của bạn
Học sinh sử dụng định nghĩa, các tính chất của tam giác cân để đi đến chứng minh tam giác ADF cân tại D mà không xem xét hình vẽ như một hợp thức
Hình 4.7 Bài làm của Tuyết Trinh
Hình 4.8 Bài làm của Minh Tâm
4.1.2 L ờ i gi ả i bài toán d ựa trên quan điể m Hình h ọ c I
Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên trực giác, thử nghiệm và suy luận bằng cách quan sát hình vẽ hoặc sử dụng các công cụ như thước đo góc, thước kẻ, compa để đi đến một khẳng định Một số phiếu học tập sau sẽ minh chứng cho điều này:
Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên đo đạc
Hình 4.9 Bài làm của Minh Tâm
Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên cảm giác mà không đưa ra bất kỳ lời giải thích nào
Hình 4.10 Bài làm của Ngọc Thảo
Học sinh áp dụng định lý Pythagore và sử dụng tính toán xấp xỉ để đưa ra câu trả lời
Hình 4.11 Bài làm của Tuyết Trinh Bài toán 2:
Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên đo đạc
Hình 4.12 Bài làm của Đức Tài
Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên cảm giác mà không đưa ra bất kỳ lời giải thích nào
Hình 4.13 Bài làm của Tuấn Kiệt
Học sinh dựa trên việc lấy giá trị xấp xỉ để đưa ra câu trả lời
Hình 4.14 Bài làm của Thị Nhớ Bài toán 3:
Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên đo đạc
Hình 4.15 Bài làm của Thị Mai
Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên việc sử dụng công cụ vẽ (compa)
Hình 4.16 Bài làm của Thị Phấn Bài toán 4:
Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên việc sử dụng công cụ vẽ (compa) và công cụ đo đạc (thước kẻ)
Hình 4.17 Bài làm của Ngọc Giàu
Hình 4.18 Bài làm của Mỹ Loan
4.1.3 L ờ i gi ả i bài toán d ự a trên k ế t n ố i hai mô th ứ c Hình h ọ c I và II Đầu tiên, học sinh dựa vào hình vẽ hoặc các quan sát được thực hiện với các công cụ đo đạc, vẽ hình như thước kẻ, compa, thước đo góc… để đi đến một khẳng
44 định Từ đó, học sinh xây dựng một chứng minh trong Hình học II Một số phiếu học tập trong bài toán 3 và 4 sẽ minh chứng cho điều này:
Từ chứng minh trong Hình học I, học sinh khẳng định không tồn tại điểm M nằm trên tia Ax để tam giác ACM đều (bài toán 3), và tam giác ADF cân tại D (bài toán 4) Đây là một cơ sở hỗ trợ học sinh về mặt trực quan, từ đó học sinh đi đến một chứng minh trong Hình học II Nói chung trong trường hợp này, chứng minh trong Hình học I như một nguồn xác nhận và hợp thức
Hình 4.19 Bài làm của Tuyết Trinh
Hình 4.20 Bài làm của Diệu My
Phân tích những khó khăn của học sinh khi thực hiện một công việc hình học
Từ việc phân loại các loại lời giải của học sinh trong phiếu học tập, chúng tôi nhận thấy rằng đa phần học sinh nắm vững các kiến thức hình học Trong bài toán
1, học sinh biết sử dụng định lý Pythagore đảo để kiểm tra tam giác vuông, nắm vững định nghĩa và tính chất của hình thoi và hình vuông Trong bài toán 2, học sinh biết sử dụng định lý Pythagore để tính cạnh BC, nắm vững định lý Thales đảo hoặc quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song Trong bài toán 3, học sinh nắm vững định nghĩa và tính chất của một tam giác cân Trong bài toán 4, học sinh nắm vững định nghĩa và tính chất của một tam giác đều Điều này chứng tỏ rằng học sinh gặp khó khăn khi giải quyết một công việc hình học không phải vì thiếu kiến thức hình học
Chúng tôi tập trung phân tích vai trò gây hiểu lầm của hình vẽ như một cái bẫy hình ảnh Trong bài toán 1, rõ ràng, dựa vào hình vẽ học sinh nhận thấy tứ giác OELM là một hình vuông Trong bài toán 2, từ hình ảnh trực quan học sinh nhận thấy IJ // BA, từ đó học sinh có thể cố gắng không đúng cách để giải quyết bài toán trong Hình học I
Thứ nhất, chúng tôi thấy có một số học sinh sử dụng giá trị xấp xỉ để giải bài toán Điều này chứng tỏ rằng các học sinh này gặp khó khăn trong việc lý giải kết quả Học sinh nhận thấy rằng kết quả của một chứng minh chặt chẽ trong Hình học
