Bài giảng Phương pháp tính 2: Vi phân và tích phân - Vũ Đỗ Huy Cường

Bài giảng Phương pháp tính 2: Vi phân và tích phân cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân hình thang, tích phân Simpson, tích phân Newton-Cotes, tích phân Gauss, phương pháp lặp, phương pháp Euler,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

hanCong.com Tích phân số Phương trình vi phân PHƯƠNG PHÁP TÍNH 2: VI PHÂN TÍCH PHÂN Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Khoa Toán-Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên vdhuycuong@gmail.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Giới thiệu mơn học Phương pháp tính mơn tốn học có nhiệm vụ giải đến kết số cho tốn, cung cấp phương pháp giải cho tốn thực tế mà khơng có lời giải xác Mơn học cầu nối toán học lý thuyết ứng dụng thực tế Nội dung mơn học - Tính xấp xỉ giá trị tích phân - Giải gần phương trình vi phân Tài liệu mơn học - Giáo trình Phương pháp tính - Giáo trình Giải tích số hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Mục lục Tích phân số Tích phân hình thang Tích phân Simpson Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss Phương trình vi phân Phương pháp lặp Phương pháp Euler Phương pháp Euler cải tiến Phương pháp Runge-Kutta hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số / 48 hanCong.com Tích phân số Phương trình vi phân Tích phân hình thang Tích phân Simpson Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss Chương Tích phân số https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Tích phân hình thang Tích phân Simpson Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss Tích phân số hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Tích phân hình thang Tích phân Simpson Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss Tích phân số hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Tích phân hình thang Tích phân Simpson Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss Tích phân số Rất nhiều vấn đề khoa học, kĩ thuật dẫn đến việc tính tích phân b f (x)dx với f (x) hàm phức tạp (hàm mà nguyên hàm a khơng thể biểu diễn qua hàm đơn giản biết) hàm cho bảng Vì vấn đề tính gần tích phân f (x) đặt tự nhiên Một phương pháp đơn giản sử dụng đa thức để xấp xỉ hàm số khảo sát, sau tích phân đa thức xem giá trị gần toán giải Phương pháp nhiều người sử dụng phổ biến toán thực tế Một phương pháp khác, dùng đa thức để xấp xỉ hàm số khảo sát, yêu cầu bậc đa thức cao Điều khiến thuật giải trở nên phức tạp thường sử dụng toán học hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số / 48 Tích phân hình thang Tích phân Simpson Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss Tích phân số Phương trình vi phân 1.1 Tích phân hình thang Cơng thức tích phân hình thang hanCong.com xc f (x)dx xd n xn n xi f (x)dx = x0 xc − xd (yd + ys ) f (x)dx i=1 xi−1 i=1 xi − xi−1 (yi−1 + yi ) (1) (2) https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số / 48 Tích phân hình thang Tích phân Simpson Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss Tích phân số Phương trình vi phân 1.1 Tích phân hình thang Ví dụ 1.1 Tính f (x)dx biết giá trị f (x) số vị trí sau x f 6.142 6.967 7.391 2.5 7.386 6.702 6.090 7.3 6.870 8.6 8.196 8.568 Giải hanCong.com f (x)dx + f (x)dx 2.5 f (x)dx + 7.3 f (x)dx + + 4 f (x)dx + f (x)dx 2.5 8.6 f (x)dx + f (x)dx + 7.3 f (x)dx 8.6 6.554 + 7.179 + 3.694 + 10.566 + 12.792 + 8.424 + 9.793 + 3.353 62.355 https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Tích phân hình thang Tích phân Simpson Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss 1.2 Tích phân Simpson Cơng thức tích phân Simpson 1/3 hanCong.com xc f (x)dx xd n xn f (x)dx x0 i=1 xc − xd (yd + 4yg + ys ) xi − xi−1 (yi−1 + 4yi−1/2 + yi ) (3) (4) https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 10 / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Phương pháp lặp Phương pháp Euler Phương pháp Euler cải tiến Phương pháp Runge-Kutta 2.2 Phương pháp Euler Xét toán giá trị ban đầu sau đây: y = f (x, y), y(x0 ) = y0 (15) với x ∈ Dx = [x0 − a, x0 + a] y ∈ Dy = [y0 − b, y0 + b] Giả sử hàm số f (x, y) có đạo hàm bậc m Dx × Dy Ta tính đạo hàm bậc cao y hanCong.com y = fx (x, y) + fy (x, y)y y = fxx (x, y) + 2fxy y + fy y(x, y)(y )2 + fy (x, y)y y (4) = (16) https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 34 / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Phương pháp lặp Phương pháp Euler Phương pháp Euler cải tiến Phương pháp Runge-Kutta 2.2 Phương pháp Euler Sử dụng khai triển Taylor hàm số y(x) điểm x0 , ta thu m y(x) k=0 y (k) (x − x0 )k k! (17) Xấp xỉ với tọa độ x nằm gần x0 Trường hợp x nằm xa x0 , ta dựa vào xấp xỉ để tính y(x1 ) với x1 nằm x0 x Sau ta thực lại phép khai triển Taylor vơi điều kiện đầu y(x1 ) để tìm xấp xỉ Cứ di chuyển xk đến gần x Trường hợp đơn giản ứng với m = 1, ta có hanCong.com yk+1 yk + (xk+1 − xk )f (xk , yk ) (18) https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 35 / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Phương pháp lặp Phương pháp Euler Phương pháp Euler cải tiến Phương pháp Runge-Kutta 2.2 Phương pháp lặp hanCong.com Ví dụ 2.2 : Giải phương trình vi phân sau y =x +y y(0) = x ∈ [0, 0.4] Ta xây dựng phân hoạch [0 0.1 0.2 0.3 0.4] Khi h1 = 0.1; y1 = + 0.1 · (0.1 + 1) = 1.1 h2 = 0.1; y2 = + 0.1 · (0.2 + 1.1) = 1.22 h3 = 0.1; y3 = + 0.1 · (0.3 + 1.22) = 1.362 h4 = 0.1; y4 = + 0.1 · (0.4 + 1.362) = 1.5282 https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 36 / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Phương pháp lặp Phương pháp Euler Phương pháp Euler cải tiến Phương pháp Runge-Kutta 2.2 Phương pháp Euler hanCong.com Nghiệm xác y(x) = 2ex − x − https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 37 / 48 Phương pháp lặp Phương pháp Euler Phương pháp Euler cải tiến Phương pháp Runge-Kutta Tích phân số Phương trình vi phân 2.3 Phương pháp Euler cải tiến Ta có h y(x + s)ds y(x + h) = y(x) + (19) Áp dụng cơng thức hình thang cho tích phân, ta y(x + h) y(x) + h [y (x) + y (x + h)] (20) hay yk+1 Do vế phải chứa yk+1 ta hanCong.com y˜k+1 yk+1 h [f (xk , yk ) + f (xk+1 , yk+1 )] (21) ẩn chưa biết, nên ta thay (18) Kết yk + yk + (xk+1 − xk )f (xk , yk ) h yk + [f (xk , yk ) + f (xk+1 , y˜k+1 )] (22) https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 38 / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Phương pháp lặp Phương pháp Euler Phương pháp Euler cải tiến Phương pháp Runge-Kutta 2.3 Phương pháp Euler cải tiến hanCong.com Ví dụ 2.3 : Giải phương trình vi phân sau y =x +y y(0) = x ∈ [0, 0.4] Ta xây dựng phân hoạch [0 