VẬN DỤNG TÍCH PHÂN

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO_ Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế SĐT: 0935.785.115 Đăng kí học theo địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế Hoặc Trung tâm Km 10 Hương Trà Trung tâm C.Y.K 10/1 Bảo Quốc, TP Huế Tuyển tập Bài tập vận dụng: NGUYÊN HàM TíCH PHÂN øng dơng Lun thi THPT 2017_2018 H, th¸ng 5/2018 Chun VN DNG: Tích phân ứng dụng Luyn thi THPT Quc gia 2018 TRắC NGHIệM (VậN DụNG): NGUYÊN HàM - TÝCH PH¢N - øng dơng Câu 1: (Đề minh họa 2018) Biết I   dương Tính P  a  b  c A P  24 Lời giải dx  x  1 x  x x1 C P  18 B P  12 Ta có:  a  b  c với a , b , c số nguyên x   x  , x  1;  nên: I   dx  x  1 D P  46 x  x x1  x  x  1  x   x  dx  x   x  dx  x  x  1 x  x  1  x   x  x   x   1      dx   x  x       32  x1   x 2 1  2 dx  x1  x 12  1  a  32  Do I  a  b  c nên b  12 Suy ra: P  a  b  c  32  12   46 c   Cách khác: I    x  1 dx x  x x1  x  x  1 dx  x1  x     x   x dx x  x  1  x1  x  1  x1  x  dx Đổi cận: Đặt: t  x   x  dt    dx  2dt  x  x  1  x1 x  Khi đó: I   2  1   x   t     x   t   2 dt      t  t  1  32  12   a  32  Mà I  a  b  c nên b  12 Suy ra: P  a  b  c  32  12   46  Chọn đáp án D c   Câu 2: (Đề minh họa 2018) Cho H hình phẳng giới hạn parabol y  3x2 , cung tròn có phương trình y   x2 (với  x  ) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Tính diện tích  H  4  12 4   C A 4   2 D B Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm Parabol y  3x2 cung tròn y   x2 (với  x  )  x2  3x2   x2  3x4 q   x  (vì  x  ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề VẬN DNG: Tích phân ứng dụng Cỏch 1: Diện tích  H  S   3x dx   Luyện thi THPT Quốc gia 2018 31  x dx  x I   I với I    x dx 3      Đặt: x  2sin t , t    ;   dx  2cos t.dt Đổi cận: x   t  , x   t   2    2     6 6  I    sin t 2cos t.dt   cos t.dt     cos 2t  dt   x  sin 2t  2  2  3 2 4  I     3 Cách 2: Diện tích  H  diện tích phần tư hình tròn bán kính trừ diện tích hình phẳng Vậy S  giới hạn cung tròn, parabol trục Oy Tức S        x2  3x2 dx  Chọn đáp án B Câu 3: (Đề minh họa 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 1  , 1 2    Tính tích phân f x d x  x f x d x      0 0 f  x  dx 0   A B C D Lời giải du  f   x  dx  u  f  x   Cách 1: Tính:  x f  x  dx Đặt  Ta có:  x3 d v  x v      1 f 1  f 1    x f   x  dx    x f   x  dx 30 30 Mà  x f  x  dx   x dx  1  x f  x  dx  x3 f  x   1 x f   x  dx 0 1    x3 f   x  dx    x3 f   x  dx  1 Ta có   f   x   dx  (1) 30 0 x7 1    49 x6 dx  49  (2) 7 1 3  x f   x  dx  1   14x f   x  dx  14 (3) 0 1 Cộng hai vế (1) (2) (3) suy   f   x  dx   49 x6 dx   14 x f   x  dx    14       f   x    14 x f   x   49x6 dx     f   x   x  dx  1 Do  f   x   x3      f   x   x  dx  Mà   f   x   x3  dx   f   x   7 x3 2 0 1  f   x  dx    7 x  dx  f  x    Do f  x    7x  Vậy 4  7x 7  C Mà f 1     C   C  4  x4   x5  f  x  dx       dx     x  4  20  0 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dơng Luyện thi THPT Quốc gia 2018   u  f  x  du  f  x  dx Cách 2: Tính:  x f  x  dx Đặt   x v  dv  x  1 x f  x 1 1 Ta có:  x2 f  x  dx    x f   x  dx    x3 f   x  dx    x f   x  dx  1 30 30 0   Xét:   f   x   kx3 f   x   k x6  dx   *     f   x   kx3  dx   f   x   kx3 1   0 x7 Từ đó:  *    k  1  k    2k  k2   k  Từ 1  f   x   7 x3 x x4  C , mà f 1   7  C   C  4 1 4   7x  x x 7  f  x   7    f  x  dx    7   dx     x    Chọn đáp án A 4 4  20  0  f  x    f   x  dx  7 Cách 3: Tương tự ta có:  x3 f   x  dx  1 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 1 1  1  1  2 2    x3 f   x  dx     x dx      f   x  dx       f   x  dx    f   x  dx       0 0  0  0  Dấu xảy f   x   ax , với a   ax7 Ta có  x f   x  dx  1   x ax dx  1  0 3  1  a  7  Vậy   7 x4  C , mà f 1  nên C  Do f  x    x4 x   4 4  7x  7x  7 f  x  dx       dx     x  4  20  0 Suy f   x   7 x3  f  x    Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cho hàm số f  x  g  x  liên tục đoạn  a; b  b  b  b  f x g x d x  f x d x Khi đó, ta có                g  x  dx  a  a  a  Chứng minh: b Trước hết ta có tính chất: Nếu hàm số h  x  