II trái ngược hoàn toàn với kết quả học sinh thu được từ hình ảnh trực quan trong Hình học I Vì vậy, học sinh có xu hướng sử dụng giá trị xấp xỉ để đồng nhất kết quả Rõ ràng, trong trường hợp này, những học sinh này bị nhập nhằng khi xây dựng GWS cá nhân chứa một mô thức hình học phù hợp Ngoài ra, các em còn gặp khó khăn khi di chuyển qua lại, nối khớp giữa hai mô thức hình học, Hình học I (hình ảnh trực quan) và Hình học II (một chứng minh chặt chẽ) Ngoài ra, chúng ta không thể phủ nhận vai trò quan trọng của hình vẽ đã tác động đến kết quả mà các học sinh này đã đưa ra
Thứ hai, một số học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên cảm giác mà không cung cấp bất kỳ lời giải thích nào, điều này phần nào giải thích sự phụ thuộc tuyệt đối vào hình vẽ của các em này
Tiếp theo, chúng tôi xem xét việc học sinh sử dụng các công cụ đo đạc như thước kẻ, thước đo độ… và các công cụ dựng hình như compa để đưa ra chứng minh trong Hình học I Một số học sinh đã đưa ra một chứng minh dựa trên trực giác và thực nghiệm Điều này phần nào phản ánh sự khó khăn trong việc áp dụng các định nghĩa, định lý, tính chất để đi đến một chứng minh chặt chẽ trong Hình học II của học sinh Các học sinh này nắm được các kiến thức hình học, tuy nhiên các em chưa biết cách vận dụng các kiến thức này để giải quyết bài toán Các em gặp khó khăn khi kết nối các thành phần của một GWS (trong trường hợp này học sinh chỉ làm việc trên hình vẽ - không gian thực; thước kẻ, thước đo độ, compa - công cụ)
Tóm lại, sau khi phân tích các câu trả lời của học sinh trong phiếu học tập, chúng tôi nhận thấy rằng việc học sinh đưa ra các câu trả lời khác nhau là tùy thuộc vào mô thức hình học mà học sinh lựa chọn và nguyên nhân cơ bản dẫn đến những khó khăn khi giải quyết một công việc hình học là nằm ở sự tương tác giữa các mô thức hình học Học sinh gặp khó khăn khi phải di chuyển qua lại giữa các mô thức và một sự hiểu biết hạn chế về Hình học II
Sau khi phân tích các khó khăn của học sinh khi giải quyết một công việc hình học, chúng tôi tiếp tục phân tích các câu trả lời của giáo viên trong bảng hỏi để xem xét quan điểm của giáo viên khi dạy học hình học Chúng tôi phân tích theo ba hướng sau đây:
Cách giáo viên xem xét và xử lý các khó khăn mà học sinh mắc phải khi giải quyết một công việc hình học;
Các giáo viên tập trung vào mô thức hình học nào trong khi giảng dạy hình học: Hình học I, Hình học II hay nối khớp giữa hai mô thức;
Cách giáo viên tiếp cận các thành phần của một GWS và tầm quan trọng của mỗi thành phần mà giáo viên đưa ra Nội dung chi tiết của bảng hỏi đã được trình bày ở phần trên
Phân tích bảng hỏi
4.3.1 Nh ững khó khăn của h ọc sinh khi giải quyết một công việc h ình h ọc
Với câu hỏi “Theo thầy, cô các khó khăn có thể có của học sinh khi giải quyết các bài toán này là gì?”, các giáo viên đã nêu được một số khó khăn cơ bản mà học sinh mắc phải khi giải quyết một công việc hình học và nguyên nhân mà các học sinh gặp khó khăn Sau đây là một số câu trả lời điển hình của các giáo viên:
Hình 4.21 Bài làm của cô Phương Lộc
Hình 4.22 Bài làm của cô Bích Phương
Hình 4.23 Bài làm của cô Mỹ Linh
Hình 4.24 Bài làm của cô Mỹ Ý
Theo các câu trả lời của nhiều giáo viên ở trên, chúng ta có thể thấy rằng các giáo viên này đã có ý thức về vai trò của các yếu tố thuộc mô thức Hình học I (hình vẽ, số đo, giá trị xấp xỉ ) đối với những khó khăn gặp phải của học sinh khi giải các bài toán hình học này Tuy nhiên, trong phân tích ở phần ngay sau đây, chúng ta sẽ thấy rằng do nhiều giáo viên chỉ quen làm việc trong một GWS được định hướng bởi mô thức Hình học II nên điều đó đã ảnh hưởng đến cách nhìn nhận và xử lý với các khó khăn gặp phải như trên của học sinh
4.3.2 Các ki ến nghị của giáo vi ên trong vi ệc xử lý các khó khăn của học sinh
Khi các giáo viên đã xác định được các nguyên nhân gây khó khăn, chúng tôi xem xét các ý tưởng, kiến nghị của giáo viên để khắc phục các khó khăn này
Với câu hỏi “Thầy, cô dự định xử lý các khó khăn mà học sinh mắc phải khi giải quyết các bài toán này như thế nào để có thể khai thác được các câu trả lời của học sinh?”, các giáo viên đã trình bày một số phương án như sau:
Hình 4.25 Bài làm của cô Quỳnh Trâm
Hình 4.26 Bài làm của cô Mỹ Linh Đa phần các giáo viên chỉ nhấn mạnh đến việc giúp học sinh nắm vững các định lý, định nghĩa, tính chất hình học Sau đó yêu cầu học sinh áp dụng các kiến thức đó để đưa ra một chứng minh chặt chẽ trong Hình học II GWS cá nhân của các giáo viên này chỉ làm việc trên mô hình lý thuyết và hoàn toàn không chú ý đến các thành phần khác, đặc biệt là vai trò của không gian thực (hình vẽ) và các công cụ
Một số giáo viên đã xem xét đến yếu tố hình vẽ và sử dụng các công cụ đo đạc để đưa ra chứng minh của học sinh Các giáo viên này đã có ý thức phân biệt các mô thức và không gian làm việc hình học khác nhau có thể có liên quan đến quá trình giải các bài toán hình học này Hơn nữa, họ còn có những phân tích cụ thể về những “áp lực” giữa hai mô thức hình học này trong quá trình giải của học sinh và gợi ý những phương án dạy học để giúp học sinh vượt qua những khó khăn này Phần trả lời dưới đây của cô Mỹ Ý và cô Bích Phương minh họa cho điều này
Hình 4.27 Bài làm của cô Mỹ Ý
Hình 4.28 Bài làm của cô Bích Phương
4.3.3 Mô th ức h ình h ọc được giáo vi ên d ự định giảng dạy trong lớp học
Với câu hỏi “Theo thầy, cô lời giải nào của học sinh là gần với lời giải mà thầy cô sẽ đưa ra trong lớp học nhất?” chúng tôi muốn xem xét mô thức hình học mà giáo viên lựa chọn để giảng dạy trong lớp học
Phân tích các câu trả lời của giáo viên, chúng tôi nhận thấy có một sự đồng nhất rất lớn trong việc lựa chọn mô thức hình học để giảng dạy của giáo viên Tất cả các giáo viên đều chọn làm việc và lý luận trong mô thức Hình học II Các giáo viên mong muốn học sinh sử dụng các giả thiết được đưa ra trong bài toán và áp dụng các định nghĩa, định lý, tính chất hình học một cách chính xác để đạt được một
51 chứng minh chặt chẽ trong Hình học II Có ít giáo viên chú ý đến các yếu tố phân biệt giữa Hình học I và Hình học II trong lời giải của học sinh
Hình 4.29 Bài làm của cô Quỳnh Trâm
Hình 4.30 Bài làm của cô Mỹ Linh
Hình 4.31 Bài làm của cô Bích Phương
Hình 4.32 Bài làm của cô Phương Lộc
Một vài giáo viên đã xem xét đến yếu tố hình vẽ, theo các giáo viên này, hình vẽ có thể giúp học sinh có cái nhìn trực quan, hỗ trợ học sinh trong việc chứng minh, tuy nhiên cần phải quản lý điều này vì một số hình vẽ có thể gây hiểu lầm (chẳng hạn như bài toán 1, 2)
4.3.4 GWS được tổ chức bởi giáo vi ên
Xem xét các câu trả lời của giáo viên, chúng tôi nhận thấy có sự khác biệt trong cách tổ chức một GWS của giáo viên
Một số giáo viên hoàn toàn không cố gắng phân biệt các yếu tố của Hình học
I hay Hình học II trong câu trả lời của học sinh Giáo viên dự kiến cách giải của mình trong Hình học II và nhấn mạnh nghĩa vụ của học sinh là phải trình bày chứng minh một cách chặt chẽ trong mô thức hình học này Các giáo viên này có xem xét các khó khăn của học sinh, tuy nhiên họ không xem xét đến yếu tố hình vẽ và các công cụ Họ chỉ nhấn mạnh đến văn bản chính thức (yêu cầu của chương trình, sách giáo khoa ở cấp độ lớp 9) mà họ mong đợi
Ngược lại, một số giáo viên đã hoàn toàn nhận ra được hai mô thức hình học và định hình được GWS cá nhân của học sinh Một vài giáo viên đã đưa ra được các kiến nghị để giúp học sinh quản lý quá trình chuyển đổi từ một mô thức hình học này sang mô thức hình học khác.
Kết luận chương 4
Trong chương 4, chúng tôi đã phân tích những khó khăn của học sinh khi thực hiện một công việc hình học và quan niệm của giáo viên khi dạy học hình học Phân tích bước đầu cho thấy học sinh gặp nhiều khó khăn khi thực hiện một công việc hình học, đặc biệt là khi phải di chuyển giữa hai mô thức hình học và một số học sinh có một tầm hiểu biết hạn chế trong Hình học II Đa số giáo viên vẫn duy trì một GWS chỉ sử dụng Hình học II và không xem xét Hình học I như một nguồn xác nhận và là thách thức đối với các học sinh Mặt khác, một số giáo viên đã hoàn toàn nhận ra được hai mô thức hình học, định hình được GWS cá nhân của học sinh và đưa ra được một số kiến nghị để giúp học sinh khắc phục và vượt qua các khó khăn khi học hình học