0.1 0.2 0.3 0.4] Khi h1 = 0.1; y˜1 = + 0.1 · (0.1 + 1) = 1.1 y1 = + 0.05(0 + + 0.1 + 1.1) = 1.11 h2 = 0.1; y˜2 = 1.11 + 0.1 · (0.2 + 1.11) = 1.231 y2 = 1.11 + 0.05(0.1 + 1.11 + 0.2 + 1.231) = 1.2421 h3 = 0.1; y˜3 = 1.2421 + 0.1 · (0.3 + 1.2421) = 1.3863 y3 = 1.2421 + 0.05(0.2 + 1.2421 + 0.3 + 1.3863) = 1.3985 h4 = 0.1; y˜4 = 1.3985 + 0.1 · (0.3 + 1.3985) = 1.5683 y4 = 1.3985 + 0.05(0.3 + 1.3985 + 0.4 + 1.5683) = 1.5818 https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 39 / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Phương pháp lặp Phương pháp Euler Phương pháp Euler cải tiến Phương pháp Runge-Kutta 2.3 Phương pháp Euler cải tiến hanCong.com Nghiệm https://fb.com/tailieudientucntt xác y(x) = 2ex − x − Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 40 / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Phương pháp lặp Phương pháp Euler Phương pháp Euler cải tiến Phương pháp Runge-Kutta 2.3 Phương pháp Euler cải tiến Bài tập: Giải PTVP sau PP Euler vaf Euler cải tiến 2.5 y = 2x + y x ∈ [0, 0.5] y(0) = hanCong.com 2.6 y = ex + y y(0) = x ∈ [0, 1] 2.7 y = x ln(2y + 1) y(0) = x ∈ [0, 0.4] 2.8 y = x sin(x + 2y) y(0) = x ∈ [0, 1] https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 41 / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Phương pháp lặp Phương pháp Euler Phương pháp Euler cải tiến Phương pháp Runge-Kutta 2.4 Phương pháp Runge-Kutta Nội dung phương pháp Runge-Kutta tang độ xác yi+1 ta cần thêm điểm trung gian xi xi+1 Đặt yi+1 = yi + ∆yi biển diễn phần số gia dạng ∆yi = c1 k1 (hi ) + c2 k2 (hi ) + + cr kr (hi ) (23) với cj hệ số kj (hi ) hàm số xác định sau kj (hi ) = hi (ξj , ηj ); ξj = αj hi ; ηj = y0 + βj1 k1 + + βj(j−1) kj−1 (24) Tiếp theo ta lập hàm số biểu diễn sai số địa phương dạng ϕ(hi ) = y ∗ (xi+1 ) − yi − ∆yi (25) mong muốn sai số địa phương có bậc s + 1, nghĩa hanCong.com ϕ(0) = ϕ (0) = = ϕ(s) (0) = 0, ϕ(s+1) (0) = (26) https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 42 / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Phương pháp lặp Phương pháp Euler Phương pháp Euler cải tiến Phương pháp Runge-Kutta 2.4 Phương pháp Runge-Kutta Hệ phương trình để xác định hệ số cj , αi , βij thu từ điều kiện (26) Ta có r (m) ϕ(m) (0) = yc (m) − cj kj (0) (27) j=1 Từ từ (26) ta nhận hệ đẳng thức  c1 k1 (0) + c2 k2 (0) + + cr kr (0) =    c k (0) + c k (0) + + c k (0) = y (0) r r 1 2    (s) (s) (s) c1 k1 (0) + c2 k2 (0) + + cr kr (0) = y (s) (0) hanCong.com (28) https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 43 / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Phương pháp lặp Phương pháp Euler Phương pháp Euler cải tiến Phương pháp Runge-Kutta 2.4 Phương pháp Runge-Kutta r + 3r − ẩn số cj , αj , βij Ta xem (28) tạo phương trình? Dòng thứ đẳng thức nên khơng có phương trình Dòng thứ hai, lấy h = hai vế chứa f (x0 , y0 ) nên tạo phương trình Dòng thứ ba, lấy h = hai vế chứa f (x0 , y0 ), fx (x0 , y0 ), fy (x0 , y0 ) nên tạo hai phương trình Tương tự, dòng thứ m tạo m − phương trình s(s + 1) Do số phương trình hệ Có tất So sánh số ẩn số phương trình, ta lấy s = r Hệ phương trình có nghiệm khơng nghiệm hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 44 / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Phương pháp lặp Phương pháp Euler Phương pháp