liên tục khơng âm đoạn  a; b   h  x  dx  a Xét tam thức bậc hai  f  x   g  x    f  x   2 f  x  g  x   g  x   , với   b b b a a a Lấy tích phân hai vế đoạn  a; b  ta được:   f  x  dx  2  f  x  g  x  dx   g  x  dx  0,    Coi  *  tam thức bậc hai theo biến  nên ta có   Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế * Chuyờn VN DNG: Tích phân øng dông Luyện thi THPT Quốc gia 2018 2 b  b  b  b  b  b     f  x  dx     f  x  dx   g  x  dx      f  x  dx     f  x  dx   g  x  dx  (đpcm)           a  a  a  a  a  a   Câu 4: Cho f  x  hàm liên tục  thỏa mãn f 1   f  t  dt  A I  B I  , tính I   sin x f   sin x  dx C I  D I   Lời giải   2 0 Ta có: I   sin x f   sin x  dx   2sin x cos x f   sin x  dx 1 0 1 0 Đặt t  sin x  dt  cos xdx  I   2tf   t  dt   2tdf  t   2tf  t    f t  d  2t   f 1   f t  dt    Chọn đáp án A Câu 5: Cho hàm số chẵn y  f  x  liên tục  f  2x   1 1 A Lời giải Ta có f  2x   1 1 x B dx   f  x 2 1  x f  x 2 1  2 dx   x  f  x  dx C f  x f  x  2 2 D 16 dx  16 Đặt t  x  dt  dx , 16  I  Suy I  x dx  Tính  3 1 x 1 x dx   2 2 x dx    f  t  1 t f t  t 2 dt   1 2 f  x  dx   f  x  dx Vậy t dt  f  x  dx  16  Câu 6: Cho f  x  hàm liên tục  thỏa mãn f 1   f  t  dt  , tính I   sin x f   cos x  dx B I  C I  1 D I  3 Câu 7: Cho hai hàm số liên tục f g có nguyên hàm F G đoạn 1;  Biết 2 67 F 1  , F    , G  1  , G     f  x  G  x  dx  Tính  F  x  g  x  dx 12 1 A I  A 11 12 B  145 12 C  11 12 D 145 12 Lời giải 2 u  F  x   du  f  x  dx Đặt  Ta có:  F  x  g  x  dx   F  x  G  x     f  x  G  x  dx  1 dv  g  x  dx  v  G  x  67 11  Chọn đáp án A   F   G    F 1 G 1   f  x  G  x  dx  4.2   12 12 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề VN DNG: Tích phân ứng dụng Luyn thi THPT Quốc gia 2018   Câu 8: Cho hàm số y  f  x  liên tục  hàm số y  g  x   xf x2 có đồ thị đoạn 0;  hình vẽ bên Biết diện tích miền gạch sọc S  , tính tích phân I   f  x  dx A I  B I  25 C I  D I  Lời giải 2 1   Ta có: S   g  x  dx   xf x dx Đặt t  x2  dt  2xdx Suy ra: S  Theo giả thiết: S  4 1 f  t  dt   f  x  dx  21 21 4 5   f  x  dx    f  x  dx   Chọn đáp án D 21 Câu 9: Cho số thực a , b khác không Xét hàm số f  x   a  x  1  bxe x với x khác 1 Biết f     22  f  x  dx  , tính S  a  b A S  19 B S  10 C S  D S  12 Lời giải Ta có f   x   3a  x  1  be x  bxe x nên f     3a  b  22  1 1   3 a x  Xét   f  x  dx    bxe dx  a   x  1 d  x  1  b xd e x   0  x  1    x1 x  a 3a a1  x    |  b  b 2  xe   e dx        b e  e     2     x  1 1   3a  b  22 a     a  b  10  Chọn đáp án B Từ  1   ta có  3a b   b5 8  Câu 10: Cho hàm số f  x  liên tục  , biết  f  tan x  dx   0 A B x2 f  x  x2  C dx  Tính I   f  x  dx D Lời giải   f x  f  x f  x    dx Đặt x  tan t  I   f  tan t  d tan t dx  I    Ta có    f  x    dx  I   0 tan2 t     x   x 1 0 x 1  f  tan t  cos t 2  d t  I   0 f  tan x  dx     Chọn đáp án D cos t Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề VN DNG: Tích phân ứng dụng Luyn thi THPT Quốc gia 2018 Câu 11: Cho hàm số f  x  xác định  \1;1 thỏa mãn f   x   Biết f  3   f  3  x 1  1 f      2 1 f    Tính giá trị biểu thức P  f  2   f    f   2 9 A P   ln B P   ln C P   ln 5 D P   ln Lời giải Ta có: f  x    f   x  dx    2 x 1  ln  C Khi đó: x 1 x 1 dx f   x  dx  f  2   f  3   f  2   f  3    3    x 3  dx  f  2   f  3   ln 2 1 dx f   x  dx  f    f    f    f       2  f    f    ln x 1  1 f   x  dx  f    f     f     2 dx  1 f      f 0    1 x  1 2  1 f     ln  2  3 2 1 1  f   x  dx  f    f    f    f     x 0  1 Từ      f    f      2 1  f    f    ln 1 2 dx 4  1 f     f 0    5 2 Từ  1 ,      P  f  2   f    f    f  3   f    ln  ln    ln 2 5  Chọn đáp án C Câu 12: Cho hàm số f  x xác định  \ 2; 2 thỏa mãn f  x  f  3  f  3  f  1  f 1  Tính giá trị biểu thức f  4   f    f   A B C , x 4 D Lời giải Ta có:  x   dx      dx  ln x   ln x   C 4 x2 x2  x2 ln x   C1 x  2   2x f  x   ln  C2   x  Do đó:  x2  x2 ln x   C3 x   1  f  3   ln  C1 ; f    ln  C3 ; f    C2 ; f  1  ln  C2 ; f  1  ln  C2 ;  C  C3   f  3  f    f  1  f 1   C1  C3  2C2     C2  Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyờn VN DNG: Tích