Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng Bài TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN A CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TÍCH PHÂN CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC x + x + x ≤ b Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) = x Biết ∫ f ( x )dx = ae − với a, b, c ∈ N * Tìm 4 e − x ≥ c −1 giá trị nhỏ biểu thức T = a + b + c A 23 B 27 C 33 D 42 Lời giải 1 25 Ta có, ∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx = ∫ ( x + x + 1) dx +∫ (4 e x − 3) dx = + 2e − = 2e − 6 0 −1 −1 ⇒ T = + 25 + = 33 1 Ví dụ [Đề tham khảo – 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \ thỏa mãn f ′( x ) = x −1 , f (0) = f (1) = Giá trị biểu thức f (−1) + f (3) A + ln B + ln15 C + ln15 D ln15 Lời giải 1 dx = ln(2 x −1) + C1 Cách 1: Trên khoảng ; +∞ : f ( x ) = ∫ x −1 Lại có f (1) = ⇒ C1 = 1 • Trên khoảng −∞; : f ( x ) = ∫ dx = ln(1− x ) + C x −1 2 Lại có f (0) = ⇒ C = ln(2 x −1) + x > Vậy f ( x ) = ln(1 − x ) + x < Suy f (−1) + f (3) = + ln15 Cách 2: 0 2dx f (0) − f (−1) = f '( x )dx = ∫ ∫ x −1 = ln x −1 |−1= ln (1) −1 −1 Ta có: 3 f (3) − f (1) = ∫ f '( x )dx =∫ 2dx = ln x −1 |13 = ln (2) x −1 1 Lấy (2)-(1), ta f (3) − f (1) − f (0) + f (−1) = ln15 ⇒ f (−1) + f (3) = + ln15 TÍCH PHÂN HÀM ẨN DẠNG Điều kiện hàm ẩn có dạng: f ′ ( x ) = g ( x ).h ( f ( x )) f ′ ( x ).h ( f ( x )) = g ( x ) Phương pháp giải: f ′(x ) f ′ (x ) df ( x ) = g (x ) ⇔ ∫ dx = ∫ g ( x )dx ⇔ ∫ = g ( x )dx h ( f ( x )) h ( f ( x )) h ( f ( x )) ∫ ∫ f ′ ( x ).h ( f ( x )) dx = ∫ g ( x ) dx ⇔ ∫ h ( f ( x )) df ( x ) = ∫ g ( x ) dx Trang Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng Chú ý: • chất ( cô lập cụm f ( x ), f ′ ( x ) sang vế) • • Ngồi việc ngun hàm hai vế, ta tích phân hai (tùy cách hỏi) f ′ ( x ) phải để tử Ví dụ Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương (0; + ∞) thỏa mãn f (1) = , f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + , với x > Mệnh đề sau đúng? A < f (5) < B < f (5) < C < f (5) < Lời giải Cách 1: Với điều kiện tốn ta có f ′(x ) f ′(x ) f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + ⇔ = ⇔∫ dx = ∫ f (x ) f (x ) 3x + ⇔∫ d ( f ′ ( x )) f (x ) − d (3 x + 1) ⇔ ln f ( x ) = 3x + + C ⇔ f ( x ) = e 3 + x ( ) ∫ 3 +C =1 ⇔ C = − ⇒ f (x ) = e3 3 x +1− d ( f ( x )) f (x ) = x +1 +C ⇒ f (5) = e ≈ 3,79 ∈ (3; ) Vậy < f (5) < Cách 2: Với điều kiện tốn ta có 5 f ′(x ) f ′ (x ) ⇔∫ f ( x ) = f ′( x ) 3x + ⇔ dx = ∫ = f (x ) f (x ) 3x +1 1 dx 3x + = Khi f (1) = ⇔ e ⇔∫ D < f (5) < dx 3x +1 f (5) 4 ⇔ ln f ( x ) = ⇔ ln = ⇔ f (5) = f (1).e ≈ 3,79 ∈ (3; ) 3 f (1) f ( x ) xác định, có đạo hàm, liên tục đồng biến [1;4 ] thỏa mãn x + xf ( x ) = f ′ ( x ) , ∀x ∈ [1;4 ], f (1) = Giá trị f (4 ) bằng: 391 361 381 371 A B C D 18 18 18 18 Lời giải Biến đổi: f ′ ( x ) f ′ (x ) 2 =x⇒ = x x + xf ( x ) = f ′ ( x ) ⇔ x (1 + f ( x )) = f ′ ( x ) ⇔ + f (x ) 1+ f x Ví dụ Cho ( ) ⇒∫ f ′ (x ) + f (x ) dx = ∫ ⇔ + f (4 ) − = xdx ⇔ + f ( x ) = 1 14 14 391 ⇔ f (4 ) = 18 Ví dụ Cho f ( x ) không âm thỏa mãn điều kiện f ( x ) f '( x ) = x f ( x ) + f (0) = Tổng giá trị lớn nhỏ hàm số y = f ( x ) [1;3] A 22 B 11 + C 20 + Lời giải Biến đổi: Trang D 11 + Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng f ( x ) f '( x ) = x f ( x ) + ⇔ ⇔ f ( x ) f '( x ) f (x ) +1 = 2x ⇒ ∫ f ( x ) f '( x ) f (x ) +1 dx = ∫ xdx f (x ) +1 = x + C Với f (0) = ⇒ C = ⇒ f (x ) +1 = x +1 ⇒ f (x ) = x + 2x = g (x ) Ta có: g '( x ) = x + x > 0, ∀x ∈ [1;3] Suy g ( x ) đồng biến [1;3] f ( x )≥0 → ≤ f ( x ) ≤ 11 Suy ra: g (1) ≤ g ( x ) = f ( x ) ≤ g (3) ⇒ ≤ f ( x ) ≤ 99 f (x ) = min [1;3] ⇒ Max f ( x ) = 11 Chú ý: Nếu khơng tìm ln ∫ f ( x ) f '( x ) dx = f ( x ) + + C ta sử dụng f ( x ) +1 kĩ thuật vi phân đổi biến (bản chất một) +) Vi phân: −1 f ( x ) f '( x ) f (x ) 2 ∫ f ( x ) + dx =∫ f ( x ) + d ( f ( x )) = ∫ ( f ( x ) + 1) d ( f ( x ) + 1) = f (x ) +1 + C + Đổi biến: Đặt t = f ( x ) + ⇒ t = f ( x ) + ⇒ tdt = f ( x ) f '( x )dx f ( x ) f '( x ) tdt Suy ra: ∫ dx =∫ = ∫ dt = t + C = f ( x ) + + C t f ( x ) +1 Ví dụ Cho hàm số f ( x ) ≠ thỏa mãn điều kiện f ' ( x ) = (2 x + 3) f ( x ) f (0) = −1 Biết tổng f (1) + f (2) + + f (2017) + f (2018) = a a với a ∈ ℤ, b ∈ ℕ* phân số tối giản b b Mệnh đề sau đúng? a a A < −1 B > b b C a + b = 1010 D b − a = 3029 Lời giải f (x ) f '( x ) Biến đổi f ( x ) = (2 x + 3) f ( x ) ⇔ = 2x + ⇔ ∫ dx = ∫ (2 x + 3) dx f (x ) f (x ) −1 1 ⇔− = x + 3x + C ⇒ f ( x ) = − Mà f (0) = nên C = f (x ) x + 3x + C ' ' Do f ( x ) = − 1 =− x + 3x + ( x + 1)( x + 2) a = f (1) + f (2 ) + + f (2017 ) + f (2018) b 1 1 = − + + + + 2.3 3.4 2018.2019 2019.2020 1 1 1 1 1 −1009 = − − + − + + − + − = − − = 3 2020 2020 2018 2019 2019 2020 a = −1009 Với điều kiện a, b thỏa mãn toán, suy ra: ⇒ b − a = 3029 b = 2020 Khi Trang Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng B BÀI TẬP TỰ LUYỆN BẢNG TÔ ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN – BUỔI Học sinh làm BTTL xong, tô phương án Buổi sau học sinh GV kiểm tra kết Câu 3 x [Chuyên Thái Bình-Lần 5-2018] Cho hàm số y = f ( x ) = 4 − x ≤ x ≤ Tính ≤ x ≤ 2 ∫ f ( x )dx A Câu Câu Câu B C D 6 x x ≤ Cho hàm số y = f ( x ) = I = ∫ f ( x )dx Hỏi có tất số a − a x x ≥ −1 nguyên a để I + 22 ≥ ? A B C D 1 [Đề tham khảo – 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \ thỏa mãn , f (0) = f (1) = Giá trị biểu thức f (−1) + f (3) f ′( x ) = x −1 A + ln B + ln15 C + ln15 D ln15 [Toán học tuổi trẻ số – 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \ {1} thỏa mãn , f (0 ) = 2017 , f (2) = 2018 Tính S = f (3) − f (−1) x −1 A S = B S = ln C S = ln 4035 D S = 1 [Lục Ngạn–Bắc Giang–2018] Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \ thỏa mãn 2 f ′ (x ) = , f (0) = f = Giá trị biểu thức f (−1) + f (3) x −1 A + ln B −2 + ln C + ln D + ln Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \ {−2;2} thỏa mãn f ′ ( x ) = ; f (−3) = ; x −4 f (0) = f (3) = Tính giá trị biểu thức P = f (−4 ) + f (−1) + f (4 ) f ′ (x ) = Câu Câu A P = + ln 25 B P = + ln Trang C P = + ln D P = − ln Biên soạn: Hồng Phi Hùng Câu Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng [Chuyên Thái Bình – Lần – 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \ {−2;1} thỏa 1 ; f (−3) − f (3) = f (0 ) = Giá trị biểu thức mãn f ′ ( x ) = x + x −2 f (−4 ) + f (−1) − f (4 ) 1 + ln B + ln 80 C + ln + ln D + ln 3 5 [Sở Bắc Giang – 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \ {−1;1} thỏa mãn A Câu 1 ; f (−3) + f (3) = f − + x −1 P = f (0 ) + f ( ) f ′ (x ) = 1 f = Tính giá trị biểu thức 3 3 A P = + ln B P = + ln C P = + ln D P = ln 5 5 Câu [Sở Phú Thọ - 2018] Cho hàm số f ( x ) xác định ℝ \ {−1;1} thỏa mãn 1 1 f '(x ) = ; f (−2 ) + f (2 ) = f − + f = Tính f (−2 ) + f (0 ) + f (4 ) = 2 x −1 kết 6 4 A P = + ln B P = −1 + ln C P = + ln D P = −1 + ln 5 5 Câu 10 [Chuyên Thái Bình – Lần – 2018] Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số π với ∀x ∈ ℝ \ − + k π, k ∈ ℤ Biết F (0) = F (π ) = Tính giá trị + sin x π 11π biểu thức P = F − − F 12 12 y= A P = − B P = C Không tồn D P = Câu 11 Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục ℝ thỏa mãn đồng thời điều kiện f ( x ) > , ∀x ∈ ℝ ; f ′ ( x ) = −e x f ( x ) , ∀x ∈ ℝ f (0 ) = Tính giá trị f (ln 2) 2 2 A f (ln ) = B f (ln 2) = − C f (ln ) = D f (ln 2) = 9 3 Câu 12 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị (C ) , xác định liên tục ℝ thỏa mãn đồng thời điều kiện f ( x ) > ∀x ∈ ℝ , f ′ ( x ) = ( x f ( x )) , ∀x ∈ ℝ f (0 ) = Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = đồ thị (C ) A y = x + 30 B y = −6 x + 30 C y = 36 x − 30 D y = −36 x + 42 Câu 13 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [−1;1] , thỏa mãn f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ f ' ( x ) + f ( x ) = Biết f (1) = , tính f (−1) A f (−1) = e −2 Câu 14 B f (−1) = e C f (−1) = e D f (−1) = [Sở Yên Bái – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ' ( x ) f ( x ) = x + x Biết f (0) = Tính f (2) 313 332 A f (2) = B f (2) = 15 15 Trang C f (2) = 324 15 D f (2 ) = 323 15 Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng [Sở Nam Định – Lần – 2018] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục (0; + ∞) , biết f ′ ( x ) + (2 x + ) f ( x ) = f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ ; f (2 ) = Tính f (1) + f (2 ) + f (3) 15 11 11 A B C D 15 15 30 30 Câu 16 Cho hàm số f ( x ) xác định liên tục ℝ Biết f ( x ) f ′ ( x ) = 12 x + 13 f (0 ) = Câu 15 Khi phương trình f ( x ) = có nghiệm? A B C D Câu 17 Cho hàm số f ( x ) ≠ thỏa mãn điều kiện f ' ( x ) = (2 x + 3) f ( x ) f (0 ) = f (1) + f (2) + + f (2017 ) + f (2018) = −1 Biết tổng a a với a ∈ ℤ, b ∈ ℕ * phân số tối giản b b Mệnh đề sau đúng? a a A < −1 B > C a + b = 1010 D b − a = 3029 b b Câu 18 [Chuyên Vinh – Lần – 2017] Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương (0; + ∞) thỏa mãn f (1) = , f ( x ) = f ′ ( x ) x + , với x > Mệnh đề sau đúng? A < f (5) < B < f (5) < C < f (5) < D < f (5) < Câu 19 [Quảng Xương I – Thanh Hóa – Lần – 2018] Cho f ( x ) xác định, có đạo hàm, liên tục đồng biến [1;4 ] thỏa mãn x + xf ( x ) = f ′ ( x ) , ∀x ∈ [1;4 ], f (1) = Giá trị f (4 ) bằng: 391 361 381 371 A B C D 18 18 18 18 Câu 20 Cho f ( x ) không âm thỏa mãn điều kiện f ( x ) f '( x ) = x f ( x ) + f (0) = Tổng giá trị lớn nhỏ hàm số y = f ( x ) [1;3] A 22 B 11 + C 20 + D 11 + Câu 21 [Chuyên Tuyên Quang – Lần – 2018] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm đồng biến ℝ thỏa mãn f (0 ) = ( f ′ ( x )) = e x f ( x ), ∀x ∈ ℝ Tính tích phân ∫ f ( x ) dx A e − B e −1 C e − D e −1 Câu 22 [Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa – Lần – 2018] Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục ℝ \ {0} thỏa mãn x f ( x ) + (2 x −1) f ( x ) = xf ′ ( x )−1 với ∀x ∈ ℝ \ {0} f (1) = −2 Tính ∫ f ( x ) dx 1 ln ln A − − ln B − − ln C −1 − D − − 2 2 Câu 23 [Sở Đà Nẵng – 2018] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 4;8 ] f (0) ≠ với ∀x ∈ [ 4;8 ] Biết ∫ A B ′ f ( x ) dx = f (4 ) = , f (8) = Tính f (6 ) f ( x ) C D Trang Biên soạn: Hồng Phi Hùng Ngun hàm, Tích Phân & Ứng dụng (Lời giải chi tiết tham khảo đây) Trang ... ' Do f ( x ) = − 1 =− x + 3x + ( x + 1) ( x + 2) a = f (1) + f (2 ) + + f (2 017 ) + f (2 018 ) b 1 1 = − + + + + 2.3 3.4 2 018 .2 019 2 019 .2020 1 1 1 1 1 10 09 = − − + −... x ) , ∀x ∈ [1; 4 ], f (1) = Giá trị f (4 ) bằng: 3 91 3 61 3 81 3 71 A B C D 18 18 18 18 Lời giải Biến đổi: f ′ ( x ) f ′ (x ) 2 =x⇒ = x x + xf ( x ) = f ′ ( x ) ⇔ x (1 + f ( x )) =... định, có đạo hàm, liên tục đồng biến [1; 4 ] thỏa mãn x + xf ( x ) = f ′ ( x ) , ∀x ∈ [1; 4 ], f (1) = Giá trị f (4 ) bằng: 3 91 3 61 3 81 3 71 A B C D 18 18 18 18 Câu 20 Cho f ( x ) không âm thỏa