Euler cải tiến Phương pháp Runge-Kutta 2.4 Phương pháp Runge-Kutta Công thức Runge-Kutta bậc hai  k = hi f (xi , yi )    k2 = hi f (xi+1 , yi + k1 )    yi+1 yi + 21 (k1 + k2 ) Công thức Runge-Kutta bậc ba  k1 = hi f (xi , yi )       k2 = hi f (xi + hi , yi + k1 ) 2 hanCong.com  k3 = hi f (xi + hi , yi − k1 + 2k2 )      yi+1 yi + 16 (k1 + 4k2 + k3 ) (29) (30) https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 45 / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Phương pháp lặp Phương pháp Euler Phương pháp Euler cải tiến Phương pháp Runge-Kutta 2.4 Phương pháp Runge-Kutta Ví dụ 2.4 : Giải phương trình vi phân sau y =x +y y(0) = x ∈ [0, 0.4] Sử dụng Runge-Kutta bậc vơi phân hoạch [0 0.1 0.2 0.3 0.4]: h1 = 0.1; k1 = 0.1·(0+1) = 0.1; k2 = 0.1·(0.1+(1+0.1)) = 0.12; y1 = + (0.1 + 0.12)/2 = 1.11 h2 = 0.1; k1 = 0.1 · (0.1 + 1.11) = 0.121; k2 = 0.1 · (0.2 + (1.21 + 0.121)) = 0.1431; y2 = 1.11 + (0.121 + 0.1431)/2 = 1.2421 h3 = 0.1; k1 = 0.1 · (0.2 + 1.2421) = 0.1442; k2 = 0.1 · (0.3 + (1.2421 + 0.121)) = 0.1686; y3 = 1.2421 + (0.1442 + 0.1686)/2 = 1.3985 h4 = 0.1; k1 = 0.1 · (0.3 + 1.3985) = 0.1698; k2 = 0.1 · (0.4 + (1.3985 + 0.1698)) = 0.1968; y (0.1698 + 0.1968)/2 = 1.5818 = 0.3985 + hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 46 / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Phương pháp lặp Phương pháp Euler Phương pháp Euler cải tiến Phương pháp Runge-Kutta 2.4 Phương pháp Runge-Kutta Sử dụng Runge-Kutta bậc vơi phân hoạch [0 0.1 0.2 0.3 0.4]: h1 = 0.1; k1 = 0.1 · (0 + 1) = 0.1; k2 = 0.1 · ((0 + 0.1/2) + (1 + 0.1/2)) = 0.11; k3 = 0.1 · ((0 + 0.1) + (1 − 0.1 + · 0.11)) = 0.122; y1 = + (1/6) · (0.1 + 0.11 + 0.122) = 1.11; h2 = 0.3; k1 = 0.1 · (0.1 + 1.11) = 0.121; k2 = 0.1 · ((0.1 + 0.1/2) + (1.11 + 0.121/2)) = 0.1321; k3 = 0.1·((0.1+0.1)+(1.11−0.121+2·0.1321)) = 0.1453; y2 = 1.11 + (1/6) · (0.121 + 0.1321 + 0.1453) = 1.2428; h3 = 0.1; k1 = 0.1 · (0.2 + 1.2428) = 0.1443; k2 = 0.1 · ((0.2 + 0.1/2) + (1.2428 + 0.1443/2)) = 0.1565; k3 = 0.1 · ((0.2 + 0.1) + (1.2428 − 0.1443 + · 0.1565)) = 0.1711; y3 = 1.2428 + (1/6) · (0.1443 + 0.1565 + 0.1711) = 1.3997; hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 47 / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Phương pháp lặp Phương pháp Euler Phương pháp Euler cải tiến Phương pháp Runge-Kutta 2.4 Phương pháp Runge-Kutta Bài tập: Giải PTVP sau PP Runge-Kutta bậc hai bậc ba 2.9 y = 2x + y x ∈ [0, 0.5] y(0) = hanCong.com 2.10 y = ex + y y(0) = x ∈ [0, 1] 2.11 y = x ln(2y + 1) y(0) = x ∈ [0, 0.4] 2.12 y = x sin(x + 2y) y(0) = x ∈ [0, 1] https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 48 / 48 ... https://fb.com/tailieudientucntt Giảng vi n Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Tích phân hình thang Tích phân Simpson Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss Tích phân. .. https://fb.com/tailieudientucntt Giảng vi n Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Tích phân hình thang Tích phân Simpson Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss Tích phân. .. https://fb.com/tailieudientucntt Giảng vi n Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số / 48 Tích phân số Phương trình vi phân Tích phân hình thang Tích phân Simpson Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss Tích phân