phân ứng dụng Luyn thi THPT Quốc gia 2018 Vậy f  4   f    f    ln  C1  C2  ln  C3  C1  C2  C3   Chọn đáp án D Câu 13: Cho hàm số f  x  xác định  \1;1 thỏa mãn f   x   Biết f  2   f    x 1  1 1 f     f    Tính giá trị biểu thức P  f  3  f    f    2 2 A P  1  ln B P   ln Câu 14: Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa C P   ln  f  2x  dx  B 32  f  6x  dx  14 Tính  f  x   dx 2 0 A 30 D P  1  ln C 34 D 36 Lời giải +) Xét  f  2x  dx  Đặt u  2x  du  2dx ; x   u  ; x   u  Nên   f  x  dx  2 f  u  du   f  u  du  0 +) Xét  f  6x  dx  14 Đặt v  6x  dv  6dx ; x   v  ; x   v  12 Nên 14   f  x  dx  +) Xét 2 12 12 f  v  dv   f  v  dv  84 0  f  x   dx   f  x   dx   f  x   dx 2  TínhI1   f  x   dx 2 Đặt t  x  Khi 2  x  , t  5x   dt  5dx ; x  2  t  12 ; x   t   I1  12 2  1 1  f t d t  f  t  dt    84    16 f t d t         12   TínhI1   f  x   dx Đặt t  x  Khi  x  , t  5x   dt  5dx ; x   t  12 ; x   t   I2  12 12  1  f t d t  f  t  dt    84    16 Vậy f t d t          52   f  x   dx  32  Chọn đáp án B 2 1 Câu 15: [Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT – 2018]: Cho hàm số f  x  xác định  \   thỏa mãn 2 , f    f 1  Giá trị biểu thức f  1  f   f  x  2x  A  ln15 B  ln15 C  ln15 D ln15 Lời giải 1 dx  ln 2x   C , với x   \   Ta có: f  x    f   x  dx   2x  2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dơng Luyện thi THPT Quốc gia 2018 1 Hàm số f  x  có đạo hàm  \   nên liên tục khoảng 2  1 +) Xét  ;  Ta có f    , suy C  2   1  1  ;   ;   2  2   1 Do đó, f  x   ln 2x   , với x   ;  Suy f  1   ln 2  1  +) Xét  ;   Ta có f 1  , suy C  2  1  Do đó, f  x   ln 2x   , với  ;   Suy f     ln 2  Vậy f  1  f     ln  ln   ln15  Chọn đáp án C Câu 16: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục đoạn 0;1 thỏa f 1  ,   f   x dx    0 cos  x  f  x  dx  Tính A  2  f  x  dx B  C  D  Lời giải du  f   x  dx u  f  x      Đặt  Do  cos  x  f  x  dx   x x  2 dx v  sin   dv  cos  2     sin x f  x       sin  x  f   x  dx    sin  x  f   x  dx     2  2  1    2       Lại có:  sin  x  dx   I     f   x   dx      sin  x  f   x  dx   sin  x  dx     0   2  2  0 0 1 1 2     2      f   x   sin  x   dx    0    2   0 2         Vì   f   x   sin  x    đoạn 0;1 nên    f   x   sin  x   dx         0        f   x   sin  x   f   x    sin  x   2  2      Suy f  x   cos  x   C mà f 1  f  x   cos  x  Vậy 2  2   Chọn đáp án D    f  x  dx   cos  x  dx   2  Câu 17: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x   f  x  f   x   2x2  x  , x  f    f     Tính giá trị  f 1  A 28 B 22 C 19 D 10 Lời giải Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch ph©n vµ øng dơng Luyện thi THPT Quốc gia 2018 Ta có  f  x  f   x    f   x   f  x  f   x  Do theo giả thiết ta  f  x  f   x   2x2  x  x2 Suy f  x  f   x   x   x  C Hơn f    f     suy C  2  x2 Tương  f  x   f  x  f   x  nên  f  x     x   x   3  2  x2 x3 Suy f  x     x3   x   dx  x4   x2  18 x  C , f    3 3  x3 suy f  x   x4   x2  18 x  Do  f 1  28  Chọn đáp án A 3 Câu 18: Cho hàm số f  x  liên tục nhận giá trị dương 0;1 Biết f  x  f 1  x   với dx  f  x x  0;1 Tính giá trí I   A B Lời giải Ta có: f  x  f 1  x   f  x    f  x   C D f  x  f 1  x   1  f  x  dx Đặt t   x  x   t  dx  dt Đổi cận: x   t  ; x   t   f  x Xét I   1 f  x  dx dt dt dx    1  f 1  t   f 1  t   f 1  x   f  x Khi I    1 f  x  dx 1  f  x  dx   d x  0  f  x  0  f  x  0  f (t) 0 dx  hay 2I  Vậy I   Chọn đáp án B Mặt khác Câu 19: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  , đồng thời thỏa mãn f  x   0, x  ; f    f   x     2x  f  x  Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f  x   m  có hai nghiệm thực phân biệt A m  e B  m  C  m  e Lời giải f  x   x  *  Lấy nguyên hàm vế  *  , ta Xét biểu thức f  x   d f  x f  x   x D  m  e f  x  f  x  dx     2x  dx    x  C  ln f  x    x  2x  C   C  Do f  x   e  x Lập bảng biến thiên hàm số f  x   e  x f 1  2x  2x  ;    , ta thấy phương trình f  x   m có hai nghiệm thực phân biệt   m  e  Chọn đáp án C x a Câu 20: Cho  dx   b ln  c ln với a , b , c số nguyên Tính S  a  b  c 4 x1 A S  B S  C S  D S  Lời giải Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch phân ứng dụng Do ú: g x   Luyện thi THPT Quốc gia 2018 4  x  x  0;1    g  x   dx    x  dx  3  0 1   g  x  dx   Chọn đáp án A   Câu 50: Cho hàm số f có đạo hàm liên tục 1;  đồng thời thỏa mãn điều kiện: 2 2 2  f x3  dx  f x3 dx  f  x  dx  x  dx Tính tích phân  f   x   dx 1         31 1     A  ln 27  ln 27 B C D Lời giải 2 2 2 Đặt t  x3  dt  3x2 dx Khi đó:   f x3  dx   f x3 dx   f  x  dx   x2  dx      1 t2  f  t   dt     1 t2     f  t   t dt    1  t2  31 t   dt  2  f t    t2   dt   f  t   t    f   x   dx  8ln  Chọn đáp án A        27 t 1   Câu 51: Cho hàm số f  x  có đạo hàm dương, liên tục 0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện  1 f    3  f   x  f  x    dx   f   x  f  x  dx Tính tích phân 9 0 5 A B C Lời giải 1  f  x  dx D 1  Theo bất đẳng thức Holder ta có:   f   x  f  x  dx    f   x  f  x  dx. dx 0  2 1 1 1  1  Như vậy:    f   x  f  x    dx    f   x  f  x  dx     f   x  f  x    dx   9  9  0 0 Do đó: f   x  f  x   1  f  x  x    f  x  dx   Chọn đáp án D Câu 52: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f 1  ;  f  x  dx    x  1 1 A   x f   x  dx   Tính tích phân x2 B 15  f  x  dx 53 C 60 D 203 60 Lời giải Sử dụng tích phân phần ta có:  f  x  dx  Mặt khác: 1  x    x f  x x2   1  x  2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 1  f 1   xf   x  dx   xf   x  dx  0 1  x f  x x2  CLB Giáo viên trẻ TP Huế 21 Chuyên đề VẬN DNG: Tích phân ứng dụng Luyn thi THPT Quốc gia 2018    2 x x   f   x  dx   f   x  dx  3 x2 2x Tích phân hai vế ta  2 1  1   x x Áp dụng Holder:   xf   x  dx      x   x  f   x  dx    x   x  dx. f   x  dx   2x 2x 0  0      x x2 53 f   x  dx  nên dấu  f   x    x  f  x   x    f  x  dx  2x 60 0 Do    Chọn đáp án C Câu 53: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục dương  thỏa mãn điều kiện f    f ' x đồng thời f  x   x Tính T  f 2  f 1 x 1  A T   2 Lời giải t Ta có: f ' x  f  x B T  D T   C T  t   x dx  ln f  t   ln t   f  t   t   T   2  Chọn đáp án A x 1 dx   Câu 54: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục 0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f      21 x2   12  x  1  12 xf  x    f '  x  x  0;1 Tính  f  x  dx 2 A Lời giải  B  Ta có 21 x2   12  x  1  12 xf  x    f '  x   2   D  C 2 1   2 36 24   f  x  d x     f '  x   dx     x2  f '  x  dx    f '  x   dx 5 0 0    f '  x   3x2  3 dx   f  x   x  3x   Chọn đáp án A Câu 55: Cho   f '  x hàm số f  x dx    x  1 e x f  x  dx  A  e có đạo hàm e2  f 1  Tính B  e liên tục 0;1 thỏa mãn  f  x  dx D  e C e Lời giải 1 e2  Ta có:    x  1 e x f  x  dx   f  x  d x.e x    x.e x f '  x  dx 0      f '  x  dx    x.e x f '  x  dx     f '  x   x.e x   e2    x e x dx   f '  x  dx   x e x dx   x.e x f '  x  dx  0 0 1   1 dx   f '  x   x.e x  f  x   e x  x  1   f  x  dx   e  Chọn đáp án B  Câu 56: Cho f  x  liên tục  thỏa mãn  Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 f  tan x  dx   x2 f  x  x2  dx  Tính  f  x  dx CLB Giáo viên trẻ TP Huế 22 Chuyờn VN DNG: Tích phân ứng dụng A B Luyện thi THPT Quốc gia 2018 C D Lời giải Đặt tan x  t    f  t  1 dt Vậy   f  x  dx  Chọn đáp án D t 1 Câu 57: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục khơng âm 1;  đồng thời thỏa mãn điều kiện   x  2xf  x    f '  x  đồng thời f  1  Tính  f  x  dx A 1186 45 B 2507 90 C Lời giải 2 f  x  Vì f 1  d2 f  x    xdx  f  x    D f ' x Ta có: x  f  x   1   f '  x   x f  x    f '  x    848 45 f  x  1831 90  x x x C 4 1186  Chọn đáp án A  C    f  x  dx  45 Câu 58: Cho f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   f 10  x   f  x  dx  Tính A 40 B 80  xf  x  dx C 20 D 60 Lời giải 7 3 Ta có: I   10  x  f 10  x  d 10  x   I   10  x  f  x  dx  I   10 f  x  dx  I  20  Chọn đáp án C Câu 59: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục 0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện  f   x   f    0, f 1   dx  Tính tích phân I   f  x  dx e 1 ex 0 A e2 e 1 B e 1 e2 C D  e  1 e   Lời giải  f   x  1  Theo bất đẳng thức Holder ta có:   x  dx. e x dx    f   x  dx    e  1  e  e 0   f ' x Đẳng thức xảy khi: Vậy f  x   ex  k e x  f '  x   k.e x Vì  f '  x  dx   k  e  1 e2 e C e 1  Chọn đáp án A Mà f    0, f 1  f  x   Vậy I  e 1 e 1 e 1 x x Câu 60: Cho biết x  0;   x2  f  t  dt  x  5x Tính f   A 2 B 8 C D Lời giải Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Hu 23 Chuyờn VN DNG: Tích phân ứng dơng x2 Ta có  f  t  dt  F  x   F    x Luyện thi THPT Quốc gia 2018    5x Vậy x.F ' x2  3x2  10 x      f x2  F ' x2  x   f    2  Chọn đáp án A Câu 61: Cho hàm số y  f  x  dương liên tục 1; 3 thỏa mãn max f  x   2; f  x   biểu 1;3 1;3 3 thức S   f  x  dx  dx đạt giá trị lớn Khi tính 1 f  x A B C  f  x  dx D Lời giải 5     f  x Ta có:  f  x     f  x   1  f  x      f  x   f  x f  x 3  25  S   f  x  dx    f  x  dx  Ta tìm max S    1   f  x  dx   Chọn đáp án B Câu 62: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục 0;1 đồng thời f    0, f 1  1 f  x 2   Tính tích phân f ' x  x dx  dx 0     ln   x2 A  ln       1 ln  B C   ln  D      ln  Lời giải Theo bất đẳng thức Holder ta có:   f '  x   Mặt khác  1 x  dx  ln x   x2  x dx.  f '  x  dx  nên k  ln 1    10  ln 1   Vậy đẳng thức xảy f '  x   x2  Vì 2 1  dx    f '  x  dx      x2  f ' x  k 1 x Vậy f  x    ln  k  x2    ln x   x  C  f    f  x dx  ln   Chọn đáp án C Vì  nên C  Do   x2  f  1  Câu 63: Cho hàm số y  f  x  liên tục  \0; 1 thỏa mãn điều kiện  x  x  1 f '  x   f  x   x  x Biết f    a  b ln A B 13   a, b  Q  Tính a C 2 f 1  2ln b D Lời giải Ta có f '  x   x x f ' x  f  x  f  x   x1 x1 x  x  1  x  1 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Hu 24 Chuyờn VN DNG: Tích phân ứng dông Luyện thi THPT Quốc gia 2018  x  x x   f  x '  f  x  x  ln x   C  x  1 x  x1  Ta có f 1   ln  C  C  1 Khi f     ln    ln 3 3  f     ln a2  b2   Chọn đáp án D 2 Câu 64: Xét hàm số f ( x) liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn f  x   f 1  x    x2 Tính  f ( x)dx  C 20  B  A  D 16 Lời giải Ta có: f  x   f 1  x    x2  f  x     x2  f 1  x    1 1  1 Nên I   f  x  dx     x2  f 1  x  dx     x2 dx  3 f 1  x  dx  (1)   20  0 Xét:  f 1  x  dx Đặt t   x ta có dt  dx x   t  , x   t  Khi đó,  Xét:  0 1 0 f   x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx (2)     x dx Đặt x  sin t ,   t   , ta có dx  cos t dt x   t  , x   t  Khi đó, 2        sin 2t    cos 2t  sin t cos t dt   cos2 t dt   dt   t    (3) 2 0 0 2  x dx       Chọn đáp án C Từ (1), (2) (3) suy ra: I    3.I   I  24 20  ** Nhận xét: Để làm BTTN nhanh ta sử dụng máy tính hỗ trợ sau: Sau ta thấy 1 0  f 1  x  dx   f  x  dx Dùng MTCT tính   x dx gán giá trị vào biến nhớ A (bằng phím STO) xem giá trị  f  x  dx  X , nhập vào MTCT biểu thức  f  x  dx  1  1    x dx  3 f   x  dx sau:   Giải tìm X chức SOLVE, ta được: phương án chọn Cách khác: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 Đối chiếu kết với CLB Giáo viên trẻ TP Hu 25 Chuyờn VN DNG: Tích phân ứng dông Luyện thi THPT Quốc gia 2018 Xét I   f  x  dx Đặt x   t ta có dx  dt x   t  , x   t  0 1 Ta có: f  x   f 1  t  Khi đó, I   f 1  t  dt   f 1  x  dx    Suy ra:  I   0 f  x   f 1  x  dx 1  3I   f 1  x  dx   I   f  x  dx Tính    x dx  1 0   f  x   f 1  x  dx     (đổi biến dùng máy tính)   Do f  x   f 1  x    x2 nên  x dx   Từ  1 ,     suy 5I   I  20 Câu 65: Xét hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn f  x   f 1  x    x2 Tính   f  x   f   x   dx A  4 B  6 C   20 20 D   16 16 Lời giải 1 0 Ta có:   f  x   f   x   dx   f  x  dx   f   x  dx Theo đề: f  x   f 1  x    x2  f  x     x2  f 1  x    1 1  1 Nên I   f  x  dx     x2  f 1  x  dx     x2 dx  3 f 1  x  dx  (1)   20  0 Xét:  f 1  x  dx Đặt t   x ta có dt  dx x   t  , x   t  Khi đó,  Xét:  0 1 0 f   x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx (2)     x dx Đặt x  sin t ,   t   , ta có dx  cos t dt x   t  , x   t  Khi đó, 2     x dx       sin 2t    cos 2t  sin t cos t dt   cos t dt   dt   t    (3) 2 0 0 2 2    Từ (1), (2) (3) suy ra: I    3.I   I  24 20  Vậy   2 f 0    f  f          Lại có: f  x   f 1  x    x2 nên  f  x  dx  20 2 f  1  f     f  1   Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 26 Chuyên đề VN DNG: Tích phân ứng dụng Do đó, f   x  dx  f 1  f      Vậy: 5 Luyện thi THPT Quốc gia 2018    f  x   f   x  dx  20     20 20  Chọn đáp án C   Câu 66: Xét hàm số f ( x) liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn f  x   2x f  x2   x2 Tính  f  x  dx  16 A B  C  D  16 Lời giải     Ta có: f  x   2x f  x2   x2  f  x     x2  2x f  x   3 1 1  1 Nên I   f  x  dx     x2  x f  x2 dx     x2 dx   x f  x dx  (1)   30 0        +) Xét:  x f  x dx Đặt t   x2 ta có dt  2xdx x   t  , x   t    1 0 Khi đó,  x f  x dx    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx (2)     x dx Đặt x  sin t ,   t   , ta có dx  cos t dt x   t  , x   t  2   +) Xét:  Khi đó:   x dx       sin 2t    cos 2t  sin t cos t dt   cos2 t dt   dt   t    (3) 2 0 0 2     Chọn đáp án D Từ (1), (2) (3) suy ra: I    I   I  16 34  Câu 67: Cho f , g hai hàm liên tục 1; 3 thỏa:   f  x   g  x   dx  10  2 f  x   g  x  dx  Tính   f  x   g  x   dx A B C D Lời giải 3 Ta có   f  x   3g  x   dx  10   f  x  dx  3 g  x  dx  10 1 3 1 Tương tự   f  x   g  x  dx    f  x  dx   g  x  dx  3 u  3v  10 u   Xét hệ phương trình  , u   f  x  dx , v   g  x  dx 2u  v  v  1 3 1 Khi   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx     Chọn đáp án C Câu 68: Cho hàm số f ( x) , g  x  liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn m f  x   n f 1  x   g( x) với m, n 1 0 số thực khác  g( x)dx   f ( x)dx  Tính m  n Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Hu 27 Chuyờn VN DNG: Tích phân øng dông A B Luyện thi THPT Quốc gia 2018 C D Lời giải 1 1 0 0 Ta có: m f  x   n f 1  x   g( x)    m f  x   n f 1  x dx   g( x)dx  m f  x dx  n f 1  x dx   m  n f 1  x dx  (1) Xét: Khi đó,  f 1  x  dx Đặt t   x ta có dt  dx x   t  , x   t  0 1 0 f   x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx  (2) Từ (1) (2) suy ra: m  n    Chọn đáp án C Câu 69: Cho hàm số y  f ( x) liên tục có đạo hàm  thỏa mãn f (2)  2 ,  f ( x)dx  Tính tích phân I   f   x  dx A I  10 B I  5 C I  D I  18 Lời giải Đặt x  t  dx  2tdt Đổi cận: x  0; 4  t  0; 2  I   t f '(t )dt ,   Sử dụng phương pháp tính tích phân phần ta được: I  tf (t )   f (t ).dt   10   (Vì tích phân khơng phụ thuộc vào biến số nên  f (t).dt  )  Chọn đáp án A   f  x  liên tục, không âm đoạn 0;  , thỏa mãn f     2   f ( x) f ( x)  cos x  f ( x) , x  0;  Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M hàm số f  x   2 Câu 70: Cho hàm số    đoạn  ;  6 2 21 A m  C m  D m  3; M  2 ; M  2 B m  ; M  ;M  2 Lời giải f  x f  x    cos x , x  0;   1 Lấy nguyên hàm hai vế  1 ta Theo giả thiết, ta có  2  f  x  f  x f  x dx   cos xdx   d  f  x    cos xdx hay 2  f  x  f  x  Mà f    nên ta có C  Từ đó, suy Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115   f  x   sin x  C  f  x   sin x   f  x   sin2 x  4sin x  CLB Giáo viên trẻ TP Huế 28 Chuyên đề VẬN DNG: Tích phân ứng dụng Luyn thi THPT Quc gia 2018    sin x  Xét hàm số f  x   sin2 x  4sin x  đoạn  ;  ta có f   x    , với 6 2 sin x  4sin x        x   ;   f  x  đồng biến  ;  6 2 6 2   Vậy M  max f  x   f    2 m  f  x         2 6;2 6;2    Câu 71: Biết  x cos xdx  A a  b  c     21  Chọn đáp án A f   6  a sin  b cos  c  , với a, b, c  Khẳng định sau ? B a  b  c  C 2a  b  c  1 D a  2b  c  Lời giải du  dx u  x  Đặt   dv  cos2 xdx v  sin 2x  1 11 1 1   x cos xdx  x sin x   sin xdx  sin  cos2x   2sin  cos  1 20 2 Suy a  2, b  1, c  1  a  b  c   Chọn đáp án B Câu 72: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, dương  , thỏa mãn f    f ' x   f  x  x x   x 1 Khi hiệu f 2  f 1 thuộc khoảng đây? A  2;  B  7;  C  0;1 D  9;12  Lời giải f ' x x  f  x  dx   x  dx  ln f  x   ln  x  1  C Mà f    nên ln1  C  C  Vậy f  x   x  Suy f  2   f 1   2   0;1  Chọn đáp án C Câu 73: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, dương  0;   thỏa mãn f  x   x f   x  x   0;   Khi tổng f    f   thuộc khoảng A  2;  B  5;  C  0;1 D  6;7  Câu 74: Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm dương  0;   thỏa mãn  f   x   4x 1  f  x  x   0;   Khi hiệu f    f   thuộc khoảng     A 12;13 B 10;11 C 13;14  D  9;10  Ta có 2 f (1)  f (1)  2 Câu 75: Cho hàm số f  x  liên tục  tích phân  /4  f (tan x)dx  x f ( x) 0 x2  dx  Tính tích phân  f ( x)dx A B C D Lời giải Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Hu 29 Chuyờn VN DNG: Tích phân øng dơng Xét tích phân: I   /4  Luyện thi THPT Quốc gia 2018 dt  t2 f (tan x)dx  Đặt t  tan x  dt  (1  tan2 x )dx  dx  Đổi cận: x   t  0; x   1 f (t ) f ( x) d t  dx   2 1 t 1 x  t  Khi : I   x f ( x) d x   I  J  0 f ( x)dx   Chọn đáp án B x 1 Ta lại có: J    Câu 76: Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn:   f (sin x).cos xdx  f (3x)dx  Tính tích phân  f ( x)dx C I  f x Câu 77: Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn  dx  x A I  B I    D I  2  /2  f  sin x  cos xdx  Tích phân I   f  x  dx B I  A I  D I  10 C I  Câu 78: Cho hàm số y  f  x  với f    f 1  Biết  e x  f  x   f   x  dx  ea  b với a, b Tính Qa 2017 b 2017 B Q  A Q  22017  C Q  D Q  22017  Lời giải 1     1 0   x x x x x x  e f   x dx   e d f  x   e f  x    f  x  d e Suy  e f   x dx   f  x  d e  e f  x   e  x Ta có 0 Hay  e x  f  x   f   x  dx  e   ea  b Suy a  1, b  1 (do a, b ) Vậy Q  a2017  b2017  0  Chọn đáp án C   Câu 79: Cho hàm số y  f  x  có f    f     2  Tính Q  a2018  b2018 biết   f  x  cos x  f   x  sin x dx   a  b A Q  2018 B Q   Câu 80: Cho hàm số y  f  x  với C Q  D Q  22018  e   f  x f  e   f 1  e Biết    f   x  ln x dx  ea  b Tính  1  x Q  a2017  b2017 B Q  A Q  22017  Câu 81: Giả sử tích phân I   1  3x  C Q  D Q  22017  dx  a  b.ln  c.ln Lúc đó: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 30 Chuyên đề VẬN DNG: Tích phân ứng dụng A a b  c  B a  b  c  Luyện thi THPT Quốc gia 2018 C a  b  c  D a  b  c  Lời giải Xét I    3x  1 Do I  dx Đặt t  3x   t  3x   2tdt  3dx x t 4  t dt  t  ln  t  1  1 t   4 4  ln  ln  a  b  c   Chọn đáp án A 3 3 Câu 82: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số y  f  x 0 hình vẽ bên Khi giá trị biểu thức  f   x   dx   f   x   dx bao nhiêu? B 2 D A 10 C Lời giải Ta có: f   x   dx   f   x   dx   0  2 f   x  dx   f   x  dx 4 0 2  f   x   dx   f   x   dx   f   x  dx  f    f  2    Chọn đáp án D y 83: Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ bên Đặt M  max f  x  , m  f  x  , T  M  m Như vậy: Câu   2;6    2;6  Mệnh đề đúng? A T  f    f  2  B T  f    f   C T  f    f  2  x D T  f    f   -3 -2 -1 -2 Lời giải    2 2 f '  x  dx   f '  x  dx  f    f  2   f    f    f  2   f     f '  x  dx  f '  x  dx  f    f    f  5  f    f    f      f '  x  dx    f '  x  dx  f  5  f    f  5  f    f    f   Ta có BBT hàm số y  f  x  đoạn  2;  : Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 31 Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch phân ứng dụng Luyn thi THPT Quc gia 2018 Suy M  f  5 , m  f  2   T  f    f  2   Chọn đáp án A Câu 84: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục đoạn 0;  đồ thị hàm số y  f   x  đoạn 0;  cho hình bên Khẳng định sau đúng? A f    f    f   B f    f    f   C f    f    f   D f    f    f   Lời giải Ta có  f   x  dx  f  5  f  3  , f  5  f  3 3 +)  f   x  dx  f  3  f    , f  3  f   +)  f   x  dx  f  5  f    , f  5  f    Chọn đáp án C Câu 85: Cho số thực a, b, c , d thỏa mãn  a  b  c  d hàm số y  f ( x) Biết hàm số y  f '( x) có đồ thị hình vẽ bên Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số y  f ( x) đoạn 0; d  Khẳng định sau khẳng định đúng? A M  m  f (0)  f (c) B M  m  f (d)  f (c) C M  m  f (b)  f (a) D M  m  f (0)  f (a) Lời giải Gọi S1 ; S2 ; S3 ;S4 diện tích hình phẳng hợp đồ thị hàm số y  f '( x) trục hoành với x  0; a  ; x   a; b  ; x  b; c  ; x  c; d  a b Ta có: S1   (  f '( x))dx = f (0)  f (a) ; S2   f '( x)dx = f (b)  f ( a) a c d b c S3   (  f '( x))dx  f (b)  f (c) ; S4   f '( x)dx = f (d)  f (c) Dựa vào đồ thị ta có: S1 ; S2 ; S3 ;S4 dương S1  S2 ; S2  S3 ; S3  S4 Từ suy ra: f (0)  f (b)  f (a) ; f (a)  f (c) ; f (d)  f (c) ; f (b)  f (d) Vậy m  f (c) ; M  f (0) ; M  m  f (0)  f (c)  Chọn đáp án A Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 32 Chuyên đề VN DNG: Tích phân ứng dụng Luyn thi THPT Quốc gia 2018 Câu 86: Cho hàm số y  f  x  hàm lẻ liên tục   4;  , biết  f   x  dx  2  f   2x  dx  4 Tính I   f  x  dx A I   10 B I   C I  D I  10 Lời giải Vì f  x  hàm lẻ nên ta có f  x    f  x  0 2 t  x Ta có:  f  x  dx     f  t  dt    f  t  dt    f  x  dx 2  2 u x f  2 x  dx    f  x  dx   Do đó:  4 4 f  u  du    f  u  du  8   f  x  dx  8 2 2 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx    6  Chọn đáp án B Câu 87: Cho hình phẳng  H  giới hạn Parabol y  đường cong có phương trình y   diện tích hình phẳng  H  A  4   B x2 12 x2 ( hình vẽ bên) Tính 4  C 4  D  4  3  Lời giải Hoành độ giao điểm Parabol y  x2 x2 đường cong y   nghiệm phương trình: 12 x2 x2  4  x  2 12 Diện tích hình phẳng (H) bằng: 3 3 x2 x2  S2   4  dx   16  x2 dx   x dx   16  x dx  12   0    Đặt x  4sin t   16  x dx   16 cos2 tdt    4  8  Chọn đáp án D 2 S  3 Câu 88: Cho  H  hình phẳng giới hạn parabol y  3x2 , nửa y đường tròn có phương trình y   x2 (với 2  x  ) (phần tơ đậm hình vẽ bên) Tính diện tích  H  A 2  B 4  Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 x -2 O CLB Giáo viên trẻ TP Huế 33 Chuyên đề VẬN DỤNG: Tích phân ứng dụng C D Luyện thi THPT Quốc gia 2018 4  Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm parabol y  3x2 nửa đường tròn y   x2 (với  x2  x   x  x   x  3x    x   x  1   2  x  ) là: 2 Diện tích  H  là: S   1    x  3x dx  I  31 với I    x dx x I  3 1      Đặt: x  2sin t , t    ;   dx  2cos tdt Đổi cận: x  1  t   , x   t  6  2 I   6    sin t 2cos tdt     cos tdt  6     cos 2t  dt   2t  sin 2t      2  3 2 2   Chọn đáp án A   3  3 3 Câu 89: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  3; 3 đồ Vậy S  I  thị hàm số y  f   x  hình vẽ bên Biết f 1  g  x   f  x   x  1  2 Kết luận sau đúng? A.Phương trình g  x   có hai nghiệm thuộc  3; 3 B.Phương trình g  x   có nghiệm thuộc  3; 3 C Phương trình g  x   khơng có nghiệm thuộc  3; 3 D Phương trình g  x   có ba nghiệm thuộc  3; 3 Lời giải Ta có: g  x   f   x    x  1 Ta thấy đường thẳng y  x  đường thẳng qua điểm  3; 2  , 1;  , 3;  Do f 1   g 1  Từ hình vẽ ta thấy:  f   x  dx   f 1  f  3   f  3   g  3  f  3   3  f   x  dx   f  3  f 1   f  3   g  3  f  3   Từ đồ thị hàm số y  f   x  đường thẳng y  x  với kết ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên ta có phương trình g  x   có nghiệm thuộc  3; 3  Chọn đáp án B Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 34 Chuyên đề VẬN DỤNG: TÝch phân ứng dụng Luyn thi THPT Quc gia 2018 Câu 90: Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  có đồ thị hàm số y  f  x , y  g  x  hình vẽ bên Xét hàm số h  x  f  x  g  x  2;  : f  2   f    g  2   g   , biết Cho khẳng định sau: 3 2) max h  x   h   , h  x   h    2;4   2;4      2 3 4) h  2   h    h 1  h   2 1) max h  x   h  2  , h  x   h 1   2;4    2;4  3) h  2   h    h    h 1 Tìm số khẳng định khẳng định A B C Lời giải Ta có h  x   f   x   g  x  Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên: x 2 h  x   h  x h  2   0 D   h 4 h  1 3 h  2  3 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy x  1;  y  hàm số khơng đổi  2  3 hàm số đạt giá trị nhỏ điểm x  1;  Ta có f  2   f    g  2   g    2  f  2   g  2   f    g    h  2   h   , Vậy Max h  x   h  2   Chọn đáp án B  3 1;  đồng thời     2;4  HẾT HUẾ Ngày 15 tháng năm 2018 CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ Phụ trách chung: Giáo viên LÊ BÁ BẢO Đơn vị công tác: Trường THPT Đặng Huy Trứ, Thừa Thiên Huế Email: lebabaodanghuytru2016@gmail.com Facebook: Lê Bá Bảo Số điện thoại: 0935.785.115 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 35 ... 3.4 2017 .2018 1 1 1 1 2017           1  2 3 2017 2018 2018 2018 2017 Vậy f 1  f    f     f  2017   hay a  2017 , b  2018  b  a  4035  Chọn đáp án C 2018 Câu... xf '  x   x2018 với x  0;1 Giá trị nhỏ tích phân  f  x  dx bằng: A 2021  2022 B 2018  2021 C 2018  2019 D 2019  2021 Lời giải Ta có: f  x   x f '  x   x2018  3x2 f ... f     2  Tính Q  a2018  b2018 biết   f  x  cos x  f   x  sin x dx   a  b A Q  2018 B Q   Câu 80: Cho hàm số y  f  x  với C Q  D Q  22018  e   f  x f  e 